Математичне моделювання в комп’ютерній томографії з використанням інтерфлетації функцій

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Остання чверть 20-го століття ознаменувалась появою, інтенсивним розвитком і широким впровадженням одного з видатних досягнень людства - комп'ютерної томографії. В основі комп'ютерної томографії лежать теоретичні результати німецького вченого Й. Радона, який ще на початку 20-го століття розвинув теорію перетворення функцій багатьох змінних (це перетворення тепер називається перетворенням Радона). Згідно з цим перетворенням функцію багатьох змінних можна характеризувати не тільки її значеннями у точках багатовимірного простору, але також інтегралами від цієї функції, взятими по нескінченній сукупності ліній або площин (якщо кількість змінних більше двох). На практиці інформація про функцію може бути отримана тільки у вигляді фіксованого числа вказаних інтегралів, отриманих по деякій скінченій множині ліній або поверхонь. Тому практична реалізація ідей Й. Радона у вигляді комп'ютерних томографів, що використовують опромінення об'єкта рентгенівськими променями, з'явилась лише в кінці 20-го століття. За останні три десятиліття комп'ютерна томографія зробила потужні кроки у напрямку удосконалення алгоритмів, програмних засобів та апаратної реалізації. Значно зросла швидкість, точність та якість візуалізації перетинів досліджуваного тіла на екранах моніторів комп'ютерних томографів. Розвиваються нові напрямки комп'ютерної томографії, в основі яких лежать дещо інші підходи, ніж ті, що витікають безпосередньо з праць Й. Радона - магнітно-резонансна томографія, ультразвукова томографія, оптична томографія та інші види томографічного відновлення, які можуть не використовувати опромінення об'єкта рентгенівськими променями.

Не дивлячись на значні успіхи в комп'ютерній томографії, практична реалізація томографічного методу ще далека від оптимальності. Однією з основних причин, які підтверджують таке твердження є недостатньо обґрунтована кількість проекцій (даних Радона), яку використовують сучасні рентгенівські комп'ютерні томографи для відновлення об'єкту у заданому перетині (тобто не обґрунтована доза опромінення об'єкта). Друга причина полягає у тому, що сучасні комп'ютерні томографи (не тільки рентгенівські) при відновленні об'єкта у заданому перетині демонструють на екранах дисплеїв артефакти - не властиві реальному об'єкту структури - тіні, нечіткість зображення, вкраплення тощо.

У практиці дослідження томографічних зображень часто виникає задача отримання зображення перетину тіла у тих площинах, для яких немає зображення, за відомими зображеннями у деякій сукупності перетинів. Аналогічна задача виникає зокрема при дослідженні кори головного мозку піддослідних тварин.

Існують сучасні програмні пакети, такі як Adobe Illustrator, Digital Anatomy, 3D Max, в яких можна отримати перерізи тривимірного тіла. Підкреслимо, що ці програмні пакети відновлюють внутрішню структуру тривимірного тіла за допомогою томограм, які лежать на площинах, паралельних одній площині. Тобто ці програмні пакети не дають можливість знайти перетин тривимірного поля за даними проекціями, отриманими при перетині тіла системою будь-яких перерізаних площин.

Сучасна обчислювальна математика на даний час приділяє значну увагу розвиткові оптимальних, або близьких до оптимальних методів відновлення функцій однієї та багатьох змінних за допомогою скінченого числа експериментальних даних про ці функції. Це стосується також і комп'ютерної томографії.

Таким чином, актуальною є розробка і дослідження методу відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за відомими його томограмами, що лежать в системі трьох перерізаних площин. Під виразом „відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла” надалі будемо вважати відновлення просторово змінного коефіцієнта поглинання всередині тривимірного тіла.

Мета і задачі дослідження. Метою даного дисертаційного дослідження є розробка методу відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за відомими зображеннями перетинів цього тіла, заданими у вигляді фотографій або томограм, що поступають з комп'ютерного томографа. Ці фотографії або томограми є зрізами тривимірного тіла в заданій системі перерізаних площин.

