Размещено на http://www.allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

ЧМИР ОКСАНА ЮРІЇВНА

УДК 517.95

УЗАГАЛЬНЕНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ПІВЛІНІЙНИХ

ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук, доцент Лопушанська Галина Петрівна, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Каленюк Петро Іванович, Національний університет “Львівська політехніка”, директор Інституту прикладної математики та фундаментальних наук, завідувач кафедри обчислювальної математики і програмування;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Пукальський Іван Дмитрович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Провідна установа -Інститут прикладної математики та механіки НАН України, відділ нелінійного аналізу, м. Донецьк.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул. Драгоманова, 5).

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задача Коші та крайові задачі для рівняння u_t-?u=|u|u, q > 1 та інших півлінійних рівнянь є предметом посиленої уваги математиків в останні роки, оскільки вони описують різні фізичні, біологічні та хімічні процеси, а їх розв'язки володіють новими властивостями. З найбільшою повнотою досліджено ці задачі, коли крайові дані є з простору гладких, обмежених функцій чи із простору L^p, p1. У статтях Браудера Ф.І. (Browder F.E.), Вішика М.І., Дубінського Ю.А. та інших встановлено розв'язність крайових задач для квазілінійних еліптичних і параболічних рівнянь порядку 2m при початкових і крайових даних з просторів Соболєва W, p > 1, m N.

У багатьох працях досліджуються умови існування локальних та глобальних розв'язків задачі Коші та крайових задач для півлінійних рівнянь, властивості розв'язків, досліджується питання, коли розв'язок може вибухати, а також множини вибухів розв'язків. Великий внесок у дослідження глобального існування і вибуху в обмежений час розв'язку задачі Коші було зроблено Фуджіта Г.(Fujita H.).

В працях Бокардо Л. (Boccardo L.), Галеот Т. (Gallouёt T.), Поретта А. (Porretta A.), Ракотосон Дж. М. (Rakotoson J.M.) розпочато вивчення задачі Коші та крайових задач для півлінійних рівнянь з даними з простору мір. Тому новими й актуальними є дослідження таких нелінійних рівнянь, за яких розв'язки крайової задачі набувають крайових значень із просторів узагальнених функцій.

У дисертаційній роботі досліджено нормальну крайову задачу для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною, коли на межі області задані узагальнені функції із D' (далі узагальнена крайова задача).

При дослідженні крайових задач для лінійних однорідних еліптичних чи параболічних рівнянь у працях Грушина В.В., Гупало Г.-В.С., Лопушанської Г.П. встановлено, що при крайових даних - узагальнених функціях розв'язок u задачі належить до певного вагового L¹-простору. Тому доцільно шукати у такому ваговому просторі і розв'язки крайових задач для півлінійних рівнянь при крайових даних - узагальнених функціях. Важливо визначити, як розуміти цей узагальнений розв'язок, яких крайових значень може набувати регулярний в області розв'язок, які особливості на межі він має. Враховуючи наявне дослідження матриць Ґріна загальних лінійних параболічних крайових задач у працях Івасишена С.Д., Ейдельмана С.Д., Матійчука М.І., Пукальського І.Д. та їх учнів, природно для дослідження узагальнених крайових задач для квазілінійних параболічних рівнянь та систем рівнянь використати метод зведення їх до еквівалентного нелінійного інтегро-диференціального рівняння Вольтерри у ваговому L¹-просторі, а для дослідження останнього - принцип Шаудера та принцип стисних відображень. параболічний диференціальний рівняння задача інтегральний

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка. Результати дисертації є складовою частиною завдання держбюджетної теми "Розробка теорії класичних і некласичних задач для диференціальних рівнянь та методів дослідження математичних моделей" (номер держреєстрації 0103U001908).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є визначення умов існування та єдиності, внутрішньої гладкості, поведінки біля межі області та характеру особливостей розв'язків крайових задач для півлінійних параболічних рівнянь та систем з крайовими та початковими даними із просторів узагальнених функцій типу D' в обмежених областях, а також дослідження різних формулювань таких задач. Для досягнення цієї мети вирішуються такі задачі:

