Теория вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

23

1

ЗАДАЧА №1

При перевозке 100+=127 деталей, из которых 1+=28 были забракованы, утеряна 1 стандартная деталь. Какова вероятность, что наудачу извлеченная деталь (из оставшихся) окажется стандартной?

Решение:

Событие А - «наудачу извлеченная деталь (из оставшихся) является стандартной». По формуле классической вероятности: всего способов выбрать 1 деталь из оставшихся - 127-1=126, стандартную - 127-28-1=98, получаем P(A)=98/126=7/9.

Ответ: 7/9

ЗАДАЧА №2

На один ряд, состоящий из 4+=31 места, случайно садятся 4+=31 ученик. Найти вероятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом.

Решение:

Рассмотрим случайный эксперимент - рассаживание 31 ученика в ряд: элементарный исход - перестановка из 31 элемента, всего таких перестановок ;

Благоприятные исходы - те, в которых 3 конкретных ученика окажутся рядом.

Определим число таких исходов следующим образом: тройка учеников, сидящих рядом, имеет 29 вариантов своего размещения среди 31 ученика, поскольку «самый левый» из этой тройки может сидеть на местах с 1-ого по 29-ое. Внутри этой тройки число вариантов размещения учеников равно . Остальные 28 учеников могут размещаться на оставшихся 28 местах числом способов, равным . . Тогда число благоприятных элементарных исходов равно . Искомую вероятность определим по классической формуле вероятности:

Ответ:

ЗАДАЧА №3

Из урны, содержащей 10+=37 белых и 40-=13 черных шаров, вынимаются два шара.

а) Найти вероятность того, что шары разных цветов.

б) Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Решение:

а) Общее число вариантов выбрать 2 шара из 50 в урне равно , т.к. каждый вариант извлечения отличается лишь набором шаров, а порядок их появления не важен.

Количество способов выбрать 1 белый шар из 37 имеющихся белых шаров =37.

Количество способов выбрать 1 чёрный шар из 13 имеющихся чёрных шаров =13.

Количество способов выбрать 2 шара, из которых 1 белый и 1 чёрный, по основному принципу комбинаторики составляет 37*13=481. Это количество благоприятных исходов N(A)=481

Искомая вероятность равна отношению количества благоприятных исходов к количеству всех исходов:



P(A) = 0,393

б) Требуемую вероятность найдём как вероятность противоположного события:

P(B)=1-P(A)=1-0,393==0,607

Ответ: а) 0,393, б)

ЗАДАЧА №4

Имеются две урны. В первой лежат (5+=32 белых и (10+=37 черных шаров; во второй находятся (40-=13 белых и (7+=34 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар.

Какова вероятность после этого вынуть:

а) белый шар из I урны

б) белый шар из II урны.

Решение:

а) Пусть событие заключается в том, что из I урны достали белый шар.

Гипотеза Н1 заключается в том, что из первой урны во вторую переложили белый шар, её вероятность P(H1)=. При осуществлении этой гипотезы вероятность из I урны вынуть белый шар составляет PH1(A)=

Гипотеза H2 заключается в том, что из первой урны во вторую переложили чёрный шар, её вероятность P(H2)=. При осуществлении этой гипотезы вероятность из I урны вынуть белый шар составляет PH2(A)=

Вероятность события находим по формуле полной вероятности:

P(A)=PH1(A)*P(H1) + PH2(A)*P(H2)= 0,46

б) Пусть теперь событие заключается в том, что из II урны вынули белый шар.

Гипотеза H1 заключается в том, что из первой урны во вторую переложили белый шар, её вероятность P(H1)=. При осуществлении этой гипотезы вероятность из II урны вынуть белый шар составляет PH1(A)=. Гипотеза H2 заключается в том, что из первой урны во вторую переложили чёрный шар, её вероятность P(H2)=. При осуществлении этой гипотезы вероятность из II урны вынуть белый шар составляет PH2(A)=

Вероятность события находим по формуле полной вероятности:

P(A)=PH1(A)*P(H1) + PH2(A)*P(H2)= 0,28

Ответ: а) 0,46; б) 0,28

ЗАДАЧА №5

На I складе имеется 10+=37 изделий, из которых 3 бракованных; на II складе находятся 15+=42 изделия, из которых 5 бракованных. Из каждого склада выбирается по одному изделию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказалось не бракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада?

Решение:

Пусть событие заключается в том, что наугад выбранное изделие не бракованное.

