Численные методы решения математических задач метрологии
Ознакомление с основными методами решения нелинейных уравнений. Исследование и характеристика специальных способов решения определенных интегралов: правых прямоугольников и трапеций. Рассмотрение и анализ особенностей методов Эйлера и Рунге-Кутта.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.11.2015 |
| Размер файла | 1,7 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»
Технологии ЦБП
Контрольная работа
По дисциплине: «Численные методы в метрологии»
На тему: «Численные методы решения математических задач метрологии»
Карманов Никита Владимирович
ИнститутТиПХкурс1группа1
221700.62 стандартизация и метрология
Руководитель доцент: М.Л. Демидов
Архангельск 2014
Оглавление
Введение
1. Методы решения нелинейных уравнений
1.1 Метод Хорд
1.2 Метод Ньютона
1.3 Метод половинного деления
2. Методы решения определенных интегралов
2.1 Метод правых прямоугольников
2.2 Метод трапеций
2.3 Метод Симпсона
3. Методы решения дифференциальных уравнений
3.1 Метод Эйлера
3.2 Модифицированный метод Эйлера
3.3 Метод Рунге-Кутта
Список использованных источников
Введение
Microsoft Excel - программа для создания, редактирования и обработки электронных таблиц, выполнения расчетов, построения диаграмм и так далее. Файл Excel представляет собой Книгу, состоящую из листов- Лист1, Лист2 и так далее. Столбцы электронной таблицы имеют заголовок: A,B,C,D,…, а строки - 1,2,3,… Каждая ячейка имеет адрес, составленный из номера столбца и номера строки - А5, D7,… В любую ячейку можно ввести число, формулу, текст.
Формула начинается со знака «=», в формулу вводятся только числа, адреса ячеек и функции, соединенные между собой знаками арифметических операций. Аргументами функции могут быть: числа; ссылки на ячейки и диапазоны ячеек; имена; текст; другие функции; логические значения и так далее. Если набранная последовательность не является ни числом, ни формулой, она считается текстом и не подвергается каким-либо преобразованиям. уравнение прямоугольник эйлер интеграл
Формула может содержать ссылки, то есть адреса ячеек, содержимое которых используется в вычислениях. Это означает, что результат вычисления формулы зависит от числа, находящегося в другой ячейке. Ячейка, содержащая формулу, таким образом, является зависимой. Значение, отображаемое в ячейке с формулой, пересчитывается при изменении значения ячейки, на которую указывает ссылка.
Ссылку на ячейку можно задать разными способами. Во-первых, адрес ячейки можно ввести вручную. Другой способ состоит в щелчке на нужной ячейке или выборе диапазона, адрес которого требуется ввести. Ячейка или диапазон при этом выделяются пунктирной рамкой.
По умолчанию, ссылки на ячейки в формулах рассматриваются как относительные. Это означает, что при копировании формулы адреса в ссылках автоматически изменяются в соответствии с относительным расположением исходной ячейки и создаваемой копии.
Пусть, например, в ячейке В2 имеется ссылка на ячейку АЗ. В относительном представлении можно сказать, что ссылка указывает на ячейку, которая располагается на один столбец левее и на одну строку ниже данной. Если формула будет скопирована в другую ячейку, то такое относительное указание ссылки сохранится.
При абсолютной адресации адреса ссылок при копировании не изменяются, так что ячейка, на которую указывает ссылка, рассматривается как нетабличная. Для изменения способа адресации при редактировании формулы надо выделить ссылку на ячейку и нажать клавишу F4. Элементы номера ячейки, использующие абсолютную адресацию, предваряются символом $. Например, при последовательных нажатиях клавиши F4 номер ячейки А1 будет записываться как А1,$А$1,А$1 и $А1.В двух последних случаях один из компонентов номера ячейки рассматривается как абсолютный, а другой - как относительный.
Все вычисления начинаются с ячейки, расположенной на пересечении первой строки и первого столбца электронной таблицы. Вычисления проводятся в естественном порядке, то есть если в очередной ячейке находится формула, включающая адрес еще не вычисленной ячейки, то вычисления по этой формуле откладываются до тех пор, пока значение в ячейке, от которого зависит формула, не будет определено. При каждом вводе нового значения в ячейку документ пересчитывается заново, - выполняется автоматический пересчет.
Excel различает форматирование всей ячейки и форматирование содержимого ячейки. Форматированием называется изменение внешнего оформления таблиц и данных в них. К форматированию ячеек относится: изменение шрифта содержимого ячеек, выравнивание данных в ячейках, представление чисел в разных форматах, оформление границ ячеек, и так далее.
