Спеціальні поліноміальні сплайни третього, четвертого і п’ятого степенів у геометричному моделюванні

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

Спеціальність 05.01.01- Прикладна геометрія, інженерна графіка

УДК 518.2

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

СПЕЦІАЛЬНІ ПОЛІНОМІАЛЬНІ СПЛАЙНИ ТРЕТЬОГО, ЧЕТВЕРТОГО І П'ЯТОГО СТЕПЕНІВ У ГЕОМЕТРИЧНОМУ МОДЕЛЮВАННІ

Ковтун Олександр

Михайлович

Київ-2006



Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Київській державній академії водного транспорту ім. гетьмана.

Петра Конашевича-Сагайдачного Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: - доктор технічних наук, професор Бадаєв Юрій Іванович, завідувач кафедри інформаційних технологій Київської державної академії водного транспорту ім. гетьмана Петра Конашевича-Сагайдачного

Офіційні опоненти:- доктор технічних наук, професор Корчинський Владимир Михайлович, завідувач кафедри автоматизації проектування Дніпропетровського національного університету (м.Дніпропетровськ) -кандидат технічних наук, доцент Несвідомін Віктор Миколайович, доцент кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп`ютерної графіки

Провідна установа Національний технічний університет України ”Київський політехнічний інститут”

Захист відбудеться “ 28 “ листопада о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03680, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31, ауд. 466 З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03680, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31 Автореферат розісланий "25" жовтня 2006року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Плоский B.О.



1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

На початку 60-х років ХХ століття виник новий метод інтерполяції й апроксимації, котрий отримав назву “метод сплайнів”. Спочатку він застосовувався для моделювання обводів агрегатів і машин в авіаційній промисловоcті. Згодом виявилось, що цей метод має універсальний характер, тому його стали інтенсивно використовувати у математичних методах для моделювання різних об'єктів і процесів. При цьому має значення не тільки неперервність та гладкість обводу, але й закон зміни кривини. Чим більш “плавний” обвід, тим менше витрачається енергії на переміщення рухомого середовища. “Плавність” обводу має конкретно визначену математичну характеристику, яка описується законами зміни похідних уздовж обводу. Тепер сплайни третього степеня широко застосовуються у галузях машинобудування, математичного моделювання різних процесів. Але, на жаль, подальших досліджень специфіки використання сплайнів на основі поліномів вищих степенів, а також спеціальних типів вже вивчених сплайнів, практично не існує.

Актуальність дослідження. Достатньо велика частка машин та агрегатів у сучасному машинобудуванні, а також різних процесів проектується з урахуванням умов роботи їх у рухомому середовищі. У зв'язку з цим виникає ряд задач у галузі прикладної геометрії, розв'язання яких дозволяє ефективно використовувати математичну базу для розробки та впровадження високоефективних методів автоматизованого моделювання обводів машин і агрегатів та різних процесів. У цьому напрямку виконано досить багато робіт за графічними, графоаналітичними й аналітичними методами моделювання криволінійних обводів з урахуванням ряду наперед заданих геометричних умов і фізичних параметрів середовища. Широке застосування найшли різні види сплайнів, зокрема, кубічні. Розвиток цих методів, дослідження властивостей сплайнів вищих порядків та їх спеціальних форм, дає ширші можливості для їх застосування, що і визначає актуальність дослідження за зазначеним спрямуванням.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження здійснювалось за планами виконання держбюджетних науково-дослідних тем кафедри інформаційних технологій Київської державної академії водного транспорту та кафедри загальноінженерних дисциплін Ізмаїльського державного гуманітарного університету.

Метою дисертаційної роботи є розробка методів геометричного моделювання криволінійних обводів з наперед заданими умовами зміни похідних з першого до четвертого степенів для моделювання геометричних об'єктів і процесів.

Об'єктом дослідження є геометричні форми машин і агрегатів, що працюють у рухомому середовищі, а також моделі динамічних процесів.

Предметом дослідження є геометричні властивості і закономірності криволінійних обводів із заданим законом зміни похідних до четвертого порядку.

