Застосування рядів до наближених обчислень
Поняття "наближене рівняння" та "степеневі ряди". Наближене обчислення значень функцій за допомогою рядів. Використання рядів для розв’язання рівнянь. Обчислення визначених інтегралів та інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів Фур’є.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 23.09.2015 |
| Размер файла | 128,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Міністерство освіти і науки України
НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ім. М.П. Драгоманова
КУРСОВА РОБОТА
з теми:
Застосування рядів до наближених обчислень
КИЇВ 2010 р.
Зміст
- Вступ
- 1. Основні поняття і означення
- 2. Застосування функціональних рядів до наближених обчислень
- 2.1 Наближене обчислення значень функцій за допомогою рядів
- 2.2 Використання степеневих рядів для розв'язування рівнянь, пошуку неявних функцій та знаходження границь
- 2.3 Обчислення визначених інтегралів за допомогою рядів
- 2.4 Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів
- 2.5 Використання рядів з ортогональними функціями
- Висновки
- Список використаної літератури
Вступ
У сучасному світі математика відіграє велику роль у теоретичних, технічних, економічних дослідженнях. Математичні методи широко використовуються для розв'язку самих різних задач науки, техніки та економіки. Значення цих методів значно зросло у зв'язку із масовим застосуванням комп'ютерів у всіх сферах діяльності.
Математика є фундаментальною дисципліною. Її викладання передбачає:
розвиток логічного і алгоритмічного мислення;
опанування основними методами дослідження і розв'язування математичних задач;
опанування основними чисельними методами математики і їх простішими реалізаціями на ЕОМ;
виробіток уміння самостійно розширювати математичні знання і проводити математичний аналіз прикладних задач.
Мета даної роботи досить скромна, а саме: розглянути приклади основних застосувань рядів для різноманітних обчислень, показати, як ця техніка працює.
У першому розділі роботи наведені основні поняття і означення розглядуваної області.
У другому розділі розглянути теоретичні питання та приклади конкретного застосування рядів для наближених обчислень. А саме: наближене обчислення значень функцій, розв'язування рівнянь, пошук неявних функцій та знаходження границь, наближене обчислення визначених інтегралів, розв'язування диференціальних рівнянь, використання рядів з ортогональними функціями, зокрема - рядів Фур'є.
В ході написання роботи проведений огляд навчальної літератури з проблеми дослідження.
1. Основні поняття і означення
Наближені обчислення - обчислення, у яких дані й результат (або, принаймні, тільки результат) є числами, що лише приблизно представляють дійсні значення відповідних величин.
Наближені обчислення виникають у зв'язку із чисельним розв'язком задач і обумовлені неточностями, які властиві формулюванню задачі й способам її розв'язку. Загальні правила й теорію методів наближених обчислень прийнято називати чисельними методами.
Чисельні методи в математиці - це методи наближеного розв'язку математичних задач, що зводяться до виконання кінцевого числа елементарних операцій над числами. У якості елементарних операцій фігурують арифметичні дії, виконувані звичайно приблизно, а також допоміжні операції - запис проміжних результатів, вибірки з таблиць і т.п. Чисельні методи зводять розв'язок математичних задач до обчислень, які можуть бути виконані як вручну, так і за допомогою обчислювальних машин. Розробка нових чисельних методів і застосування їх в ЕОМ привели до виникнення обчислювальної математики.
Нехай задано послідовність чисел u1, u2, …, un … .
Означення. Вираз
називається числовим рядом, а самі числа u1, u2, …, un… називаються членами ряду. Вираз un як функція від n називається загальним членом ряду.
Означення. Скінченні суми
(1)
називаються частинними сумами ряду.
Означення. Ряд називається збіжним, якщо існує границя частинних сум ряду
. (2)
Границя частинних сум (2) називається сумою ряду. Якщо границя (2) не існує, то ряд називається розбіжним.
Означення. Якщо членами ряду є функції , то ряд
(3)
називається функціональним.
