Уравнение Пелля и диофантовые уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 511

Уравнение Пелля и уравнение

THE PELLIAN EQUATION AND THE EQUATION

В.А. Мешков, канд. техн. наук (ОИР Украины, г. Евпатория)

V.A. Meschkoff

С помощью алгебраических чисел получены явные выражения и нелинейные рекуррентные соотношения для решений диофантовых уравнений , что позволило найти простое решение диофантова уравнения В приложении показана возможность обобщения данного подхода.

пелль диофантовый алгебраический рекуррентный

With algebraic numbers we have evident representations and nonlinear recurrent correlations for solutions of diophantine equitions , and that is the way to find the simple solution of diophantine equition In appendix we demonstrate possibility for present approach generalization.

Уравнение Пелля и уравнение

В 1942 г. Люнгрен (Ljunggren W.) получил решение уравнения , которое было настолько сложным, что покойный профессор Морделл ( Mordell L.J.) утверждал: « Трудно вообразить более сложное решение, и можно только желать его упрощения.» 3. Последующие упрощения решения 3,4 все же использовали изощренные математические методы и сложные вычисления.

При этом не учитывалось, что данное уравнение является частным случаем уравнения , которое связано с уравнением Пелля.

Уравнение Пелля является одним из наиболее изученных диофантовых уравнений. Весьма подробное изложение истории исследования этого уравнения имеется в 1. Далее будем рассматривать только решения в натуральных числах, и если найдено начальное решение уравнения Пелля то бесконечная последовательность всех решений может быть найдена из соотношения 2, стр.341.

Для простоты рассмотрим случай , при необходимости последующее изложение несложно обобщить для произвольного натурального Известно, что решения можно получить из рекуррентной цепочки равенств 1,стр.43

(1)

Четные значения n дают решения уравнения Пелля , т.е. Нечетные значения n дают решения уравнения

Удобно использовать алгебраические числа

(2)

С их помощью соотношения (1) представим в виде

(3)

Отсюда можно получить нелинейные рекуррентные формулы для решений уравнения Пелля

(4)

Непосредственной проверкой несложно с помощью (3) установить нелинейные рекуррентные формулы для решений уравнения

(5)

Соотношения (5) позволяют получить довольно простое решение диофантова уравнения В соответствии с (5) решения этого уравнения должны удовлетворять соотношениям пифагоровой тройки, т.е. возможны:

2 случай а) и случай б): .

Действительно, из соотношений (1-3) следует, что и эти числа взаимно простые. Поэтому для случая а) с учетом (4) должно выполняться условие для пифагоровой тройки , где и имеют разную четность. Тогда из первого условия следует, что четное, т.к. всегда нечетно, а четно при четном . При этом из (1) следует

(6)

В соответствии с (4) для четного m получим из (6)

(7)

Из уравнения (7) видим, что решение возможно, если В простейшем случае Это соответствует начальному решению (1) Но это решение не относится к пифагоровым тройкам, т.к. для них При уравнение (7) не имеет решения, т.к. .

Аналогично рассмотрим случай б), и с учетом (4) условие для пифагоровой тройки имеет вид: при четном Из соотношений (1) или (3) нетрудно вывести, что Теперь получим условия существования решения

(8)

Для четных с учетом (4) из этого следует

(9)

Очевидное решение (10) при соответствует Далее с учетом (5) находим, что Используя (3)

Таким образом имеем второе решение уравнения Теперь нетрудно заметить, что при уравнение (10) не имеет решения, т.к.

Теорема. Решения диофантова уравнения исчерпываются значениями

Доказательство. Определим отношение (10)

Обозначим , тогда из (10) следует уравнение , имеющее единственное положительное решение (11)

Для случая а) имеем

(12) 

где четные числа. Из (12) следует, что значения могут принимать только значения монотонно убывающей последовательности . Поэтому причем диапазон возможных значений очень невелик, т.к.

