Усереднення в багаточастотних системах диференціально-функціональних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 517.9

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

УСЕРЕДНЕННЯ В БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМАХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

Бігун Ярослав Йосипович

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Самойленко Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Городній Михайло Федорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, декан механіко-математичного факультету;

доктор фізико-математичних наук, професор Слюсарчук Василь Юхимович, Національний університет водного господарства та природокористування, професор кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор Теплінський Юрій Володимирович, Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь і прикладної математики

Захист відбудеться 18 травня 2009 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці ім. М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради Моклячук М.П.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Серед багатьох асимптотичних методів метод усереднення є одним з ефективних і результативних способів дослідження нелінійних коливних систем. І хоча основи цього методу закладені ще в працях П. Лапласа і Ж. Лагранжа, коректне формулювання і строге математичне обгрунтування методу усереднення для систем стандартного вигляду вперше дано М.М. Боголюбовим у середині 40-х років. Надалі асимптотичні методи та метод усереднення розвивалися представниками київської школи з нелінійної механіки: Ю.О. Митропольським, А.М. Самойленком, М.О. Перестюком, О.Б. Ликовою, Д.І. Мартинюком, В.І. Фодчуком, М.І. Шкілем та їх учнями, а також В.М. Волосовим, Є.О. Гребеніковим, Ю.О. Рябовим, В.О. Плотніковим, О.М. Філатовим та іншими вченими для широких класів диференціальних рівнянь із звичайними та частинними похідними, диференціально-функціональних рівнянь (ДФР), систем з імпульсною дією, інтегро-диференціальних рівнянь.

Застосування методу усереднення для систем, у яких частина змінних швидко осцилює, а інша змінюється повільно, ускладнено резонансними співвідношеннями між частотами. Якщо кількість частот дві або більше, то без додаткових умов усереднена за швидкими змінними система може, в загальному випадку, неправильно описувати рух точної системи. Тільки в середині 60-х років В.І. Арнольдом обгрунтовано метод усереднення для двочастотної системи на асимптотично великому проміжку часу.

Вагомі результати у розробці й обгрунтуванні схем усереднення для багаточастотних систем зі змінним вектором частот та їх застосуванні в задачах небесної механіки належать Є.О. Гребенікову. Загальні теореми з обгрунтування методу усереднення для систем із повільними та швидкими змінними одержані Д.В. Аносовим, В.М. Волосовим, Б.І. Моргуновим. У працях А.І. Нейштадта, В.І. Бахтіна, І.С. Прончатова, М.М. Додсона одержано ефективні оцінки методу усереднення для нелінійних систем із однією, двома чи більше частотами, але без множини початкових значень з асимптотично малою мірою, при яких відбувається захоплення в резонанс траєкторії повільних змінних.

Прикладні задачі у фізиці, техніці, біології, екології та інших галузях дали поштовх розвитку теорії диференціальних рівнянь із аргументом, що відхиляється. Основи теорії таких рівнянь закладені в працях А.Д. Мишкіса, Л.Е. Ельсгольца, М.М. Красовського, Р. Беллмана, Дж. Хейла, А. Халаная, М.В. Азбелєва, Я. Курцвейля та ін. Вагомі результати у розвитку теорії ДФР належать А.М. Самойленку, Л.А. Бекларяну, О.А. Бойчуку, М.І. Каменському, Ю.С. Колєсову, В.Б. Колмановському, Г.П. Пелюху, А.М. Ронто, В.Ю. Слюсарчуку, Ю.В. Теплінському, В.І. Ткаченку, С.І. Трофімчуку, Д.Я. Хусаїнову, І.М. Черевку та ін.

Асимптотичні методи Крилова-Боголюбова, зокрема, метод усереднення, для диференціальних рівнянь із запізненням і нейтрального типу розвинені у працях А. Халаная, Дж Хейла, Ю.О. Митропольського, В.П. Рубаника, В.І. Фодчука, Д.І. Мартинюка, В.Г. Самойленка, В.Ш. Бурда, Р.Р. Ахмерова та ін. У резонансному випадку для системи із запізненням та вектором частот, що залежить від повільних змінних, метод усереднення розвинений у працях Г.М. Медведєва і Б.І. Моргунова. Однак тут не одержано оцінок для відхилення повільних змінних, які явно залежать від малого параметра. Аналогічний характер мають оцінки у працях І.В. Кузнєцової при перенесенні результатів М.М. Хапаєва з обгрунтування методу усереднення для багаточастотних систем на випадок систем із змінним запізненням. Окремі питання з обгрунтування методу усереднення для -частотних систем зі сталим запізненням, шляхом їх зведення до звичайних диференціальних рівнянь, досліджувались у працях В.П. Шпаковича, В.І. Мунтяна, але без аналізу впливу фактору запізнення на явище резонансу. Багаточастотні системи із асимптотично великим запізненням для часової змінної вивчені в статтях Р.І. Петришина та І.М. Данилюка.

