Властивості аналітичних у півплощині та мероморфних кругових кільцях функцій

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

Актуальність теми. Метод рядів Фур'є для вивчення властивостей цілих та мероморфних функцій почав активно використовуватися з середини минулого століття Л. Рубелом, Б. Тейлором, Д. Майлзом та іншими американськими математиками. Цей метод виявився ефективним у процесі розв'язування багатьох задач теорії мероморфних та аналітичних функцій, теорії Неванлінни розподілу значень, теорії цілих та мероморфних функцій цілком регулярного зростання.

Одним з результатів застосування методу рядів Фур'є були роботи американських математиків Л. Рубела та Б. Тейлора, у яких було подано вичерпний опис нулів та полюсів мероморфних функцій f з доволі загальних класів Л мероморфних функцій скінченного л-типу, які визначаються довільними додатними, неспадними, необмеженими та неперервними мажорантами л(r) їх неванліннівських характеристик T(r,f).

У 80-х роках важливі результати були отримані А. А. Кондратюком, який поширив теорію Левіна-Пфлюгера цілих функцій цілком регулярного зростання на мероморфні функції довільного л -типу.

К. Г. Малютін та Н. Садик поширили вищезгадані результати на функції, мероморфні у півплощині. Причому, вони довели свої результати одразу для д-субгармонійних функцій.

Mи pозглядаємo класи аналітичних у замиканні верхньої півплощини = { z: Im z > 0} функцій скінченого г-типу, які визначаються досить загальними обмеженнями на їх зростання:

T(r, f) ? г (B r),

при деяких A>0, B>0 та при всіх > , г деяка функція зростання (неперервна, неспадна, необмежена, дадатнa функція на [0; +?)).

K. Г. Малютіним був встановлений критерій належності функції до такого класу в термінах sin-коефіцієнтів Фур'є функції log |f|. Ці коефіцієнти Фур'є виражаються через нулі функції f та її значення на межі і одержуються з класичної формули Карлемана.

Отже, критерій Малютіна дає певні умови на нулі та поведінку функції на межі для того, щоб вона була функцією скінченного г-типу.

Однак, у багатьох питаннях, завдяки принципу аргумента, важливу роль відіграє аргумент функції. Тому виникає питання про встановлення критерію скінченності г-типу функції f з розглядуваного класу в термінах її аргумента. При цьому поведінка аргумента, за аналогією з гармонійно спряженою, може бути складнішою ніж модуля функції f.

В цій рoбoті встановлено критерій скінченності $\gamma$-типу функції f в термінах cos-коефіцієнтів Фур'є її аргумента. Тим самим одержано нові умови на розподіл нулів функції f та її поведінку на .

Багато задач пoтрeбують вивчення мероморфних функцій у неоднозв'язних областях. Так композиція f ?R трансцендентної мероморфної в функції f та раціональної функції R з n різними полюсами в є мероморфною функцією в n+1-зв'язній області. Згадані полюси будуть істотними особливостями даної композиції функцій.

Випадок двозв'язної області є особливим. Кожна така область конформно еквівалентна деякому кільцю чи проколотій площині. Голоморфні функції змінної z, визначені у кільці з центром в точці z=0, володіють деякими визначними властивостями. Вони можуть бути розвинені в ряд Лорана, для них справедлива теорема Адамара про три кола, інтегральні середні їх модулів а також логарифмів їх модулів є опуклими функціями змінної log |z|.

Природно, що властивості функцій, мероморфних у багатозв'язних областях і, зокрема, розподіл значень мероморфних у багатозв'язних областях комплексної площини функцій вивчалися багатьма авторами. Серед них Г. Хельстрьом, Н. Огюзторелі, Дж. А. Дженкінс, Г. Кюнці, Г. Віттіх, B. A. Зморович, Г. У. Матевосян, Р. Корхонен та інші.

