Криволинейный интеграл первого рода и его приложения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Павлодарский государственный педагогический университет

Кафедра математики

Курсовая работа

Криволинейный интеграл первого рода и его приложения

Выполнила:

Ахметова Д.А.

студентка 2 курса

очной формы обучения

Руководитель: Муканова Ж.Г.

Павлодар 2015 г.

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические сведения

1.1 Основные определения и понятия

1.2 Свойства криволинейного интеграла

1.3 Приложения криволинейного интеграла

1.3.1 Масса кривой с переменной линейной плотностью

1.3.2 Площадь цилиндрической поверхности

1.3.3 Длина кривой

1.3.4 Притяжение материальной точки материальной кривой

Глава 2. Решение задач

2.1 Вычисление криволинейного интеграла первого рода

2.2 Примеры

2.2.1 Масса кривой с переменной линейной плотностью

2.2.2 Площадь цилиндрической поверхности

2.2.3 Длина всей кривой

2.2.4 Притяжение материальной точки материальной кривой

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Существуют задачи в математическом анализе, геометрии, физике, экономике, для которых недостаточно обычного определенного интеграла - интеграла по одномерному координатному отрезку. Например, задачи, которые требуется вычислить интеграл по дуге. Решение через определенный интеграл применить нельзя. В таких случаях "приходит на помощь" криволинейный интеграл.

Различают криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) и второго рода (по координатам).

В данной курсовой работе рассматривается криволинейный интеграл первого рода, приводятся все необходимые теоретические сведения, рассказывается о свойствах криволинейный интеграл первого рода, рассматриваются приложения криволинейный интеграл первого рода.

Целью данной курсовой работы является изучение понятия криволинейного интеграла первого рода и его приложений.

Глава 1. Теоретические сведения

1.1 Основные определения и понятия

Рассмотрим на плоскости некоторую спрямляемую прямую , не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания (то есть кривая - простая).

Предположим, что кривая определяется параметрическими уравнениями

(1)

Пусть функция или определена вдоль кривой , то есть каждой точке на кривой ставится в соответствие определенное значение функции (см. рис. 1).

Разобьем отрезок при помощи точек на частичных отрезков . Поскольку кривая - простая, то каждому значению параметра соответствует определенная точка на данной кривой, где . Следовательно при данном разбиении отрезка вся кривая распадается на частичных дуг .

На каждой из частичной дуг выберем произвольным образом по одной точке , где , , причем. .

Обозначим через длину -й частичной дуги и составим сумму

, (2)

которую обычно называют интегральной суммой для функции , заданной на кривой .

Очевидно, что, меняя способ разбиения кривой на частичные дуги и (или) меняя выбор точек на соответствующих частичных дугах, для данной функции можно составлять бесконечно много интегральных сумм вида (2). Введем понятие предела интегральных сумм вида (2) при , где.

Определение 1. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого найдется такое, что для любого разбиения кривой , у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство . При этом используют следующую запись:

.

Определение 2. Если существует конечный предел интегральных сумм при , то число называется криволинейным интегралом первого рода (или криволинейным интегралом по длине дуги) от функции по кривой и обозначается символом: . При этом сама функция называется интегрируемой вдоль кривой .

Если кривая - незамкнутая и точки и - ее концы, то криволинейный интеграл первого рода обозначается следующим образом:

Таким образом, согласно определению 2 имеем:

(3)

1.2 Свойства криволинейного интеграла

1) Линейное свойство. Если для каждой из функций и существует криволинейный интеграл по кривой и если и - любые постоянные, то для функции также существует криволинейный интеграл по кривой , причем

.

Доказательство. Воспользуемся определением криволинейного интеграла первого рода. Рассмотрим интегральную сумму

.

Воспользуемся определением интеграла (формулой (3))

.

Воспользовавшись свойствами пределов и формулой (3) получаем

2) Аддитивность. Если дуга составлена из двух дуг и и если для функции существует криволинейный интеграл по дуге , то для этой функции существует криволинейный интеграл по каждой из дуг и , причем

.

Доказательство. Воспользуемся определением криволинейного интеграла первого рода. Рассмотрим интегральные суммы

.

Перейдем к пределу при и воспользуемся (3)

.