С другой стороны являются решениями уравнения Пелля, т.е. ,что запишем в виде

(13)

Подобные уравнения хорошо известны в связи с использованием для их решения диофантовых приближений2,стр.359. В данном случае решение упрощается, т.к. рациональные значения должны принадлежать к последовательности (12). При имеем решение (13) , а при рассматриваем (13) в виде

(14)

Т.к. то .

Из (14) имеем оценки

(15)

С другой стороны по теореме о среднем имеем простую оценку Лиувилля 2,стр.359 для рациональных значений

(16)

Из (15) и (16) для рассматриваемой последовательности следует оценка

(17)

Окончательно из этого следует, что при уравнения (13) и (14) не имеют решения, т.к. соответствует нечетному , а при в силу оценки Лиувилля.

Соотношения (17), по-видимому, требуют пояснения для неспециалистов в области диофантовых уравнений. Из первой строчки (17) следует, что может существовать константа , и тогда для некоторого может существовать оценка Предположим теперь, что это рационально и соответствует решению уравнений (13) и (14). Но тогда будет локальным минимумом, т.к. например , и приходим к противоречию, т.к. в рассматриваемых пределах монотонная функция. Поэтому приходим к выводу, что искомое решение может быть только в начале последовательности, что дает оценку во второй строчке (17).

Для случая б) имеем из (10) и (11)

(18)

где четные числа. Из (18) следует, что значения могут принимать только значения из монотонно убывающей последовательности . Поэтому где диапазон возможных значений снова невелик, т.к.

С другой стороны являются решениями уравнения Пелля, т.е. ,что запишем в виде

(19)

При имеем решение (19) , и при рассматриваем

(20)

Рассмотрение, аналогичное проведенному для случая а) приводит к оценке ограничений для возможных значений

(21)

Из этого следует, что при уравнения (19) и (20) имеют решение, а при , в силу оценки Лиувилля, других решений в рассматриваемой последовательности нет. Теорема доказана.

В заключение следует заметить, что данный подход обобщается применительно к диофантовым уравнениям, приводимым к виду

Соответствующие соотношения приведены в Приложении.

Литература

1. Эдвардс Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М. : Мир, 1980.

2. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М. : Мир, 1987.

3. R. Steyner and N. Tzanakis. Simplifying the Solution of Ljungrens Equation J. Number Theory 37 (1991), 123-132.

4. Chen Jian Hva. Новое решение диофантова уравнения J. Number Theory 48 (1994), 62-74.

Приложение

Решения диофантовых уравнений

Из известного соотношения для решений уравнения Пелля [2, стр.341]

.

следует, что последовательность решений можно представить с помощью алгебраических чисел

(П1)

С их помощью получаем явные выражения для решений

(П2)

Если для данного имеется решение уравнения то имеем рекуррентную цепочку равенств, аналогичную (1)

(П3)

В этом случае имеем

(П4)

Решения (П3) также представляются в виде, аналогичном (П2)

(П5)

Четные значения n дают решения уравнения Пелля , т.е. Нечетные значения n дают решения уравнения

Последовательность решений удобно представить в матричном виде

(П6)

Нетрудно проверить, что для уравнения Пелля существуют нелинейные рекуррентные соотношения, обобщающие (4)

(П7)

Для аналога нелинейных рекуррентных соотношений уравнения , обобщающих (5), получим

(П8)

Из этого соотношения обнаруживается интересное следствие для уравнения . Заметим, что из (П5) следует, что делятся на . Поэтому из (П8) нетрудно получить, что Если теперь , то необходимо

Решения более общего уравнения состоят из конечного числа последовательностей[1, стр.404]

(П9)

где ? некоторое начальное (наименьшее) решение уравнения , определяющее последовательность. Тогда из (П9) получим

(П10)

Нелинейные рекуррентные соотношения теперь усложняются и должны выводиться и рассматриваться для конкретных значений . Например,

.

Но при рассмотрении уравнений вида можем, например, получить

.

Если теперь в рассматриваемом уравнении , то приходим к соотношениям , которые и являются основой для дальнейшего анализа.

Размещено на Allbest.ru