Алгебра матриц

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

Методическое пособие первокурснику

Алгебра

Часть 1

Модуль 1

Алгебра матриц

В.Б. Дыбин

2008 г.

Введение

Курс «Алгебры» занимает одно из важнейших мест в системе образования не только для всех математических специальностей, но и для всех специальностей, которые используют математические методы. Например, у экономистов на этом курсе основаны такие дисциплины как линейное программирование и теория игр.

Первая часть содержит 12 лекций по алгебре, охватывающих три модуля: «Алгебру матриц», «Системы линейных алгебраических уравнений» и «Определители». Материал этих лекций составляет основную часть курсов первого семестра: «Алгебры» на отделении «математика» и Линейной алгебры» на отделении «математические методы и исследование операций». Поэтому содержание лекций и форма подачи материала играют определяющую роль в процессе адаптации вчерашних школьников к университетской системе обучения.

Главной особенностью настоящего пособия является включение в него наряду с теоретическим материалом большого количества упражнений по каждой теме вместе с разбором основных алгоритмов. Одновременно с целью «наведения мостов» между данным курсом и другими математическими разделами, ожидающими первокурсников, в текст «Лекций» включен дополнительный материал по теории множеств и отображений, а также дано описание основных алгебраических структур. Эти разделы, как правило, отмечены звездочкой.

Многолетние преподавание алгебры на механико-математическом и экономическом факультетах Ростовского университета убеждает автора в необходимости особого внимания к работе со студентами в первом семестре. Этим объясняется включение в текст пособия ряда нестандартных фрагментов: исторических справок, опытов обсуждения сложности вычислений и контроля за вычислениями, указаний приложения основных результатов и понятий.

Ниже символами < и > обозначается соответственно начало и конец доказательства, символом - предложение читателю самостоятельно провести доказательство отмеченного утверждения, а символом -наличие противоречия в рассуждениях. Впрочем, в тексте «Лекций» читатель будет встречать и другие символы, облегчающие процесс изложения материала. Например, символ заменит слова «влечет» и «следовательно», а символ употребляется вместо выражений «тогда и только тогда» или «равносильно». Разъяснения по поводу других значков будут даваться по ходу текста.

Настоящее пособия является переработкой трех тетрадей «Лекций по линейной алгебре» [], написанных автором, и трех тетрадей методических указаний, подготовленных в 1994-97 годах совместно с В.М. Семигуком [], которому автор выражает свою признательность за сотрудничество.

Гл. 1. Алгебра матриц

вектор матрица квадратный алгебраический

В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.

После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

В последней части первой главы изучаются простейшие матричные уравнения.

1.1 Матрицы. Терминология

Прямоугольная таблица действительных чисел

(1.1)

называется действительной матрицей. Числа , образующие матрицу, называются её элементами. Здесь . Для обозначения матриц будем применять заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, ..., X, Y, Z, а для обозначения их элементов - греческие буквы и т.д. с индексами и . При этом первый слева индекс (индекс ) указывает номер строки, а второй индекс (индекс ) - на номер столбца матрицы, на пересечении которых расположен элемент . Наряду с обозначением (1.1) в литературе часто встречаются сокращенные обозначения или просто .

Эти обозначения мы также будем использовать в дальнейшем.

Введем специальные обозначения для строк и столбцов матрицы :

а множество всех действительных матриц с строками и столбцами будем обозначать через . Если , матрица называется прямоугольной матрицей порядка , а если - квадратной матрицей порядка . Множество всех действительных квадратных матриц порядка обозначается . Матрица , имеющая только одну строку, , называется матрицей-строкой порядка .

Матрица , имеющая только один столбец,

,

называется матрицей-столбцом порядка . Матрицы-строки и матрицы-столбцы называются также арифметическими векторами. Множество всех арифметических векторов (матриц-столбцов) порядка в дальнейшем будем обозначать через .

Элементы матрицы образуют её главную диагональ. Если все элементы матрицы , не стоящие на её главной диагонали, равны нулю,

,

матрица называется диагональной. Квадратная матрица , у которой все элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю,

называется нижне-треугольной (верхне-треугольной) матрицей.