3) Оценка модуля интеграла. Если существует криволинейный интеграл по кривой от функции , то существует и криволинейный интеграл по кривой от функции , причем

.

Доказательство. Воспользуемся определением криволинейного интеграла первого рода. Перейдем к интегральным суммам и, воспользовавшись свойством о модуле суммы, получаем

.

Применим формулу (3) и перейдем к интегралу

.

4) Формула среднего значения. Воспользуемся определением криволинейного интеграла первого рода. Если функция непрерывна вдоль кривой , то на этой кривой найдется такая точка такая, что

,

где - длина кривой .

Доказательство. Так как непрерывна на , то по теореме Вейерштрасса она принимает наименьшее и наибольшее значения. Выполняется неравенство:

.

По свойству об оценке интеграла получим

,

где - длина дуги.

Следовательно

.

Обозначим и получим . Это означает, что есть промежуточное значение на . По теореме о промежуточном значении непрерывной функции существует точка , в которой , то есть

1.3 Приложения криволинейного интеграла

1.3.1 Масса кривой с переменной линейной плотностью

Пусть вдоль некоторой спрямляемой кривой распределена масса с переменной линейной плотностью или , то есть величина зависит от координат материальной точки . Определим массу m всей кривой . Для этого раздробим кривую произвольным образом на n частей (элементарных дуг) . Предполагая, что на каждой элементарной дуге плотность постоянна и равна плотности в какой-нибудь из точек этой дуги (например, , где - фиксированная точка на дуге ), массу всей кривой можно приближенно вычислить по формуле:

, (4)

где - длина элементарной дуги .

Формула (4) будет тем точнее, чем мельче будет дробление кривой .

Пусть . Тогда за точное значение массы m всей кривой естественно принять предел суммы при :

.(5)

Из формул (3) и (5) вытекает, что справедливо равенство:

, (6)

то есть масса кривой с переменной линейной плотностью численно равна криволинейному интегралу первого рода от плотности по кривой .

1.3.2 Площадь цилиндрической поверхности

Рассмотрим на плоскости некоторую спрямляемую кривую .

Пусть на этой кривой определена непрерывная и неотрицательная функция или . Тогда график функции представляет собой некоторую кривую , лежащую на цилиндрической поверхности, для которой кривая - направляющая, а образующая перпендикулярна к плоскости .

Найдем площадь цилиндрической поверхности , которая сверху ограничена кривой , снизу - кривой с боков - прямыми и .

Для этого применим следующий алгоритм:

Разобьем произвольным образом кривую при помощи точек на частей.

Из каждой точки дробления проведем перпендикуляры к плоскости высотой . В результате вся цилиндрическая поверхность разобьется на n полосок .

Каждую полоску заменим прямоугольником с основанием , где - длина дуги , и высотой, равной значению функции в какой-нибудь точке . Тогда площадь плоскости приближенна будет равна площади прямоугольника, то есть . Следовательно, для нахождения площади всей цилиндрической поверхности можно использовать следующую формулу:

криволинейный интеграл цилиндрический

. (7)

Ясно, что приближенное равенство (7) будет тем точнее, чем меньше величины . Пусть . Тогда точное значение искомой площади можно получить так:

.(8)

Из формул (3) и (8) получаем следующее равенство:

.(9)

Таким образом, криволинейный интеграл первого рода при численно равен площади цилиндрической поверхности .

1.3.3 Длина кривой

Предположим, что на кривой произвольно установлено направление (одно из двух возможных), так что положение точки на кривой может быть определено длиной дуги , отсчитываемой от начальной точки .

Тогда кривая параметрически выразится уравнениями вида , а функция , заданная в точках кривой, сведется к сложной функции от переменной .

Если через обозначить значения дуги, отвечающие выбранным на дуге точкам деления , то, очевидно, . Обозначив через значения , определяющие точки (причем, очевидно, ), видим, что интегральная сумма для криволинейного интеграла

является в то же время интегральной суммой для обыкновенного определенного интеграла, так что сразу имеем

,(10)

причем существование одного из интегралов влечет за собой существование другого.

В дальнейшем будем предполагать, что функциянепрерывна, следовательно, интеграл существует.

Пусть теперь кривая задана произвольными параметрическими уравнениями

,,

где функции и непрерывны со своими производными и ; предположим, сверх того, что кратных точек на кривой нет. Тогда кривая заведомо спрямляема, и если возрастание дуги отвечает возрастанию параметра , то

.