встановити оцінки композиції полярних ядер, значень спряжених операторів Ґріна нормальної крайової задачі для параболічної системи диференціальних рівнянь на класах функцій з особливостями (точковими та на всій межі області);

довести існування та єдиність розв'язку нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри з полярним ядром у вагових L¹-просторах;

встановити характер особливостей (точкових та на всій межі області) розв'язку нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри;

довести рівнозначніть двох формулювань нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною, коли на межі області задані узагальнені функції із D' (далі узагальнена крайова задача), встановити еквівалентність цієї задачі певній системі інтегро-диференціальних рівнянь у ваговому L¹-просторі;

знайти достатні умови розв'язності узагальненої крайової задачі;

встановити умови внутрішньої гладкості розв'язку узагальненої крайової задачі;

дослідити порядок степеневих особливостей (точкових та на всій межі області) розв'язку узагальненої крайової задачі.

Об'єкт дослідження: нормальна крайова задача для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною, коли на межі області задані узагальнені функції із D'.

Предмет дослідження: достатні умови розв'язності та однозначної розв'язності узагальнених крайових задач для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною.

Методи дослідження: метод функцій Ґріна (при зведенні узагальненої крайової задачі для квазілінійної параболічної системи до еквівалентної нелінійної системи інтегро-диференціальних рівнянь); принцип Шаудера (при доведенні існування розв'язку задачі); принцип стисних відображень (при доведенні однозначної розв'язності задачі).

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше одержані такі результати:

1) доведено теорему про умови рівнозначності двох формулювань нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною, коли на межі області задані узагальнені функції із просторів типу D', що є продовженням відомих результатів для лінійних еліптичних та параболічних рівнянь;

2) доведено еквівалентність узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи диференціальних рівнянь та нелінійної системи інтегро-диференціальних рівнянь у певному ваговому L¹-просторі;

3) знайдено достатні умови розв'язності нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри у ваговому L¹-просторі, що є новими на наш погляд результатами для такого типу рівнянь;

4) знайдено достатні умови розв'язності та однозначної розв'язності узагальненої крайової задачі (праці, які б проводили дослідження для півлінійних параболічних рівнянь з довільним порядком сингулярностей функцій, заданих на межі області, не знайдені);

5) описано характер поведінки розв'язку узагальненої крайової задачі біля межі області та характер точкових особливостей розв'язку.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Їх можна застосувати в теорії узагальнених крайових задач для диференціальних рівнянь у частинних похідних і при подальших дослідженнях рівнянь математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником Лопушанською Г.П. працях [2-6] керівнику належить формулювання задач, методика досліджень та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертаційної роботи, доповідалися та обговорювались на: Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники: Пташник Б.Й., Іванчов М.І., Каленюк П.І., 2003-2006 рр.); IX Міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука (16-19 травня 2002р., м. Київ); International Conference on "Functional analysis and its applications" dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach (May 28-31, 2002, Lviv); Міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (26-30 серпня 2003р., м. Чернівці); III Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (9-12 вересня 2003р., м. Івано-Франківськ); Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я.С.Підстригача (24-26 травня 2004р., м. Львів); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я.Скоробогатька (27 вересня-1 жовтня 2004р., м. Дрогобич); Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я.С.Підстригача (24-27 травня 2005р., м. Львів); XVII науковій сесії наукового товариства імені Шевченка (28 лютого-1 квітня 2006р., м. Львів); XI Міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука (18-20 травня 2006р., м. Київ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 5 ([1-5]) наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, анонсовано у 9 ([7-15]) тезах і матеріалах конференцій та додатково вісвітлені в 1 праці, опублікованій в Математичному віснику НТШ [6].

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків, списку використаних джерел. Об'єм роботи - 166 сторінок машинописного тексту, з яких список літератури, що містить 139 найменувань, займає 12 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку Лопушанській Г.П. за наукове керівництво та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, визначено мету роботи, задачі досліджень та методи їх розв'язування, новизну результатів, викладено зв'язок дисертації з науково-дослідною роботою кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка, де вона виконана, дається інформація про апробацію основних результатів дисертаційної роботи і практичне значення одержаних результатів, вказано кількість публікацій та структуру дисертації.