У роботах Г. У. Матевосяна (1977) та Р. Корхонена (2004) зроблена спроба перенести теорію Неванлінни на функції, мероморфні в кільці. Але у запропонованих ними підходах основні характеристики не є однопараметричними. Ще більш ранньою за часом спробою є робота B. A. Зморовича. Але його підхід базується на формулі Гріна для кільця, яка є досить громіздкою. У нашому підході ми доводимо аналог теореми Йенсена для кільця, базуючись на якій, вводимо однопараметричні неванліннівські характеристики і розвиваємо теорію Неванлінни для мероморфних в кільцях функцій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами таких тем: МА-80Б "Функціонально-аналітичні методи в комплексному аналізі і теорії операторів" (номер держреєстрації 0101U001436), МА-222Ф "Методи гармонійного аналізу в теорії функцій та спектральна теорія лінійних операторів" (номер держреєстрації 0104U002122).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження властивостей функцій, аналітичних у комплексній півплощині, методом рядів Фур'є та побудова теорії Неванлінни для мероморфних у плоских кругових кільцях функцій, що передбачає вирішення таких задач:

-- одержання критерію скінченності г-типу для аналітичних у верхній півплощині функцій у термінах коефіцієнтів Фур'є аргументів цих функцій;

-- встановлення аналога теореми Йенсена для кільця, введення однопараметричних неванліннівських характеристик та доведення аналогів Першої і Другої основних теорем та інших класичних результатів теорії Неванлінни розподілу значень мероморфних у кільцяx функцій.

Об'єктами дослідження є аналітичні у півплощині функції та функції, мероморфні у кільцяx.

Предметом дослідження є властивості функцій, аналітичних у півплощині та функцій, мероморфних у кільцяx, розподіл їx значень, аналог теорії Неванлінни.

Основними методами досліджень є метод рядів Фур'є, а також різноманітні методи теорії функцій комплексної змінної, методи математичного аналізу та деякі прийоми з робіт Р. Неванлінни, Дж. Літтлвуда, А. П. Гришина, К. Г. Малютіна, А. А. Кондратюка.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими та оригінальними дослідженнями. У роботі вперше

-- отримано критерій належності аналітичних у замкненій півплощині функцій до класу функцій скінченного г-типу в термінах коефіцієнтів Фур'є аргументів цих функцій;

-- введено oднoпapaметpичні аналоги характеристик Неванлінни та Сімідзу-Альфорса для мероморфних у кільцях функцій, а також досліджено їх властивості;

-- доведено аналоги теореми Картана, Першої і Другої основних теорем та інших класичних результатів теорії розподілу значень Неванлінни для мероморфних у кільцях функцій.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, подані у дисертації, мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях із загальнoї теорії мероморфних функцій, теорії розподілу значень Неванлінни, а також при вивченні властивостей функцій, аналітичних у півплощині та мероморфних у багатозв'язних областях.

Особистий внесок здобувача. Усі основні наведені у роботі результати отримані здобувачем самостійно. У спільних з науковим керівником публікаціях А. А. Кондратюку належить постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Усі основні результати дисертації доповідались та обговорювались на :

1) міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Львові (Львівський національний університет, керівники семінару - доктор фізико-математичних наук, професор А. A. Кондратюк і доктор фізико-математичних наук, професор О. Б. Скасків);

2) семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Харкові (Харківський національний університет,

керівник семінару - доктор фізико-матема- тичних наук, професор А.~П.~Гришин);

3) міжнародній конференції "Функціональний аналіз та його застосування", присвяченій

110-річниці від дня народження С. Банаха (Львів, 28 -- 31 травня 2002 р.);

4) Другій міжнародній конференції "Математичний аналіз та економіка" (Суми, 1 - 4 квітня 2003 р.);

5) міжнародній конференції "Геометрична топологія та застосування" (Львів, 26 - 30 квітня 2004 р. ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 6 роботах (1 без співавторів), з яких 3 (1 без співавторів) опубліковано у виданнях, включених до переліку ВАК України та 3 у тезах міжнародних конференцій.

Структура і загальний обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів,

розділених на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 116 сторінок. Список використаних джерел обсягом 5 сторінок включає 36 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовується актуальність теми, вказується мета, теоретичне значення і апробація результатів, особистий внесок здобувача і кількість публікацій, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, подається загальна характеристика дисертації.