У працях А.М. Самойленка і Р.І. Петришина одержано рівномірні оцінки осциляційних інтегралів для широкого класу багаточастотних систем. Це дало змогу при малих значеннях параметра будувати непокращувані асимптотичні оцінки для похибки методу усереднення на скінченному і нескінченному інтервалах. Для систем ДФР такий підхід систематично не розглядався як сталого, так і змінного запізнення.

Важливим класом ДФР, що має широкі застосування у прикладних задачах, є рівняння із лінійно перетвореним аргументом, властивості розв'язків яких досліджувались у працях Д. Като, А.М. Самойленка, Г.П. Пелюха, Д.В. Бєльського, К. Кука, А.М. Ронто, А.Л. Скубачевського, Б.Г. Гребенщикова та ін. Обгрунтування методу усереднення для таких рівнянь у резонансному випадку, а також систематичного розвитку асимптотичних методів не розглядалися.

Дослідження крайових задач за допомогою методу усереднення започатковано у працях Ю.О. Митропольського, Д.Д. Байнова, С.Д. Мілушевої, М.М. Константинова, Л.Д. Акуленка, В.О. Плотнікова та його учнів. Для багаточастотних коливних систем у резонансному випадку із крайовими умовами ефективні умови розв'язності та оцінки похибки методу усереднення вперше одержані в працях А.М. Самойленка, Р.І. Петришина, Я.Р. Петришина. У випадку багаточастотних систем ДФР із багатоточковими або інтегральними крайовими умовами така проблематика залишалася відкритою.

Ще одним недостатньо дослідженим класом задач є системи із зосередженими та розподіленими параметрами. Коливні системи такого типу розглядались у працях Л.Д. Акуленка, А.І. Єгорова, Л.Н. Знаменської та ін., а квазілінійні системи рівнянь зі сталим запізненням - в працях В.П. Рубаника. Відкритим як для розвитку теорії, так і для розв'язання прикладних задач, є дослідження у резонансному випадку систем диференціальних рівнянь із частинними похідними гіперболічного типу і ДФР із звичайними похідними.

Указані обставини свідчать про актуальність задач, що розглядаються в дисертаційній роботі, яка присвячена розробці та обгрунтуванню схем усереднення для розв'язання складних, важливих для застосувань і ще не розв'язаних задач з теорії нелінійних ДФР із повільними та швидкими змінними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетних тем Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича ''Обгрунтування асимптотичних методів та дослідження нелінійних диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь'' (номер державної реєстрації 0110U005501), ''Якісні та конструктивні методи дослідження нелінійних диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь'' (номер державної реєстрації 0199U001909), в рамках наукової теми кафедри прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича ''Побудова і обгрунтування аналітичних та числових методів дослідження деяких класів диференціальних рівнянь у функціональних просторах'' (номер державної реєстрації 0102U006592), держбюджетної науково-дослідної теми Інституту математики НАН України ''Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань'' (номер державної реєстрації 0101U000098).

Мета роботи. Основною метою дисертаційної роботи є обгрунтування методу усереднення для нових класів нелінійних ДФР із початковими і крайовими умовами, побудова ефективних, залежних від малого параметра, оцінок похибки методу усереднення, дослідження існування та єдиності розв'язку сформульованих у дисертації задач.

Об'єкт дослідження. Основним об'єктом дослідження в роботі є системи нелінійних ДФР із повільними та швидкими змінними, для яких є характерним явище резонансу. Зокрема, це системи диференціально-різницевих рівнянь із сталим запізненням і системи рівнянь із лінійно перетвореним аргументом у повільних і швидких змінних, багаточастотні системи ДФР вищого наближення. Ще одним об'єктом дослідження є системи гіперболічних рівнянь із частинними похідними і ДФР із звичайними похідними.

Предмет дослідження. У дисертаційній роботі предметом дослідження є: розвиток методики оцінок осциляційних інтегралів в обгрунтуванні методу усереднення для одно- і багаточастотних систем нелінійних ДФР із початковими умовами; дослідження розв'язності та обгрунтування методу усереднення для нелінійних багаточастотних систем із крайовими дво- і багатоточковими та інтегральними крайовими умовами; застосування методу усереднення для дослідження коливання струни під дією багаточастотних збурень із запізненням. нелінійний крайовий похибка параметр

Методи дослідження. У дисертації застосовується та розвивається апарат оцінок осциляційних інтегралів, методи розробки й обгрунтування схем усереднення. Удосконалюється методика доведення існування та єдиності розв'язку крайових задач для ДФР.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано такі наукові результати:

запропоновано нове співвідношення для опису резонансу в коливних системах ДФР, яке залежить від величин, що характеризують запізнення в швидких змінних;

