Пряма у просторі і на комплексному кресленні

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пряма у просторі і на комплексному кресленні

Проектування прямої на дві площини проекцій

При ортогональному проектуванні на площину пряма проектується у пряму (друга інваріантна властивість паралельного проектування). Тому для визначення проекції прямої достатньо знати проекції двох нетотожних точок, які належать цієї прямій.

Побудуємо проекції відрізку АВ , який показано на мал 1, в системі П1П2.

Мал. 1

Для цього спроектуємо відрізок на горизонтальну і фронтальну площини - з точок А і В опустимо перпендикуляри до площин через кінці відрізку (проведемо проектувальні промені). Точки перетину проектувальних променів і площин проекцій (А1, А2, В1 і В2) є проекціями точок, мал. 2.

Мал. 2

Тепер побудуємо епюр - сумістимо площину П1 з площиною П2, повернувши горизонтальну площину навколо осі х12 на кут 90О. Пряму на епюрі можна задати також не тільки проекціями її відрізку, але й проекціями деякої довільної частини прямої без фіксації її кінців, мал. 3.

Мал.3

Креслення дозволяє судити про розташування прямої у просторі. Якщо подивитися на фронтальну проекцію А2В2, можна побачити, що точка В2 розташована вище, чим точка А2; це означає, що точка В у просторі розташована вище, чим точка А. З горизонтальної проекції А1В1 видно, що проекція А1 знаходиться далі від осі проектування х12, чим проекція В1. Звідси можна зробити висновок, що точка А у просторі розташована далі від фронтальної площини П2, чим точка В, або інакше, точка А ближче до нас, чим точка В.

Таким чином, ми одержали уяву про розташування прямої у просторі - коли пряма АВ видаляється від нас, вона підіймається вгору.

Подібне розбирання креслень називається їх читанням.

Горизонтальна проекція відрізку А1В1 може бути одержана шляхом проведення через відрізок АВ площини , яка є перпендикулярною до горизонтальної площини проекцій П1, мал. 4.

Мал.4

Площина представляє собою трапецію АВВ1А1, яку заштриховано на мал. 4. Площини, за допомогою яких прямі проектуються на площини проекцій, називають проектуючими. Так площина проектує відрізок на горизонтальну площину проекцій і має назву горизонтально проектуюча. Площина АВ А2В2 проектує відрізок АВ на фронтальну площину проекцій. Вина носить назву фронтально проектуюча і означається буквою .

Проектування прямої на три площини проекцій

Введемо третю площину проекцій П3 - профільну і спроектуємо на неї відрізок АВ, мал. 5.

Мал.5

Для цього з точок А і В опустимо перпендикуляри на профільну площину проекцій П3. Точки, які одержані з'єднаємо прямою. Відрізок А3В3 буде профільною проекцією відрізку АВ. Побудуємо комплексне кресленні. Для цього сумістимо площини П1 і П2 з профільною площиною проекцій П3. Таке креслення є більш наочним. Але (як відомо з минулої лекції) якщо відомо дві проекції точки, то завжди можна побудувати її третю проекцію. Якщо відомі дві проекції прямої, то завжди можна одержати третю.

Розглянемо приклад 1: побудувати третю проекцію відрізку СD, якщо відомі його горизонтальна С1D1 і фронтальна С2D2 проекції, мал. 6.

Мал.6

Правіше від заданого відрізку (тобто двох його проекцій) проводимо ось z23у1 перпендикулярно до осі х12, мал. 7. Одержуємо точку О - начало координат. Для побудування профільної проекції точки с проводимо горизонтальну лінію зв'язку С2zС і продовжуємо її за ось z23. Через горизонтальну проекцію точки С1 проводимо лінію зв'язку С1уС. На осі у3 відкладаємо відрізок ОуС і продовжуємо лінію зв'язку до перетину з горизонтальною лінією зв'язку С2zС у точці С3, яка є профільною проекцією точки С. Аналогічно визначаємо профільну проекцію точки D - точку D3. Якщо з'єднати точки С3 і D3 одержимо фронтальну проекцію відрізку С D - відрізок С3 і D3.

Мал.7

При необхідності можна визначити і записати координати точок С і D. Для цього необхідно поміряти абсциси хС і хD, ординати уС і уD, а також аплікати zС і zD. Для розглянутого випадку, якщо прийняти одну клітку за одиницю вимірювання: С(3; 2; 2) і D(1; 1; 1).

