Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Различные способы задания прямой на плоскости

1.1 Уравнение прямой по точке и вектору нормали

1.2 Уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом

1.3 Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Каноническое уравнение прямой

1.4 Параметрическое уравнение прямой

1.5 Уравнение прямой, проходящей через две точки

1.6 Уравнение прямой в отрезках

1.7 Нормальное уравнение прямой

2. Различные способы задания прямой в пространстве

2.1 Уравнение прямой в пространстве - уравнение двух пересекающихся плоскостей

2.2 Параметрическое уравнение прямой в пространстве

2.3 Каноническое уравнение прямой

2.4 Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Заключение

Литература



Введение

Прямая линия -- алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка: Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно т.е. А² + В² ? 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных начальных условий.

Прямая на плоскости может быть задана следующими способами:

· Уравнение прямой по точке и вектору нормали

· Уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом

· Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Каноническое уравнение прямой.

· Параметрическое уравнение прямой.

· Уравнение прямой, проходящей через две точки.

· Уравнение прямой в отрезках.

· Нормальное уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана:

· Как линия пересечения двух плоскостей;

· Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

· Параметрическое уравнение

· Каноническое уравнение прямой

В данной работе будут рассматриваться все возможные способы задания прямой на плоскости и в пространстве. Цель курсовой работы: Изучить прямую на плоскости и в пространстве. Задачи: Рассмотреть все возможные способы задания прямой на плоскости и в пространстве

Предмет исследования: Способы задания прямой на плоскости и в пространстве

Актуальность моей работы определяется представлением об основных способах задания прямой и в пространстве, и на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач.

Результат (продукт): понимание значимости данной темы в практической деятельности человека.

Методы: анализ математической и методической литературы. Структура: Работа состоит из введения, основной части, (которая делится еще на несколько подтем), заключения, списка литературы.



1. Различные способы задания прямой на плоскости

1.1 Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 и называется нормальным вектором этой прямой.

Пусть имеем следующие начальные условия относительно некоторой прямой: известна точка M₀(x₀, y₀) принадлежащая этой прямой и ее нормальный вектор =(А, В).

Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей прямой, составим вектор . = (x-x₀, y-y₀). Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен прямой, а, следовательно, перпендикулярен и вектору. Тогда скалярное произведение Ч = 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

A(x-x₀) + B(y-y₀)=0 (1.2)



Из уравнения (1.2) легко получить общее уравнение прямой (1.1), раскрыв скобки и обозначив D = -Ax₀ - By₀.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

· C = 0, А № 0, В № 0: Ах + Ву = 0 - уравнение прямой, проходящей через начало координат;

· А = 0, В № 0, С № 0: By + C = 0- уравнение прямой, параллельной оси Ох;

· В = 0, А № 0, С № 0: Ax + C = 0 - уравнение прямой , параллельной оси Оу;

· В = С = 0, А № 0: Ах = 0 (х = 0) - уравнение координатной оси Оу;

· А = С = 0, В № 0: By = 0 (y = 0) - уравнение координатной оси Ох.

1.2 Уравнение прямой, заданной угловым коэффициентом

Пусть на плоскости xOy задана прямая, непараллельная оси Oy. Углом между прямой и осью Ox называется тот угол между прямой и положительным направлением оси, который расположен в верхней полуплоскости.

Если прямая параллельна оси или совпадает с нею, то угол считается равным нулю. Для того, чтобы составить уравнение прямой, достаточно, чтобы были заданы точка , лежащая на этой прямой, и угол наклона прямой к оси Ox.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле

,

где - координаты точки , - угловой коэффициент прямой.

После подстановки указанных выше величин в формулу должно получиться уравнение вида

.

1.3 Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. каноническое уравнение прямой

Определение. Каноническим уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор , называется уравнение вида

.

Направляющий вектор - это вектор, параллельный искомой прямой. При этом координаты направляющего вектора связаны отношением с общим уравнением как искомой прямой, так и любой другой прямой, параллельной направляющему вектору.