Перший розділ присвячений огляду літератури за темою дисертації та огляду основних отриманих результатів.

У другому розділі розглядаються функції, аналітичні у замиканні верхньої півплощини ={z: Im z > 0 }. У ньому встановлюється критерій належності таких функцій до класу функцій скінченного г-типу, який визначається деякою функцією зростання г=г(R) (додатна, неперервна, необмежена, зростаюча на [0;+?) функція), що задовольняє умову

Нехай f аналітична в замиканні верхньої півплощини функція, f(0) 0. Тоді існує r>0 таке, що f(z) 0 при |z| ? r, Im z 0. Визначимо функцію log f(z) наступним чином. Візьмемо точку z₀ таку, що |z₀|=r, і виберемо деяке значення log f(z₀).

Якщо промінь z(t)=te^iи, 0 ? t ? R, не містить нулів функції f(z), покладемо де інтегрування здійснюється вздовж наступного шляху. Спочатку обходиться дуга кола |z|=r від точки z₀ до re^iи, а потім промінь z(t)=te^iи до точки z=Re^iи. Якщо промінь z(t)=te^iи при t r містить нулі функції f і f(Re^iи) ? 0, покладемо

Нехай Лемoю 2.1 встановлюється фopмули для коефіцієнтів Фур'є в термінах нулів функції f та значень log f на с.

Лема 2.1. Нехай функція f аналітична у ={ z : Im z 0 }, { z_j } - послідовність її нулів. Нехай n(t,f) -- лічильна функція нулів функції f у G_t = {z : Im z > 0, r<|z|<t } Тоді мають місце наступні співвідношення

Наступне співвідношення виконується за умови відсутності нулів функції f на дійсній осі

Співвідношення (4) це аналог формули Йенсена для верхньої півплощини у випадку, коли дійсна вісь не містить нулів функції f. Крім того, співідношення (2) при k=1 -- це класична формула Карлемана, з залишковим членом, поданим у явному вигляді.

Наступні означення введені А. П. Гришиним.

Означення. Субгармонійна в функція v називається істинно субгармонійною, якщо

Клас істинно субгармонійних у функцій позначaється через JS.

Нехай SK клас субгармонійних функцій в, що мають додатну гармонійну мажоранту в будь-якій обмеженій області з. Функції з класу SK володіють наступними властивостями:

a) v(z) має недотичну границю v(t) майже скрізь на дійсній осі і v(t);

b) на дійсній осі існує знакозмінна міра така, що

Міра називається граничною мірою функції v;

c) -- сингулярна міра відносно міри Лебега.

Для функції v SK А. П. Гришиним введено поняття повної міри л

де міра Рісса функції v. Міра л володіє наступними властивостями:

1) л -- скінченна міра на кожному компакті;

2) л -- додатнa міра поза ;

3) л дорівнює 0 у півплощині ={z : Im z < 0 }.

Нехай

де розвинення Жордана повної міри л, що відповідає функції v.

Неванліннівська характеристика T(R,v) істинно субгармонійної функції v визначена у роботі А. П. Гришина

Поняття функції скінченного г-типу в комплексній півплощині було введено К. Г. Малютіним.

На функцію зростання г накладається умова (1).

Означення (К. Г. Малютін). Функція v JS називається функцією скінченного г-типу у верхній півплощині якщо існують сталі A та B, такі що

Відповідний клас істинно субгармонійних функцій скінченного г-типу у верхній півплощині позначається через JS(г).

Аналітичну в функцію f назвемо функцією скінченного г-типу, якщо log |f| JS(г).

Основним результатом розділу 2 є критерій належності функції, аналітичної у замиканні верхньої півплощини, до класу істинно субгармонійних функцій скінченного г-типу, який складає зміст наступної теореми.

Теорема 2.1. Нехай г функція зростання, . Нехай функція f аналітична у замиканні верхньої півплощини і |f(t)| ? 1 при t . Тоді наступні твердження еквівалентні:

(i) f JS(г).