При кожному фіксованому значенні х ряд (3) є числовим рядом. Для дослідження збіжності функціональних рядів можна застосовувати ознаки збіжності для числових рядів.
Степеневі ряди
Найбільш важливими для прикладних задач є степеневі ряди, які мають вигляд
(4)
або більш загальний
(5)
Оскільки заміна х - х0 на х зводить ряд виду (5) до ряду виду (4), то можна розглядати тільки властивості степеневих рядів виду (4). Коефіцієнти аn називаються коефіцієнтами степеневого ряду.
(6)
Цей ряд називається рядом Маклорена.
Якщо розкласти функцію f (x) у ряд за степенями (х - а), то отримаємо аналогічний результат і функція f (x) розкладається у степеневий ряд
(7)
Степеневий ряд (7) називається рядом Тейлора.
Застосування рядів для наближених обчислень
Розклад функцій у степеневі ряди використовується для наближеного обчислення значень функцій, визначених інтегралів, наближеного розв'язування рівнянь і т. ін. При цьому в ряді Маклорена чи Тейлора для даної функції залишають кілька перших членів (як правило, не більше трьох), а решту відкидають. Похибка при наближених обчисленнях являє собою суму відкинутих членів ряду -- залишок ряду. Для оцінки похибки, якщо ряд знакосталий, залишок ряду порівнюють із рядом нескінченно спадної геометричної прогресії. Якщо ряд знакопочерговий, то за наслідком теореми Лейбніца похибка за абсолютною величиною не перевищує першого із відкинутих членів ряду.
2. Застосування функціональних рядів до наближених обчислень
2.1 Наближене обчислення значень функцій за допомогою рядів
Степеневі ряди є вельми важливим апаратом для табулювання функцій, бо їхнє застосування дозволяє звести задачу обчислення значень функцій до задачі обчислення полінома, тобто до виконання арифметичних операцій.
Нехай потрібно обчислити значення функції f(x) при х = х1 із заданою точністю.
Якщо функцію f(x) в інтервалі (-R; R) можна розкласти у степеневий ряд і , то точне значення f(x1) дорівнює сумі ряду при х = х1, тобто а наближене - частковій сумі тобто
.
Точність цієї рівності збільшується із зростанням n.
Підґрунтям степеневого розкладання функції є ряд Тейлора (7).
Зазвичай у формулі (7) вважають , завдяки чому одержується звичайний степеневий ряд за степенями , обриваючи який у потрібному місці, ми одержуємо поліном, який наближає функцію.
Наведемо приклади розкладу в ряд для деяких функцій:
(8)
(9)
Для логарифмічної функції безпосередньо з формули (7) Тейлора можна одержати ряд:
,
який, однак, малопридатний для обчислення логарифмів, через те, що годиться лише для значень , що задовольняють умові . Практично для обчислення значень натурального логарифма використовують ряд, який випливає з наведеної формули:
(10)
Цей ряд збігається лише за , але дріб може при цьому приймати будь-які додатні значення. Наприклад, для відшукання величини , достатньо покласти , звідки . Таким чином
.
Часто використовується також і біноміальний ряд, частинним випадком якого є відома формула бінома Ньютона:
Дійсно, за натуральних коефіцієнти ряду, починаючи з деякого місця, дорівнюватимуть нулю, тобто ряд обірветься.
Біноміальний ряд є зручним при піднесення до дробового степеня та добування коренів.
Просто виглядає і легко одержується також ряд для функції :
,
який, як і ряд для логарифмічної функції, збігається лише в зоні . Для обчислення наведеного ряду цілком достатньо, через те, що для можна скористатися тотожністю
.
При обчисленні функцій за допомогою степеневих рядів часто зручно користуватися рекурентними співвідношеннями, які дозволяють обчислювати черговий член ряду не безпосередньо, а через обчислення попередніх членів.
Рекурентними (або зворотними) співвідношеннями називають рівність, яка зв'язує між собою два або кілька сусідніх членів послідовності або ряду. За допомогою такої рівності можна визначити наступний член ряду через попередні. У деяких випадках послідовність задається не виразом загального члена, а завданням перших її членів і рекурентного співвідношення, яке визначає решту членів. У такий спосіб, наприклад, задається відома послідовність чисел Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...), в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх:
.
