Алгебра событий в теории вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

«Первый Профессиональный Университет»

Менеджмент

Контрольное задание

По дисциплине: «Математика»

«Алгебра событий»

Выполнил студент:

Кадров Р.Ю.

Москва 2015

Определение

Алгебра событий (в теории вероятностей) -- алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

· алгебра конечных подмножеств ;

· сигма-алгебра счётных подмножеств ;

· алгебра подмножеств , образованная конечными объединениями интервалов;

· сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ;

· алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Алгебры и сигма-алгебры событий -- это области определения вероятности . Если , то событие называется невозможным событием; если , то событие называется достоверным событием;

Событие A + B или , заключается в том, что из двух событий A и B происходит по крайней мере одно, называется суммой событий A и B.

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

Алгебра событий

В прикладных задачах основными являются не прямые, а косвенные методы вычисления вероятностей интересующих нас событий через вероятности других, с ними связанных. Для этого нужно уметь выражать интересующие нас события через другие, т. е. использовать алгебру событий.

Отметим, что все вводимые ниже понятия справедливы тогда, когда события о которых идет речь, представляют собой подмножества одного и того же пространства элементарных событий .

Сумма или объединение событий А1, А2, …, Аn - такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn. Сумма обозначается:

где - знак логического сложения событий, - знак логической суммы событий. алгебра вероятность косвенный умножение

Произведение или пересечение событийА1, А2, …, Аn - такое событие А, появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте всех событий А1, А2, …, Аn одновременно. Произведение обозначается

где - знак логического умножения событий, - знак логического произведения событий.

Операции сложения и умножения событий обладают рядом свойств, присущих обычным сложению и умножению, а именно: переместительным, сочетательным и распределительным свойствами, которые очевидны и не нуждаются в пояснении.

Суммой (объединением) событий А1 и А2 является событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий (заштрихованная область на рис. 3.2, а). Произведение событий А1 и А2 это событие, состоящее в совместном выполнении обоих событий (заштрихованное пересечение событий А1 и А2 - рис. 3.2, б).

Из определения суммы и произведения событий следует, что

А = АА; А = А ; = А ;

А = АА; = А ; А = А .

Если события Аi (i=1, … , n) или { Аi }n i=1 составляют полную группу событий, то их сумма есть достоверное событие

Изображение противоположного события приведено на рис. 3.3. Область дополняет А до полного пространства. Из определения противоположного события следует, что

Другие свойства противоположных событий отражены в законах де Моргана:

поясняемых рис. 3.4.

Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -- изд. четвёртое, переработанное. -- М.: Наука, 1976.

Размещено на Allbest.ru