Операции с матрицами

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Линейные операции с матрицами

Сложение матриц

Операция сложения матриц определяется только для матриц, имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.

Определение: суммой А+В матриц А и В, имеющих одинаковый размер, называется матрица С, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

С=А+В?c_ik=a_ik+b_ik

Пример: +=

Свойства операций сложения:

1. Переместительное свойство: А+В = В+А.

2. Сочетательное свойство: (А+В)+С=А+(В+С).

3. Сумма любой матрицы А и нулевой матрицы 0 того же размера равна матрице А: А+0=А.

Умножение матрицы на число. Определение: произведение А·л или л·А матрицы А на число л называется матрица В, каждый элемент которой равен произведению этого числа на соответствующий элемент матрицы А, т.е.

b_ik= л·a_ik ( i= 1,2…. m; k=1,2… n).

Пример: найти произведение матрицы А= на число л=-3

Решение: В соответствии с определением, имеем

В=-3А=-3 =

Умножение матриц. Операция умножения двух матриц определена только для тех случаев, когда число столбцов первого множителя равно числу строк у второго.

Определение: Произведением матрицы А размера mхn на матрицу В размера n хp называется матрица С размера mхp, каждый элемент которой С_ik равен сумме произведений i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В, т.е.

С_{i k}= a_{i 1}·b_{1 k} + a_{i 2}·b_{2 k}+…+a_{i m}·b_{m k}.

Это правило условно называется «строка на столбец».

· =

Пример: умножить матрицы А= на матрицу В=.

Решение: · =

С₁₁=(-2)·(-1)+3·0+0·1=2; С₁₂=(-2)·2+3·1+0·(-3)=-1; С₁₃=(-2)·(-2)+3·(-1)+0·0=1; С₁₄= =(-2)·3+3·2+0·1=0;

С₂₁=3·(-1)+(-1)·0+1·1=-2; С₂₂=3·2+(-1)·1+1·(-3)=2; С₂₃=3·(-2)+(-1)·(-1)+1·0=-5; С₂₄=3·3+(-1)·2+1·1=8;

Таким образом, АВ=.

2. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Пример: Решить систему уравнений .

Решение: Введем следующие матрицы:

А= - матрица составлена из коэффициентов при неизвестных.

X= - матрица-столбец из неизвестных; В= - матрица-столбец свободных членов.

При этом исходная система может быть записана в матричной форме: А·Х=В.

Решим это уравнение. Для этого умножим слева обе части уравнения на матрицу А^-1, обратимую матрице А: А^-1·А·Х=А^-1·В. Так как по определению А^-1·А=Е, где Е=- единичная матрица, то матричное уравнение примет вид: Е·Х=А^-1·В или Х=А^-1·В.

Таким образом, матрица-столбец Х находится по формуле: Х=А^-1·В. Обратная матрица А^-1 существует, если определитель исходной матрицы А отличен от нуля: Д(А)?0, и вычисляется по формуле:

А^-1=,

где А_ik - алгебраическое дополнение элементов а_ik матрицы А.

Определитель матрицы А равен Д(А)===2·(-1)¹⁺²+0+1·(-1)³⁺²=2·(-1)·(-6)+0+1·(-1)·14=12+0-14

2(определитель разложили по элементам второго столбца).

Таким образом, Д(А)?0, следовательно А^-1 существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы А.

А₁₁=(-1)²=-5; А₁₂=(-1)³=6; А₁₃=(-1)⁴=4.

А₂₁=(-1)³=-3; А₂₂=(=1)⁴=4; А₂₃=(-1)⁵=2;

А₃₁=(-1)⁴=10; А₃₂=(-1)⁵=-14; А₃₃=(-1)⁶=-8.

А^-1= -= .

Найдем теперь неизвестную матрицу Х: Х=А^-1·В = =

Таким образом, Х==, следовательно, решение системы уравнений имеет вид:

3. Скалярное и векторное произведение векторов

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов и называется число ·=··;).

Зная координаты перемноженных векторов: =a_x·+a_y·+a_z·={a_x;a_y;a_z};=b_x·+b_y·+ b_z·; можно вычислить скалярное произведение ·=a_x·b_x+a_y·b_y+a_z·b_z.

Условием ортогональности (перпендикулярности) векторов и является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.(·)=0.

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4); В(-3;2;2); С(2;5;1); Д(3;-2;2) взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора и, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. вектор матрица перпендикулярность

Имеем: ={6;9;-3}; ={6;-4;0}. Найдем скалярное произведение этих векторов:·=6·6+9·(-4)+0=36-36=0. Отсюда следует, что . Диагонали четырехугольника АВСД взаимно перпендикулярны.

Некоторые приложения скалярного произведения.

а). Угол между векторами.

