Магические квадраты

Размещено на http://allbest.ru

Содержание

Введение

1. Что такое «Магический квадрат»?

2. Из истории развития магических квадратов

3. Простейшие построения «Магического квадрата»

3.1 Порядка 3 (3 на 3)

3.2 Порядка 4 (4 на 4)

4. Построение нечётного «Магического квадрата»

4.1 Линейный алгоритм

4.2 Классический алгоритм

4.2.1 Метод Баше

4.2.2 Метод А де ла Лубера

5. Построение чётного «Магического квадрата»

5.1 Метод Раус - Бола

5.2 Порядок, которого равен степени числа 2

6. Магический квадрат Дюрера

7. Применение магических квадратов: Судоку: японские головоломки

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Данная работа, на тему «Магические квадраты» сегодня весьма актуально, потому что так называемые магические квадраты часто встречаются в сборниках нестандартных задач, а так же в олимпиадах по математике, ещё «магические квадраты» не редко встречаются в астрологии и ставшая в последнее время очень популярной головоломкой «Судоку» Судоку -- это головоломка-пазл с числами. В переводе с японского "су" -- "цифра", "доку" -- "стоящая отдельно". Иногда судоку называют «магическим квадратом». .

Магический квадрат - это квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух диагоналей равны одному и тому же числу.

Данная тема не сильно распространяется среди различных пособий, я б даже сказала, что лет десять, а то может и больше никто в серьёз не брался за написание книг по этой теме. По моему мнению тема данной курсовой работы весьма актуально, не только для быстрой разгадки «Судоку», но и для общего развития и тренировки головы.

Объектом данной работы является: магический квадрат, как некий математический объект, способы его составления, область их применения.

Целью моей курсовой работы является:

Ш Изучение возникновения магический квадратов;

Ш Изучение способов и методов построения магических квадратов

Ш Изучение области их применения.

Задачами данной работы будут являются:

Ш Изучение исторических сведений;

Ш Научится быстро составлять простейшие магические квадраты;

Ш Изучить некоторые ходы работ различных методов;

Ш Выявить где применяются магические квадраты.



1. Что такое «Магический квадрат»?

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n² , суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы.

Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n). Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной

Числа, расположенные в клетках магического квадрата, составляют натуральные ряд, начинающей единицей и заканчивающий n².

Легко разделить все числа ряда только на две группы - чётные и нечётные. Число клеток в основании квадрата обычно обозначают латинской буквой n. Тогда общее число клеток квадрата равно n².

Вообще не обязательно, чтобы в клетках магического квадрата были записаны числа только натурального ряда, но здесь для простоты (и красоты) будут использованы только они, и начинаться они будут единицей.

Тогда последние члены рядов всегда будут равны n², то есть числу клеток квадрата. При расчетах часто приходится пользоваться величиной суммы обоих чисел пары, равноотстоящих от концов ряда, равной сумме первого и последнего членов ряда. Для нее нет общепринятого обозначения.

Для этого будет удобна греческая буква сигма (малая) - у=1+ n².

Сумма чисел в строке или в столбце, или в диагонали магического квадрата одна и та же. Она называется «постоянной» магического квадрата.

Ее обычно обозначают греческой буквой сигма (большой) -- но часто этой же буквой обозначают сумму вообще.

Пусть здесь «постоянная» будет обозначена большой сигмой с нулем под строчкой - У. Между у и имеется простая связь, одна и та же для магических квадратов любого размера.

Если n -- четное число, то число пар чисел в ряду равно . При нечетном n число пар равно . Сумма всех пар четного квадрата, совпадающая с суммой всех чисел квадрата, равна (. Сумма всех пар нечетного квадрата равна . Чтобы получить сумму всех чисел нечетного квадрата, надо добавить среднее число ряда, равное или . Она оказывается такой же, что у четного квадрата:

.

Следовательно, «постоянная» магического квадрата любого размера

. (1)

Где у=1+ n².

Условия равенства суммы элементов отдельных строк, столбцов или диагоналей числу У называется условием магичности этих строк, столбцов или диагоналей. Пример магического квадрата порядка 3 приведён на рисунке. Для него в согласии с формулой (1), У =15.



2. Из истории развития магических квадратов

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли. - ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма.

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий.

Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов разного порядка, составленных самим автором.

Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34.

Рисунок 2.1



Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата (рис. 2.1, а), а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (рис. 2.1, б). А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры - 1514 г.

В середине XVI в. в Европе появились первые сочинения, в которых магические квадраты предстали в качестве объектов математического исследования.