Гипотеза H1 заключается в том, что изделие взято из I склада, её вероятность P(H1) = При осуществлении этой гипотезы вероятность того, что изделие не бракованное, составляет PH1(A)==.

Гипотеза H2 заключается в том, что изделие взято из II склада, её вероятность P(H2) = При осуществлении этой гипотезы вероятность того, что изделие не бракованное, составляет PH2(A)= =

Вероятность события находим по формуле полной вероятности:

P(A)=PH1(A)*P(H1) + PH2(A)*P(H2)= 0,8999

Вероятность того, что взятое наугад оказавшееся не бракованным изделие было взято из I склада (вероятность осуществления гипотезы H1, если событие уже произошло) находим по формуле Бейеса:

PA(H1)====0,5105

Ответ: PA(H1)0,5105

ЗАДАЧА №6

Среди (3+)=30 часов, поступивших в ремонт, 2 с поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить ряд распределения числа часов с поломками оси среди взятых трех. Найти функцию распределения дискретной случайной величины. Построить ее график.

Решение:

Вероятность того, что среди выбранных 3 часов 0 сломанных:



P(X=0)=

Вероятность того, что среди выбранных 3 часов 1 сломанные:

P(X=1)=

Вероятность того, что среди выбранных 3 часов 2 сломанных:

P(X=2)=

Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины - числа часов с поломками (табл. 1).

Табл. 1

	0	1	2

Контроль: .

Функция распределения вероятностей имеет вид (суммируем накопленные вероятности):

F(x)=



ЗАДАЧА №7

Даны независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределений:

	2	4
	0,7	0,3

	-1	0	1+=28
	0,4	0,1	0,5

Составить закон распределения их суммы - случайной величины Z=X+Y и проверить выполнение свойства математического ожидания:

М(X+Y)=M(X) + M(Y)

вероятность распределение сумма

Решение:

Найдём все возможные значения случайной величины Z=X+Y, рассматривая всевозможные сочетания значений Х и У, и вычислим вероятности принятия этих значений.

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

При : .

Составим закон распределения случайной величины Z=X+Y (табл. 2).



Табл. 2

	1	2	3	4	30	32
	0,28	0,07	0,12	0,03	0,35	0,15

Контроль: .

Найдём мат.ожидание:

.

Найдём мат.ожидания случайных величин Х и У:

,

16,2 = 2,6 + 13,6

Очевидно, выполняется

М(X+Y)=M(X) + M(Y).

ЗАДАЧА №8

Задана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина Х примет значение, большее 0,3+=27,3 но меньшее 0,7+=27,7. Найти плотность вероятности распределения случайной величины Х и ее дисперсию.

Решение:

Воспользуемся формулой:

P(a<X<b)=F(b)-F(a)

Если a=27,3, b=27,7,то:

P(27,3<X<27,7)= =F(27,7) - F(27,3)=1-1=0

Плотность вероятности найдём из условия :

f(x)

Найдём мат.ожидание:

M(X)= ==13,5

Найдём дисперсию:

D(X)= -182,25= -182,25=60,75



Ответ: M(X)=13,5; D(X)=60,75

ЗАДАЧА №9

Производится телефонный опрос потребителей некоторой продукции. Каждый потребитель независимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью =0,675. Составить закон распределения случайной величины Х - числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных потребителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных.

Решение:

У нас имеется 3 независимых испытания (3 ответа). Вероятность что в одном отдельном испытании будет дан положительный отзыв=0,675. Положительный отзыв может быть оставлен 0, 1, 2 и 3 раз(а). Условие задачи удовлетворяет схеме независимых испытаний Бернулли с параметрами p=0,675, q=1-0,675=0,325, n=3, k=0,1,2,3.Вероятность того, что интересующее нас событие появится в испытаниях раз, согласно формуле Бернулли составляет:

Получаем:

=1*1*0,0343=0,0343

=3*0,675*0,105625=0,2139

=3*0,4556*0,325=0,4443

=1*0,3075*1=0,3075

Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины (табл. 3).

Табл. 3

	0	1	2	3
	0,0343	0,2139	0,4443	0,3075

Контроль: .