Відносне положення точки і прямої

Побудуємо горизонтальну проекцію прямої АВ за допомогою горизонтально-проектуючої площини , як показано на мал. 4. Лінія А1В1 - лінія перетину площини з горизонтальною площиною проекцій П1 є горизонтальною проекцією лінії АВ, мал. 8. Візьмемо на прямій АВ точку С і побудуємо її горизонтальну проекцію С1. Для цього опустимо через точку С перпендикуляр (проектувальний промінь) на площину П1 і знайдемо точку зустрічі променя і площини - точку С1. Перпендикуляр, який опущений з точки С на площину П1, належить горизонтально проектуючій площині і вийти з неї не може, тому точка зустрічі буде лежати на лінії перетину площин W і П1, тобто у точці С1, яка лежить на горизонтальній проекції А1В1 прямої АВ.

Мал.8

Аналогічно можна довести, що фронтальна проекція С2 точки С буде лежати на фронтальній проекції А2В2 прямої АВ, мал. 8.

Мал.8

Точка С ділить відрізок АВ у певному відношенні, наприклад 1: 2 (мал. 9).

Мал.9

Продовжимо відрізок АВ і його проекцію А1В1 до взаємного перетину. При цьому утворюється відома з геометрії картина: сторони кута будуть перетинатись низкою паралельних між собою прямих АА1, СС1 і ВВ1. Для того, щоб знайти точку на прямій, яка знаходиться на однаковій відстані від горизонтальної і фронтальної площини проекцій є два методи: метод середньої лінії і метод накладення.

Пряма задана її двома проекціями. Знайти на ній точки, які є рівновіддаленими від площин П1 і П2.

Метод середньої лінії. Побудування проекцій шуканої точки С показано на мал. 10.

Мал.10

Відрізок А1А2 ділять точкою А0 на дві рівні частини. Відрізок В1В2 ділять точкою В0 також на дві рівні частини. З'єднують прямою точки А0 і В0. Будують точку С - точку перетину осі проекцій х12 і відрізку А0В0 . Від точки С проводять перпендикуляри до перетину з проекціями відрізку АВ. Точка перетину перпендикуляру і відрізку А1В1 - точка С1 буде горизонтальною проекцією шуканої точки С, а точка перетину перпендикуляру і відрізку А2В2 - точка С2 буде її фронтальною проекцією.

Метод накладення. Побудування проекцій шуканої точки С показано на мал. 11.

Мал.11

На вертикальній лінії зв'язку точки А будують точку А0. Таку, що відстань від неї до точки Ах[A1Ai]=[AiAi] дорівнює відстані від точки А1 до точки Ах: . Аналогічно будують точку В0:[A1Ai]=[AiAi] . З"єднують точки А0 і В0 прямою. Точка перетину відрізків[AiAi]i[A2A2] і - точка С2 є фронтальною проекцією точки С. Точка перетину перпендикуляру, який опущений з точки С2, і відрізку А1В1 є горизонтальною проекцією точки С2.

Сліди прямої

Точка перетину прямої з площиною проекцій називається слідом прямої.

Пряма загального положення (похила до усіх трьох площин проекцій) перетинає всі три площини проекцій, отже, вона має три сліди:

M - горизонтальний слід

N - фронтальний слід

P - профільний слід

Розглянемо пряму m, яку задано горизонтальною і фронтальною проекціями m1 і m2, рис. 12. Епюр показаний на мал. 13.

Мал.12

Мал.13

M1 - горизонтальна проекція горизонтального сліду;

M2 - фронтальна проекція горизонтального сліду;

N1 - горизонтальна проекція фронтального сліду;

N2 - фронтальна проекція фронтального сліду;

Для знаходження горизонтального сліду прямої необхідно:

1. на епюрі продовжити фронтальну проекцію прямої до перетину її з віссю х12;

2. з точки перетину M2 - фронтальної проекції горизонтального сліду, провести перпендикуляр до перетину з горизонтальною проекцією прямої;

3. точка перетину M1 є горизонтальною проекцією горизонтального сліду, яка співпадає з самим горизонтальним слідом M.

Алгоритм визначення горизонтального сліду виглядає так:

M = (m2 З x12 = M2); (a ^ x12, M2 О a); a З m1=M1.

Для знаходження фронтального сліду прямою необхідно:

на епюрі продовжити горизонтальну проекцію прямої до перетину її з віссю х12;

з точки перетину N1 - горизонтальної проекції фронтального сліду, провести перпендикуляр до перетину з фронтальною проекцією прямої;

точка перетину N2 - фронтальна проекція фронтального сліду, яка співпадає з самим фронтальним слідом N.

Алгоритм визначення фронтального сліду виглядає так:

N = (m1 З x12 = N1); (b ^ x12, N1 О b); b З m2 = N2.