У першому розділі зроблено огляд праць, які стосуються тематики дослідження дисертаційної роботи.

У другому розділі введені основні поняття та позначення (підрозділ 2.1), знайдено оцінки значень інтегрального оператора Вольтерри з полярним ядром на функціях з інтегровними особливостями, точковими та на всій межі області (підрозділ 2.2); оцінки значень спряжених операторів Ґріна нормальної крайової задачі для параболічної системи диференціальних рівнянь (підрозділ 2.3) на таких функціях та оцінки композиції узагальнених функцій та функцій Ґріна. Результати цього розділу використовуються у наступних розділах при доведенні існування розв'язку нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри у ваговому L¹-просторі та при доведенні розв'язності та однозначної розв'язності узагальненої крайової задачі для півлінійного параболічного рівняння та квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною. Результати цього розділу можуть використовуватися як допоміжний матеріал при розгляді інших задач, не викладених у роботі.

Нехай nN, - обмежена область в Rⁿ з межею S = ? класу С ^?,

Q = (0,T], = S (0,T], 0 < T < +?; p, b N, m = pb;

= (₁,…, _n), _i Z₊, || = ₁ +…+ _n , D D = ;

A(x, t, D_x) = a_б(x, t) D,

де a_б(x, t) - квадратні порядку p матриці з нескінченно диференційовними елементами; I_p - одинична матриця порядку p;

L(x, t, D_x,) (I_p - A(x, t, D_x)) - параболічний диференціальний оператор;

B_j(x, t, D_x) b_j(x, t) D, 0 r_m … r₂ r₁ 2b - 1,

де b_jб - матриці-рядки довжини p з нескінченно диференційовними елементами, - система m крайових диференціальних виразів. Вважаємо, що система {B_j} є нормальною на і задовольняє умову Лопатинського. Надалі довільна вектор-функція F належить до функційного простору [X], якщо кожна її компонента F_i належить до X.

Згідно з працями Івасишена С.Д., існують крайові диференціальні вирази, С_j типу B_j , що правильна формула Ґріна.

Задача

L u(x, t) = F₀(x, t), (x, t) Q, (1)

B_j(x, t, D_x) u(x, t)| = F_j(x, t), (x, t) , (2)

u| _{t = 0} = F_m+1(x), x , (3)

де u - вектор-функція (матриця-стовпець висоти p), F₀, F_m+1 - матриці-стовпці висоти p, F_j - задані функції, є нормальною параболічною крайовою задачею.

Нехай G = (G₀, G₁,…, G_m) - матриця Ґріна цієї задачі, існування якої та основні властивості доведено у працях Івасишена С.Д.;

( j ) = 0, якщо j = m + 1 або ( j ) = 1, якщо 1 j m, r_m+1 = 2b, P = (x, t), M = (y, ),

|PM|_b = d_b(x, t; y, ); E{z, t}, (z, t) = z^r E{z, t}, r R, z > 0, t > 0, c > 0,

Використовуємо функційні простори

D⁰() = { С^?(): D |_{t = T} = 0, k = 0, 1, …},

D⁰() = { С^?(): D |_{t = T} = 0, k = 0, 1, …},

D₀() = { С^?(): D |_{t = 0} = 0, k = 0, 1, …}, D() = D₀() ? D⁰(),

D₀() = { С^?(): B_j |_S = 0, j = }.

У підрозділі 2.2 розглянуто функцію К(x, t; y, ), яка при (x, t) ? (y, ) має похідні до порядку s + n + 2b, - n - 2b < s < 0, а в околі діагоналі (x, t) = (y, ) разом із своїми похідними до порядку || + 2b₀ < s + n + 2b має

К (x, t; y, ) = 0 при t < . Прикладом її є функція Ґріна першої крайової задачі для рівняння теплопровідності (тоді s = - n, n 1).