Заменяя переменную в интеграле (10) , получаем

. (11)

Если бы при возрастании параметра дуга убывала, то стоило бы лишь перейти к дуге , чтобы снова перейти к формуле (11). Таким образом, в формуле (11) нижний предел интеграла должен быть меньше верхнего, каково бы ни было параметрическое задание кривой.

Когда кривая задана явным уравнением:

,

формула (11) принимает вид

. (12)

Из предположения непрерывности функции вместе с ее производной кривая в каждой точке будет иметь определенную касательную, не параллельную оси . Обозначив через угол касательной с осью , получим

, .

Поэтому

. (13)

В частности

,

где - длина всей кривой

. (14)

1.3.4 Притяжение материальной точки материальной кривой

Как известно по закону Ньютона, материальная точка массы притягивает материальная точку массы с силой, направленной от к и численно равной , где - расстояние , а - коэффициент, зависящий от выбора основных единиц измерения. Для простоты будем считать его равным единице.

Если точка притягивается системой точек с массами , то результирующая сила, или равнодействующая, получается геометрическим сложением сил притяжения отдельными точками. В то же время проекции результирующей силы на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций отдельных сил.

Если обозначить проекции равнодействующей на оси через и , а угол, составленный вектором с осью , через , то, очевидно,

, ,

где , как обычно, означает длину вектора .

Пусть теперь притягивающая масса распределена непрерывным образом по кривой .

Для нахождения притяжения разобьем кривую на участки и, сосредоточив массу каждого участка в произвольно выбранной на нем точке , найдем приближенные значения проекций равнодействующей на оси:

, ,

ибо в этом случае масса отдельного участка приближенно равна . Если устремить все к нулю, то в пределе получатся точные равенства, причем суммы заменятся интегралами:

, ; (15)

здесь r означает длину вектора , а - угол, составленный им с осью .

Найдем, например, притяжение, оказываемое однородной полуокружностью (при ) на единицу массы, помещенную в ее центре.

Поместим начало координат в центр полуокружности и ось абсцисс проведем через ее концы (Рис. 5).

По соображениям симметрии , так что дело приводится к нахождению лишь проекции . По формуле (15)

.

Но в нашем случае (радиус полуокружности) и . Поэтому

.

Глава 2. Решение задач

2.1 Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Основной способ вычисления криволинейного интеграла первого рода состоит в сведении его к обыкновенному определенному интегралу.

Напомним, что простая кривая , заданная системой (1), называется гладкой, если функции и имеют непрерывные производные, одновременно не обращающиеся в нуль на .

Будем говорить, что функция непрерывна вдоль кривой , если для любой точки , выполняется условие:

.

Теорема. Если - гладкая кривая, заданная системой (1), и функция непрерывна вдоль кривой , то существует криволинейный интеграл первого рода и справедливо равенство

(16)

Доказательство. Доказательство теоремы вытекает из приложения криволинейного интеграла первого рода "Длина дуги" до формулы (11).

2.2 Примеры

2.2.1 Масса кривой с переменной линейной плотностью

Пример №1. Вычислите массу материальной кривой , заданной уравнением, где , если линейная плотность ее в каждой точке определяется формулой .

Решение. Согласно формуле (6) имеем: . Поскольку в данном случае и , то в силу формулы (12) будем иметь:

.

Ответ: .

Пример №2. Вычислить массу четверти окружности

расположенной в первом квадранте, если плотность в каждой точке кривой равна квадрату ординаты этой точки, если .

Решение. Плотность

.

Пользуясь формулой (12) получаем следующее выражение:



Ответ: .

2.2.2 Площадь цилиндрической поверхности

Пример №1. Вычислить часть боковой поверхности круглого цилиндра , срезанного сверху поверхностью .

Решение. Данная задача может быть сведена к вычислению криволинейного интеграла первого рода от функции вдоль дуги кривой , расположенной в первой четверти. Из уравнения окружности находим:

;

.

Искомая боковая поверхность равна:

кв. ед.

Ответ: кв. ед.

Пример №2. Вычислить площадь части боковой поверхности круглого цилиндра , срезанного снизу плоскостью , а сверху - поверхностью .

