Сингулярно збурені нормальні оператори та комплексна проблема моментів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики НАН України

УДК 517.9

Сингулярно збурені нормальні оператори та комплексна проблема моментів

01.01.01 -- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Дудкін Микола Євгенович

Київ 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України ”Київський політехнічний інститут”.

Науковий консультант

доктор фізико-математичних наук, професор КОШМАНЕНКО Володимир Дмитрович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу математичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор АРЛІНСЬКИЙ Юрій Мойсейович, Східноукраїнський національний університет ім. В.Даля, завідувач кафедри математичного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор ДЕРКАЧ Володимир Олександрович, Донецький національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу і теорії функцій;

доктор фізико-математичних наук, професор НИЖНИК Леонід Павлович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник відділу функціонального аналізу.

Захист відбудеться ” 20 ” жовтня 2009 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України

Автореферат розісланий ” 4 ” вересня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

сингулярний збурення самоспряжений оператор

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом все більше з'являється моделей, що описуються математичними об'єктами із надзвичайними властивостями, які вважались раніше винятковими, зокрема, збуреннями оператора Шредінгера потенціалами, зосередженими на множинах нульової міри (Лебега) або на фракталах. Розділ математики, який вивчає так збурені оператори називається теорією сингулярних збурень. Типовим прикладом є оператор Лапласа, збурений d-потенціалом.

Найбільш плідним підходом до вивчення властивостей сингулярно збурених операторів є теорія самоспряжених розширень симетричних операторів, започаткована Дж. фон Нейманом і широко розвинена М.Г. Крейном та його численними послідовниками, серед яких Ю.М. Арлінський, М.Л. Горбачук, В.О. Деркач, А.Н.Кочубей, А.В.Кужель, М.М.Маламуд, Е.Р. Цекановський та інші. Вперше цей підхід застосовано в роботах шестидесятих років Ф.А. Березіна, Л.Д. Фаддєєва, Р.А. Мінлоса. На сьогоднішній день кількість робіт, присвячених цій тематиці нараховує що найменше кілька тисяч. Достатньо повна бібліографія зібрана в монографіях С. Альбеверіо зі співавторами. Відзначимо, що в абстрактному вигляді побудова і дослідження властивостей сингулярно збурених самоспряжених операторів проводилась в роботах Й.Браше, В.Д. Кошманенко, В. Карвовського, П. Курасова, Х.Найдхарда, Л.П. Нижника, Б. Саймона.

Близькими і схожими за властивостями до самоспряжених операторів є нормальні оператори. Перенесення і узагальнення результатів теорії самоспряжених розширень на випадок нормальних операторів є складною проблемою. Це мало досліджений напрям, який відкриває можливості будувати моделі математичної фізики, які містять нормальні оператори зі збуреннями сингулярними потенціалами. Зауважимо також, що цей напрям пов'язаний з задачами продовження гвинтових дуг у гільбертовому просторі, узагальнення інтерполяційної проблеми Неванлінни - Піка, відповідні апроксимації Паде тощо. Все це, очевидно, є перспективним і досі мало вивченим полем діяльності в плані використання і розвитку методів функціонального аналізу, стосовно операторів, які є нормальними. Відзначимо, що нормальні оператори виникають при розгляді комплексної проблеми моментів, яка розв'язується подібно до класичної проблеми моментів Гамбургера з використанням, створеного Ю.М. Березанським, методу розкладу за узагальненими власними векторами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності до планів, передбачених у Національному Технічному Університеті України КПІ, Інституті математики НАН України, в рамках проекту ”Спектральна теорія операторів та їх застосування” номер держ. реєстрації 0101U00321, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universitдt Bonn, Institute fuer angewandte Mathematik SFB-611, Німеччина, і в рамках проектів INTAS, проект 00-257, Deutsche Forschungs Gemainschaft проекти DFG 436 UKR 113/43, 53, 67, 78, Державний фонд фундаментальних досліджень України, ДФФД проект Ф25.1/021.

Мета і завдання дослідження. Основною метою роботи є перенесення та розвиток відомих результатів з теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів на випадок сингулярно збурених нормальних операторів (переважно скінченного рангу), застосування та дослідження властивостей таких операторів, зокрема пов'язаних із комплексною проблемою моментів та відповідних блочних матриць Якобі.