Це співвідношення набагато простіше за вираз для загального члена
.
Для наведених вище рядів рекурентні співвідношення можуть бути виведені безпосередньо. Простіше за все взяти відношення двох сусідніх членів. Розглянемо, для прикладу, степеневий ряд для функції . Його загальний член має вигляд . Узявши відношення наступного члена до попереднього, одержимо
.
Таким чином, для двох сусідніх членів ряду одержуємо рекурентне співвідношення інтеграл рівняння ряд фур'є
,
яке є дуже зручним для послідовного обчислення членів ряду.
При обчисленнях з рядами ми замінювали суму ряду його частковою сумою, тобто обмежувалися певною кількістю членів. Природно, цим ми привносимо похибку (похибку метода або похибку усікання), і виникає питання про оцінку величини цієї похибки. При цьому виникає і головне практичне питання: скільки членів ряду потрібно зберегти, щоб похибка, яка одержується, не перевищувала задану.
Якщо члени ряду убувають досить швидко і притому з самого початку, то вигідно мати справу зі знакозмінним рядом, похибка якого легко оцінюється. Дійсно, з властивостей рядів відомо, що сума знакозмінного ряду менша за його перший член (за абсолютною величиною). Звідси випливає, що, замінюючи суму ряду його частковою сумою, ми припускаємо похибку, не перевищуючу за модулем першого з відкинутих членів.
Проте потрібно пам'ятати, що ця оцінка є корисною лише за вказаних умов. Якщо ж члени ряду убувають повільно або убувають хоча й швидко, але не з початку, а перші члени ряду досить великі, то хоча загальна теорема про суму ряду залишається слушною, але фактична похибка буде помітно більшою внаслідок похибки віднімання перших великих членів. У таких випадках набагато вигідніше мати справу з рядами, усі члени яких додатні.
Наприклад, члени рядів (8)-(9) убувають досить швидко і ряди збігаються за будь-якого . Проте за великих значень аргументу (наприклад, >10) перші члени цих рядів досить швидко зростають, і тому обчислення і за допомогою цих рядів є надзвичайно утрудненим через те, що при вирахуванні великих перших членів відбувається така втрата точності, яку неможливо відшкодувати обчисленням великої кількості доданків.
Для рядів з додатними членами оцінка похибки є більш складною, і ніяких загальних методів, придатних для усіх рядів, запропонувати неможна.
Приклад. Обчислимо значення за допомогою ряду (10), узявши п'ять членів ряду, і оцінимо одержану похибку.
Як зазначалося, у цьому випадку слід покласти . Тоді
.
Абсолютна похибка цієї рівності дорівнює сумі ряду
.
Оцінку величини можна одержати у такий спосіб. Якщо всередині квадратних дужок усі множники перед степенями 2/3 замінити на 1/11, то величина суми зможе тільки збільшитися. Отже
.
Але сума праворуч тепер становить суму геометричної прогресії з першим членом і знаменником . Тому
.
Наведений метод дозволяє розв'язати і зворотну задачу - визначити кількість членів ряду, які потрібно врахувати при обчисленні, щоб одержати значення з наперед заданою точністю.
Швидкості збіжності наведених вище рядів, тобто, у кінцевому рахунку, кількість членів, які потрібно утримувати, щоб одержати суму з потрібною точністю, є вельми різними. Більш того, навіть для того самого ряду потрібна кількість членів змінюється у залежності від значення . Внаслідок цього швидкодія програм, які обчислюють значення елементарних функцій за допомогою рядів, виявляється різною для різних .
Розглянуті степеневі ряди є зручним засобом для програмування обчислення елементарних функцій. Кожний з цих рядів легко програмується як звичайний цикл, який можна оформлювати і як арифметичний, і як ітераційний.