Так было положено начало их новой жизни. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений.

За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами.

Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.).

Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис. 2.2).



Рисунок 2.2

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.



3. Простейшие построения «Магического квадрата»

3.1 Порядка 3 (3 на 3)

Из чисел ряда подбираем группы. В каждой группе по n чисел (здесь по 3 числа). Сумма чисел каждой группы должна равняться У₀ (здесь У₀ = 15).

Готовые группы нужно так разместить в клетках квадрата, чтобы числа группы располагались прямыми рядами: по строкам, по столбцам и по диагоналям. Из 9 чисел натурального ряда можно составить только 8 групп:

1. 1 + 5 + 9 = 15 (в этой группе есть пара: 1 + 9 = у = 10)

2. 1 + 6 + 8 = 15

3. 2 + 4 + 9 = 15

4. 2 + 5 + 8 = 15 (2 + 8 = у)

5. 2 + 6 + 7 = 15

6. 3 + 4 + 8 = 15

7. 3 + 5 + 7 = 15 (3 + 7 = у)

8. 4 + 5 + 6 = 15 (4 + 6 = у)

Число 5 входит в 4 группы. Это значит, что клетка для числа 5 находится на пересечении четырех прямых рядов. В квадрате 3 ? 3 клетки есть только одна такая клетка - средняя (рис. 3.1, а).

Рисунок. 3.1 а) средняя клетка; б)угловая клетка; в)средняя клетка с края

Следовательно, число 5 должно находиться только в центре квадрата и нигде более. Каждые два числа, находящиеся в одной группе и в одном ряду с числом 5, составляют пару.

Эти пары располагаются симметрично по отношению к центру квадрата. Поэтому внутренняя структура будет обладать полной центральной симметрией.

Каждое четное число ряда встречается в трех группах. Это значит, что четные числа находятся на пересечении трех прямых рядов, то есть в угловых клетках (рис. 3.1, б).

Каждое из четырех оставшихся нечетных чисел - 1, 3, 7, 9 - входит только в 2 группы. Их место - в средних клетках по краям квадрата (рис. 3.1, в).

Если для записи единицы из четырех пригодных клеток выбрать среднюю клетку верхней строки, то для числа 9 оказывается пригодной только одна клетка - средняя на нижней строке. Теперь можно заполнить всю первую строку: 6 + 1 + 8 или 8 + 1 + 6. Это не два варианта, а только вариант и его не вариант.

Числа в нижних угловых клетках определяются диагоналями:

6 + 5 + 4 и 8 + 5 + 2.

Последние два числа 7 и 3 занимают свои места так, как подсказывают группы "5" и "6" (рис. 3.2).

Рисунок. 3.2 Построение магического квадрата

3.2 Порядка 4 (4 на 4)

Начнём построение магических квадратов 4 ? 4 с преобразования не магического квадрата такого же размера, заполненного числами от 1 до 16 в их естественном порядке. Задача решается (в одном только варианте), если поменять местами числа четырех пар: 2 и 15, 3 и 14, 5 и 12, 8 и 9 (рис. 2.4).

Рисунок. 3.4 Построение магического квадрата. Полученный таким способом квадрат оказывается магическим, а сам способ известен ещё со времён Дюрера. Амльбрехт Дюрер  -- немецкий живописеци график, признан крупнейшим европейским мастером ксилографии. Он сумел так расположить числа от 1 до 16, что сумма 34 .



4. Построение нечётного «Магического квадрата»

4.1 Линейный алгоритм

Линейный метод построения магических квадратов порядка n имеет вид:

(2)

Для практического применения этого метода весьма существенно, что из формулы (2) можно исключить координаты r и s. Действительно, очевидно, что если:

,

то , где []- знак целой части (наиболее целого числа, содержащегося в данном), и

(mod n).

Поэтому, формулы (2) можно переписать в следующем виде, не содержащем координаты r и s:

(3)

Подставляя в равенства (3) числа , получаем координаты ряда клеток, часть из которых будет лежать вне основного квадрата. Затем в каждую клетку надо вписать соответствующее число z, заменяя одновременно клетки, лежащие вне основного квадрата, эквивалентными клетками этого квадрата. В результате получим некоторое заполнение клеток основного квадрата числами от 1 до , которое и будет магическим квадратом, если только метод (2) правилен.

4.2 Классический алгоритм

4.2.1 Метод Баше Клод Гаспар Баше -  французский  математик, поэт, лингвист, переводчик.

Построение магических квадратов методом Баше, является наиболее простым. Он известен так же как метод террас.