Об'єкти і предмет дослідження. Формально нормальні оператори, пари симетричних формально комутуючих операторів, самоспряжені розширення симетричних операторів, сингулярно збурені оператори та їх спектр. Нормальні розширення формально нормального оператора. Моментні послідовності та відповідні блочні три-діагональні матриці Якобі. Точковий спектр сингулярно збурених нормальних і самоспряжених операторів та оператора Лапласа, збуреного точковими потенціалами. Ємність множин в абстрактному гільбертовому просторі.

Методи дослідження. Використано метод самоспряжених розширень симетричних операторів. На його основі дано подальше розвинення методу нормальних розширень формально нормального оператора. Використовуючи метод розкладу за узагальненими власними векторами для скінченного набору комутуючих самоспряжених операторів, сформульований аналогічний метод для нормальних операторів. На основі методів теорії сингулярно збурених самоспряжених операторів розвинені методи теорії сингулярно збурених нормальних операторів. Задачі дослідження є такими. Розширити дослідження сингулярно збурених самоспряжених операторів на випадок нормальних; одержати умови існування та опис збурених рангу один нормальних операторів. Дослідити спектр сингулярно збуреного нормального і самоспряженого операторів. Навести розв'язки комплексної проблеми моментів у різних постановках. Побудувати блочні три-діагональні матриці Якобі, відповідні комплексній проблемі моментів. Дослідити точковий спектр оператора Лапласа, збуреного d-потенціалами із фіксованим розташуванням. Надати характеристику області істотної нормальності за допомогою поняття ємності.

Наукова новизна одержаних результатів

1) Встановлено необхідні і достатні умови існування сингулярно збурених нормальних операторів та одержано повний опис сингулярно збурених рангу один нормальних операторів на основі введення поняття допустимого вектора та шкали гільбертових просторів. Доведено аналог формули М.Г.Крейна для резольвент нормальних розширень формально нормального оператора зі скінченними дефектними числами. Означено клас цілих переднормальних операторів та описано їх основні властивості.

2) Встановлено необхідні та достатні умови існування і єдиності розв'язків комплексної проблеми моментів у степеневій та експоненціальній формах і описано відповідні блочні три-діагональні матриці Якобі.

3) Приведено метод побудови сингулярно збуреного нормального оператора із заданими власними векторами і власними значеннями, зокрема такий, що містить задану обмежену замкнену множину як компоненту неперервного спектру.

4) Для сингулярно збуреного рангу один нормального оператора описана можливість появи дуальної пари точок точкового спектру, серед яких одна накладається на неперервний спектр оператора, який збурюється.

5) Досліджено точковий спектр оператора Лапласа, збуреного d-потенціалами, зосередженими у вершинах деяких правильних геометричних фігур в .

6) За допомогою поняття ємності підпростору в абстрактному гільбертовому просторі дано характеристику переднормальних звужень нормального оператора.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер. Зокрема, результати, які стосуються комплексної проблеми моментів та блочних матриць Якобі, можна використовувати в задачах інтегрування диференціально-різницевих ланцюжків відповідних типів, а також для розвитку теорії інтерполяції Неванлінни - Піка та апроксимації Паде у випадку комплексної площини. Дослідження з цих питань ведуться в Інституті математики НАН України, Київському національному університет ім. Тараса Шевченка, Львівському національному університеті ім. І.Франка, Харківському національному університеті ім. В.Н.Каразіна, Одеському національному університеті ім. І.І.Мечнікова, Донецькому національному університеті, Східноукраїнському національному університеті ім. В.Даля.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації основні результати отримані автором самостійно. На захист виносяться лише ті результати із виконаних у співавторстві робіт, які отримані автором особисто. У спільній роботі [14] -- Ю.М. Березанському належить постановка задачі, а автору розв'язання, внесок співавторів в результати спільних робіт [7, 9, 17, 18, 21] є рівноцінним, в спільній роботі [15] автору належать формулювання і доведенні теореми 3.2.

Апробація результатів дисертації.

Український математичний конгрес, Міжнародна конференція з функціонального аналізу, Київ, 22-26, серпень, 2001.

Міжнародні наукові конференції ім. акад. М.Кравчука, Київ, Інститут математики НАН України, Київський Національний Університет ім. Тараса Шевченка, Нац. пед. ун-т ім. М.Драгоманова, Нац. тех. ун-т України ”КПІ”, IX, 16-19, травень, 2002; X, 13-15, травень, 2004; XI, 18-20, травень, 2006, XII 15-17, травень, 2008.