Для досягнення поставленої мети розв'язано наступні теоретичні та прикладні задачі геометричного моделювання:

- визначено теоретичні основи геометричного моделювання кривих ліній та поверхонь із застосуванням сегментів дуг кривих третього, четвертого та п'ятого порядків;

- створено способи моделювання сплайнових гладких ліній із заданим законом зміни похідних до четвертого порядку;

- розроблено методи геометричного моделювання гладких поверхонь із заданим законом зміни похідних до четвертого порядку;

- розроблено алгоритми та програми геометричного моделювання і візуалізації форм об'єктів, що мають більш високий порядок гладкості, і впроваджено результати виконаних досліджень у виробництво.

Розв'язання поставлених у дисертаційній роботі задач здійснювалось на основі методів аналітичної, нарисної, диференціальної й обчислювальної геометрій, методів прикладного програмування та комп'ютерної графіки.

Теоретичною базою для досліджень були роботи вітчизняних та зарубіжних науковців:

- у галузі моделювання поверхонь складних форм та формування їх математичних моделей: П. Безьє, Ю.І. Бадаєва, К. Де Бора, Д. Гільберта, В. Гілоя, Ю.С. Зав'ялова, C.M. Ковальова, С.А. Кунса, В.А. Леуса, В.Є. Михайленко, В.О. Надолінного, В.М. Найдиша, B.C. Обухової, А.В. Павлова, О.Л. Підгорного, М.В. Сікало, Р.А. Фореста, Дж. Фергюсона.

* у галузі геометричного моделювання та комп'ютерної графіки: Л. Аммерала, В.О. Анпілогової, В. Гілоя, С.М. Ковальова, Ю.М. Ковальова, К.О. Сазонова, А. Фокса, М. Пратта, Ф. Препарати, Н. Шенберга, Ю.С. Зав'ялова.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у розробці методів геометричного моделювання форм об'єктів за упорядкованим каркасом точок на базі гладких векторно-параметричних ліній та поверхонь із заданим дискретним законом зміни похідних з другого до четвертого порядків, а саме:

1) вперше сформульовано варіанти спеціальних сплайнів третього, четвертого і п'ятого степенів;

2) вперше розроблено нові способи моделювання гладких обводів з другим порядком гладкості на основі поліноміальних функцій з керуючими точками, що інцидентні кривій;

3) вперше розроблено способи моделювання гладких обводів на основі застосування різних варіантів поліноміальних функцій четвертого степеня;

4) розроблено нові способи моделювання сплайнових кривих і поверхонь на упорядкованому каркасі точок, що, на відміну від відомих, дають змогу створювати геометричні об'єкти із заданою гладкістю до четвертого порядку, що зокрема, дає змогу керувати кривиною із наперед заданим законом її зміни;

5) досліджено властивості сплайнів четвертого і п'ятого степенів;

6) визначено, що сплайни вищих степенів суттєво зменшують ваду осциляцій або повністю її запобігають;

7) досліджено можливості формування гладких криволінійних об'єктів за різними варіантами дискретно-заданих умов: точок, похідних, кривин та змін кривин.

Практична цінність одержаних результатів роботи полягає у розробці математичних моделей, алгоритмів, програм розрахунків комплексу задач геометричного моделювання об'єктів та процесів, призначених для роботи у реальному середовищі, що необхідно для прийняття обґрунтованих рішень при проектуванні форм машин і агрегатів, що працюють у рухомому середовищі, та різних динамічних процесів.

Практичне значення отриманих результатів підтверджується актами впровадження у конкретне виробництво: на авіаційному науково-технічному комплексі „Антонов” (м. Київ), Кілійському суднобудівельному заводі (Одеська обл.), в навчальному процесі Ізмаїльського державного гуманітарного університету (Одеська обл.) та Київської державної академії водного транспорту.

Особистий внесок здобувача. Автором розроблена теоретична основа та алгоритми побудови гладких ліній, поверхонь із заданим дискретним законом зміни похідних до четвертого степеня для проектування форм машин і агрегатів, що працюють у рухомому середовищі, а також різних динамічних процесів. Конкретний науковий внесок полягає у розробці методу геометричного моделювання кривих і поверхонь із застосуванням поліномів третього, четвертого і п'ятого степенів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на технічних конференціях: міжнародних науково-технічних конференціях „Сучасні проблеми геометричного моделювання” ТДАТА, м. Мелітополь, 2003 p., 2004 p.; міжнародній науково-практичній конференції „Прикладна геометрія”, Національний університет „Львівська політехніка”, м. Львів, 2003 р.; всеукраїнській науково-практичній конференції „Інформатика та комп'ютерна підтримка навчальних дисциплін у середній і вищій школі”, БДПУ, Бердянськ, 2004 р; міжнародній науково-практичній конференції „Інформаційно-комунікаційні технології у середній і вищій школі”, ІДГУ, м. Ізмаїл, 2004 р.; на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії НТУУ «КПІ» під керівництвом академіка Павлова А.В., м. Київ. 2005 р.; VIII міжнародній конференції „Контроль і управління в складних системах (КУСС-2005)”, Вінниця, 24-27 жовтня 2005 р.; на наукових семінарах кафедри інформаційних технологій КДАВТ, м. Київ, 2002-2005 р.р.