Для досягнення сформульованої мети в процесі досліджень поставлені та розвязані наступні задачі:

- розробка та дослідження методу відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за відомими зображеннями його перетинів, заданими у вигляді томограм в системі взаємно перпендикулярних площин, при математичному моделюванні в комп'ютерній томографії;

- розробка та дослідження алгоритму відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за відомими зображеннями його перетинів, заданими у вигляді томограм в системі будь - яких перерізаних площин;

- розробка та дослідження алгоритму переведення зображення томограми у функціональну залежність, аргументами якої є номер томограми та координати пікселей;

- створення пакету програм для реалізації і тестування запропонованих алгоритмів.

1. Основні відомі алгоритми двовимірної комп'ютерної томографії та методи розв'язання задач тривимірної томографії

З використанням методів відновлення, згаданих в першому розділі, можна відновити внутрішню структуру тривимірного тіла за відомими томограмами, які лежать на площинах, паралельних одній площині. Тобто з використанням цих методів не можна знайти перетин тривимірного тіла за даними проекціями, отриманими при перетині тіла системою будь-яких перерізаних площин.

2. Дослідження методів відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла на системі його проекцій (томограм), які лежать на системі трьох груп перерізаних площин

Пропонується метод відновлення зображення розподілу просторово змінного коефіцієнта поглинання всередині тривимірного тіла. Джерелом інформації про функцію , тобто про коефіцієнт поглинання всередині тривимірного тіла (надалі, внутрішню структуру), будемо вважати набір площин, а також набір томограм на цих площинах. Доводяться основні твердження та теореми.

Нехай задані три групи томограм. В кожній групі томограми лежать на паралельних площинах. Томограми розташовуються на площинах, які задаються рівняннями наступного вигляду. Група площин задається рівняннями: , група задається рівняннями і група задається так: , де - кількість паралельних площин в групах , , відповідно, числа задані. Вважаємо, що в кожній групі площини паралельні між собою, тобто , . Вводяться наступні позначення:

- вектор, направлений вздовж лінії перетину площин .

де - томограми, задані на площинах , - томограми, задані на площинах , - на площинах ;

Означення. Томограмою (слідом функції ) на площині за умови, що всі три коефіцієнти, тобто або або , не дорівнюють нулю, будемо називати одну з трьох функцій.

3. Дослідження методів відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла на системі томограм, які лежать на системі взаємно перпендикулярних площин

Також представлені результати обробки експериментальних досліджень та розробка програмного забезпечення відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за результатами математичного експерименту, за допомогою інтерфлетації функції.

Інформацією про функцію, тобто про внутрішню структуру тіла, є набір томограм, які лежать на площинах, перпендикулярних координатним вісям відповідно.

При описі внутрішньої структури тривимірного тіла істотно використовуються експериментальні дані - томограми та площини, на яких лежать ці томограми. В розділі проаналізовано вплив похибок задання експериментальних даних на похибку відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла. Визначена похибка заокруглення для методу відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за відомими томограмами, що лежать в системі взаємно перпендикулярних площин.

Висновки

томограма тривимірний перетин

В дисертаційній роботі одержано результати, які в сукупності є подальшим узагальненням і розвитком теорії наближення функції операторами інтерфлетації та фундаментальною основою загального підходу до математичного моделювання й розв'язання задач тривимірної комп'ютерної томографії. Результати роботи є теоретичною основою розв'язання важливої наукової проблеми розв'язання тривимірних задач комп'ютерної томографії.

1. У роботі проведено системний аналіз сучасного стану існуючих засобів математичного моделювання та розв'язання тривимірних задач комп'ютерної томографії.

2. Побудовано загальний вигляд оператора поліноміальної інтерфлетації на системі трьох груп перерізаних площин (в кожній групі площини паралельні).

3. Визначено загальний вигляд оператора сплайн - інтерфлетації на системі томограм, які лежать на взаємно перпендикулярних площинах.