Для построения магического квадрата по методу Баше следует выбрать на плоскости n соседних диагональных рядов, содержащих по n клеток и таких, что средняя клетка каждого ряда принадлежит нисходящей диагонали основного квадрата.

Клетки левого верхнего ряда заполняются снизу вверх числами 1, 2, …, n, клетки следующего ряда - числами n+1, n+2, …, 2n и вообще клетки p-го ряда, где 1?р?n, - числами .

Заполненные таким образом клетки частью расположены внутри основного квадрата, частью - вне его, причём внешнего клетки образуют по бокам основного квадрата четыре совершенно одинаковых выступа или террасы.

Легко видеть, что каждая пустая клетка основного квадрата эквивалентна одной и только одной клетке некоторой террасы.

Следовательно, перенеся клетки террас в основной квадрат, что легко достигается параллельным перенесением этих террас, мы заполним весь основной квадрат числами от 1 до n².

Оказывается, что получающийся таким образом числовой квадрат является магическим.

На рис. 4.1 образовавшиеся при заполнении клеток террасы обозначены римскими цифрами I, II, III и IV.

Рисунок 4.1

Для построения магического квадрата террасу I следует передвинуть параллельно самой себе так, чтобы линия AD совпала с линией ВС, террасу II передвинуть так, чтобы линия АВ совпала с линией DС, террасу III - так, чтобы линия BC совпала с линией AD и, наконец, террасу IV - так, чтобы линия DC совпала с линией AB. Получающийся в результате магический квадрат изображённый на рис. 4.2.



Рисунок 4.2

Для доказательства правильности метода Баше мы сдвинем второй сверху диагональный ряд вдоль его направления на n клеток вверх. Ясно, что при этом каждая клетка ряда заменяется ей эквивалентной.

Далее подобным же образом сдвинем третий ряд на 2n клеток вверх и вообще р-й ряд, где 1? р ?n, сдвинем на (р-1)n клеток вверх.

Без труда проверяется, что получившийся таким образом система клеток аналитически определяется формулами:

Отсюда вытекает, что

Метод Баше является линейным методом с коэффициентами

а₁= 1,b₁= 1,c₁= - m,

a₂= - 1,b₂= 1,c₂= m.



Для этого метода

Д= 2, d = n,d₁ = 1,d' = 1, d'₁ = n.

Следовательно, проверки требует лишь первое сравнение условия М. 3 и второе сравнение условия М. 4. В данном случае эти сравнения имеют вид.

,

2m (mod n).

и очевидным образом справедливы. Тем самым доказано, что метод Баше правилен для любого нечётного n.

По форме алгоритм метода Баше отличается от других алгоритмов. Однако, легко видеть, что он приводит к тому же магическому квадрату, что и другие алгоритмы.

4.2.2 Метод А де ла Лубера французского геометра 17 век

Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка

Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки.

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

Метод А де ла Лубера

Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево.

Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять иагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше.

Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.



5. Построение чётного «Магического квадрата»

5.1 Метод Раус - Бола

Он начинается с того, что квадрат заполняется слева направо и сверху вниз числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Затем выполняются перестановки чисел в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим. Сначала рассмотрим случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом четного порядка. Такой квадрат называется «четный - четный», Для примера возьмем квадрат 8го порядка. Правила построения четно-четного магического квадрата таковы:

1). Разделить заполненный числами от 1 до 82 квадрат на четыре равных квадрата порядка 4.

2). В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата порядка 4 отметить 2 (8=2*2*2) клетки (всего 8 клеток). Это можно сделать, применив "шахматный" порядок.



3). Для каждой из отмеченных клеток отметить симметричную ей относительно вертикальной оси клетку.

4).Содержимое каждой из отмеченных клеток переставить с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки.

После этих перестановок получится магический квадрат. Сумма его элементов равна 260.



5.2 Порядок, которого равен степени числа 2

Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.

1). Исходный квадрат делится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются диагональные элементы (например, символом *). Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева-направо и сверху-вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. Результат заполнения недиагональных элементов квадрата 8-го порядка показан на следующем рисунке:

2). Отмеченные на шаге 1 диагональные элементы квадрата заполняют пропущенными целыми числами в порядке возрастания в направлении справа-налево и снизу-вверх, а числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены.



Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260.



6. Магический квадрат Дюрера

Магический квадрат, воспроизведённый немецким художником Альбрехтом Дюрером на гравюре “Меланхолия”, известен всем исследователям магических квадратов.

Квадрат в привычном виде (рис. 6.1):

Рисунок 6.1

Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры - 1514.