(ii) |a_k(R,f)| ? A г( BR ) , при деяких cталих A, B та всіх R, R > r,.

Наслідком цієї теореми а також результатів, доведених К. Г. Малютіним, є ще один критерій.

Теорема 2.2. Нехай г функція зростання, . Нехай функція f аналітична у замиканні верхньої півплощини і |f(t)| ? 1 при t. Тоді наступні твердження еквівалентні:

(i) f JS(г).

(ii) |l_k(R,f)| ? A г( BR ) , при деяких cталих A, B та всіх R, R > r, де

Розділ 3 присвячений побудові аналогу теорії Неванлінни для функцій, мероморфних у плоскиx круговиx кільцяx. Ключовим моментом у нашому підході є наступне. Кожна двозв'язна область конформно еквівалентна деякому кільцю

Ми розглядаємо лише два випадки:

1) r = 0, R = +? одночасно, та

2) 0 < r < R < +?.

В останньому випадку гомотетія водить дане кільце до кільця де Таким чином, у кожному з цих двох випадків область є інваріантною відносно інверсії z 1/z. Дoвeдeнa нaми теоремa Йенсена для кільця дозвoляє довecти yci peзyльтaти до Другoї основнoї теореми.

Нa підcтaві формули Йенсена вводиться характеристична функція типу Неванлінни для функцій, мероморфних у кільці дe 1< < +?.

Покладемо

дe n₁(t , f) -- лічильна функція полюсів функції f у кільці { z : t < |z| ?1 }, a n₂(t , f) -- лічильна функція полюсів цієї ж функції у кільці { z : 1< |z| ? t }.

Нехай f -- функція, мероморфна у кільці, дe 1< < +?. Функцію

назвемо неванліннівською характеристикою функції f.

Bводиться також аналог характеристики Сімідзу-Альфорса.

У підрозділі 3.2 дається зв'язок характеристики T₀(R,f) з класичною характеристикою Неванлінни T (r,f) у випадку, коли функція f мероморфно продовжується у, а саме

Аналог формули Йенсена для кільця, який складає зміст теореми 3.1 доводиться у підрозділі 3.3.

Теорема 3.1. Нехай f відмінна від тотожно сталої мероморфна у кільці, дe функція. Тоді для всіх R, таких що 1<R<R₀.

Підрозділ 3.4 містить аналог теореми Картана а також найпростіші властивості характеристик

Лема 3.5. Нехай функція f мероморфна у кільці, дe 1< < +? і характеристика T₀(R,f) визначена рівністю (5). Тоді для всіх R, таких що 1<R < R₀.

Як наслідок цієї леми отримуємо, що неванліннівська характеристика T₀(R,f) є невід'ємною, неперервною, неспадною та опуклою відносно log R на [1; R₀) функцією.

Лемa 3.6. Нехай f, f₁, f₂ -- відмінні від тотожно сталих мероморфні у кільці , дe 1< < +? функції. Нехай T₀ неванліннівська характеристика, а - сферична характеристика. Аналог Першої основної теореми неванліннівської теорії розподілу значень для кільця доводиться у підрозділі 3.5.

Teoрeма 3.2 Нехай f відмінна від тотожно сталої меромофна у кільці, дe 1< < +?, функція, і T₀(R,f) її неванліннівська характеристика функція. Тоді для кожного фіксованого .

Підрозділ 3.6 містить доведення Теореми 3.3, що є аналогом першої основної теореми теорії розподілу значень у термінах сферичної характеристики (характеристики Сімідзу-Альфорса).

Теорема 3.3. Нехай f відмінна від тотожно сталої мероморфна у кільці, дe 1< < +?, функція, і її сферична характеристика. Тоді для всіх R таких, що 1 <R < R₀, і для всіх .

Теорема 3.4 описує клас функцій, характеристика T₀(R,f) яких зростає не швидше ніж log R при . Доведення цього результату знаходиться у підрозділі 3.7.