установлено нові оцінки для осциляційних інтегралів для випадків повільно змінних частот, сталого і змінного запізнень, зокрема, лінійного запізнення, одержані оцінки явно залежать від малого параметра й асимптотика їх непокращувана при виконанні накладених у відповідних твердженнях умов;

одержано нові оцінки осциляційних інтегралів для випадків, коли вектор частот залежить від повільних змінних зі сталим або лінійним запізненням;

доведені нові теореми з обгрунтування методу усереднення для m-частотних систем зі сталим і змінним запізненням, які доповнюють наявні на даний час твердження з обгрунтування методу усереднення для ДФР;

установлено нові теореми про існування та єдиність розв'язку багатоточкових -частотних систем зі сталим або лінійним запізненням і обгрунтовано для них метод усереднення;

розвинено методику з побудови та обгрунтування схем усереднення за швидкими змінними для початкової та крайової задач для систем рівнянь вищого наближення із запізненням;

сформульовано нові постановки задач для систем ДФР і диференціальних рівнянь із частинними похідними та доведено відповідні теореми про існування розв'язку та обгрунтовано метод усереднення.

Практичне значення результатів. Одержані в дисертаційній роботі нові теоретичні результати доповнюють відповідні розділи теорії початкових і крайових задач для ДФР, що стосуються нелінійних коливних систем із повільними та швидкими змінними. Твердження з обгрунтування методу усереднення можуть застосовуватися для розв'язання та якісного аналізу прикладних задач нелінійної механіки, теорії керування, математичної екології та біології, електроніки та ін. Установлені в роботі оцінки одновимірних осциляційних інтегралів відкривають перспективу в дослідженні багатовимірних інтегралів такого типу, а постановки задач для систем із зосередженими й розподіленими параметрами - дослідженню мішаних задач із локальними та нелокальними крайовими умовами. Матеріал дисертаційної роботи може використовуватись при підготовці спеціальних курсів для бакалаврів і магістрів, які спеціалізуються з диференціальних рівнянь та прикладної математики.

Особистий внесок здобувача. Загальний план і основний напрямок наукових досліджень дисертаційної роботи сформований спільно з науковим консультантом - академіком НАН України А.М. Самойленком. Із робіт, написаних у співавторстві, до дисертації увійшли та на захист виносяться лише ті результати, які отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Усі основні результати дисертації доповідались і обговорювались на міжнародних і всеукраїнських наукових конференціях, наукових семінарах. Зокрема, результати дисертації доповідалися на: Міжнародній конференції ''Асимптотичні та якісні методи теорії нелінійних коливань. Треті Боголюбовські читання'' (Київ, 1997 р.); Міжнародній конференції ''Dynamical systems modelling and stability investigation'' (Київ, 1999 р.); Міжнародній конференції ''Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения'' (Воронеж, 2000 р.); Міжнародній конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2004, 2006, 2008 рр.); Міжнародній конференції ''Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь'' (Дрогобич, 2001 р.); Міжнародній конференції ''Метод функций Ляпунова и его приложения'' (Сімферополь, 1998, 2000, 2008 рр.); Міжнародній конференції ''Теорія еволюційних рівнянь. П'яті Боголюбовські читання'' (Кам'янець-Подільський, 2002 р.); Міжнародній конференції ''Шості Боголюбовські читання'' (Чернівці, 2003 р.); Міжнародній конференції, присвяченій 125-й річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 2004 р.); International Conference ''Analysis and its Applications'' (Mersin-Turkey, 2004 р.); Second International Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova (Chiinu, 2004 р.); Міжнародній конференції ''Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры'' (Брест, 2005 р.); Міжнародній конференції, присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь КНУ імені Тараса Шевченка (Київ, 2005 р.); Міжнародній конференції ''Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування'' (Ужгород, 2006 р.); International conference on Differential equations dedicated to the 100th anniversary of Ya.B. Lopatynsky (Lviv, 2006 р.); Міжнародній конференції ''Диференціальні рівняння та їх застосування'' (Чернівці, 2006 р.); International Conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (Kharkiv, 2007 р.); Міжнародній конференції ''Дифференциальные уравнения и смежные вопросы'', присвяченій пам'яті І.Г. Петровського (Москва, 2007 р.); Міжнародній конференції з нагоди 70-річчя з дня народження акад. А.М. Самойленка ''Боголюбовські читання, 2008'' (Мелітополь, 2008 р.); Всеукраїнській конференції ''Нелінійні проблеми аналізу'' (Івано-Франківськ, 2003, 2008 рр.); на наукових семінарах Інституту математики НАН України та відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (керівник - академік НАН України А.М. Самойленко), на науковому семінарі кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник - академік НАН України М.О. Перестюк), на науковому семінарі факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (керівники - професори С.Д. Івасишен, І.М. Черевко); спільному засіданні Бюро Відділення математики НАН України та секції математики і математичного моделювання Західного наукового центру НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 22 працях [1-22], які відповідають вимогам ВАК України до публікації результатів дисертаційних робіт у фахових наукових виданнях, 19 праць опубліковано без співавторів. Додатково результати дисертації відображені у збірниках матеріалів і тез конференцій та шкіл [23 - 45].