Считают, что этот квадрат, так очаровавший Альбрехта Дюрера, пришёл в Западную Европу из Индии в начале XVI века. В Индии этот квадрат был известен в I веке нашей эры.

Предполагают, что магические квадраты были придуманы китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской рукописи, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Вот какой древний возраст у магических квадратов!

Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера.

Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец” и наоборот.

Основной квадрат данной группы вы видите на рис. 6.2.

Рисунок 6.2

Свойства данного квадрата:.

Свойство 1. Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+n2.

Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата - 34.

Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.

Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.

Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата.

Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. 4, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.

Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34, 4+3+14+13=34.

Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21. мозг клетка квадрат судоку

Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:

12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438

122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310

Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.

Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. 6.3), то:

· сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;

· равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:

122 + 142 + 32 + 52 = 152 + 92 + 82 + 22 = 374

123 + 143 + 33 + 53 = 153 + 93 + 83 + 23 = 4624



Рисунок 6.3

Вот такими свойствами обладает магический квадрат с рис. 5.2

Следует отметить, что в ассоциативном квадрате, каковым является рассматриваемый квадрат, можно выполнять ещё такие преобразования, как перестановка симметричных строк и/или столбцов. Например, на рис. 5.4 изображён квадрат, полученный из квадрата с рис. 4 перестановкой двух средних столбцов.

Рисунок 6.4

В полученных такими преобразованиями новых ассоциативных квадратах выполняются не все перечисленные выше свойства, но многие свойства имеют место. Читателям предлагается проверить выполнение свойств в квадрате с рис. 6.4.



7. Применение магических квадратов: Судоку: японские головоломки

Эту игру, также известную как магический квадрат придумал в 1783году швейцарский математик Леонард Эйлер. Судоку (яп. «су» - число, «доку» - рядом, стоящее отдельно) - японские числовые головоломки, где в квадрате 9х9 клеток нужно расставить числа от 1 до 9 особым образом.

Судоку различаются по уровню сложности, которые отличаются друг от друга количеством выставленных заранее цифр.

В настоящее время судоку широко распространены за пределами Японии: их любят разгадывать как взрослые, так и дети по всему миру



Заключение

На сегодняшней момент магические квадраты весьма распространены. Всё больше появляются различные дополнительные сборники по математике, в которых содержатся головоломки данного вида. Для того, что бы их с лёгкостью решить требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Так же благодаря решению таких задач будет прекрасна для «гимнастики ума».

В данной работе были рассмотрены такие части как: история, построение, виды, а так же применение магических квадратов. Из чего можно сказать, что магические квадраты - это весьма не сложный алгоритм распределения натуральных чисел от 1 до n в таблицу. После чего магический квадрат действительно становится магическим, хотя бы по тому, что сумма всех чисел в столбцах, строках и диагоналях, идентично постоянному числу У.

В результате данной курсовой работы, можно сделать вывод, что магические квадраты - это весьма нечто удивительное, интересное и увлекательное. Заполнение таких квадратов не требует особой сложно, только не обходимо знать некоторые правила их заполнения. Так же главными чертами магических квадратов являются не только ясность, чёткость и логика, но и эстетичность, стройность и красота.

Написав данную работу, я познакомилась с многими способами легкого и быстрого составления магических квадратов, историю их возникновения, а так же много интересного из жизни математики и магических квадратов.



Список литературы

1. Гуревич Е. Я. Тайна древнего талисмана, - М.: Наука, 1969.- 150с;

2. Постников М. М. магические квадраты. - М.: Наука, 1964.- 84с;

3. Магический квадрат Дюрера // http://www.klassikpoez.narod.ru/dyurer.htm;

4. Магические квадраты // http://www.docme.ru/doc/321733/magicheskie-kvadraty ;

5. Магические квадраты // https://ru.wikipedia.org/wiki

6. Магические квадрату // http://genius.pstu.ru/file.php



Приложение

I. Составление магического квадрата методом Баше порядка n = 11, У = 671 (высчитывается по формуле (1)) (рис. 1).

Рисунок 1

Получился, так скажем, ромб из чисел от 1 до 121.

После чего переносим те числа в квадрат которые не попали в него, но так что бы, если число стоит первое с право строки, то и переносится он первым в пустую клетку справа этой же строки (рис. 2).

И продолжать до тех пор пока не будет заполним квадрат целиком. После того как заполнится квадрат можно проверить его, посчитав сумму строк, столбцов и диагоналей сумма чисел должна равняться 671.



Рисунок 2

Размещено на Allbest.ru