Міжнародна конференція ”Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь”, Нац. пед. ун-т ім. М.Драгоманова, Інститут математики НАН України, Київський Національний Університет ім. Тараса Шевченка, 16, грудень, 2002.

INTAS Workshop ”Spectral problem for Schrцdinger-type operators II”, Institute of Mathematics, Humboldt-University of Berlin, 11-14, November, 2003.

Seminar session ”Spectral Problem and Fractal analysis”, Institute of Mathematics NAS Ukraine, 25-27, December, 2004.

Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам, ”Методы функционального анализа в задачах математической физики”, (КРОМШ-XVI) 18-29 сентября, 2005.

Розширений семінар ”Математичні методи в теорії складних систем”. Німецько-Український центр міждисциплінарних досліджень та освіти, Національний перагогічний Університет ім. М. Драгоманова, Національний Університет Києво-Могілянська Академія, 29-30 грудня 2004 р.

Спільні засідання семінару відділу математичної фізики Інститут математики НАН України і семінару з фрактального аналізу Національний Педагогічний Університет ім. М. Драгоманова, керівники професори В.Д. Кошманенко, М.В. Працьовитий, 2003, 2004.

Спільні засідання семінару відділу математичної фізики та функціонального аналізу, Інститут математики НАН України, керівник акад. НАН України Ю.М. Березанський, професори В.Д. Кошманенко, М.В. Працьовитий, 2004.

Seminar in Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universitдt Bonn, Institute fuer angewandte Mathematik SFB-611, Німеччина, department head Albeverio S.

Семінар з фрактального аналізу, Національний Педагогічний Університет ім. М.Драгоманова, професор М.В. Працьовитий, 2004.

Об'єднаний семінар з математичної фізики, Інститут математики НАН України, керівники чл.-кор. НАН України Д.Я. Петрина, професори М.С. Гончар, А.У. Клімик, А.Г. Нікітін, 2004.

Семінар ”Алгебраїчні питання функціонального аналізу”, Інститут математики НАН України, керівник чл.-кор. НАН України Ю.С.Самойленко, 2005.

Київський семінар з функціонального аналізу, Інститут математики НАН України, керівники акад. НАН України Ю.М. Березанський, чл.-кор. НАН України М.Л.Горбачук, чл.-кор. НАН України Ю.С.Самойленко 2006, 2008.

International Workshop ”Nonlinear Physics and mathematics” Kiev (NLPM 2006), May 25-27, 2006.

International Conference ”Modern Analysis and Applications” dedicated to the centenary of Mark Krein (MAA 2007), Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007.

Публікації по темі дисертації. Основні положення дисертації, опубліковані у провідних фахових виданнях [1-24] та в тезах доповідей [25-30].

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів та списку використаних джерел, що містить 186 найменувань. Повний обсяг дисертації складає 299 сторінок.

ВИСНОВКИ

1) Доведено необхідні і достатні умови існування сингулярно збурених нормальних операторів та одержано повний опис сингулярно збурених рангу один нормальних операторів на основі введеного поняття допустимого вектора та шкали гільбертових просторів. Доведено аналог формули М.Г.Крейна для резольвент нормальних розширень формально нормального оператора зі скінченними дефектними числами. Означено клас цілих переднормальних операторів та описано їх основні властивості.

2) Встановлено необхідні умови розв'язності комплексної проблеми моментів в степеневій та експоненціальній формах і описано достатні умови їх однозначної розв'язності.

3) Описано блочні три-діагональні матриці Якобі, пов'язані із тригонометричною і степеневою комплексною проблемами моментів відповідно.

4) Приведено конструктивний метод побудови сингулярно збуреного нормального оператора із заданими власними векторами і власними значеннями, зокрема таких, що містять задану обмежену замкнену множину як компоненту неперервного спектру.

5) Для сингулярно збуреного рангу один нормального оператора, описана можливість появи дуальної пари точок точкового спектру, серед яких одна накладається на неперервний спектр оператора, який збурюється.

6) Досліджено точковий спектр оператора Лапласа збуреного d-потенціалами, зосередженими у вершинах деяких правильних геометричних фігур в . В залежності від констант зв'язку та відстані між точками збурень встановлено умови появи точок точкового спектру.