Решение. Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла от функции по окружности . Так как срезающая сверху поверхность симметрична относительно плоскостей и , то можно ограничиться вычислением интеграла только по дуге одной четвертой части окружности, расположенной в первой четверти плоскости . Получим:

, , ,

,

Ответ:

2.2.3 Длина всей кривой

Пример №1. С помощью криволинейного интеграла найти длину дуги астроиды:

.

Решение. Так как криволинейный интеграл при определяет длину контура , то задача сводится к вычислению криволинейного интеграла , где - астроида. Так как

,

,

, то

Учитывая симметричность кривой относительно координатных осей, можно записать следующее:

.

Ответ: .

Пример №2. Вычислить интеграл , если есть четверть эллипса , лежащая в первом квадранте.

Решение. Исходя из параметрического представления эллипса , , будем иметь

,

Вычисления можно произвести по формуле (11):

.

Положим здесь , тогда и

Ответ:

2.2.4 Притяжение материальной точки материальной кривой

Пример №1. Вычислить притяжение, оказываемое однородной полуокружностью (при ) на единицу массы, помещенную в центре.

Решение. Поместим начало координат в центр полуокружности и ось абсцисс проведем через ее концы (см. рис. 5). По соображениям симметрии , так что дело приводится к нахождению лишь проекции . По формуле (15):

Но в нашем случае (радиусу полуокружности) и Поэтому

Ответ: ,

Пример №2. Вычислить притяжение, оказываемое бесконечной однородной прямой () на точку единичной массы (), лежащую на расстоянии от прямой.

Решение. Рассмотрим искомое притяжение как предел притяжений, оказываемого конечным отрезком названной прямой при условии, что концы удаляются в разные стороны до бесконечности. Если саму прямую принять за ось , а ось провести через заданную точку, то получим (учитывая, что в данном случае )

Аналогично, (что вытекает из соображения симметрии).

Ответ: , .

Заключение

В ходе работы над темой курсовой "Криволинейный интеграл первого рода и его приложения" были изучены основные теоретические сведения, необходимые для глубокого понимания данной темы, свойства криволинейный интеграл первого рода, а также его приложения: масса кривой с переменной линейной плотностью, площадь цилиндрической поверхности, длина всей кривой, притяжение материальной точки материальной кривой. Также в ней подробно разобраны наглядные примеры на применение криволинейного интеграла первого рода. Кроме того, имеется решение данных примеров в системе Mathematica.

Значимость данной курсовой работы заключается в систематизации материала.

Данная работа может быть использована в качестве пособия для самостоятельного изучения данной темы.

Список используемой литературы

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа - М.: Наука, 1969. - 440 стр. с илл.

2. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т. II. - М.: издательство "Просвещение", 1966.

3. Будаев В.Д., Василенков В.Д. Математический анализ для студентов-физиков. Часть 2. Дифференциальное и интегральное исчисления и их приложения - Смоленск: СГПИ, 1997.

4. Задачник по курсу математического анализа. Ч. II. Под ред. Н.Я. Виленкина. Учебн. пособие для студентов заоч. отд-ний физ-мат. Фак. Пединститутов. М., "Просвещение", 1971. 336 с. Перед загл. Авт. Н.Я. Виленкин, К.А. Бохан, И.А. Марон и др.

5. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть II: Учеб.: Для вузов. - 5-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 464 с. - (Курс высшей математики и математической физики). - ISBN 5-9221-0537-X.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т. II - М.: Интеграл - Пресс, 2002. - 544 с. ISBN 5-89602-013-9 (т. II). ISBN 5-89602-014-7.

7. Расулов К.М. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления для функций нескольких переменных: учебное пособие / К.М.Расулов; Смол. гос. ун-т. - Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2008. - 145 с.

8. Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа. Учеб. Пособие для физ. - мат. фак. пед. ин-тов. Т. II. М., "Просвящение", - 1976. 479 с. с ил.

9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. II: Учебник. - 7-е изд. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 440 с. - ISBN 5-9221-0197-8.

10. Шипачев В.С. Курс высшей математики: Учебник / Под. Ред. Тихонова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.:ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004. - 600 с.

11. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: Высшая школа, 1981, т. II: - 584 с., ил.

Размещено на Allbest.ru