Для прикладу розглянемо показникову (експоненційну) функцію . Помітимо, що члени ряду
зв'язані співвідношенням . Якщо не обмежувати зону змінювання аргументу, то цикл потрібно писати як ітераційний. Для обчислень з машинною точністю можна перевіряти загальний член ряду на збіг з нулем, тобто обчисляти доти, поки члени ряду не стануть машинним нулем.
Втім, у цьому немає ніякої потреби. Набагато простіше і швидше порівнювати дві сусідні суми і припиняти обчислення тоді, коли вони збіжуться, тобто коли додавання чергового доданку не буде змінювати суму. Звичайно цей момент настає раніше, ніж коли члени ряду обертаються на машинний нуль.
Такий підхід є незручним для від'ємних аргументів, великих за абсолютним значенням, бо у цьому випадку ряд одержується знакозмінним, і його перші члени є великими за абсолютним значенням, тоді як значення функції є малим. У цьому випадку може вийти велика втрата точності. Зручніше у цьому випадку обчисляти , тобто обчислювати значення функції все ж для додатного показника степеня (тобто працюючи зі знакосталим рядом), а потім користуватися тотожністю .
Приклад. Обчислити з точністю до 0,001: .
Зробимо такі перетворення: . Скористаємось рядом Маклорена (6) для функції , узявши , . Тоді дістанемо:
За винятком першого члена дістали знакопочерговий ряд, він буде збіжним, бо . Похибка за абсолютною величиною буде меншою від першого із відкинутих членів. Послідовно обчислюємо:
. Отже, щоб обчислити з точністю до 0,001, достатньо залишити три перші члени:
.
Приклад. Обчислити з точністю до 0,001.
Оцінимо похибку наближеної рівності
(11)
Ця похибка визначиться залишком ряду
Якщо то за формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником . Отже, маємо таку оцінку залишку ряду
. (12)
За формулою (11) для обчислення маємо:
(13)
Оцінку похибки при обчисленні дістанемо, узявши в (12).
(14)
Знайдемо таке , щоб похибка була меншою за 0,01. Для цього в (14) послідовно покладемо
Отже, і для обчислення з точністю до 0,01 достатньо залишити в (13) тільки такі члени:
2.2 Використання степеневих рядів для розв'язування рівнянь, пошуку неявних функцій та знаходження границь
Наведемо приклади використання степеневих рядів для розв'язування рівнянь і пошуку неявних функцій.
Приклад. Розв'язати рівняння , обмежуючись двома членами ряду Маклорена для .
Візьмемо , тоді дістанемо квадратне рівняння , яке має розв'язки х1 = 1, х2 = -2.
Рис. 1
Із рис. 1 видно, що х2 = -2 не буде розв'язком початкового рівняння.
Отже, рівняння має єдиний розв'язок, наближене значення якого х = 1.
Приклад. Знайдемо розв'язок рівняння: відносно неявної функції у = y(x).
Шукаємо розклад у вигляді ряду
.
Підставляючи ряд у рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х нулю, приходимо до системи рівнянь:
з якої знаходимо послідовно коефіцієнти
і розклад неявної функції у степеневий ряд
Наведемо приклади використання степеневих рядів для знаходження границь.
Приклад. Обчислити .
Замінимо ех і відповідними рядами Маклорена:
Приклад. Знайдемо значення границі
? Використовуємо розклад у степеневий ряд
і при цьому знаходимо
2.3 Обчислення визначених інтегралів за допомогою рядів
При розгляді визначених інтегралів виявляється, що існують визначені інтеграли, котрі, як функції верхньої границі, не виражаються через елементарні функції в скінченому вигляді. Такі інтеграли інколи буває зручно обчислювати за допомогою рядів.
Для наближеного обчислення невизначених і визначених інтегралів у випадках, коли первісна не виражається в кінцевому вигляді через елементарні функції або знаходження первісної складне, застосовуються степеневі ряди.