4. Розроблено математичну модель та метод відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за його томограмами (проекціями), що лежать в системі взаємно перпендикулярних площин з використанням побудованого оператора сплайн - інтерфлетації функцій трьох змінних.

5. Отримано та досліджено метод відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за його томограмами, що лежать в системі трьох будь-яких перерізаних площин з використанням побудованого оператора поліноміальної інтерфлетації функцій трьох змінних.

6. Проаналізовано вплив похибок задання експериментальних даних на похибку відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла. Визначена похибка заокруглення для методу відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла за відомими томограмами, що лежать в системі взаємно перпендикулярних площин. Отримана оцінка похибки цього методу, виходячи з якої можна встановити, що оператор інтерфлетації функцій трьох змінних на системі взаємно перепндикулярних площин має похибку , якщо вони використовують опрератори класичних методів (інтерполяції) по кожній із змінних, що мають похибку .

7. В даній роботі вперше дається поняття томограми в математичному сенсі як сліду функції трьох змінних на заданій площині та досліджено алгоритм переведення зображення томограми у функціональну залежність, аргументами якої є номер малюнка та координати пікселей. Це дає можливість працювати з томограмами, як з функціями, тобто дозволяє отримувати за номером малюнка його зображення та виділяти компонент кольору у вказаній точці малюнку.

8. Створено пакет програм для реалізації і тестування запропонованих алгоритмів.

9. Практичне значення результатів підтверджується їх впровадженням. Результати дисертаційної роботи впроваджено в держбюджетну науково-дослідну роботу та в навчальний процес Української інженерно - педагогічної академії.

10. Побудовані в роботі математичні моделі, методи та алгоритми можуть бути використані для комп'ютерних томографів з класичною схемою збору даних (віяльна). Практичне використання результатів роботи дозволяє значно підвищити точність отриманих розв'язків.

Всі теоретичні твердження дисертаційної роботи доведені у відповідних лемах та теоремах і підтверджені на тестових прикладах за допомогою створених дисертантом програм у системах комп'ютерної математики MATLAB. Вказані програми наведені з детальним описом в Додатках до дисертації.

Література

1. Литвин О.М., Першина Ю.І. Математична модель відновлення внутрішньої структури тривимірного об'єкта за відомими його томограмами з використанням інтерфлетації функцій. // Доповіді НАНУ. -2005. - №1. - С. 20-24.

2. Литвин О.М., Першина Ю.І. Математична модель відновлення тривимірних об'єктів за їх томограмами на системі трьох груп перерізаних площин з використанням інтерфлетації функції. // Доповіді НАНУ. - 2005. - №8. - С. 67-71.

3. Литвин О.Н., Першина Ю.И. Восстановление внутренней структуры трехмерных объектов по их следам на системе трех групп пересекающихся плоскостей с использованием интерфлетации функции. // Компьютерная математика. - Киев, 2006. - №1. -С.70 - 79.

4. Литвин О.Н., Першина Ю.И. Восстановление внутренней структуры трехмерного объекта по его томограммам, лежащим в системе трех групп пересекающихся плоскостей // Автометрия. - 2006. -Т.42, №2. - С.107 - 118.

5. Литвин О.М., Першина Ю.І. Відновлення тривимірних об'єктів за їх слідами на системі перерізаних площин з використанням інтерфлетації функцій.// Оброблення сигналів і зображень та розпізнавання образів: Праці сьомої міжнародної всеукраїнської конференції (11-15 жовтня 2004 р.). - Київ. - 2004р. -С.221-224

6. Oleg N. Lytvyn, Yulia I. Pershina Reconstruction of 3 - D objects with use interflation of functions. // Signal and image processing: Proceeding of the Second IASTED International Multi - Conference on Automation, Control, and Information Technology (June 20 - 24 2005). - Novosibirsk. - 2005. - P.274 - 279.

Размещено на Allbest.ru