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 8 робіт (5 статтєй у фахових збірниках та 3 публікації у матеріалах наукових конференцій; 3 публікації одноосібно). Постановку загальної проблеми та конкретних задач, контроль повноти досліджень і достовірності результатів виконано науковим керівником, співавтором публікацій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'ятьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 149 найменувань та двох додатків. Робота містить 273 сторінок машинописного тексту, 50 рисунків.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми досліджень, наукову новизну та практичне значення результатів дисертації. Висвітлено сучасний стан проблеми, подано інформацію з апробації результатів роботи.

У першому розділі проведено аналіз способів і методів, поданих у літературі, який показав, що для проектування гладких кривих і поверхонь залишаються задачі, що не мають остаточного розв'язку. Серед них є: керування кривиною; забезпечення необхідної гладкості; усунення осциляцій сплайнів, тобто досягнення більш адекватного конструювання; розробка інших варіантів аналітичного представлення кривих і поверхонь, які мають зручніше застосування. Для подальшого розвитку у напрямку керування кривиною з більшими можливостями логічним є застосовувати сплайни вищих степенів. Актуальними є дослідження у розробці інших варіантів представлення алгебраїчних кривих, а саме: з керуючими точками, що інцидентні кривій; за допомогою задання кривин та інших, що дасть змогу більш зручно конструювати реальні об'єкти, керувати кривиною і гладкістю.

У другому розділі розглядаються поліноміальні криві третього і четвертого степенів з керуючими точками, що належать кривій. Застосування таких кривих для сплайнової інтерполяції було запропоновано Бадаєвим Ю.I i його учнем Сікало М.В. Автору належить подальший розвиток досліджень в цьому напрямку.

Візьмемо N+1 точок: 0(х0,у0), 1(х1,у1), ..., N(хn,yn). Для отримання поліноміальної формули застосуємо інтерполяцію за Лагранжем у залежності у=у(х). Призначимо параметр у=(х-х0)/(хN-x0). Отримаємо:

Якщо прирівняти у вузлових точках перші похідні попереднього сегменту і наступного, то будемо мати систему рівнянь, яка забезпечить отримання кубічного сплайну із першим порядком гладкості:

У правій частині Y0(i-1), Y3(i-1) = Y0(i) , Y3(i-1) - це задані вузлові точки інтерполюємої кривої. У лівій частині 4 невідомі точки y1(i-1), y2(i-1), y1(i), y2(i). Тут ми бачимо, що якщо задати будь-які три точки, то четверта визначиться з (3). При цьому ці два сегменти стикуватимуться у точці Y3(i-1) ? Y0(i) таким чином, що дотична для них буде єдина, тобто стикування матимемо з першим порядком гладкості.

На основі аналізу формули (3) запропоновані алгоритми проектування сплайну третього степеня з гладкістю першого порядку.

Для отримання гладкого сплайну з першим і другим порядками гладкості необхідно розглянути рівність других похідних разом з формулою (3), що встановлює рівність перших похідних у вузлових точках (точках стику). Будемо мати:

a(i), в(i), с(i) - це функції, що залежать від ординат вузлових точок y(i-1), y(i), y(i+1) і від кроків h(i)=x(i+1)-x(i).

Розрахунок такої системи є стійким. Спосіб розв'язання подібних систем відомий. На відміну від системи для відомого кубічного сплайну дефекту 1, кількість рівнянь удвічі більша. Маємо 2(N-1) рівнянь з 2N невідомими. Аналогічно методу кубічних сплайнів необхідно дозадати 2 крайові умови. У роботі отримані необхідні рівняння для таких типів крайових умов, як і для відомих кубічних сплайнів дефекту 1.