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 236 найменувань. Повний обсяг роботи складає 298 сторінок.

Автор висловлює щиру вдячність науковому консультанту, академіку Анатолію Михайловичу Самойленку за постановку розглянених у дисертації задач, постійну увагу до роботи, всебічну підтримку та допомогу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, описано об'єкт, предмет і мету досліджень, пояснено наукову новизну, теоретичне і практичне значення одержаних результатів, наведено дані про публікацію результатів та їх апробацію. У розділі 1 зроблено огляд літератури за тематикою дисертації, наведено порівняння із результатами для звичайних диференціальних рівнянь, одержаними у працях В.І. Арнольда, Є.О. Гребенікова, М.М. Хапаєва, А.М. Самойленка і Р.І. Петришина. Указано на розв'язані асимптотичними методами задачі для диференціально-різницевих рівнянь у резонансному випадку в працях Ю.О. Митропольського і В.Г. Самойленка, Г.М. Медведєва, І.В. Кузнєцової, В.П. Шпаковича. Розділ 2 присвячений розвитку методики оцінок осциляційних інтегралів, які мають як самостійне наукове значення, так і служать інструментом при обгрунтуванні методу усереднення для одно- і багаточастотних коливних систем ДФР. Такі системи є основним об'єктом досліджень у дисертаційній роботі і мають вигляд

(1)

де , - обмежена область в , , , , - ''повільний час''. Векторну змінну прийнято називати повільною, а - швидкою. Вектор-функція -періодична за компонентами , h і, як мінімум, диференційовна за всіма змінними. Величина характеризує запізнення, , . Надалі розглядатимуться також випадки, коли запізнення різне в повільних і швидких змінних. Зокрема, вивчено випадки лінійно перетвореного аргументу, коли , сталого запізнення і перетвореного аргументу . Під розв'язком системи рівнянь (1), крім окремих задач у розділах 4 і 6, розумітимемо неперервно диференційовну вектор-функцію. Основною проблемою при дослідженні коливних систем є явище резонансу. Для систем без запізнення із повільно змінним вектором частот, тобто коли , умовою резонансу в точці є виконання рівності , . Якщо ж , то внаслідок еволюції повільної змінної частота може неодноразово ставати резонансною або залишатися в околі резонансу на проміжку часу довільної довжини. У дисертаційній роботі для системи (1) в умові резонансу враховується запізнення у швидких змінних, що випливає з побудови відповідного осциляційного інтеграла. Умова резонансу для вектора частот в точці має вигляд

(2)

У підрозділі 2.2 побудовано оцінку осциляційного інтеграла

із перетвореним аргументом

Теорема 2.1. Нехай:

1) , ;

2) для кожного вектор-функція і рівномірно обмежена разом з похідною за ;

3) виконується умова (6).

Тоді можна вказати , таке, що для всіх справджується нерівність:

(7)

де стала не залежить від , і .

У підрозділі 2.3 розглянуто осциляційний інтеграл (5) для випадку сталого відхилення аргументу, коли функція , .

У підрозділі 2.5 розглянуто випадок, коли відхилення аргументу стале і частоти залежать від

У розділі 3 на підставі одержаних оцінок осциляційних інтегралів обгрунтовано метод усереднення для систем із m частотами та запізненням у повільних і швидких змінних.

У розділі 4 досліджено питання існування розв'язку системи ДФР із багатоточковими або інтегральними крайовими умовами та розглянуто обгрунтування методу усереднення для таких задач. Для багатоточкових крайових задач із повільно змінним вектором частот доведено також і єдиність розв'язку. Методика доведення полягає в установленні існування або існування і єдиності розв'язку початкової задачі в околі розв'язку усередненої задачі, існування якого припускається.

У розділі 5 методом усереднення досліджуються системи диференціально-функціональних рівнянь вищого наближення. Системи звичайних диференціальних рівнянь такого вигляду вивчали Є.О. Гребеніков, Н.І. Попова, Р.І. Петришин.

У розділі 6 розглядається застосування методу усереднення для систем диференціальних рівнянь із частинними похідними і ДФР із звичайними похідними. У підрозділі 6.1 і 6.2 вивчається задача про коливання нескінченної струни під дією малих збурень, які залежать від повільних і швидких змінних частотної системи із сталим або лінійним запізненням. Розв'язок задачі розумітимемо в класичному сенсі.