Элементарными преобразованиями (в основном приведением к общему знаменателю и затем умножением всех членов уравнения на общий знаменатель) каноническое уравнение прямой легко приводится к уравнению прямой в общем виде.

Заметим, что в каноническом уравнении один из знаменателей (то есть, одна из координат направляющего вектора) или может оказаться равным нулю (оба числа быть равными нулю не могут, ибо вектор ненулевой). Так как всякая пропорция означает равенство , то в данном случае каноническое уравнение прямой запишется в виде

.

1.4 Параметрическое уравнение прямой

Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения этой прямой, имеющей вид

.

Примем за параметр величину, на которую можно умножить левую и правую части канонического уравнения.

Так как один из знаменателей обязательно отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра является вся ось вещественных чисел: . Мы получим или окончательно

. (1)



Уравнения (1) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Эти уравнения допускают механическую интерпретацию. Если считать, что параметр - это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).

1.5 Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть на плоскости даны две точки и . Уравнение прямой, проходящей через эти точки

На прямой возьмем текущую, т. е. любую, точку . Построим два вектора и .

По построению эти векторы коллинеарны. Условие коллинерности - это пропорциональность одноименных координат векторов:

Это и есть искомое уравнение.

Преобразуем полученное равенство:

Заметим, что отношение есть ни что иное как угловой коэффициент , т. е. .



1.6 Уравнение прямой в отрезках

Определение. Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида

,

где из общего уравнения прямой, из общего уравнения прямой.

Числа a и b имеют весьма простой геометрический смысл. Это величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях, считая каждый от начала координат (рисунок слева).

Чтобы получить уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой: Пусть дано общее уравнение прямой на плоскости

при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

Перенесём свободный член C в правую часть уравнения и получим:

.



Поделим обе части уравнения на -C и имеем:

или

Вводя обозначения

,

получим

, то есть уравнение прямой в отрезках.

1.7 Нормальное уравнение прямой на плоскости

Пусть дана некоторая прямая L. Проведём через начало координат прямую n, перпендикулярно данной и назовём её нормалью к прямой L. Буквой N отметим точку, в которой нормаль пересекает прямую L. На нормали введём направление от точки O к точке N.

Обозначим через угол, на которой нужно повернуть против часовой стрелки ось Ox до совмещения её положительного направления с направлением нормали, через p длину отрезка ON.

Тогда уравнение . будет нормальным уравнением прямой.

С помощью нормального уравнения прямой можно определить расстояние от данной точки плоскости до прямой. Пусть - точка, не лежащая на прямой, заданной нормальным уравнением. Требуется определить расстояние d от точки до прямой. Это расстояние определяется по формуле

.

Общее уравнение прямой можно привести к нормальному виду:

Пусть

- общее уравнение прямой, а

- её нормальное уравнение.

Так как оба уравнения определяют одну и ту же прямую, их коэффициенты пропорциональны.

Очевидно, для получения нормального уравнения следует все члены общего уравнения умножить на постоянный множитель , вычисляемый по формуле

.

В этой формуле берётся знак, противоположный знаку C в общем уравнении прямой.

Таким образом, получаем уравнение

, которое и будет нормальным уравнением прямой на плоскости.



2. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy представляет собой линейное уравнение с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. С прямой в трехмерном пространстве дело обстоит немного иначе - не существует линейного уравнения с тремя переменными x, y и z, которому бы удовлетворяли только координаты точек прямой, заданной в прямоугольной системе координат Oxyz. Действительно, уравнение вида , где x, y и z - переменные, а A, B, C и D - некоторые действительные числа, причем А, В и С одновременно не равны нулю, представляет собой общее уравнение плоскости.