Тут бачимо, що для задання гладкості 1-го порядку можна на заданому каркасі точок дозадати на кожній ділянці по 2 точки. Третя буде розраховуватись за рекурентною формулою, наприклад:

Для розрахунку необхідно дозадати y3(0) та y1(i), y2(i), i = 0, 1, …, N-1.

Для задання гладкості другого порядку прирівняємо у вузлових точках другі похідні. Будемо мати систему рівнянь:

Тут бачимо, що є 2(N-1) рівнянь з 3N невідомими. Таким чином є можливість призначати по одній додатковій точці на кожній ділянці, наприклад, середню точку r2(i). При цьому система однозначно перетворюється на систему лінійних рівнянь з тридіагональною головною матрицею. Для розв'язання такого сплайну достатньо дозадати 2 крайові умови аналогічно кубічному сплайну дефекту 1. При цьому додаткова точка може відігравати роль корегуючої інформації для досягнення більшої адекватності точковому каркасу; цю точку можна розраховувати, наприклад, за допомогою двопараболічної інтерполяції.

Для досягнення третього порядку гладкості прирівняємо у вузлових точках треті похідні. Будемо мати систему рівнянь:

Розглядаючи сумісно системи (7), (9) і (11), будемо мати систему рівнянь:

Таким чином маємо систему лінійних рівнянь з чотиридіагональною головною матрицею. Порівняльний аналіз сплайнів 3-го і 4-го степенів показує, що за рівними початковими умовами сплайн 4-го степеня значно швидше ліквідує осциляції, ніж кубічний, не тільки при досягненні другого порядку гладкості, але й третього (див. рис. 1).

У розділі 3 розглядаються варіанти поліномів четвертого степеня.

Варіант 1. Задані кінцеві точки, похідні в них і ще одна серединна точка.

Варіант 2. Задані кінцеві точки, похідні в них і ще одна серединна похідна.

Варіант 3. Задані кінцеві точки, похідні в них і ще одна серединна друга похідна.

Варіант 4. Задані 5 точок (цей варіант розглянуто у попередньому розділі).

Варіант 5. Задані кінцеві точки, похідні в них і друга похідна в одній з точок.

Визначені математичні записи указаних варіантів.

Для варіанту 1:

На основі цього варіанту отримані системи рівнянь для задання сплайнів з заданими порядками гладкості.

Для досягнення другого порядку гладкості отримана наступна система:

Система (14) може бути розв'язана двома способами.

Спосіб 1. Точки у2(і) можна дозадати адекватним чином, наприклад, за допомогою усереднення двох парабол на точках і-1, і, і+1 і точках і, і+1, і+2.

Спосіб 2. Точки у2(і) можна вважати заданими у складі заданого точкового ряду. Система (14) при цьому буде тридіагональною аналогічно методу кубічних сплайнів.

Стійкість розв'язання поліному четвертого степеня підвищується вдвічі в порівнянні із кубічними сплайнами. Для кубічних сплайнів дефекту 1 маємо:.

На всьому заданому каркасі точок маємо 2(N-1) рівнянь з 2N+1 невідомими: m0, m1, …, mN, y20, y21, …, y2(N-1). Отже, для розв'язання такого сплайну треба дозадати три крайові умови.

Крайові умови можна призначати також, як і для кубічного сплайну, але з додаванням, наприклад, однієї серединної точки або додаткової першої похідної в одній з точок. У роботі розроблені програми, які розраховують такий сплайн. Тестовий приклад подано.

У розділі 4 розглядаються два варіанти поліноміальних сегментів п'ятого степеня. поліноміальний функція степінь сплайновий

Варіант 1.Задані 2 кінцеві точки, перші та другі похідні в них.

У такому вигляді поліном буде мати вид:

де u=(x - x0)/ (x1 - x0),

x0, y0 - координати початкової точки,

x1, y1 - координати кінцевої точки,

y'0, y'1, y''0, y''1 - перші і другі похідні в початковій і кінцевій точках,

ai (u), в i (u), гi (u) - функції від параметра u:

б0(u)=1-10u3+15u4-6u5,

б1(u)=10u3-15u4+6u5,

в0(u)=u-6u3+8u4-3u5,

в1(u)=-4u3+7u4-3u5,

г0(u)=0.5u2-1.5u3+1.5u4-0.5u5,

г1(u)=0.5u3-u4+0.5u5.