Нехай с₀(P, ) - нескінченно диференційовна невід'ємна функція, яка додатна в Q, має порядок відстані |P|_b в околі ;

₁(x) - нескінченно диференційовна невід'ємна функція, яка додатна в , має порядок відстані d(x) від точки x до S біля S та ₁(x) 1;

₂(t) - нескінченно диференційовна невід'ємна функція, яка має порядок t при t 0 і, крім того, 0 < ₂(t) 1;

(x, t) = min{₁(x), }.

У пункті 2.2.2 доведено

Лема 2.2. Нехай (y, ) Q, - 1 < r < 0, - n - 2b < s < 0,

|| + 2b₀ < s + n + 2b. Тоді

DК(x, t; y, ) [(с(x, t), t)]^pdxdt =

=

де с₁, с₂- додатні сталі.

У підрозділі 2.3 при k R, l N {0} введено ваговий функційний L¹-простір M(Q).

Нехай виконуються припущення:

1) F_j, 0 ? s(F_j) q_j,

F_m, 0 ? s(F_m+1) q_m+1; (4)

2) k > k₀ = max{q_j + 2b - r_j - ( j)} - 1 + n,

де s(F) - порядок сингулярності узагальненої функції F, штрихами позначаємо простори лінійних неперервних функціоналів на відповідних функційних просторах.

Введено позначення:

g_j(x, t) = (G_j(x, t; , ), F_j(, ))₁, g_m+1 (x, t) = (G₀(x, t; , 0), F_m+1())₂,

h(x, t) = g₁(x, t) +…+ g_m+1 (x, t), (x, t)Q.

Доведено, що за припущень (4) h M(Q) (лема 2.3).

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню достатних умов розв'язності, характеру особливостей (точкових та на всій межі області) розв'язку нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри у ваговому L¹-просторі. Одержані результати мають застосування у розділі четвертому до розв'язності крайової задачі для півлінійного параболічного рівняння з заданими на межі області узагальненими функціями, так як ця задача в дисертаційній роботі досліджується шляхом зведення її до нелінійного інтегрального рівняння у ваговому L¹-просторі з ядром - функцією Ґріна.

У підрозділі 3.1 введено ваговий функційний простір M_k (Q), k R, в якому розглянуто нелінійне інтегральне рівняння Вольтерри (5), де функція F₀(x, t, v) визначена в Q (- , + ), функція h₀ визначена в Q.

У 3.1.2 знайдено достатні умови розв'язності рівняння (5) у M_k (Q).

Теорема 3.1. Нехай k ? 0, h₀ M_k (Q), функція F₀ задовольняє умови: існує стала C₀ > 0 така, що для всіх C >C₀ та для довільних v, w M_k,С (Q).

Тоді існує розв'язок u M_k (Q) інтегрального рівняння (5).

Розглянуто приклад функції F₀, яка задовольняє умови теореми 3.1, а саме:

F₀(x, t, v) = |v|^q, де q (0, 1), 0 ? k < - 1 +1/q.

У підрозділі 3.2 досліджено характер особливостей, точкових та на всій межі області, розв'язків рівняння (5) при F₀(x, t, v) = (x, t)|v|^q, q > 1, L(Q).

При ₁, ₂ R{0} введено функційний простір .

Теорема 3.3. Нехай - 1 ? s < 0, q > 1, h₀, де -(s+i)/(q-1) ? _i ? 0 та _i >-i/q. Тоді існує додатна стала ₀ така, що при ₀ інтегральне рівняння (5) має розв'язок у просторі M_k (Q).

У четвертому розділі об'єктом дослідження є розв'язність нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною, коли задані на межі області функції є узагальненими із просторів типу D'. Доведено теорему про умови рівнозначності розв'язку задачі у двох різних формулюваннях, встановлено еквівалентність цієї задачі деякій системі нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь у певному ваговому L¹-просторі. Досліджено умови розв'язності цієї задачі, а також умови внутрішньої гладкості розв'язку задачі. Встановлено порядок степеневих особливостей розв'язку задачі біля межі області.