2. Различные способы задания прямой в пространстве

2.1 Уравнение прямой в пространстве - уравнение двух пересекающихся плоскостей

Аксиома: если две плоскости в пространстве имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и известно, что прямая a является линией пересечения двух плоскостей и , которым отвечают общие уравнения плоскости вида и соответственно. Так как прямая a представляет собой множество всех общих точек плоскостей и , то координаты любой точки прямой a будут удовлетворять одновременно и уравнению и уравнению , координаты никаких других точек не будут удовлетворять одновременно обоим уравнениям плоскостей. Следовательно, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат Oxyz представляют собой частное решение системы линейных уравнений вида , а общее решение системы уравнений определяет координаты каждой точки прямой a, то есть, определяет прямую a.

прямая пространство плоскость уравнение



Итак, прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей .

Описание прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей отлично подходит при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости, а также при нахождении координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Рекомендуем продолжить изучение этой темы, обратившись к статье уравнения прямой в пространстве - уравнения двух пересекающихся плоскостей. В ней дана более детальная информация, подробно разобраны решения характерных примеров и задач, а также показан способ перехода к уравнениям прямой в пространстве другого вида.

Следует отметить, что существуют различные способы задания прямой в пространстве, и на практике прямая чаще задается не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, лежащей на этой прямой. В этих случаях проще получить канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.



2.2 Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид

,

где x₁, y₁ и z₁ - координаты некоторой точки прямой, a_x, a_y и a_z (a_x, a_y и a_z одновременно не равны нулю) - соответствующие координаты направляющего вектора прямой, а - некоторый параметр, который может принимать любые действительные значения.

При любом значении параметра по параметрическим уравнениям прямой в пространстве мы можем вычислить тройку чисел , она будет соответствовать некоторой точке прямой (отсюда и название этого вида уравнений прямой). К примеру, при из параметрических уравнений прямой в пространстве получаем координаты x₁, y₁ и z₁:

.

2.3 Каноническое уравнение прямой

Определение. Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору. Пусть дана точка и направляющий вектор . Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:

.

Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.

Числа m, n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор ненулевой, то все числа m, n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:

,

которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz, т. е. плоскости yOz.

Также, разрешив каждое из параметрических уравнений прямой вида

относительно параметра , легко перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве вида

.



Канонические уравнения прямой в пространстве определяют прямую, проходящую через точку , а направляющим вектором прямой является вектор .

Следует отметить, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа одновременно не могут быть равны нулю, так как направляющий вектор прямой не может быть нулевым). Тогда запись вида

считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как

,

где .

Если одно из чисел в канонических уравнениях прямой равно нулю, то прямая лежит в одной из координатных плоскостей, либо в плоскости ей параллельной. Если два из чисел равны нулю, то прямая либо совпадает с одной из координатных осей, либо параллельна ей.



2.4 Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор . Тогда канонические уравнения прямой примут вид

.

Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.



Заключение

В данной курсовой работе было рассмотрены и изучены различные способы задания прямой в пространстве и на плоскости. На основе изложенного материала, была рассмотрена и решена практическая часть курсовой работы, что позволяет раскрыть вариантности геометрии для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы.

Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении аналитической геометрии. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену.

Помимо введения, дающего общий очерк представления об общем уравнении прямой, основная часть посвящена конкретно различным способам задания прямой как на плоскости, так и в пространстве.

Цели и задачи, поставленные в данной курсовой работе, были мною выполнены.



Литература

1. Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике. -- Выпуск 4. -- Гостехиздат, 1952 г. -- 32 стр.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

3. Погорелов А.В. Геометрия 6-10. М., 1981.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

5. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., Наука, 1990.· Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

6. Александров А.Д. Основания геометрии. М., Наука, 1987.

7. http://books-vuzi.narod.ru/olderfiles/1/LECTURES_GEMETRY.PDF

8. http://pm298.eto.tom.ru/prostr.html

9. Погорелов А.В. Основания геометрии. М., 1979.

10. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. ч.I, II, М., Просвещение, 1986

Размещено на Allbest.ru