де u=(x - x0)/ (x1 - x0),

xi, yi , де i= 0, …, 5 - координати шести точок,

ai (u) - функції від параметра u.

Отримані необхідні системи рівнянь для побудови сплайнів з першим, другим, третім і четвертим порядками гладкості.

Так, наприклад, для варіанту 1 для досягнення третього порядку гладкості будемо мати систему рівнянь:

Система (20) дає таку можливість: якщо задати в точках адекватні значення yi', то будемо мати систему лінійних рівнянь з тридіагональною головною матрицею для визначення у заданих точках других похідних уi'' Для розв'язання необхідно дозадати ще дві крайові другі похідні. Тестовий приклад подано.

Як бачимо, при заданні третього і четвертого порядків гладкості, сплайни п'ятого степеня також мають властивості до затухання небажаних коливань. В порівнянні зі сплайнами третього і четвертого степенів, сплайни п'ятого степеня мають ще більший коефіцієнт затухання коливань (осциляцій). Порівняльний аналіз проведено на тестових прикладах, що демонструють.

У п'ятому розділі розглянуті способи утворення векторно-параметричних сплайнів і бісплайнів. Відповідно до результатів досліджень розділів 2-4, для моделювання геометричних об'єктів можна запропонувати різні види векторно-параметричних кривих та поверхонь, що утворюються за допомогою спеціальних сплайнів третього, четвертого і п'ятого степенів. Рівнянням векторно-параметричної кривої є рівняння виду r=r(u). Маємо заданий ряд вузлових точок i= 0, 1, ..., N. Призначимо для кожної точки параметри ui=i. Застосуємо варіанти розглянутих у попередніх розділах сплайн-інтерполяцій по кожній координаті. Будемо мати криві, що задані векторно-параметричними сплайнами.

Також на основі результатів розділів 2-4 можна будувати відповідні бісплайни, тобто векторно-параметричні поверхні на основі сплайнів третього, четвертого і п'ятого степенів з дотриманням гладкості від першого до четвертого порядків.

Спосіб отримання бісплайну наступний: візьмемо векторно-параметричний сплайн у вигляді r=r(u) і будемо його „протягувати” у тривимірному просторі в напрямку, що не збігається із напрямком u, тобто в іншому напрямку v.

Загальна формула поверхні буде мати вид:

У роботі розглянуті й отримані рівняння векторно-параметричних поверхонь. Так, наприклад, для порції поверхні на основі поліному четвертого степеня варіанту 1 можна записати:

Для порції поверхні на основі поліному п'ятого степеня варіанту 1 будемо мати:

Для побудови сплайнів відповідної гладкості необхідно дотримуватись наступних умов. Для зберігання першого порядку гладкості по u уздовж границі по параметру v необхідне дотримання вимоги:

Для отримання гладкості другого порядку аналогічно необхідно конструювати бісплайн із другим порядком гладкості по обом u-v - напрямкам, тобто забезпечити разом з (26) такі рівняння:

Для того, щоб забезпечити повну гладкість другого порядку, необхідно ще забезпечити по лінії склеювання і рівні змішані похідні, тобто:

Для того, щоб забезпечити гладкість третього порядку (неперервність другої квадратичної форми), необхідно забезпечити відповідну гладкість траєкторій усіх точок в обох напрямках, тобто:

Для забезпечення повної гладкості третього порядку необхідно забезпечити також і рівність змішаних похідних, тобто:

Для забезпечення гладкості четвертого порядку по лініям u, v необхідно забезпечити додаткові умови:

Але для повної гладкості четвертого порядку додатково необхідно забезпечити ще й рівність змішаних похідних, а саме:

Ці умови досягаються також за допомогою відповідних бісплайнів.



ВИСНОВКИ

В дисертації запропоновані і досліджені нові способи подання поліноміальних сегментів третього, четвертого і п'ятого степенів, на основі яких пропонується утворення сплайнових кривих і поверхонь із заданою від першого до четвертого порядків гладкістю.

Значення для науки полягає в подальшому удосконаленні методів моделювання кривих і поверхонь для задач виробництва у машинобудуванні, а також в розвитку математичних методів інтерполяції дискретно поданих кривих та поверхонь.

Значення для практики полягає в розробці методики моделювання обводів машин, що працюють у рухомому середовищі, з досягненням більшої гладкості - до четвертого порядку включно, а також у моделюванні процесів і об'єктів за вимогами підвищеної гладкості й адекватності точково-заданої інформації.