Нехай l N, l ? 2b - 1, а M(l) - кількість мультиіндексів таких, що || ? l, _l u - матриця розмірності p М(l), стовпцями якої є вектор-функція u та її похідні за просторовими змінними до порядку l.

У підрозділі 4.1 введено два формулювання розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі (6) - (8) вигляду (1)-(3) для квазілінійної параболічної системи де F₀(x, t, z) - вектор-функція зі значеннями в R, F_j задовольняють припущення (4). Ці формулювання розв'язку є поширенням відповідних відомих формулювань узагальнених лінійних крайових задач на випадок квазілінійної системи.

Означення 4.1. Кажемо, що регулярна всередині області Q вектор-функція u набуває узагальнених початкових значень F_m+1, якщо існує (9) а функції B_ju набувають на узагальнених крайових значень відповідно F_j, якщо існує (10)

Формулювання 1 задачі (6)-(8). Нехай F₀ - неперервна вектор-функція, F_j задовольняють припущення (4). Знайти розв'язок u [C^2b,1(Q)]^p системи (6) всерединi областi Q, який задовольняє (8) в сенсі (9) та (7) в сенсі (10).

Формулювання 2 задачі (6)-(8). Нехай F₀ F_j задовольняють припущення (4). Знайти u , що задовольняє умову (11)

Теорема 4.1. Нехай F_j, задовольняють припущення (4), F₀ - неперервна вектор-функція. Вектор-функція u [C^2b,1(Q)]^p, яка задовольняє умову є розв'язком задачі (6)-(8) у формулюванні 2 тоді і лише тоді, коли вона є розв'язком цієї задачі у формулюванні 1.

Наслідок 4.1. Узагальнений розв'язок u [C^2b-1,0(Q)]^p системи (6) задовольняє (11) одночасно з (9) та (10).

У підрозділі 4.2 розглянуто систему інтегро-диференціальних рівнянь (12), подібну до (5) при h₀(x, t) = h(x, t).

Теорема 4.2. Нехай виконуються припущення (4). Вектор-функція u є розв'язком системи інтегро-диференціальних рівнянь (12) тоді і лише тоді, коли вона є розв'язком задачі (6)-(8) у формулюванні 2.

У підрозділі 4.3 встановлено достатні умови розв'язності та однозначної розв'язності задачі (6)-(8). Теорема 4.3 дає достатні умови однозначної розв'язності задачі (6)-(8).

Теорема 4.4. Нехай виконуються припущення (4), вектор-функція F₀ задовольняє умови теореми 3.1. Тоді існує розв'язок u задачі (6)-(8).

У пункті 4.3.2 розглянуто приклад вектор-функції F₀(x, t, z), яка задовольняє умови теореми 4.4 та (13). Отримано (теорема 4.6), що за умов (4) щодо функцій F_j та при вектор-функції F₀, яка задовольняє (13) із (0,1/(s+n)) існує розв'язок u задачі (6)-(8), де k₀< k < min{- s - 1+1/p_s}.

У пункті 4.3.3, як приклад, сформульовано теорему існування розв'язку першої узагальненої крайової задачі для півлінійного рівняння теплопровідності

u (x, t) / t - u(x,t) = F₀(x, t, u(x, t)), (x, t) Q, (14)

u(x, t)| = F₁(x, t), (x, t) , u| _{t = 0} = F₂(x), x , (15)

де функція F₀ визначена в Q (-,+). Зокрема, при F₀(x, t, v) = |v|^q, q (0,1/(n+1)), max{q₁,q₂ - 1} + n < k < - 1 +1/q існує розв'язок u M_k(Q) задачі (14)-(15).

У підрозділі 4.4 встановлено внутрішню гладкість розв'язку задачі (6)-(8).

Теорема 4.10. Нехай вектор-функція F₀(x, t, z) неперервна, задовольняє умови теореми 4.4 чи теореми 4.3 та для довільної строго внутрішньої підобласті області Q, будь-яких , || ? l, довільних v таких, що D v [C]^p при || < ||, виконується. Тоді існує розв'язок u [C(Q)]^p задачі (6)-(8) (єдиний у випадку виконання умов теореми 4.3). Якщо, крім того, l 2b - 2 та вектор-функціяF₀ неперервно диференційовна, то задаача (6)-(8) має розв'язок u [C^2b,1(Q)]^p.