Копирование и перемещение ячеек в программе Excel можно осуществлять методом перетаскивания или через буфер обмена. При работе с небольшим числом ячеек удобно использовать первый метод, при работе с большими диапазонами - второй.
1. Методы решения нелинейных уравнений
1.1 Метод Хорд
В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции f(x), имеющим противоположные знаки. Через точки, соединяющие значения функций f(a) и f(b) на концах отрезка [a,b], проводят прямую пересекающую ось в точке .
Рисунок 1.1.1 - Метод Хорд в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 1.1.2 - Геометрический смысл метода Хорд
Рисунок 1.1.3 - Метод Хорд в MS Excel в режиме отображения формул
1.2 Метод Ньютона
В методе Ньютона для нахождения корня используют значения производной. Этот метод основан на замене исходной функции f(x) на каждом шаге поиска касательной, проведенной в этой точке. Пересечение касательной с осью х дает приближенное значение.
Значение xn-1 соответствует точке, в которой касательная к кривой в точке xn пересекает ось х. Так как кривая f(x) отлична от прямой, то значение функции f(xn+1) не будет в точности равно нулю. Поэтому вся процедура повторяется, причем вместо xn используют xn+1 будет меньше или равна числу е, т.е. ?xn-xn+1??е
Рисунок 1.2.1 - Метод Ньютона в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 1.2.2 - Геометрический смысл метода Ньютона
Рисунок 1.2.3 - Метод Ньютона в MS Excel в режиме отображения формул
1.3 Метод половинного деления
Алгоритм решения задачи методом половинного деления состоит из следующих операций. трезок [a,b] делят пополам точкой с (с=(a+b)/2) и находят значение функции в точке с.Если f(c)=0,то корень уравнения соответствует точке с. Если f(c)?0, то можно сузить диапазон поиска корня. Если f(a)f(c)<0,то корень находится на отрезке [a,c], и точку будем считать точкой b; а если f(a)f(c)>0, то корень находится на отрезке [c,b], и точку с будем считать точкой a. Каждый такой шаг уменьшаем в два раза интервал, в котором находится корень уравнения f(x)=0. После нескольких шагов получится отрезок, длина которого будет меньше или равна числу е, т.е.?a-b ??е. Любая точка отрезка, например один из его концов ,подходит в качестве решения поставленной задачи.
Рисунок 1.3.1 - Метод Половинного деления в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 1.3.2 - Геометрический смысл метода половинного деления
Рисунок 1.3.2 Метод половинного деления в MS Excel в режиме отображения формул
2. Методы решения определенных интегралов
2.1 Метод левых прямоугольников
Эти методы численного интегрирования основываются на геометрическом смысле интеграла. Как известно интеграл есть площадь криволинейной трапеции ограниченной подынтегральной функцией f(x) на отрезке [a,b]. Для вычисления интеграла отрезок [a,b] разбивают на n отрезков длиной h. На каждом отрезке криволинейную трапецию приближают прямоугольником, так как его площадь можно легко вычислить. Затем суммируют все полученные площади, получая тем самым приближённое значение интеграла.
Шаг интегрирования
,
Площадь элементарной фигуры
,
Таким образом, для вычисления определенного интеграла методом правых прямоугольников достаточно вычислить сумму значений подынтегральной функции, начиная с первого значения и до предпоследнего и умножить эту сумму на шаг интегрирования. Преимущества метода является его простота, недостатком - сравнительно невысокая точность.
Рисунок 2.1.1 - Метод левых прямоугольников в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 2.1.2 - Геометрический смысл метода левых прямоугольников
Рисунок 2.1.3 - Метод левых прямоугольников в MS Excel в режиме отображения формул
2.2 Метод трапеций
Сущность интегрирования методом трапеций составляет кусочно-линейная аппроксимация подынтегральной функции. Соседние точки (xi,yj) и (xi+1,yj+1), заданные таблицей в интервале a?x?b, соединяются прямыми. Если x0=a, а xn=b, то интеграл будет представлять собой сумму площадей n трапеций высотой h каждая.
Таким образом, для вычисления определенного интеграла методом трапеций надо вычислить сумму значений подынтегральной функции в узлах интегрирования между a и b и умножить эту сумму на шаг интегрирования. К полученному значению прибавляется полусумма значений подынтегральной функции на концах отрезка, умноженная на шаг интегрирования. Совершенно очевидно, что чем меньше интервалы, через которое задается значение функции, тем с большей точностью будет вычислен определенный интеграл.