При вирішенні поставлених задач отримані наступні теоретичні і практичні результати.

1. Отримані спеціальні рівняння сегментів поліномів третього, четвертого і п'ятого степенів, на основі яких одержано системи рівнянь сплайнів і бісплайнів другого, третього і четвертого порядків гладкості.

2. В роботі отримані рівняння сегментів поліномів третього, четвертого і п'ятого степенів з керуючими точками, що належать кривій, на основі яких одержано системи рівнянь сплайнів першого, другого, третього і четвертого порядків гладкості.

3. Запропоновано декілька варіантів поліноміальних сегментів четвертого степеня: за допомогою трьох точок і двох перших похідних; за допомогою двох точок і трьох перших похідних; за допомогою двох точок, двох перших похідних і однією другою серединною похідною; за допомогою п'ятьох точок; за допомогою двох точок, двох перших похідних і однією другою похідною в одній із точок. В роботі розглянуті вищезазначені варіанти й отримана необхідна математична формалізація. Сплайни четвертого степеня можуть бути отримані із заданими порядками гладкості: першим, другим і третім. Для другого порядку гладкості необхідні дві крайові умови, для третього - три. Сплайни четвертого степеня дають змогу задавати різні типи крайових умов: точки, перші, другі і треті похідні.

4. Порівняльні характеристики сплайнів четвертого і третього степенів показують, що при досягненні другого порядку гладкості сплайн четвертого степеня дає змогу вдвічі швидше зменшити виникнення коливань (осциляцій), ніж кубічні сплайни. Крім того, сплайн з другим порядком гладкості на основі варіанта поліному за заданою додатково другою серединною похідною є локальним і не дає осциляцій.

5. В роботі запропоновані і досліджені два варіанти задання поліному п'ятого степеня: варіант 1 - за двома точками і двома першими і другими похідними в них та варіант 2 - за шістьма точками, на основі яких можна отримувати різні сплайни п'ятого степеня.

6. Сплайн на основі варіанта 1 поліному п'ятого степеня дає змогу отримувати локальний сплайн з другим порядком гладкості, що є перевагою перед кубічними сплайнами.

7. Сплайни п'ятого степеня дають змогу отримувати криву з досягненням гладкості до четвертого порядку включно. При цьому розв'язання необхідних систем лінійних рівнянь є стійким і однозначним. Для сплайну з четвертим порядком гладкості необхідно задавати чотири крайові умови - по дві з обох кінців.

8. В порівнянні зі сплайнами третього і четвертого степенів сплайни п'ятого степеня мають більший коефіцієнт затухання коливань (осциляцій).

9. Вищезазначені сплайни можуть задаватись за допомогою різних типів крайових умов: точок, перших, других й третіх похідних. Розв'язання систем лінійних рівнянь нелокальних сплайнів є стійким і однозначним.

10. Порівняльні характеристики сплайнів показують, що при досягненні однакового порядку гладкості нелокальні сплайни вищих степенів швидше зменшують коливання при неадекватності інформації, ніж сплайни третього степеня.

11. Спеціальні поліноміальні сплайни третього, четвертого і п'ятого степенів, що запропоновані і розглянуті в роботі, дають змогу отримувати відповідні векторно-параметричні сплайни. Властивості векторно-параметричних сплайнів адекватні властивостям відповідних поліноміальних сплайнів.

12. Векторно-параметричні сегменти відповідного степеня дають змогу утворювати відповідні порції поверхні. Векторно-параметричні порції поверхонь дають змогу отримувати векторно-параметричну поверхню із відповідно заданою гладкістю.

13. В роботі розглянуто умови досягнення повних другого, третього і четвертого порядків гладкості поверхонь за допомогою сплайнів третього, четвертого і п'ятого степенів відповідно, тобто досягнення також неперервності відповідних змішаних похідних.

14. Результати роботи впроваджено у виробництво на Кілійському суднобудівельному заводі (Одеська область), на авіаційному науково-технічному комплексі ім. О.К. Антонова, у навчальний процес Ізмаїльського державного гуманітарного університету і Київської державної академії водного транспорту ім. гетьмана Петра Конашевича-Сагайдачного.



ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бадаєв Ю.І., Ковтун О.М. Інтерполяція поліноміальними сплайнами п'ятого степеня. // Проблеми сучасного підручника: збірникнаукових праць - Бердянськ: БДПУ, 2004. - с. 14-17 (вперше пропонується спосіб інтерполяції сплайнами п'ятого степеня).

2. Бадаєв Ю.І., Ковтун О.М. Інтерполяція поліноміальними сплайнами п'ятого степеня. // Матеріали всеукраїнської науково-практичної конференції „Інформатика та комп'ютерна підтримка навчальних дисциплін у середній івищій школі”. - Бердянськ.: БДПУ, 2004. - С. 11-14

3. Ковтун O.M. Нелінійне локально взаємооднозначне перетворення плоского простору на основі методу лінійних сплайнів. // Водний транспорт.Збірник наукових праць Київської державної академії водного транспорту. - К.:КДАВТ, 2004. - Вип. 5. - С. 82-85 (пропонується новий спосіб перетворення плоского простору на основі використання лінійних сплайнів).

4. Ковтун О.М. Нелінійне локально взаємооднозначне перетворення плоского простору на основі методу лінійних сплайнів. // Матеріали міжнародної науково-практичної конференції „Інформаційно-комунікаційні технології у середній і вищій школі”. -- Ізмаїл.: ІДГУ, 2004. - С. 76-77 (тези докладу, що надрукований - див. вище).

5. Ковтун О.М. Апроксимація параметричним кубічним сплайном з керуючими точками, що належать кривій. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці. / Таврійська державна агротехнічна академія. - Вип. 4, т. 24 (25). Мелітополь: ТДАТА. 2004 .- С. 72-76 (вперше запропонована апроксимація сегмента кубічної кривої за допомогою керуючих точок, що інцидентні кривій).

6. Бадаєв Ю.І., Ковтун О.М. Порівняльні характеристики поліноміальних сплайнів третього і четвертого степенів. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці / Таврійська державна агротехнічна академія. - Вип.4, т.28.-Мелітополь: ТДАТА, 2004. - С. 70-74 (показано переваги сплайнів четвертого степеня перед сплайнами третього степеня).

7. Бадаєв Ю.І., Ковтун О.М. Сплайни п'ятого степеня. Тези доповідей VIII науково-технічної конференції. М. Вінниця, 24-27 жовтня 2005 року. - С. 24 (показано переваги сплайнів п'ятого степеня перед кубічними).

8. Ковтун О.М. Сплайн четвертого степеня із керуючими точками, що інцидентні кривій. //Прикладна геометрія та інженерна графіка. Випуск 76. Київ 2006.-С.-127 (показано переваги таких сплайнів перед кубічними).



АНОТАЦІЯ

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01. - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, Україна, 2006р.

Роботу присвячено розробці і дослідженню властивостей спеціальних поліноміальних сплайнів третього, четвертого і п'ятого степенів та моделюванню на їх основі гладких кривих і поверхонь.

У дисертації запропоновано новий спосіб подання сегментів поліномів третього, четвертого і п'ятого степенів з керуючими точками, що належать кривій. Також розглянуто різні варіанти подання сегментів поліномів четвертого і п'ятого степенів за заданими точками, першими і другими похідними, що задані в цих точках, а також посередині сегменту.

Отримані та досліджені умови досягнень гладкості сплайнових кривих від першого до четвертого порядків гладкості та досліджені властивості цих кривих, зокрема, притаманність до затухання коливань (осциляцій).

На основі гладких сплайнових кривих запропоновані способи визначення порцій поверхонь і бісплайнових поверхонь. Розглянуті умови досягнення повної гладкості поверхні другого, третього і четвертого порядків. Результати роботи впроваджено у виробництво на Кілійському суднобудівельному заводі (Одеська обл.), у навчальний процес Ізмаїльського державного гуманітарного університету та Київської державної академії водного транспорту ім. гетьмана Петра Конашевича-Сагайдачного.

Ключові слова: поліноми третього, четвертого, п'ятого степенів; поліноміальні сегменти; порції поверхонь; сплайни; бісплайни; гладкість кривих і поверхонь.

Ковтун A.M. Специальные полиномиальные сплайны третьей, четвертой и пятой степени в геометрическом моделировании, - рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01. -Прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, Украина, 2006 г.

Работа посвящена разработке и исследованию свойств специальных полиномиальных сплайнов третьей, четвертой и пятой степени и моделированию на их основе гладких кривых и поверхностей.