7) За допомогою поняття ємності підпростору в абстрактному гільбертовому просторі дано умови істотної нормальності переднормальних звужень нормального оператора.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Дудкін М.Є. Інваріантні симетричні звуження самоспряженого оператора I / М.Є. Дудкін // Укр. мат. журн. -- 1998. -- 50, N 5. -- С. 623-631.

2. Дудкін М.Є. Інваріантні симетричні звуження самоспряженого оператора II/ М.Є. Дудкін // Укр. мат. журн. -- 1998. -- 50, N 6. -- С. 781-791.

3. Дудкін М.Є. Сингулярно збурені нормальні оператори / М.Є. Дудкін // Укр. мат. журн. -- 1999. -- 51, N 8. -- С. 1045-1053.

4. Дудкін М.Є. Замикальність сингулярно збурених операторів мовою ємності / М.Є. Дудкін // Наукові Вісті НТУУ ”КПІ”. -- 1999. -- N 2. -- С. 122-125.

5. Дудкін М.Є. Аналог формули М.Г.Крейна для резольвент нормальних розширень переднормального оператора / М.Є. Дудкін // Укр. мат. журн. -- 2002. -- 54, N 4. -- С. 555-562.

6. Дудкін М.Є. Сингулярно збурені самоспряжені оператори (скінченного рангу) із заданими власними значеннями і власними векторами / М.Є. Дудкін // Наукові Вісті НТУУ ”КПІ”. -- 2002. -- N 5. -- С. 146-154.

7. Дудкін М.Є. Про точковий спектр самоспряжених операторів, що виникає при сингулярних збуреннях скінченного рангу / М.Є. Дудкін, В.Д. Кошманенко // Укр. мат. журн. -- 2003. -- 55, N 9. -- С. 1269-1276.

8. Дудкін М.Є. Про точковий спектр оператора Лапласа зі збуренням на фракталі / М.Є. Дудкін // Вісник математика і механіка. Київського Університету ім. Т.Шевченко. -- 2003. -- N 9-10. -- С. 25-27.

9. Albeverio S. Dual Pair of Eigenvalues / S. Albeverio, M. Dudkin, V. Koshmanenko // Letters in Math. Phys. -- 2003. 63. -- P. 219-228.

10. Дудкін М.Є. Про цілі переднормальні оператори зі скінченними індексами дефекту / М.Є. Дудкін // Наукові Вісті НТУУ ”КПІ”. -- 2004. -- N 3. -- С. 132-139.

11. Дудкін М.Є. Про точковий спектр сингулярно збурених нескінченного рангу операторів / М.Є. Дудкін // Наукові Вісті НТУУ ”КПІ”. -- 2004. -- N 4. -- С. 144-151.

12. Дудкін М.Є. Про точковий спектр оператора Лапласа, збуреного точковими потенціалами у вершинах правильних багатогранників / М.Є. Дудкін // Нелінійні Коливання. -- 2004. -- 7, N 2. -- С. 147-154.

13. Дудкін М.Є. Точковий спектр оператора Шредінгера з точковими взаємодіями у вершинах правильних N-кутників / М.Є. Дудкін // Укр. мат. журн. -- 2004. -- 56, N 8. -- С. 1128-1134.

14. Berezansky Yu.M. The complex moment problem in the exponential form / Yu.M. Berezansky, M.E.Dudkin // Methods of Funct. Anal. and Topology. -- 2004. -- 10, N 4. -- P. 1-10.

15. Albeverio S. Dense subspaces in scales of Hilbert spaces / S. Albeverio, R. Bozhok, M. Dudkin, V. Koshmanenko // Methods of Funct. Anal. and Topology. -- 2005. -- 11, N 2. -- P. 156-169.

16. Дудкін М.Є. Про поняття ємності області визначення симетричного оператора / М.Є. Дудкін // Наукові Вісті НТУУ ”КПІ”. -- 2005. N 5. -- С. 140-142.

17. Berezansky Yu.M. The direct and inverce spectral problems for the block Jacobi type unitary matrices / Yu.M. Berezansky, M.E.Dudkin // Methods of Funct. Anal. and Topology. -- 2005. -- 11, N 4. -- P. 327-345.