Нехай треба провести обчислення з точністю до . Якщо підінтегральну функцію можна розкласти у ряд за степенями х і інтервал збіжності (-R, R) містить відрізок інтегрування, то для обчислення заданого інтеграла можна скористатися властивістю почленного інтегрування цього ряду. Помилку обчислень визначають так само, як і при обчисленні значень функцій.
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад. Обчислити
Записуємо розклад:
Цей ряд рівномірно збігається на всій числовій осі, тому його можна почленно інтегрувати на довільному проміжку. Інтегруючи даний ряд, одержимо
Це знакочергуючий ряд. Тому, з точністю до 0,001, маємо
Приклад. Обчислити інтеграл
Тут первісна не є елементарною функцією.
.
Інтегруючи обидві частини рівності в межах від 0 до а, одержимо:
За допомогою цієї рівності можна при довільному а обчислити даний інтеграл з довільною точністю.
Приклад. Обчислити з точністю до 0.0001 , де
Інтегруючи почленно в межах від 0 до х будемо мати
Тоді
Це знакозмінний ряд і, оскільки,
,
то з точністю до 0,0001 обчислюємо
2.4 Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів
Якщо інтегрування диференціального рівняння не зводиться до квадратур (не виражається через елементарні функції в кінцевому вигляді), або спосіб його розв'язання складний, то застосовують наближені методи інтегрування рівняння. Одним із таких методів є представлення розв'язку рівняння у вигляді ряду Тейлора. Сума скінченого числа членів цього ряду буде наближено представляти шуканий частинний розв'язок.
Нехай, наприклад, потрібно знайти розв'язок диференціального рівняння другого порядку
(15)
що задовольняє початковим умовам
(16)
Розглянемо спосіб послідовного диференціювання.
Припустимо, що розв'язок існує і представляється у вигляді ряду Тейлора:
(17)
Виходячи із умов (16), можна знайти перші два коефіцієнти.
Підставивши в рівняння (15) їх значення, обчислимо значення третього коефіцієнта: Значення знаходимо шляхом послідовного диференціювання рівняння (15) по х і обчислення похідних при
Знайдені значення похідних (коефіцієнтів) підставляємо до формули (17). Ряд (17) є частинним розв'язком рівняння (15) для тих значень х, при яких він є збіжним. Часткова сума цього ряду буде наближеним розв'язком диференціального рівняння (15).
Цим способом можна шукати і загальний розв'язок рівняння (15), якщо і розглядати як довільні постійні.
Спосіб послідовного диференціювання застосовується для розв'язанняння диференціальних рівнянь будь-якого порядку.
Приклад. Методом послідовного диференціювання знайти п'ять перших членів (відмінних від нуля) розкладання у ряд розв'язку рівняння
Розв'язання. Шукатимемо розв'язок рівняння у вигляді
При цьому
Знаходимо, підставивши х = -1 до початкового рівняння. Для знаходження наступних коефіцієнтів диференціюємо задане диференціальне рівняння:
При х = -1 маємо:
,
,
Підставляючи знайдені значення похідних до даного ряду, отримаємо:
Розглянемо тепер спосіб невизначених коефіцієнтів.
Цей спосіб наближеного розв'язання найбільш зручний для інтегрування лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.
Нехай, наприклад, треба розв'язати рівняння
(18)
з початковими умовами
Припускаючи, що коефіцієнти p1(x), p2(x) і вільний член f(x) розкладаються у ряди за степенями х-х0, що збігаються в деякому інтервалі, розв'язок шукаємо у вигляді степеневого ряду
(19)
з невизначеними коефіцієнтами.
Коефіцієнти с0 і с1 при цьому обчислюються за допомогою початкових умов с0 = у0, с1 = у'0.
Для знаходження подальших коефіцієнтів диференціюємо ряд (19) двічі (який порядок рівняння) і підставляємо вирази для функції у і її похідних до рівняння (18), замінивши в ньому їх розкладаннями. У підсумку отримаємо тотожність, з якої методом невизначених коефіцієнтів знайдемо інші коефіцієнти. Знайдений ряд (19) є збіжним у тому ж інтервалі і є розв'язком рівняння (18).