В диссертации предложен новый способ представления сегментов полиномов третьей, четвертой и пятой степени с управляющими точками, принадлежащими кривой. Также предложены различные варианты представления сегментов полиномов четвертой и пятой степени по заданным точкам, первым и вторым производным в них и в середине сегмента.

На основе предложенных полиномиальных сегментов представлены методы задания и расчета сплайновых кривых с достижением гладкости от первого до четвертого порядков. Рассмотрены различные способы задания краевых условий: точки, первые, вторые и третьи производные. Изучены свойства полученных сплайнов. Показано, что все нелокальные сплайны имеют свойство к затуханию осцилляций, причем, с увеличением степени сплайна эти свойства возрастают при достижении одного и того же порядка гладкости. На основе гладких полиномиальных сплайнов предложены способы задания векторно-параметрических сплайновых кривых и порций поверхностей и бисплайновых поверхностей. Рассмотрены условия достижения полной гладкости поверхности, то есть не только по U-V-линиям, но и по несовпадающим с ними направлениям.

При этом получены результаты, которые имеют научную и практическую ценность.

Научная новизна результатов заключается в разработке новых методов геометрического моделирования форм объектов по упорядоченному каркасу точек на основе гладких векторно-параметрических кривых и поверхностей с заданным дискретным законом изменения производных от второго до четвертого порядков, а именно:

1) впервые сформулированы варианты специальных сплайнов третьей, четвертой и пятой степени;

2) впервые разработаны новые способы моделирования гладких обводов со вторым порядком гладкости на основе полиномиальных функций с управляющими точками, инцидентными кривой;

3) впервые разработаны способы моделирования гладких обводов на основе использования разных вариантов полиномиальных функций четвертой степени;

4) разработаны новые способы моделирования сплайновых кривых и поверхностей на упорядоченном каркасе точек, которые, в отличие от известных, дают возможность создавать геометрические объекты с заданной гладкостью до четвертого порядка, в частности, дают возможность управлять кривизной с наперед заданным законом ее изменения;

5) исследованы свойства сплайнов четвертой и пятой степени;

6) определено, что сплайны высших степеней существенно уменьшают недостатки осцилляций или полностью их устраняют;

7) исследованы возможности формирования гладких криволинейных объектов по разным вариантам дискретно-заданных условий (точек, производных, кривизны и изменений кривизны).

Практическая ценность полученных результатов работы заключается в разработке математических моделей, алгоритмов, программ расчетов комплекса задач геометрического моделирования объектов и процессов для работы в реальной среде. Эти результаты предназначены для принятия обоснованных решений при проектировании форм машин и агрегатов, работающих в движущейся среде и моделировании динамических процессов.

Результаты работы внедрены в производство на Килийском судостроительном заводе (Одесская обл.), в учебный процесс Измаильского государственного гуманитарного университета и Киевской государственной академии водного транспорта им. гетмана Петра Конашевича-Сагайдачного.

Ключевые слова: полиномы третьей, четвертой, пятой степеней; полиномиальные сегменты, порции поверхности, сплайны, бисплайны, гладкость кривых и поверхностей.

Kovtun A.M. Special polynomial splines of the third, fourth and fifth degrees in geometrical modeling - Manuscript

The dissertation for a degree of candidate of technical sciences on speciality 05.01.01. - applied geometry, engineering graphics.- Kyiv National University of Building and Architecture, Kyiv, Ukraine, 2005.

Work is devoted to development and research of properties special polynomial splines of the third, fourth and fifth degrees and to modeling on their basis of smooth curves and surfaces.

In the dissertation the new way of representation of segments of thirds, the fourth and fifth degrees with managing points which belong to a curve is offered. As various variants of representation of segments of polynoms of the fourth and fifth degrees on the set points, the first and second derivatives in them and in the middle of a segment are offered.

On the basis of offered polynomial segments methods of the task and calculation spline curves with achievement of smoothness from the first up to the fourth orders are offered. Various ways of the task regional conditions: points, the first, the second and the third derived are considered. Properties of the received splines are investigated. It is shown, that all not local splines have property to attenuation oscillations, and with increase in a degree of a spline these properties grow at achievement of the same order of smoothness.

Key words: polynoms of thirds, the fourth, fifth degree; polynomial segments, portions of a surface, splines, bisplines, smoothness of curves and surfaces.

Размещено на Allbest.ru