Зауваження 4.6. З теорем 4.6, 4.10 та наслідку 4.1 випливає, що при F₀, яка задовольняє (13) із (0, min{1/(s+n), (2b-l)/(n+2b)}), розв'язок задачі (6)-(8) також задовольняє умови (9), (10).

У підрозділі 4.5 досліджено характер поведінки розв'язку задачі (6)-(8) біля межі області залежно від порядків сингулярностей заданих узагальнених функцій F_j, з правою частиною F₀, що задовольняє (13), а також характер точкових особливостей розв'язку.

При R{0} введено функційний простір M (Q, Q).

Теорема 4.12. Нехай виконуються припущення (4) щодо функцій F_j, вектор-функція F₀ задовольняє (13) при 0 <_s< min{1/(s+2b);1/(s+n)},

max{s-1/p_s} < ? min{ - k₀ - 1;min{-2bs p_s /(1-2b p_s)}}. Тоді існує розв'язок належить до простору M (Q).

У пункті 4.5.2 розглянуто приклади. Доведено існування сталої ₀ > 0 такої, що крайова задача (14)-(15) при n = 1, F₁ 0, 0 ? s(F₂) ? q₂, F₀(x, t, v) = (x, t) |v|^q,

q (1, 2], -2/q < ₂ ? - 1, ₀ має розв'язок, який належить до простору M_k(Q). Також доведено існування сталої ₀ > 0 такої, що при ₀ крайова задача (14)-(15) з функціями F₀(x, t, v) = (x, t) |v|^q,

q (1, 1+2/n], F₁(x, t) = д(x-) д(t-), F₂(x) = C₀ д(x-) + д(x-),

-(n+2)/q < ? - n - p₃,

де p₃ = 0, якщо C_j = 0, j = , p₃ = 1, якщо хоч одна із сталих C_j ? 0, j = , має розв'язок, який належить до M_k(Q,).

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі знайдено достатні умови розв'язності крайової задачі для квазілінійної параболічної системи в обмеженій області, коли функції, задані на межі області, є узагальненими із просторів типу D'. Знайдено умови внутрішньої гладкості розв'язку.

У дисертації отримано такі нові результати:

1) знайдено оцінки значень спряжених операторів Ґріна нормальної крайової задачі для параболічної системи диференціальних рівнянь на функціях з особливостями на всій межі області;

2) для нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри з параболічним ядром одержано достатні умови існування та єдиності його розв'язку у ваговому L¹-просторі, визначено характер особливостей (точкових та на всій межі області) розв'язку цього рівняння;

3) встановлено умови рівнозначності двох формулювань узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною при крайових даних із просторів узагальнених функцій типу D';

4) знайдено достатні умови розв'язності цієї задачі, умови внутрішньої гладкості розв'язків та порядки їх степеневих особливостей (точкових та на всій межі області).

Узагальнену крайову задачу для квазілінійної параболічної системи зведено до нелінійної системи інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри з параболічним ядром у ваговому L¹-просторі. Тому умови розв'язності таких задач встановлено з використанням умов розв'язності цих інтегро-диференціальних рівнянь, а також з використанням властивостей спряжених операторів Ґріна крайової задачі, відомих та доведених в дисертації.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути застосовані в теорії узагальнених крайових задач для диференціальних рівнянь у частинних похідних і при подальших дослідженнях рівнянь математичної фізики.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Чмир О.Ю. Про формулювання узагальненої крайової задачі для півлінійного параболічного рівняння // Вісник. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2003. - Вип.62.- С. 134 - 143.

Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про деякі властивості спряжених операторів Ґріна параболічної крайової задачі // Наук. вісник Чернів. ун-ту: зб. наук. пр. Математика. Чернівці ЧДУ. - 2004. - Вип.191-192. - С. 82 - 88.

Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Узагальнені крайові значення розв'язків рівняння

u_t = u+F₀ (x, t, u) // Математичні Cтудії. - 2004. - Т.22, № 1. - С. 45 - 56.

Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про розв'язність першої крайової задачі для рівняння u_t = u+|u|¹⁺ у класі узагальнених функцій // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т.47, № 4. - С. 125-130.

Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Розв'язок нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри з особливостями на межі області // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2005. - Вип. 64. - С. 134 - 148.

Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Існування та регулярність розв'язків узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійних параболічних систем // Матем. Вісник наук. тов-ва ім. Т.Г.Шевченка. - 2005. - Т.2. - С. 123-134.

Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про формулювання узагальненої крайової задачі для півлінійного параболічного рівняння // IX Міжнар. наук. конф. ім. ак. М. Кравчука (16 - 19 травня 2002р., м. Київ). Матер. конф. - К.: НТУУ “КПІ”. - 2002. - С. 126.

Lopushanska H., Chmyr O. The boundary value problem for semilinear heat equation with data-generalized functions // Int. Conf. on “Functional analysis and its applications” dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach (Lviv, May 28 - 31, 2002). Book of abstr. - Lviv: Вид. центр Львів. нац. ун-ту ім. І. Франка. - 2002. -P. 54.

Lopushanska H., Chmyr O. On some properties of Green's operators of a parabolic boundary value problem in classes of functions with power specialities on the boundary of a domain // Міжнар. наук. конф. “Шості Боголюбовські читання” (26 - 30 серпня 2003р., м. Чернівці). Тези доп. - Київ. - 2003. - С. 289.

Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про розв'язність першої крайової задачі для рівняння u_t = u+|u| u в класі узагальнених функцій // III Всеукр. наук. конф. “Нелінійні проблеми аналізу” (9 - 12 вересня 2003р., м. Івано-Франківськ). Тези доп. - Івано-Франківськ: Вид-во “Плай”. - 2003. - С. 59.

Чмир О.Ю. Узагальнені крайові значення розв'язку рівняння u_t = u+F₀ (x,t,u,u_x) // Конф. мол. учених із суч. проблем мех. і мат-ки ім. ак. Я. С. Підстригача (24 - 26 травня 2004р., м. Львів). Тези доп. - Львів. - 2004. - С. 168.

Чмир О.Ю. Про розв'язність інтегрального рівняння в одному ваговому функціональному просторі // Міжнар. матем. конф. ім. В. Я. Скоробогатька (27 вересня - 1 жовтня 2004р., м. Дрогобич). Тези доп. - Львів: Полігр. центр вид-ва нац. ун-ту “Львівська політехніка”. - 2004. - С. 225.

Чмир О.Ю. Про розв'язки з точковими особливостями нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри // Конф. мол. учених із суч. проблем мех. і мат-ки ім. ак. Я. С. Підстригача (24 - 27 травня 2005р., м. Львів). Тези доп. - Львів. - 2005. С. 326.

Чмир О.Ю. Про розв'язки узагальнених нормальних крайових задач для квазілінійних параболічних систем рівнянь з лінійними головними частинами // XI Міжнар. наук. конф. ім. ак. М. Кравчука (18 - 20 травня 2006р., м. Київ). Матер. конф. - К.: НТУУ "КПІ". - 2006. - С. 650.

Lopushanska H., Chmyr O. The character near the boundary of domain of the generalized normal boundary value problem solution for the quasilinear parabolic systems // Int. Conf. on “Differential equations” dedicated to the 100-th anniversary of Ya.B.Lopatynsky (Lviv, September 12 - 17, 2006). Book of abstr. - Lviv: Вид. центр Львів. нац. ун-ту ім. І. Франка. - 2006. - P. 117-118.

АНОТАЦІЇ

Чмир О.Ю. Узагальнені крайові задачі для півлінійних параболічних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2006.

Дисертація присвячена розв'язності крайової задачі для півлінійного параболічного рівняння та квазілінійної параболічної системи при заданих на межі області узагальнених функціях із D'.