Приклад 5. Знайти розв'язок рівняння
, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.
Розв'язання. Розкладемо коефіцієнти рівняння в степеневі ряди:
Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді ряду
Тоді
З початкових умов знаходимо: . Підставляємо отримані ряди до даного диференціального рівняння:
.
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х:
.
Звідси маємо:
Таким чином, отримаємо розв'язок рівняння у вигляді
тобто
2.5 Використання рядів з ортогональними функціями
Означення. Система функцій
0(х), 1(х), 2(х), …, n(х), …, (20)
що задані на відрізку [a, b], називається ортогональною з вагою h(x) якщо для будь-яких двох функцій виконана умова ортогональності
(21)
Система функцій (20) називається ортонормованою, якщо виконується умова
(22)
Для ортонормованої системи функцій k(х) числа
називаються коефіцієнтом Фур'є для функції f(x).
Наближене подання функції f(x)
є в деяких випадках найкращим.
За функції k(х) (k = 0, 1, 2, …, n) часто використовуються многочлени. При h(x) 1 на відрізку [- 1; 1] можна використовувати ортогональні многочлени Лагранжа
На практиці часто доводиться мати справу з періодичними процесами, що описуються кусково-гладкими функціями. Такі функції подають не степеневими, а тригонометричними рядами.
Рядом Фур'є для функції f(x), заданою на відрізку [-, ], називається ряд
(23)
де коефіцієнти an, bn визначаються за формулами:
(24)
Числа an, bn називаються коефіцієнтами Фур'є
Обчислення із застосуванням рядів Фур'є
Коефіцієнти ряду Фур'є можна знайти за формулою (24). Зауважимо, що для парної функції f(x) усі коефіцієнти bn = 0 (n = 1, 2, 3, …). Отже, парні функції розкладаються тільки за cos nx. Аналогічно, непарні функції розкладаються лише за sin nx (n = 1, 2, 3, …).
Приклад. Розкладемо в ряд Фур'є функцію
Функція непарна, тому знаходимо лише коефіцієнти bn
Остаточно маємо ряд Фур'є
На рис. 2 подано f (x) і частинні суми ряду
Рис. 2
При маємо рівності
Приклад. Розкласти в ряд Фур'є парну функцію f(x) = |x|, х [-, ].
Знаходимо коефіцієнти аn (n = 1, 2, 3, …):
Знаходимо розклад в ряд Фур'є
При х = 0 дістанемо рівність
Виходячи з цієї рівності можна обчислити значення ряду
Звідси дістаємо значення суми ряду, яку знайшов Ейлер:
(25)
Якщо функція f(x) задана на відрізку [0, ], то її можна довільним чином задати на інтервалі [-, 0) і потім розкласти в ряд Фур'є, який використовуємо лише при х [0, ]. Якщо функцію f(x) продовжимо парним способом, то функція f(x) буде розкладатися за cos nx, якщо продовжити непарним способом, то функція f(x) буде розкладатися за sin nx.
Приклад. Розкладемо функцію f(x) = sin x на відрізку [0, ] в ряд Фур'є за косинусами.
Матимемо
Остаточно знаходимо розклад у ряд Фур'є при х [0, ]
Висновки
У даній роботі дається огляд деяких питань, пов'язаних із застосуванням функціональних рядів для наближених обчислень. Ця класична область математики продовжує розвиватись, особливо в частині застосування її методик для розрахунків на ЕОМ.
В роботі розглянуті теоретичні та практичні методи застосування рядів до наближених обчислень у різних розділах математики.
Підтверджено, що застосування рядів є одним з основних обчислювальних методів. Навіть у калькуляторах при обчисленні значень функцій використовуються ряди.
Функціональні ряди необхідні для наближеного завдання довільних функцій сумою відомих елементарних функцій:
При застосуванні ПЕОМ, щоб запам'ятати функцію f(x), слід запам'ятати числовий вектор (а1, а2, …, аn), якщо функції 1(х), 2(х), …, n, … є в програмах ЕОМ.