Найдём мат.ожидание:

M(X)== 0*0,0343+1*0,2139+2*0,4443+3*0,3075=2,025

Найдём дисперсию:

D(X)=M()-4,7586-4,1006=0,658

Ответ: M(X)=2,025; D(X)=0,658

ЗАДАЧА №10

В большой партии телевизоров =27 процентов бракованных. При продаже телевизоры проверяются по одному до тех пор, пока не будет найден качественный телевизор. При этом бракованные телевизоры отправляются обратно на завод. Какова вероятность того, что на завод будет отправлено: а) более 3 телевизоров; б) от 4 до 6 телевизоров. Найти м.о. и с.к.о. числа проверенных телевизоров.

Решение:

Условие задачи удовлетворяет геометрическому распределению с параметрами p=0,27;

q=1-0,27=0,73.

Вероятность того, что будет проведено испытаний, составляет:

P (k)=q*,

число в степени p, а не q, т.к. мы ищем вероятность для не бракованных телевизоров

Для k=1,2,3,4,5,6,7 получаем:

P (X=1) =0,73*0,73*1=0,73

P (X=2) =0,73*0,73*0,27=0,1971

P (X=3) =0,73*0,73*0,0729=0,0532

P (X=4) =0,73*0,73*0,0197=0,0144

P (X=5) =0,73*0,73*0,0053=0,0039

P (X=6) =0,73*0,73*0,0014=0,001

P (X=7) =0,73*0,73*0,0004=0,0003

а) Требуемую вероятность найдём как вероятность противоположного события (будет отправлено не более 3 телевизоров, т. е. проведено не более 4 испытаний - 4-e испытание - попался качественный):

P()=1-(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4))=1-(0,73+0,1971+0,0532+0,0144)=1-0,9947=0,0053

б) Данное событие означает, что проведено от 5 до 7 испытаний:

P()=P(5)+P(6)+P(7)= 0,0039+0,001+0,0003=0,0052

Найдём мат.ожидание (по формуле для геометрического распределения):

M(X)=

Найдём с.к.о.:

0,506662

Ответ: P(X > 3)=0,0053; M(X)1,369863; 0,506662

ЗАДАЧА №11

К киоску в среднем подходят =27 покупателей в час. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что за 2 часа к киоску подойдет: а) менее 2 покупателей; б) хотя бы 1 покупатель. Найти м.о. и с.к.о. числа покупателей за 1 час.

Решение:

Рассмотрим случайную величину X - количество покупателей, подходящих к киоску за 2 часа. Поскольку поток покупателей является простейшим, то случайная величина X имеет распределение Пуассона. Найдем его параметр. Интенсивность потока (среднее число событий, появляющихся за время t):. Параметр распределения Пуассона: a=л*t =*2=54. Для распределения Пуассона:

=

Теперь, используя формулу Пуассона, найдем искомые вероятности.

а) Менее 2-х покупателей это либо 0, либо 1. Следовательно, k=0;1

P(X)=P(X=0)+P(X=1)=

1,942946 Ч 10^?22

б) Хотя бы один покупатель - противоположно событию ни одного:

P(X) =1-P(X=0) =1-

Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:

M(X) =np=л, M(X) =27

D(X) = =27

5,1962

Ответ: P(X)1,942946 Ч 10^?22 ; P(X); M(X) =27; D(X) =27; 5,1962

ЗАДАЧА №12

Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из =1070 изделий окажется не более двух бракованных.

Решение:

Условие задачи удовлетворяет схеме независимых испытаний Бернулли с параметрами , n=1070. Не более двух бракованных - это 0, 1 и 2, то есть k=0;1;2.

Поскольку велико, а р мало, то можно использовать распределение Пуассона с параметром . Вероятность наступления события раз в этом случае составляет:

Найдём вероятности для :

Вероятность того, что в партии окажется не более двух бракованных изделий:

P(0)=

P(1)=

P(2)=

P(X)=P(0)+P(1)+P(2)=0,9083

Ответ: P(X)0,9083

ЗАДАЧА №13

При измерении большого земельного участка его длина округляется до ближайшего целого числа метров. Какова вероятность того, что возникающая при этом ошибка а) не превысит =37 см; б) будет лежать в пределах от =32 см до 60 см. Найти м.о. и с.к.о. ошибки округления.

Решение:

Рассмотрим случайную величину Х -нецелая часть, полученная при измерении. Можно считать, что эта сл.вел. распределена равномерно на интервале (0;100). Тогда плотность распределения p(x)=1/100-0=1/100.

а) Вероятность того, что ошибка не превысит 37 см. Событие А - ошибка не превысила 37 см.