У підрозділі 6.1 обгрунтовано метод усереднення для рівняння коливання струни із лінійно перетвореним аргументом

(45)

під дією частотних збурень, які задаються системою рівнянь (25). Тут , , , , і - розв'язки системи рівнянь (24) з початковими значеннями . Для рівняння (45) задаються початкові умови:

(46)

Відповідне усереднене за швидкими змінними рівняння набуває вигляду

(47)

У підрозділі 6.2 вивчена аналогічна задача для випадку сталого запізнення. Також тут наведено модельний приклад, на якому проілюстровано непокращуваність асимптотичної оцінки.

У підрозділі 6.4 досліджено задачу про неперервну залежність від параметра розв'язку системи рівнянь вигляду (48), (49) із параметром множина значень якого , містить граничну точку в якій праві частини системи інтегрально неперервні рівномірно відносно інших змінних.

Як наслідок, одержано обгрунтування методу усереднення для регулярно збуреної системи рівнянь з малим параметром на проміжку

Одержаний результат є розвитком відомих результатів для систем диференціальних рівнянь гіперболічного типу і диференціально-різницевих рівнянь.



ВИСНОВКИ

У дисертації вдосконалено ряд існуючих методик і запропоновано нові підходи до дослідження актуальних проблем сучасної теорії нелінійних коливань і ДФР, які стосуються розв'язності початкової та крайових задач і обгрунтування методу усереднення для систем ДФР із повільними і швидкими змінними, які в процесі еволюції проходять через резонанс.

Основні результати, що виносяться на захист, такі:

- розвинено методику оцінок осциляційних інтегралів, відповідних -частотним системам ДФР, одержано явно залежні від малого параметра рівномірні оцінки для випадку повільно змінного вектора частот і сталого та змінного запізнення, а також лінійно перетвореного аргументу. При накладених умовах одержані асимптотичні оцінки непокращувані при малих значеннях параметра;

- знайдено умови, при виконанні яких одержано оцінки осциляційних інтегралів для частот, залежних від повільних змінних, зокрема, повільних змінних зі сталим запізненням і лінійно перетвореним аргументом;

- побудовано схеми усереднення для -частотних систем зі сталим і змінним запізненням і повільно змінним вектором частот, на підставі оцінок осциляційних інтегралів дано їх обгрунтування на скінченному проміжку часу;

- досліджено існування розв'язку й обгрунтовано метод усереднення за швидкими змінними для -частотних систем із лінійно перетвореним аргументом і повільно змінним і залежним від повільних змінних вектором частот;

- розвинено асимптотичний метод Крилова-Боголюбова-Митропольського для квазілінійного осцилятора з лінійно перетвореним аргументом;

- одержано оцінки похибки методу усереднення на скінченному проміжку для -частотної системи зі сталим запізненням і нелінійною вектор-функцією частот для повільних змінних;

- доведено існування та єдиність розв'язку й одержано оцінку похибки методу усереднення, явно залежну від малого параметра, для систем із повільно змінним вектором частот і багатоточковими та інтегральними крайовими умовами;

- досліджено методом усереднення систему рівнянь вищого наближення із лінійно перетвореним аргументом і початковими та багатоточковими крайовими умовами;

- для -частотної системи вищого наближення із початковими умовами й обмеженим запізненням обгрунтовано метод усереднення на скінченному проміжку і півосі;

- застосовано метод усереднення за швидкими змінними для дослідження коливання нескінченної струни під дією багаточастотних збурень із лінійно перетвореним аргументом і зі сталим запізненням;

- установлено неперервну залежність від параметра для системи гіперболічних рівнянь і ДФР, на підставі якої обгрунтовано метод усереднення на асимптотично великому проміжку часу.



ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бігун Я.Й. Про існування, єдиність і неперервну залежність від параметра розв'язку диференціально-функціональних рівнянь із звичайними і частинними похідними / Я.Й. Бігун // Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 5. - С. 715 - 719.

2. Бігун Я.Й. Метод усереднення в багаточастотних системах з запізненням / Я.Й. Бігун // Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 3. - С. 299 - 303.

3. Бигун Я.И. Обоснование принципа усреднения для многочастотных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием / Я.И. Бигун, А.М. Самойленко // Дифференц. уравнения. - 1999. - 35, № 1. - С. 8 - 14.

4. Бігун Я.Й. Обгрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням / Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. - 1999. - Т. 2, № 2. - С. 162- 169.

5. Бігун Я.Й. Усереднення багаточастотної крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 3. - С. 291 - 299.

6. Бігун Я.Й. Усереднення в коливних резонансних системах вищого наближення із запізненням / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 76. Математика. - Чернівці: Рута, 2000. - С. 11 - 16.

7. Самойленко А.М. Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням / А.М. Самойленко, Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. - 2002. - Т. 5, № 1. - С. 77 - 85.

8. Бігун Я.Й. Дослідження багаточастотних коливних систем із запізненням / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 150. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С. 15 - 20.

9. Бігун Я.Й. Усереднення коливних систем із запізненням та інтегральними крайовими умовами / Я.Й. Бігун // Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 2. - С. 257 - 263.