18. Berezansky Yu.M. The complex moment problem and direct and inverse spectral problems for block Jacobi type bounded normal matrices / Yu.M. Berezansky, M.E.Dudkin // Methods of Funct. Anal. and Topology. -- 2006. -- 12, N 1. -- P. 1-31.

19. Дудкін М.Є. Сингулярно неперервний спектр сингулярно збурених операторів / М.Є. Дудкін // Нелінійні коливання. -- 2006. -- 9, N 3. -- C. 326-335.

20. Albeverio S. On the point spectrum of -syngular perturbations / S. Albeverio, M. Dudkin, A. Konstantinov, V. Koshmanenko // Math. Nachr. -- 2007. -- 280, N 1-2. -- P. 20-27.

21. Berezansky Yu.M. On the complex moment problem / Yu.M. Berezansky, M.E.Dudkin // Math. Nachr. -- 2007. -- 280, N 1-2. -- P. 60-73.

22. Дудкін М.Є. До постановки задачі Штурма - Ліувілля з нормальним оператором / М.Є. Дудкін // Наукові Вісті НТУУ ”КПІ”. -- 2007. -- N 2. -- С. 125-130.

23. Dudkin M.E. The exact inner structure of the block Jacobi type unitary matrices connected with the corresponding direct and inverse spectral problems matrices / M.E. Dudkin // Methods Funct. Anal. Topology. -- 2008. -- 14, N 2. -- P. 168-176.

24. Дудкін М.Є. Синггулярно збурені рангу один нормальні оператори та їх застосування. / М.Є. Дудкін / -- Kиїв: Інститут математики НАН України, 2008. -- 38 с. -- (Препринт / НАН України, Ін-т математики; 2008.3).

25. Dudkin M.E. Singularly perturbed normal operators / М.Є. Дудкін : Abstracts Ukrainian Mathematical Congress -- 2001, ”International Conference on Functional Analysis”, (Kyiv, 22-26, August 2001). -- Київ: НАН України Інститут математики, 2001 -- P. 23-24.

26. Дудкін М.Є. Про точковий спектр, який виникає при сингулярних скінченного рангу збуреннях самоспряжених операторів / М.Є. Дудкін : Матеріали конференції ”Дев'ята міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука” (Київ, 16-19, травень, 2002). -- Київ: Нац техн. ун-т України ”КПІ”, 2002. -- C. 272.

27. Дудкін М.Є. Сингулярно збурені оператори рангу один з дуальною парою власних чисел / М.Є. Дудкін, В.Д. Кошманенко : Тези доповідей. Міжнародна конференція ”Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь” (Київ, 16, грудень, 2002). -- Київ: Нац. пед. ун-т ім. М.Драгоманова, 2002. -- С. 48.

28. Дудкін М.Є. Задача на власні значення для сингулярних нескіннченого рангу збурених самоспряжених операторів / М.Є. Дудкін: Матеріали конференції ”Десята міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука” (Київ, 13-15, травень, 2004). -- Київ: ”Задруга”, 2004. -- 776 с. -- Укр., рос., англ. -- C. 372.

29. Berezansky Yu.M. The direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type unitary and bounded normal matrices / Yu.M. Berezansky, M.E.Dudkin : Матеріали конференції ”Одинадцята міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука” (Київ, 18-20, травень, 2006). -- Київ: ”Задруга”, 2006. -- 992 с. -- Укр., рос., англ. -- C. 319.

30. Berezansky Yu.M. The complex moment problem and direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type bounded normal matrices / Yu.M. Berezansky, M.E.Dudkin : Book of Abstracts ”International Workshop ”Nonlinear Physics and mathematics” (NLPM 2006) (Kiev, 25-27, May, 2006). -- 0.4cm Київ: Поліграф. дільниця Ін-ту теор. фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України, 2006. -- P. 4-5.

АНОТАЦІЇ

Дудкін М.Е. ”Сингулярно збурені нормальні оператори та комплексна проблема моментів”. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2009.