Степеневі ряди дають змогу подавати функції, які неперервні і безліч разів диференційовані. Степеневі ряди можуть бути застосовані для обчислення інтегралів, знаходження границь, розв'язків рівнянь.
Щоб наближено з будь-яким степенем точності представляти розривні функції або функції з розривами похідних, слід використовувати інші функціональні ряди. Частіше всього використовуються ряди з ортогональними функціями, зокрема - ряди Фур'є.
Ця робота дозволяє ознайомитись з традиційними розробками по деяким питанням, пов'язаним із такими класичними об'єктами математики, як ряди та їх застосуванням для наближених обчислень.
Список використаної літератури
1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы, ряды, функции комплексного переменного. -- М.: Наука, 1989. -- 464 с.
2. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: навч. посібник. - К.: Видавництво А.С.К., 2009.-648 с.
3. Дюженкова Л.І. та ін. Математичний аналіз у задачах і прикладах: навч. посібник. - К.: Вища школа, 2003.- Ч 2.- 470 с.
4. Кулініч Г.Л, Макасименко Л.О., Плахотнік В.В., Призва Г.Й. Вища математика: основні означення, приклади і задачі: Навч. посіб. К: Либідь, 1992.
5. Овчинников П.П. та ін. Вища математика: підручник. - К.: Техніка, 2003.-Ч 2.-600 с.
6. Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. -- К.: Либідь, 1996. -- 440 с.
7. Панков О.А., Панкова Т.Е. Вища математика., ВІРЕУ. 1998.
8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. -- Т. 1, 2. М.: Наука, 1985. -- 580 с., 602 с.
9. С.І. Крушинська, Л.Й. Кучмінська, О.І. Приходська, Н.Б. Гіссовська. Ряди. М.: Наука, 1985 - 289 с.
10. Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. -- К.: Либідь, 1995. -- 240 с.
11. Чубатюк В.М. Вища математика. Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей навчальних закладів III та IV рівнів акредитації. К.: ВД «Професіонал», 2006.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Історія виникнення математичних рядів. Монотонна послідовність, сума ряду і властивості гармонійного ряду. Поняття числа "e", властивості рядів Фур'є і Діріхле. Приклади розгортання і збіжності рядів Фур'є. Індивідуальна побудова математичних рядів.
контрольная работа [502,5 K], добавлен 08.10.2014Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Основні поняття з теорії рядів, характеристика методів підсумовування збіжних рядів. Особливості лінійних перетворень рядів, суть методів Ейлера, Куммера, Пуассона і Чезаро. Поняття суми розбіжного ряду, що задовольняє умовам регулярності і лінійності.
дипломная работа [2,1 M], добавлен 23.09.2012Методика розрахунку невизначених інтегралів. Обчислення площі фігури, обмеженої вказаними лініями, та формування відповідного рисунку. Загальний та частинний розв’язок диференціального рівняння першого порядку. Дослідження на збіжність числових рядів.
контрольная работа [490,5 K], добавлен 19.01.2015Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Загальні поняття про числові ряди. Ознака збіжності Куммера. Дослідження ознаки збіжності Раабе та використання ознаки Даламбера. Ознака збіжності Бертрана. Дослідження ознаки збіжності Гаусса. Застосування ознаки Діріхле для знакозмінних рядів.
курсовая работа [523,8 K], добавлен 25.03.2012Сутність, особливості та історична поява чисел "пі" та "е". Доведення ірраціональності та трансцендентності чисел "пі" та "е". Методи наближеного обчислення чисел "пі" та "е" за допомогою числових рядів та розкладу в нескінченні ланцюгові дроби.
курсовая работа [584,5 K], добавлен 18.07.2010Загальні поняття та основні властивості числових рядів. Додаткові ознаки збіжності числових рядів: ознака Куммера і Раабе, Бертрана та Гаусса, ознака Діріхле, їх порівняння та практичність застосування. Мала чутливість ознаки збіжності Даламбера.
курсовая работа [509,5 K], добавлен 29.02.2012