У дисертаційній роботі за допомогою відомих властивостей матриці Ґріна та встановлених оцінках значень спряжених операторів Ґріна на функціях з інтегровними особливостями на межі області, використовуючи теорему Шаудера та принцип стисних відображень, одержано достатні умови існування (та єдності) розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною. Крім того, встановлено умови внутрішньої гладкості розв'язку, знайдено порядок степеневих особливостей розв'язку (точкових та на всій межі області).

Ключові слова: узагальнена крайова задача, узагальнена функція, півлінійне параболічне рівняння, нелінійне інтегральне рівняння, квазілінійна параболічна система, спряжені оператори Ґріна, нормований ваговий функційний простір, теорема Шаудера про нерухому точку, принцип стисних відображень.

Chmyr O.Yu. Generalized boundary value problems for nonlinear parabolic equations. - Manuscript.

Thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), specialization 01.01.02 - Differential equations. - Ivan Franko National University of Lviv. Lviv, 2006.

The thesis is devoted to solvability of normal boundary value problem for the nonlinear parabolic equation and the quasilinear parabolic system in the case of generalized functions given on the boundary of domain. In the dissertation we use the known properties of Green's matrix and obtaining estimates of values the conjugated Green's operators onto functions with integrable singularities on the boundary of domain, Schauder theorem and principle of squeeze reflection. Using the above mentioned, the sufficient conditions of the existence and uniqueness of the solution and the character of the specialities (pointed and in all boundary of the domain) of the solution for Volterra nonlinear integral equation with the parabolic kernel, for the generalized boundary value problem for semilinear parabolic equation, for the normal boundary value problem for the quasilinear parabolic system of equations with linear main part and generalized functions with the space D' on the boundary of domain are obtained. Besides, the conditions of the inner smooth of the solution of the normal generalized boundary value problem for the quasilinear parabolic system have been established.

Key words: generalized boundary value problem, generalized function, semilinear parabolic equation, nonlinear integral equation, quasilinear parabolic system of equations, conjugated Green's operators, normalized weight functional space, Schauder fixed-point theorem, principle squeeze reflection.

Чмырь О.Ю. Обобщённые краевые задачи для полулинейных параболических уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2006.

Предметом исследований в диссертации является разрешимость нормальной краевой задачи для полулинейного параболического уравнения и квазилинейной параболической системы при заданных на границе области обобщённых функциях из D'.

В диссертационной работе получены такие результаты.

1. Найдены оценки значений интегрального оператора с параболическим ядром на функциях, которые могут иметь особенности на границе области. Как следствие получены новые свойства сопряжённых операторов Грина параболической краевой задачи.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра с параболическим ядром в пространстве M_k(Q) - весовом L¹- пространстве с весом порядка dist ^k((x, t), ), где dist ((x, t), ) - расстояние точки (x, t)Q от границы области. Установлено характер поведения решения вблизи границы области.

3. Доказано теорему об условиях эквивалентности в двух формулировках решения обобщённой нормальной краевой задачи для квазилинейной параболической системы с линейной главной частью, когда на границе области заданы обобщённые функции из D'. Установлено эквивалентность этой задачи и системы интегро-дифференциальных уравнений в весовом L¹-пространстве.

4. Получены достаточные условия существования (и единственности) решения краевой задачи для квазилинейной параболической системы, когда заданые на параболической границе области функции являются обобщёнными функциями из пространства D'. Найдены условия внутренней гладкости решения и порядок степенных особенностей решения (точечных и на всей границе области).

Для получения этих результатов использованы свойства матрицы Грина параболической краевой задачи, принцип Шаудера. Единственность решения доказывается с использованием принципа сжатых отображений.

Результаты диссертационной работы имеют теоретический характер. Их можно использовать в теории обобщённых краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными и при дальнейших исследованиях уравнений математической физике.

Ключевые слова: обобщённая краевая задача, обобщённая функция, полулинейное параболическое уравнение, нелинейное интегральное уравнение, квазилинейная параболическая система уравнений, сопряжённые операторы Грина, нормированное весовое функциональное пространство, теорема Шаудера о неподвижной точке, принцип сжатых отображений.

Размещено на Allbest.ru