Определение угла между неизвестными векторами ={a_x;a_y;a_z} и ={b_x;b_y;b_z} может осуществляться по формуле:= , т.е.

=.

Определить угол между векторами =+2+3={1;2;3} и =6+4-2={6;4;-2}.

Решение: имеем ·=1·6+2·4+3·(-2)=8; ===;

===2, следовательно, ===; ??=.

б). Проекция вектора на заданное направление.

Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором . может осуществляться по формуле: = (=) т.е. =.

Даны точки А(3;3;-2); В(0;-3;4); С(0;-3;0); Д(0;2;-4). Найти векторы:=;= и .

Решение: =={-3;-6;6};=={0;5;-4};======-6.

2.Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор =, который :

1).перпендикулярен векторам и ;

2).образует с ними правую тройку , , ;

3).длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.(=··.

Если известны координаты перемноженных векторов, то векторное х вычисляется по формуле: х =;

Некоторые приложения векторного произведения.

а) установление коллинеарности векторов.

Если , то х = 0, т.е. х = =

б) нахождение площади параллелограмма и треугольника.

Согласно определению векторного произведения векторов и

= S_пар; = х

Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(7;3;4); B(1;0;6); C(4;5;-2).

Решение: Находим векторы и :

={1-7; 0-3; 6-4} = {-6; -3; 2}; ={4-7; 5-3; -2-4} = {-3; 2; -6}

Площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , поэтому находим векторное произведение этих векторов:

х = 14 - 42 - 21

Следовательно, = х

.

4. Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов ··=·() есть скалярное произведение вектора на векторное и и вычисляется по формуле

=

Абсолютная величина смешанного произведения векторов равна объему наклонного параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если - правая тройка, то ·()0, если левая, то ·()

Если три вектора - компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Даны вершины пирамиды А(5;1;-4); В(1;2;-1); С(3;3;-4); S(2;2;2).найти объем треугольной пирамиды.

Решение:

Найдём вектора:

Составим смешанное произведение этих векторов:

.

При каком значении вектора

.

Решение. Вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Составим это смешанное произведение:

;

.

5. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

1) Общим уравнение прямой на плоскости называется уравнение вида:

.

перпендикулярный прямой называется нормальным вектором прямой.

2) Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

;

Пусть означает угол наклона прямой к оси . Тогда называется угловым коэффициентом прямой. Значение есть ордината точки пересечения прямой с осью . Если прямую задать угловым коэффициентом и какой-нибудь её точкой, то прямая может быть задана уравнением .

3) Уравнение прямой в отрезках

.

Числа равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях координат.

4) Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярно данному вектору.

Пусть - точка, принадлежащая прямой; - нормальный вектор этой прямой, тогда уравнение прямой имеют вид

;

5) Каноническое уравнение прямой.

Пусть задана точка , принадлежащая искомой прямой, и вектор , коллинеарный этой прямой. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид . Вектор называется направляющий вектор прямой.

6) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим прямую, проходящую через точки и .

Уравнение прямой имеет вид

Найти общее уравнение прямой l , проходящей через точку и параллельной прямой

Решение. Примем нормальный вектор данной прямой в качестве нормального вектора искомой и запишем уравнение в виде:

,

Ответ: общее уравнение прямой l имеет вид .

Найти общее уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярно прямой

Решение. Так как нормальный вектор данной прямой является направляющим вектором для перпендикулярной ей прямой, то искомое уравнение можно записать в канонической форме:

,

Откуда находим

Ответ: общее уравнение прямой l имеет вид

Составить уравнение прямой l, проходящей через точку и отсекающую оси отрезок, равный 7.

Решение. Найдём координаты второй точки, через которую проходит прямая - это пересечения с осью . Координаты этой точки. Тогда, в соответствии с формулой прямой, проходящей через 2 точки будем иметь:

;

Ответ: общее уравнение прямой l имеет вид.

7) Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами.

Прямая ;

Прямая ;

Тогда угол между ними вычисляется по формуле: ;

Условие параллельности прямых и имеет вид: ;

Условие их перпендикулярности: ;

8) Угол между прямыми, заданными уравнениями в общем виде. Если прямые и заданы общими уравнениями:

(нормальный вектор этой прямой )

(нормальный вектор этой прямой ). .

Условие параллельности прямых и :

Условие их перпендикулярности:

Пример. Найти угол между прямыми и

Решение. Координаты нормальных векторов прямых определим из их уравнений: и Найдём косинус между прямыми:

;

Ответ: угол между прямыми

9) Расстояние от точки до прямой определяется по формуле:

.

Найти расстояние между параллельными прямыми:

.

Решение. Возьмём на первой прямой произвольную точку . Пусть, например, , тогда , т.е. : по формуле находим расстояние от точки до второй прямой:

.

Размещено на Allbest.ru