10. Бігун Я.Й. Усереднення в багаточастотних системах із лінійно перетвореним аргументом та інтегральними крайовими умовами / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 269. Математика. - Чернівці: Рута, 2005. - С. 5 - 10.

11. Бігун Я.Й. Усереднення крайових задач для багаточастотних систем із сталим запізненням / Я.Й. Бігун // Вісник Київського ун-ту: Зб. наук. пр. - Серія фіз.-мат. науки. - 2005, вип.2. - С.90-96.

12. Бігун Я.Й. Про усереднення в багаточастотних крайових задачах із постійним запізненням / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 288. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 12 - 17.

13. Бігун Я.Й. Багаточастотні нелінійні коливні системи вищого наближення із запізненням / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 314 - 315. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 17 - 21.

14. Бігун Я.Й. Асимптотичні розв'язки диференціального рівняння з повільно змінними параметрами і лінійно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 336-337. Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 16 - 19.

15. Бігун Я.Й. Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із запізненням / Я.Й. Бігун // Укр. мат. журн. - 2007. - 59, №4. - С. 435-446.

16. Бігун Я.Й. Усереднення в задачі про коливання струни і багаточастотної системи із запізненням / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 349. Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 14 - 17.

17. Бігун Я.Й. Усереднення двоточкової крайової задачі із лінійно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 421. Математика. - Чернівці: Рута, 2008. - С. 20 - 24.

18. Бігун Я.Й. Про усереднення в багаточастотних системах із змінним запізненням / Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 374. Математика. - Чернівці: Рута, 2008. - С. 30 - 34.

19. Петришин Р.І. Про усереднення в системах із лінійно перетвореним аргументом в резонансному випадку / Р.І. Петришин, Я.Й. Бігун // Наук. вісн. Чернів. ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 421. Математика. - Чернівці: Рута, 2008. - С. 84 - 89.

20. Бігун Ярослав. Про усереднення початкової і крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом / Ярослав Бігун // Математичний вісник НТШ. - 2008. - Т. 5. - С. 23-35.

21. Бiгун Я.Й. Існування розв'язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лiнiйно перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. - 2008. - Т. 11, № 4. - С. 462 - 471.

22. Бігун Я.Й. Про коректність і метод усереднення в системі гіперболічних рівнянь і диференціальних рівнянь із запізненням / Я.Й. Бігун // Системи еволюційних рівнянь із післядією. - Київ: Ін-т математики АН України, 1994. - С. 4 - 17.

23. Бігун Я.Й. Обгрунтування методу усереднення на нескінченному інтервалі для багаточастотних систем із запізненням / Я.Й. Бігун // Асимптотичні та якісні методи теорії нелінійних коливань. Треті Боголюбовські читання: міжнар. наук. конф., 18 - 23 серпня 1997 р.: тези доп., Київ, 1997. - С. 24 - 25.

24. Бігун Я.Й. Усереднення крайових задач для систем з перетвореним аргументом, які в процесі еволюції проходять через резонанс / Я.Й. Бігун // Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation: International Conference, May 25-29: thesis of conf. - Kiev, 1999. - P. 6.

25. Бигун Я.И. Об усреднении краевых задач для многочастотных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием / Я.И. Бигун // Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения: междунар. науч. конф., 15 - 20 мая 2000 г.: тезисы докл. - Воронеж, 2000. - С. 55.

26. Бігун Я.Й. Усереднення багаточастотної крайової задачі з лінійно перетвореним аргументом / Я.Й.Бігун // VIII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука, 11 - 14 травня 2000 р., тези доп. - Київ, 2000. - С. 24.

27. Бігун Я.Й. Усереднення нелінійних коливних систем вищого наближення із запізненням / Я.Й.Бігун // Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь: міжнар. наук. конф., 1 - 5 жовтня 2001 р.: тези. доп. - Дрогобич, - 2001. - С. 18.

28. Бигун Я.И. Об усреднении в многочастотных системах с запаздыванием на конечном интервале и полуоси / Я.И. Бигун // Шестая Крымская Междунар. математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения", 8 - 15 сентября 2002 г.: тезисы докл. - Алушта, 2002. - С. 29.

29. Бігун Я.Й. Про усереднення за швидкими змінними в резонансних системах із запізненням / Я.Й. Бігун // Теорія еволюційних рівнянь. П'яті Боголюбовські читання: міжнар. конф., 22-24 травня 2002 р., тези доп. - Кам'янець-Подільський, 2002. - С. 28.

30. Бігун Я.Й. Дослідження багаточастотних систем з запізненням / Я.Й. Бігун // Шості Боголюбовські читання: міжнародна наукова конференція, 26 - 30 серпня 2003 р.: тези доп. - Чернівці, 2003. - С. 30.