Дисертація присвячена дослідженню комплексної проблеми моментів та пов'язаних з нею питань спектральної теорії нормальних операторів. Базуючись на розкладі за узагальненими власними векторами, встановлено необхідні та достатні умови розв'язності комплексної проблеми моментів в степеневій та експоненціальній формах, наведено умови їх однозначної розв'язності. Для унітарного і нормального операторів описано блочні три-діагональні матриці Якобі, пов'язані із цими проблемами. Встановлено необхідні і достатні умови існування сингулярно збурених нормальних операторів та одержано повний опис сингулярно збурених рангу один нормальних операторів на основі введеного поняття допустимого вектора та шкали гільбертових просторів. Виконано конструктивну побудову сингулярно збуреного нормального оператора із заданими власними векторами і власними значеннями. Досліджено точковий спектр оператора Лапласа, збуреного d-потенціалами, зосередженими у вершинах деяких правильних геометричних фігур в . За допомогою поняття ємності підпростору в абстрактному гільбертовому просторі дано умови істотної нормальності переднормальних звужень нормального оператора.

Ключові слова: нормальний, переднормальний, формально нормальний оператори, комплексна проблема моментів, блочні три-діагональні матриці Якобі, узагальнені власні вектори, сингулярно збурений оператор.

Дудкин Н.Е. ”Сингулярно возмущённые нормальные операторы и комплексная проблема моментов”. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

Диссертация посвящена исследованию комплексной проблемы моментов и связанных с нею вопросов спектральной теории нормальных операторов. Основываясь на разложении по обобщённым собственным векторам, установлены необходимые условия разрешимости комплексной проблемы моментов в степенной и экспоненциальной формах, а также, с использованием квазианалитического критерия самосопряжённости даны достаточные условия их однозначной разрешимости. Для унитарного и нормального операторов описаны блочные три-диагональные матрицы Якоби, связанные с тригонометрической и степенной проблемами моментов соответственно. Доказаны необходимые и достаточные условия существования сингулярно возмущённых нормальных операторов и получено полное описание сингулярно возмущённых ранга один нормальных операторов на основе введеного понятия допустимого вектора и шкалы гильбертовых пространств. Получен аналог формулы М.Г.Крейна для резольвент нормальных расширений формально нормального оператора с конечными дефектными числами. Определён класс целых переднормальних операторов и описаны их основные свойства. Приведено конструктивное построение сингулярно возмущённого нормального оператора с заданными собственными векторами и собственными значениями, в том числе оператора, содержащего заданное ограниченное замкнутое множество как компоненту непрерывного спектра. Для сингулярно возмущённого ранга один нормального оператора установлена и описана возможность появления дуальной пары точек точечного спектра, среди которых одна накладывается на непрерывный спектр невозмущённого оператора. Исследуется точечный спектр оператора Лапласа, возмущённого d-потенциалами, расположенными в вершинах некоторых правильных геометрических фигур в . В зависимости от констант связи и расстояния между точками возмущений приведены условия появления точек точечного спектра (с учётом кратности) у возмущённого оператора. При помощи понятия ёмкости подпространства абстрактного гильбертового пространства даны условия существенной нормальности преднормальных сужений нормального оператора.

Ключевые слова: нормальный, преднормальный, формально нормальный операторы, комплексная проблема моментов, блочные три-диагональные матрицы Якоби, обобщённые собственные векторы, сингулярно возмущённый оператор.

Dudkin N.E. ”Singularly perturbed normal operators and the complex moment problem”. -- Manuscript.

Thesis for doctor's degree by speciality 01.01.01--mathematical analysis. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2009.

The thesis is devoted to the investigation of the complex moment problem and related questions of the spectral theory of normal operators. Based on the eigenfunction expansion, there are proved the necessary and sufficient condition for a solvability of the complex moment problem in the power and exponential forms and there are described conditions of their uniqueness solvability. For unitary and normal operators there are described block three-diagonal matrix Jacobi corresponding to these problems. There are proved the necessary and sufficient for existence of singularly perturbed normal operators and there is obtained the complete description of singularly perturbed rank one normal operators using introduced concept of admissible vector and the rigged Hilbert spaces. There is given the construction of the singularly perturbed normal operator with given eigenvectors and eigenvalues. There is investigated the point spectrum of the Laplace operator perturbed by d-interactions concentrated on the top of some rectilinear geometric figures in . Using the concept of the capacity in the abstract Hilbert space there is given the condition of sufficient normality of the prenormal restriction of a normal operator.

Kay words: normal, prenormal, formally normal operator, complex moment problem, block tree-diagonal matrix Jacobi, generalized eigenvector, singularly perturbed operator.

Размещено на Allbest.ru