Оно может произойти на интервале (0;37) или (63;100), т.е. a=0, b=100. Данные интервалы не пересекаются, поэтому:

б) Найти вероятность того, что ошибка будет лежать в пределах от 32 см до 60 см. Событие В - допущена ошибка в пределах от 32 до 60 см. Тогда a=32, b=60:

M(X) =

=28,87

Ответ: M(X)=50; 28,87

ЗАДАЧА №14

К киоску покупатели подходят в среднем через каждые =27 минут. Киоск начинает работу в 9 часов утра. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что между 3 и 4 покупателем (от начала рабочего дня) пройдет: а) не менее =29 минут; б) от=28 до =30 минут. Найти мат.ожидание и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя.

Решение:

Время между двумя покупателями (любыми, т. к. поток простейший, стационарный) - случайная величина, распределённая по показательному закону.

F(x)=

P(X)=

А) P(X)=1-=1-0,6584

Б) P(X)=-=-0,02531

Теперь найдем мат.ожидание. До 10 часов могут прийти 3 человека (в 9:00, в 9:27 и в 9:54, следующий придет уже в 10:21). Следовательно, . Тогда

M(X)=

D(X)=778

Ответ: P(X)0,6584; P(X)0,02531; M(X); D(X)778

ЗАДАЧА №15

Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием =54 и средним квадратическим отклонением =27 Найти вероятность того, что ее значение

а) будет отрицательным;

б) будет лежать в пределах от -1 до 3;

в) будет отличаться от среднего не более чем на 2.

Решение:

M(X)=a=54,

а) Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (б;в) определяется формулой:

P(б<X<в)= Ф() - Ф(),

где Ф - функция Лапласа, которую находим по соответствующей таблице. Тогда:

б) Отметим свойства непрерывных случайных величин:

P()= P()= P()= P()

P()= Ф()-Ф()=Ф(-1,9)-Ф(-) =

-Ф(1,89)+Ф()= -0,4706+0,4793=0,0087

в)Воспользуемся формулой

P()=2Ф()

У нас a=54, , . Подставляя сюда данные задачи, получаем:

P()=2Ф()= 2Ф(0,074)=2*0.0279=0,0558

Ответ: P()= 0,0087; P()= 0,0558



ЗАДАЧА №16

В результате измерения массы большого числа яблок некоторого сорта установлено, что масса одного яблока лежит в пределах от =127 до =470 граммов. Считая, что масса яблока - случайная величина, имеющая нормальное распределение, и используя правило «трех сигм», найти математическое ожидание и с.к.о. массы яблока. Найти вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше =227 граммов.

Решение:

Правило 3-х сигм:

P () = P(-3)

P(127=P(127)

Составим и решим систему:

Воспользуемся формулой вероятности попадания случайной величины в интервал:

P () = Ф() - Ф()

P(X) = P(227) = Ф() - Ф()=Ф(+)+Ф(1,25)=0,5+0,3944=0,8944

Ответ: M(X)=a=298,5; ; P(X) =0,8944

ЗАДАЧА №17

Проведена серия из 15 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины: (32;30;31;29;29;31;31;32;29;33;30;31;28;30;31).

По данной выборке требуется:

1) построить дискретный вариационный ряд;

2) определить численное значение моды и медианы ;

3) построить ряд распределения частот

4) построить выборочную функцию распределения и ее график;

5) найти несмещенную оценку генеральной средней;

6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение:

1) Построим дискретный вариационный ряд (табл. 4).

Табл. 4

	28	29	29	29	30	30	30	31	31	31	31	31	32	32	33

2) Модой Mo вариационного ряда в случае дискретного изменения признака называется наиболее часто встречающийся вариант. У нас:

Mo=31.

Медианой Ме дискретного вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов - полусумме двух серединных вариантов:

Me=x_(n+1)/2,

если n - нечетное,

Me=1/2(x_n/2 +x_((n/2)+1)),

если n - четное.

Так как n=15, то используем первую формулу:

Ме= x₈=31.

3) Строим ряд распределения частот. (Табл. 5)

Табл. 5

, Значения	28	29	30	31	32	33
, Частоты	1	3	3	5	2	1

Проверка

4) Найдём выборочную функцию распределения:



График выборочной функции распределения:

5) Найдём несмещенную оценку генеральной средней:

X_в= ==30,467

6) Выборочная дисперсия:

D_в=-)²= -( )²= , 7156

Выборочное с.к.о.:

Исправленная дисперсия:

S²= D_в =

Исправленное с.к.о.:

S=1,3558

Ответ: Mo=31; Ме=31; X_в30,467; D_в, 7156; S²S1,3558

ЗАДАЧА №18

Проведена серия из 30 экспериментов со случайной величиной X. По результатам наблюдений получена выборка значений этой случайной величины: (27; 32; 28,5; 33; 29,5; 27; 30; 31; 27,5; 29; 31; 30; 27,5; 32,5; 31,5; 30; 30; 27; 30,5; 30; 28,5; 33; 28; 31; 32; 29; 30; 27; 30;29,5).