31. Бігун Я.Й. Багаточастотні системи диференціальних рівнянь з запізненням аргументу / Я.Й. Бігун // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана, 27 червня - 3 липня 2004 р.: тези доп. - Чернівці, 2004. - С. 12 - 13.

32. Bigun Ya.I. Averaging of Multifrequency Boundary Value Problem for Differential-Functional Equations / Ya.I. Bigun // Analysis and its Applications, September 07-11, 2004: abstracts of talks. - Mersin-Turkey, 2004. - P. 20.

33. Bigun Ya.I. Averaging of a multifrequency boundary value problem for differential-functional equations / Ya.I. Bigun // Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova dedicated to the 40 anniversary of the foundation of the Institute of Mathematics and Computer Science of ASM August, 17 -19, 2004, Chiєinгu, p. 47 - 49.

34. Бігун Я.Й. Про усереднення багаточастотних крайових задач із запізненням та інтегральними крайовими умовами / Я.Й. Бігун // Міжнар. математична конф. ім. В.Я. Скоробогатька, 27 вересня - 1 жовтня 2004 р.: тези доп. - Дрогобич, 2004. - С.24.

35. Бигун Я.Й. Усреднение краевых задач для систем с быстрыми и медленными переменными / Я.Й. Бигун // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры, 5 - 8 октября 2005 г.: материалы междунар. конф. - Брест, 2005. - С. 54-59.

36. Самойленко А.М. Багаточастотні крайові задачі із запізненням та частотами, залежними від повільних змінних / А.М. Самойленко, Я.Й. Бігун // Диференціальні рівняння та їх застосування: міжнародна конференція, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь КНУ імені Тараса Шевченка, 6 - 9 червня 2005 р.: тези доп. - К., 2005. - С. 15.

37. Бігун Я.Й. Про усереднення в багаточастотних системах із запізненням та нелокальними крайовими умовами / Я.Й. Бігун // Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування: міжнар. наук. конф., 18 - 23 вересня 2006 р.: тези доп. - Ужгород, 2006. - С. 10-11.

38. Бігун Я.Й. Існування розв'язку та усереднення нелінійних багаточастотних задач із перетвореним аргументом / Я.Й. Бігун // International conference on Differential equations dedicated to the 100th anniversary of Ya.B. Lopatynsky, September 12 - 17, 2006: Thesis of conference. - Lviv, 2006. - С. 11-12.

39. Бигун Я.И. Краевая задача с интегральными условиями для многочастотной системы с запаздыванием / Я.Й. Бигун // VIII Международная матем. школа "Метод функции Ляпунова и его приложения", 10 - 17 сентября 2006 г.: тезисы докл. - Симферополь, 2006. - С. 26.

40. Самойленко A.M. Про усереднення в багаточастотних крайових задачах із запізненням / A.М. Самойленко, Я.Й. Бігун // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція, 11 - 14 жовтня 2006 р.: тези доповідей. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 148.

41. Bigun Ya.I. An averaging and the existence of solution of multifrequency problem with the delay / Ya.I. Bigun // International Conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov: Book of abstracts. - Kharkiv: Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NASU, 2007. - P.17 - 18.

42. Бигун Я.И. Усреднение многочастотных систем дифференциальных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Я.И. Бигун // Дифференциальные уравнения и смежные вопросы: международная конференция, посвященная памяти И.Г. Петровского, 21 - 26 мая 2007. - Москва, 2007. - С. 36.

43. Бигун Я.И. Усреднение в задаче колебания струны под воздействием многочастотных возмущений с запаздыванием / Я.И. Бигун // Метод функций Ляпунова и его приложения: IХ Крымская Междунар. мат. школа, 15 - 20 сентября 2008 г.: тезисы докл. - Симферополь, 2008. - С. 26.

44. Бігун Я.Й. Про існування розв'язку та усереднення багатоточкових крайових задач для багаточастотних систем із лінійно перетвореним аргументом: матеріали Міжнар. конф. з нагоди 70-річчя з дня народження акад. А.М. Самойленка ["Боголюбовські читання, 2008". Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування], 16-21 червня 2008. - Мелітополь, 2008. - С. 19 - 20.

45. Бігун Я.Й. Усереднення в задачі коливання зв'язних об'єктів із розподіленими та зосередженими параметрами і з запізненням / Я.Й.Бігун // Нелінійні проблеми аналізу: ІV Всеукр. наук. конф., 10 - 12 вересня 2008 р.: тези доп. - Івано-Франківськ, 2008. - С. 9.



АНОТАЦІЯ

Бігун Я.Й. Усереднення в багаточастотних системах диференціально-функціональних рівнянь. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Дисертація присвячена розробці й обгрунтуванню схем усереднення для систем диференціально-функціональних рівнянь із повільними і швидкими змінними, які в процесі еволюції проходять через резонанс. У роботі введено резонансне співвідношення для частот, яке залежить від запізнення у швидких змінних. Побудовано рівномірні оцінки для осциляційних інтегралів, що відповідають багаточастотним системам у випадку сталого та змінного запізнення. Детально розглянуто випадок лінійного запізнення. При накладених умовах асимптотика оцінок непокращувана.