Аналогічно визначається профільний слід прямої:

m2 продовжити до перетину з віссю z23.

з точки перетину P2 - фронтальної проекції профільного сліду, провести перпендикуляр до перетину з профільною проекцією прямої.

P = (m2 З z23 = P2); (c^z23, P2 О c); c З m3 = P3

або P = (m 1З z23 = P1); (d ^ y3, P1 О d); d З m 3 = P3.

Натуральна величина відрізка прямої. Кути нахилу прямої до площин проекцій. кут пряма проекція площина

Ортогональна проекція відрізка [AB] прямої на площину проекцій буде конгруентна| оригіналу лише у тому випадку, коли відрізок є паралельним цій площині (властивість 6), тобто

([AB] ззП1) Ю [A1B1] [AB];

([CD] ззП2) Ю [C2D2] [CD];

([EF] ззП3) Ю [E3F3] [EF].

У решті всіх випадків відрізок проектується на площину проекції із спотвореннями (рос. искажениями). При цьому ортогональні проекції відрізка завжди менші за його дійсну величину:

|A1B1| < |AB|; |A2B2| < |AB|; |A3B3| < |AB|.

Кутом нахилу прямої до площини називається кут між прямою і її проекцією прямої на цю площину. Пряма m, яка показана на мал. 15., є нахиленою до площини П1 під кутом , а до площини П2 - під кутом .

Мал.15

Нехай задана система площин П1П2 і відрізок AB, заданий своїми проекціями, мал. 16. Потрібно на епюрі визначити його натуральну величину |AB| і кути нахилу до площини П1 і до площини П2.

Мал.16

Для графічного визначення на епюрі Монжа дійсної (натуральної) величини відрізка досить побудувати прямокутний трикутник, узявши за один його катет горизонтальну (фронтальну, профільну) проекцію відрізка, а за інший катет - різницю видалення кінців відрізка від горизонтальної (фронтальної, профільної) площини проекцій. Тоді гіпотенуза трикутника буде рівна натуральній величині відрізка, а кут між гіпотенузою і проекцією буде рівний куту нахилу прямої до цієї площини.

Для визначення кута нахилу прямої до горизонтальної площини кута , побудови виконують на базі горизонтальної проекції.

Побудування показані на мал. 17.

Мал.17

Взаємне положення двох прямих

Прямі в просторі можуть перетинатися і схрещуватися. При цьому перетин може бути в невласній крапці. В цьому випадку прямі називають паралельними.

Паралельні прямі

Якщо прямі a і b паралельні одна одній (мал. 18), то дві горизонтально проектуючи площини , які проведені через них при проектуванні, виявляться паралельними одна одній. З геометрії відомо, що дві паралельні площини перетинаються з третьою (з площиною П1) по паралельним прямим. На мал. 18 такими прямими будуть a1 і b1, які є горизонтальними проекціями прямих a і b. Таким же шляхом можна доказати, що фронтальні a2 і b2 і профільні проекції a3 і b3 прямих a і b будуть паралельні одна одній.

Мал.18

З четвертої інваріантної властивості паралельного проектування слідує що:

(a, b)( a II b) => [(a1 II b1) ^ (a2 II b2) ^ (a3 II b3)]

1. Для визначення, чи є паралельними прямі загального положення, досить визначити паралельність двох проекцій:

[(a1 II b1) ^ (a2 II b2)] ^ (a3 II b3)

2. Якщо прямі паралельні будь якій площини проекцій, то умова (2) може не виконуватися. В цьому випадку ліва частина (2) є тільки необхідним, але недостатньою умовою. Питання про паралельність вирішується на площині, якій прямі паралельні.

Пересічні прямі

З третьої інваріантної властивості паралельного проектування слідує що:

(l m = A) => (l1 m1 = A1) ^ (l2 m2 = A2) ^ (l3 m3 = A3)

3. Якщо прямі перетинаються в просторі, то їх однойменні проекції перетинаються, причому точка перетину проекцій лежить на одній лінії зв'язку.

Якщо одна з прямих профільна, то питання про перетин прямих вирішується на профільній площині проекцій, причому прямі перетинаються, якщо точки перетину фронтальної і профільної проекцій лежать на одній лінії зв'язку.

Прямі, що схрещуються

Якщо умови (1) і (3) не виконуються, то прямі схрещуються. Або, якщо прямі схрещуються в просторі, то їх однойменні проекції перетинаються, але точки перетину проекцій лежать не на одній лінії| зв'язку.

Размещено на Allbest.ru