По данной выборке требуется:

1) построить интервальный вариационный ряд, определив количество групп по формуле Стерджесса;

2) определить численное значение моды и медианы ;

3)дать графическое изображение ряда в виде гистограммы частот, полигона и кумуляты;

4)построить выборочную функцию распределения;

5)найти несмещенную оценку генеральной средней;

6)найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дисперсии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение:

1) Расположим варианты в порядке возрастания, т.е. осуществим ранжирование вариантов ряда (табл. 6).

Табл. 6

, значение	27	27,5	28	28,5	29	29,5	30	30,5	31	31,5	32	32,5	33
, Частота	4	2	1	2	2	2	7	1	3	1	2	1	2

Составим интервальный ряд. Данную область изменения признака разбиваем на k частных интервалов. Число интервалов определяем по формуле Стерджесса:

k=1 +.

У нас k=1 + 3,32*lg30=1+4,9=5,9.

Примем k=6 - количество интервалов.

Рассчитаем длину одного интервала:

h= =

Сведём все расчеты в табл. 7.

Табл. 7

№ интервала	Интервал СВ с h=1 - длина интервала		- частота	- относительная частота	- накопленные частоты	Накопленная относительная частота
1	27-28	27,5	6
2	28-29	28,5	3
3	29-30	29,5	4
4	30-31	30,5	8
5	31-32	31,5	4
6	32-33	32,5	5		30

Здесь - это номер интервала.

- это среднее значение интервала.

n_i является частотой и определяется из таблицы 6 исходных данных путем определения принадлежности каждой варианты к тому или иному частному интервалу. Частоты, попадающие на границу интервала, разделены между интервалами пополам.

Относительная частота (или доля) определяется как отношение частоты к объему выборки :

.

2) Для интервального вариационного ряда мода - середина интервала с наибольшей частотой. У нас этот интервал под номером 4 = 30-31:

Моx_Mo+h*

x_Mo30 - нижняя граница модального интервала.

h=1 - длина модального интервала.

относительная частота модального интервала.

- относительная частота интервала, который предшествует модальному.

относительная частота интервала, который следует за модальным.

Мо33+1*=33,5

Находим место медианы:

N_Me

Для интервального ряда медиана - середина первого интервала, на котором накопленные относительные частоты превысили значение 0,5*n=15. Это 4 промежуток (30-31). Формула медианы:

Меx_Me+h*

x_Me- нижняя граница медианного интервала (30)

h - длина интервала (1)

- половина суммы накопленных частот )

- относительная частота медианного интервала ()

- накопленная относительная частота интервала, предшествующего медианному ()

Ме=30+1*30,25

3) Гистограмма относительных частот - фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями им служат частичные интервалы, а высотами - отношение n_i/h.

Для построения полигона частот надо соединить середины верхних оснований ломаной линией.

Построение кумуляты. По оси ОУ откладываются накопленные частоты, по оси ОХ - интервалы. Нижней границе первого интервала соответствует частота, равная 0, а верхней границе последнего интервала - вся частота интервала.

4)Для построения выборочной функции составим таблицу

№ интервала	Середина интервала x'i	Частота ni	Относительная частота	x'i* ni	(x'i - x?)2*ni
1	27,5	6	6/30	165	38,4054
2	28,5	3	3/30	85,5	7,0227
3	29,5	4	4/30	118	1,1236
4	30,5	8	8/30	244	1,62
5	31,5	4	4/30	126	8,6436
6	32,5	5	5/30	162,5	30,5045
		30	1	901	87,3198

F(X)=

График выборочной функции распределения:

5)Найдем несмещенную оценку генеральной средней

x?==, где x'i - середина интервала

6) Найдем несмещенную и смещенную оценки генеральной дисперсии и соответствующие оценки среднего квадратичного отклонения.

D==-смещенная

S²= - несмещенная

S=

Ответ: k=6; Мо; Ме=30,25; x?; D; ; S²S

Размещено на Allbest.ru