На підставі одержаних оцінок доведено нові теореми з обгрунтування методу усереднення для систем зі сталим і змінним запізненням, у випадках, коли частоти залежать від повільного часу або від повільних змінних. Вивчено випадок систем із лінійно перетвореним аргументом. Запропоновано й обгрунтовано схеми усереднення для систем із запізненням, коли задаються багатоточкові або інтегральні крайові умови. Процедура усереднення застосовується і до інтегральних крайових умов. У малому околі розв'язку усередненої задачі доведено існування і єдиність розв'язку або його існування, якщо вектор частот залежить від повільних змінних. Обгрунтовано схеми усереднення для систем вищого наближення, якщо задано початкові або крайові умови.

Розглянено задачу коливання нескінченної струни під дією багаточастотних збурень і дано для неї обгрунтування методу усереднення. Наведені схеми усереднення проілюстровані на модельних прикладах.

Ключові слова: диференціально-функціональне рівняння, малий параметр, лінійно перетворений аргумент, метод усереднення, початкова задача, крайова задача, запізнення.

АННОТАЦИЯ

Бигун Я.И. Усреднение в многочастотных системах дифференциально-функциональных уравнений. - Рукопись. - Диссертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2009.

Диссертация посвящена разработке и обоснованию схем усреднения для систем дифференциально-функциональных уравнений с медленными и быстрыми переменными, которые в процессе эволюции проходят через резонанс.

Для этих систем построены равномерные оценки осцилляционных интегралов, соответствующих системам с постоянным и переменным запаздыванием. Рассмотрен случай систем с линейно преобразованным аргументом. Условия, при которых выполняются оценки, являются конструктивными, зависят от размерности вектора быстрых переменных. Асимптотика оценок для этих условий неулучшаемая.

На основании оценок осцилляционных интегралов обосновано метод усреднения для m-частотных систем в резонансном случае на конечном интервале и полуоси. Получены, явно зависящие от малого параметра, оценки отклонения медленных и быстрых переменных, если вектор частот зависит от медленного времени. Получены оценки отклонения медленных переменных и в случае, когда вектор частот нелинейный. Изучен случай одночастотной системы с линейно преобразованным аргументом.

Развита методика обоснования метода усреднения для систем с многоточечными и интегральными краевыми условиями. Рассмотрены случаи линейных и нелинейных краевых условий. Доказаны новые теоремы существования решения исходной системы в малой окрестности решения усредненной задачи. В случае интегральных краевых условий усреднение производится как в системе уравнений, так и в краевых условиях.

Рассмотрена задача колебания бесконечной струны под воздействием многочастных возмущений с постоянным или линейным запаздыванием и для нее обоснована схема усреднения по быстрым переменным. Рассмотренны системы гиперболических уравнени с частными производными и дифференциально-функциональных уравнений. Доказано теорему о непрерывной зависимости решения от параметра и, как следствие, обосновано метод усреднения на конечном промежутке.

Ключевые слова: дифференциально-функциональное уравнение, малый параметр, линейно преобразованный аргумент, запаздывание, метод усреднения, начальная задача, краевая задача.

ABSTRACT

Bigun Ya. I. Averaging in Multifrequency Systems of Differential-functional Equations. - Manuscript. - The thesis for obtaining the scientific degree of Doctor of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 - Differential Equations. Kyiv Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2009.

The thesis is devoted to the development and justification of averaging circuit for systems of differential equations with slow and fast variables which pass through resonances in the course of evolution. In this work, the resonance relation for frequencies dependant on retardation of argument in fast variables is introduced. We build the uniform estimates for oscillation integrals that are appropriate to the multifrequency systems under the condition of invariable and variable delay. The case of systems with linear delay is considered in detail. Under imposed conditions the asymptotics of estimates is unimprovable. On the basis of obtained estimates, we prove new theorems on justification of averaging method for systems with invariable and variable delay when frequencies depend on time lag or slow variables. The case of systems with linearly transformed argument is studied. We propose and justify the averaging circuit for systems with delay when multipoint or integral boundary conditions are given. The averaging procedure is also applied to integral boundary conditions. In a small neighbourhood of solution of an averaged problem, we prove the existence and uniformity of solution or its existence if a vector of frequencies depends on slow variables. We justify the averaging circuits for systems of higher approximation if initial or boundary conditions are given. The problem of an infinite string oscillation is considered under the influence of multifrequency perturbations and the averaging method for it is given. The provided averaging circuits are demonstrated by model examples.

Key words: differential-functional equation, small parameter, linearly transformed argument, averaging method, initial problem, boundary-value problem, delay.

Размещено на Allbest.ru