Теорема 3.4. Нехай f -- функція мероморфна у кільці її неванліннівська характеристична функція. Тоді тоді і лише тоді, коли функція f раціональна.

Розділ 4 присвячений доведенню аналогів Другої основної теореми теорії розподілу значень та співвідношення дефектів для функцій, мероморфних у кільці. Для цього спочатку доводиться аналог Леми про логарифмічну похідну.

Teoрeма 4.1 ( Лема про логарифмічну похідну). Нехай f відмінна від тотожно сталої мероморфна у кільці, дe 1< < +?, функція і л. при R за винятком множини, такої що (ii) якщо , то для R . У підрозділі 4.3 доводиться аналог Другої основної теореми теорії розподілу значень для кільця. У процесі доведення використовується лема про логарифмічну похідну (Теорема 4.1).

Підрозділ 4.4 присвячений питанню дефектних значень функції, мероморфної у кільці. Поняття дефектного значення (або дефекту) вводиться за аналогією з класичним випадком функцій мероморфних у всій комплексній площині , з деякими очевидними модифікаціями.

Якщо f відмінна від тотожно сталої мероморфна у кільці функція і , то величина називається дефектом функції f в точці a,

Теорема 4.3 дає співвідношення дефектів для функції f, що задовoльняє вищевказані умови.

Висновки

функція теорема півплощина мероморфний

У дисертаційній роботі вивчаються властивості функцій, аналітичних у верхній комплексній півплощині, а також мероморфних у плоских кругових кільцях функцій. Зміст основних результатів роботи полягає у наступному:

-- отримано критерій належності функцій, аналітичних у замиканні верхньої півплощини до класу функцій скінченного г-типу в термінах коефіцієнтів Фур'є аргументів цих функцій;

-- введено аналоги характеристичних функцій Неванлінни та Сімідзу-Альфорса для мероморфних у плоских кругових кільцях функцій, а також досліджено їх властивості;

-- доведено аналоги Першої та Другої основних теорем, теореми Картана та інших класичних результатів теорії розподілу значень Неванлінни для функцій, мероморфних у кільцях.

Результати подані у дисертації мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях із загальної теорії мероморфних функцій, теорії розподілу значень Неванлінни, теорії функцій цілком регулярного зростання а також при вивченні властивостей функцій, аналітичних у півплощині та мероморфних у багатозв'язних областях.

Основні результати дисертаційної роботи мають завершений вигляд або форму критерію. При їх отриманні використовуються класичні та сучасні методи теорії функцій комплексної змінної, теорії рядів Фур'є, математичного аналізу.

Список опублікованих праць

1. A. Ya. Khrystiyanyn One criterion of г-type finiteness of an analytic in a half-plane function. // Matematychni studii -- 2004. -- V. 21, № 2 -- c. 151 -- 169.

2. A. Ya. Khrystiyanyn, A. A. Kondratyuk On the Nevanlinna theory for meromorphic functions on annuli. I // Matematychni studii -- 2005. -- V. 23, № 1 -- c. 19 -- 30.

3. A. Ya. Khrystiyanyn, A. A. Kondratyuk On the Nevanlinna theory for meromorphic functions on annuli. II // Matematychni studii -- 2005. -- V. 24, № 1 -- c. 57 -- 68.

4. A. Khrystiyanyn, A. Kondratyuk On Fourier series of logarythm of analytical in half-plane function. // Book of abstracts / Second International Conference on Functional Analysis and its Applications Dedicated to the 110^th anniversary of Stefan Banach, Lviv, May 28-31, 2004, p. 103-104.

5. A. Khrystiyanyn, On the Fourier series of argument of an analytic in the half-plane function. // Book of abstracts / Second International Conference "Mathematical Analysis and Economics", Sumy, April 1-4, 2003, p. 27-28.

6. A. Ya. Khrystiyanyn, A. A. Kondratyuk On the Nevanlinna theory for meromorphicfunctions on annuli.} // Book of abstracts / International Conference "Geometric Topology: Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications", Lviv, May 26-30, 2004, p. 30-31.

Размещено на Allbest.ru