Рисунок 2.2.1 - Метод трапеций в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 2.2.2 - Метод Трапеций в MS Excel в режиме отображения формул
2.3 Метод Симпсона
Повысить точность результата вычисления определенного интеграла можно, если заменить линейную аппроксимацию, используемую в методе трапеций, кусочной аппроксимацией кривыми.
Для вычисления определенного интеграла методом Симпсона надо вычислить отдельно суммы значений подынтегральной функции в узлах интегрирования между a и b в четных и нечетных точках. Сумма, полученная для нечетных точек, умножается на 4, а сумма для четных точек - на 2. К полученным двум суммам прибавляется сумма значений подынтегральной функции на концах отрезка. Полученный итог умножается на 1/3 шага интегрирования.
Рисунок 2.3.1 - Метод Симпсона в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 2.3.2 - Метод Симпсона в MS Excel в режиме отображения формул
3. Методы решения дифференциальных уравнений
3.1 Метод Эйлера
1. При разложении функции в ряд Тейлора, отбрасываются производные 2-го и более порядков. Получаем: yn+1=yn+h*y'(xn),y'(x)=f(x,y).
2. Можно вывести формулу, рекуррентную методу Эйлера: yn+1=yn+h*y'(xn,yn).
3. Ошибкой метода имеет порядок h2
Рисунок 3.1.1 - Метод Эйлера в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 3.1.2 - Метод Эйлера в MS Excel в режиме отображения формул
3.2 Модифицированный метод Эйлера
1. Сначала по методу Эйлера вычисляется значение функции в следующей точке, которое используется для вычисления приближённого значения производной в конце интервала.
2. Вычислив среднее между производной и ее значением в начале интервала найдем более точное значение по формуле: yi+1+1=yi+1/2h(f(xi;yi)+f(xi+1;yi+1)).
3. Ошибкой метода составляет величина, равная h2
Рисунок 3.2.1 - Модифицированный метод Эйлера в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 3.2.2 - Модифицированный метод Эйлера в MS Excel в режиме отображения формул
3.3 Метод Рунге-Кутта
1. Для повышения тонности вычисления значения функции требуется проведение дополнительных вычислений внутри интервала h, т.е. между xi и xi+1.
2. Этот метод даёт набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для достижения точности. Для решения используется формула:
3. Ошибкой метода составляет величина, равная h4
Рисунок 3.3.1 - Метод Рунге-Кутта в MS Excel в режиме отображения значений
Рисунок 3.3.2 - Метод Рунде-Кутта в MS Excel в режиме отображения формул
Рисунок 3.3.3 - График с четырьмя кривыми
Список использованных источников
1. Зайцева, О.С. Численные методы: Учебное пособие. Часть 1 / О.С. Зайцева. - Тобольск: Изд-во ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 2005. - 75 с.
2. Каганов, В.И. Компьютерные вычисления в средах Excel и MathCAD / В.И. Каганов.- М.: Горячая линия - Телеком, 2003. - 328 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
курсовая работа [322,7 K], добавлен 27.04.2011Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.
курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010Изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений. Составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке Фортран - IV. Приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
методичка [150,8 K], добавлен 27.11.2009Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.
практическая работа [46,1 K], добавлен 06.06.2011Общая характеристика и особенности двух методов решения обычных дифференциальных уравнений – Эйлера первого порядка точности и Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Листинг программы для решения обычного дифференциального уравнения в Visual Basic.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.06.2010Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия.
курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012Методы решения нелинейных уравнений: касательных и хорд, результаты их вычислений. Алгоритм и блок схема метода секущих. Исследование характерных примеров для практического сравнения эффективности рассмотренных методов разрешения нелинейных уравнений.
дипломная работа [793,2 K], добавлен 09.04.2015- Основы вычислительной математики и использование системы Mathcad 14 для решения вычислительных задач
Методы, используемые при работе с матрицами, системами нелинейных и дифференциальных уравнений. Вычисление определенных интегралов. Нахождение экстремумов функции. Преобразования Фурье и Лапласа. Способы решения вычислительных задач с помощью Mathcad.
учебное пособие [1,6 M], добавлен 15.12.2013 Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013Анализ методов решения систем нелинейных уравнений. Простая итерация, преобразование Эйткена, метод Ньютона и его модификации, квазиньютоновские и другие итерационные методы решения. Реализация итерационных методов с помощью математического пакета Maple.
курсовая работа [820,5 K], добавлен 22.08.2010
