Для построения модифицированной снежинки Коха используется однотипное, бесконечное число раз повторяемое преобразование ориентированного отрезка прямой в многозвенную ломаную линию. Существо преобразования заключается в следующем.

Рассмотрим на плоскости отрезок прямой длины с фиксированной ориентацией от точки к точке , позволяющей различать левую и правую окрестности . Интересующее нас преобразование является результатом последовательного применения трех процедур:

· деления на равных отрезка;

· построения на каждом чётном отрезке (число таковых будет ), как на основании, равностороннего треугольника, две вершины которого совпадают с концами отрезка, а третья вершина располагается по левую сторону от ;

· удаления из полученной фигуры оснований построенных равносторонних треугольников, см. рис 1.

1. Удобства ради в дальнейшем исходный отрезок будем обозначать через , полученную из него ломаную линию - через , а преобразование - через . Очевидно, что ломаная состоит из звеньев, причем длина каждого звена - , а длина всей ломаной - = . Добавим к этому, что преобразование оставляет неподвижными начало и конец отрезка (впрочем, также и все точки нечетных отрезков) и переносит ориентацию от к на .

Теперь применим преобразование к , понимая под этим, что применяется одновременно ко всем отрезкам (звеньям), составляющим ломаную . Очевидно, что оставляет неподвижными концы всех звеньев ломаной . В результате преобразования получим новую ломаную = , у которой, как нетрудно проверить, число звеньев равно , длина каждого звена - = , а вся длина - = = , см. рис 2.

Если далее сделать еще одну - итерацию уже над , а затем над получаемой ломаной и т.д., то после выполнения итераций получится ломаная линия

= =

с числом звеньев , с длиной каждого звена - = = и с общей длиной - = = . Подчеркнем также, что, как и для , ,…, , ломаная имеет начало в точке и конец в точке .

Кроме того, концы всех звеньев ломаной при - преобразовании остаются неподвижными.

При получим предельную кривую

= ,

начало и конец которой совпадают соответственно с точками и . Отметим, что предельная кривая состоит из теоретико-множественного объединения точек ? концов ломаной для

Из выражения для следует, что

,

т.е. длина предельной кривой между точками и равна бесконечности. Отметим, что этот результат не зависит от длины начального отрезка , в связи с чем, очевидно, имеет место следующее

Утверждение 1. Как бы не были близки (в смысле евклидового расстояния на плоскости) любые две точки и кривой кусок этой кривой, заключенный между и , имеет бесконечную длину.

Этому утверждению можно придать практическую интерпретацию, если ввести понятие "точки" на кривой , понимая под этим пару точек, принадлежащих и расположенных настолько близко, что с позиции применяемых измерительных приборов они не различимы и воспринимаются как одно целое. Тогда можно высказать и

Утверждение 2. Любая "точка" предельной кривой имеет бесконечную длину.

Очевидно также и такое

Утверждение 3. Любые "окрестности" любых внутренних точек предельной кривой имеют бесконечную длину, причем под словом "окрестность" следует понимать пересечение кривой с достаточно малой круговой окрестностью выбранной точки.

2. Теперь займемся построением модифицированной снежинки Коха. Для этих целей на плоскости возьмем в качестве основы правильный выпуклый многоугольник с сторонами длиной . Обозначим его границу (замкнутую выпуклую ломаную линию) через и установим на ней ориентацию по часовой стрелке, при которой внутренность многоугольника располагается справа.

Применим преобразование к , имея ввиду, как и раньше, что операция действует одновременно на все звенья замкнутой ломаной . Результатом преобразования будет замкнутая ломаная линия , состоящая из звеньев с длиной каждого звена, равной , и общей длиной - , см. рис.3.

Применяя - преобразование к , затем к = и т.д., после выполнения итераций получим замкнутую ломаную линию

= = ,

у которой число звеньев - , длина каждого звена - = и периметр - . Для удобства эти и другие необходимые данные о ломаных представлены в таблице 1.

Таблица 1

Предельная замкнутая кривая , получаемая из при , ограничивает на плоскости фигуру, которую назовем модифицированной снежинкой Коха. Её граница обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Кривая имеет бесконечную длину.

Свойство 2. Любая "точка" кривой имеет бесконечную длину.

Свойство 3. Любой ”фрагмент" ("кусок”) кривой имеет бесконечную длину.

Перечисленные свойства являются очевидными следствиями того, что установлено ранее. А вот ещё одно свойство требует проверки:

Свойство 4. Кривая оконтуривает на плоскости фигуру, имеющую конечную площадь.

Для подтверждения этого свойства следует проверить, что последовательность площадей, ограничиваемых замкнутыми ломаными линиями , сходится. В самом деле, поскольку - операция преобразует в замкнутую ломаную , охватывающую , то между соответствующими им площадями устанавливается соотношение:

,

где - суммарная площадь тех равносторонних треугольников, которые при - преобразовании участками "присоединяются” к площади , ограничиваемой ломаной .

Пусть - площадь правильного многоугольника с сторонами. При - преобразовании к площади "присоединяются” равносторонних треугольников с длинами сторон и площадями, равными . Следовательно,

.

Далее при - преобразовании к площади последнего "присоединяются” равносторонних треугольников с длинами сторон и площадями, равными . Поэтому

.

И, наконец, по аналогии можно получить

.

Приведенные данные показаны в четвертой, пятой и шестой колонках таблицы 1. Теперь остается записать формулу для в виде

и, соответственно, при

.

Поскольку при , то ряд для сходится, и свойство 4 действительно имеет место.

3. Пусть за счет выбора подходящего значения длина звена многоугольника стала достаточно малой величиной = = . Число таких звеньев, как видно из таблицы 1, равно = . Согласно определению, хаусдорфова или же фрактальная размерность границы модифицированной снежинки Коха вычисляется по формуле

.

Внося в эту формулу выражения и и переходя к пределу при , получим

.

Отметим, что значение не зависит от , т.е. от числа сторон порождающего многоугольника .

модифицированная снежинка кох фрактальная кривая

Далее приводится таблица 2 для числовых значений фрактальной размерности модифицированной снежинки Коха в зависимости от натурального числа .

Таблица 2

Замечание 1. В частном случае, при и , модифицированная снежинка Коха превращается в геометрический объект, придуманный Гельгом фон Кохом в 1904 году, [1]. Из таблицы 2 видно, что фрактальная размерность снежинки Коха является наибольшей в сравнении с её модификациями.

Замечание 2. Обратимся к примеру Ван дер Вардена - функции, непрерывной на всей числовой оси и нигде не дифференцируемой, [2]. Эта функция получается суммированием бесконечного числа "зубчатых” кусочно-гладких функций, а её график напоминает конструкции фрактальных кривых. В связи с настоящим исследованием интересно получить ответы на два вопроса.

· Какую длину, конечную или же бесконечную, имеет любой кусок кривой Ван дер Вардена, однозначно проектирующийся на конечный отрезок числовой оси?

· Является ли граница модифицированной снежинки Коха нигде не дифференцируемой функцией или же нет?

· Или же в более общей формулировке, являются ли характерными свойствами фрактальных кривых их не дифференцируемость ни в одной своей точке и бесконечность длины любого их куска?

Институт математики АН Республики Таджикистан

Литература

1. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. - 352 с.

2. П.С. Александров. Введение в общую теорию множеств и функций. Москва - Ленинград. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948, 412 с.

Размещено на Allbest.ru