Понятие матрицы является одним из основных понятий курса алгебры. Элементами числовых матриц (целочисленных, рациональных, действительных, комплексных, булевых) являются числа (целые, рациональные, действительные, комплексные, булевы числа 0 и 1). В этом курсе мы будем иметь дело прежде всего с действительными матрицами. Тем не менее, обозначения и т.д. имеют очевидный смысл. Наряду с числовыми матрицами в этом и других математических курсах встречаются более сложные типы матриц: полиномиальные, функциональные, блочные и т.д., то есть матрицы, элементами которых являются соответственно полиномы (многочлены), функции, блоки (матрицы одинакового порядка) и т.д. В связи с этим отметим, что все положения и свойства матриц, рассматриваемые в данном разделе, с надлежащими уточнениями справедливы и для других указанных выше типов матриц, характер же этих уточнений мы будем обсуждать всякий раз в соответствующем месте.

1.2 Принцип равенства

Две действительные матрицы и называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.

Формализуем это определение: пусть

.

Тогда

,

где и некоторые натуральные числа.

Пример 1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

< Прежде всего заметим, что все шесть матриц порождены одними и теми же числами: 0, ±1, 2. Далее, сравнивать между собой можно только матрицы и , являющиеся квадратными матрицами порядка 2, так как матрицы и имеют соответственно размеры и и, следовательно, не могут совпадать ни друг с другом, ни с остальными рассматриваемыми здесь матрицами. Матрица не совпадает ни с одной из матриц , так как в отличие от этих трёх матриц у вторая строка целиком состоит из нулей. Далее , так как на пересечении первой строки и первого столбца в этих матрицах стоят разные элементы: в , а в . Наконец, равенства показывают, что . >

1.3 Транспонированная матрица

Пусть матрица имеет вид (1.1). Тогда матрица

называется матрицей транспонированной к матрице . Легко заметить, что, во-первых, матрицы и имеют одинаковые главные диагонали, а во-вторых, матрицу можно получить из матрицы поворотом последней вокруг её главной диагонали на угол, равный . В частности, если

, тогда ,

и, наоборот, если

, тогда .

Отметим следующие очевидные свойства операции транспонирования матриц:

1) 2)

Если , тогда матрица называется симметрической. Из свойства 1) следует, что симметрические матрицы всегда квадратные. Примером симметрической матрицы является матрица

.

1.4 Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц и называется матрица

(1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.

Пусть и - действительные матрицы одного порядка, тогда

(1.3)

Знак читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных указаний на возможные значения индексов и объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство (1.3), имеют одинаковый размер при некоторых натуральных значениях и и, следовательно, .

Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.

1) Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых и из

< Пусть . Тогда

.

Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом - определением суммы, а на третьем шаге - принципом равенства матриц. >

2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых и из

.

3) Среди всех матриц множества существует единственная матрица , обладающая свойством

(1.4)

для любой матрицы из .

< Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно, что .

для любой матрицы из . Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для доказательства её единственности покажем, что любая матрица из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства

и .

Используя свойство коммутативности сложения матриц, получаем, что . >

Матрица называется нуль-матрицей, а свойство 3) - свойством существования и единственности нуль-матрицы.

4) Для любой матрицы существует единственная матрица такая, что

(1.5)

< Пусть , тогда . Действительно,

.

Тем самым доказано существование матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5). Для доказательства её единственности предположим существование ещё одной матрицы , удовлетворяющей равенству (1.5), т.е. равенству

(1.6)

Тогда

.

В то же время,

. >

Матрица называется матрицей, противоположной матрице , и обозначается , а свойство 4) - свойством существования и единственности противоположной матрицы. С помощью противоположной матрицы вводится определение вычитания матриц, именно

5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой

1.5 Умножение матрицы на число

Пусть матрица имеет вид (1.1), . Произведением матрицы на число называется матрица

.

Иначе говоря, умножение матрицы на число осуществляется поэлементно:

.

Отметим основные свойства введённой операции:

<Действительно,

. >

Заметим также, что противоположная матрица .

1.6 Скалярное умножение арифметических векторов

Пусть

два арифметических вектора порядка . Скалярным произведением этих векторов называется действительное число, которое обозначается и находится по правилу

(1.7)

В дальнейшем будем также считать, что скалярное произведение двух векторов-строк порядка также вводится по формуле (1.7), т.е.

.

Рассмотрим основные свойства скалярного умножения арифметических векторов.

1) Скалярное произведение симметрично, т.е.для любых и из .

< Действительно,

ввиду коммутативности операций умножения в . >

2) Скалярное произведение аддитивно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых из .

< Ввиду предыдущего свойства в доказательстве нуждается лишь одно из приведенных равенств. Покажем, например, справедливость первого равенства, где

Действительно,

. >

3) Скалярное произведение однородно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых действительных чисел и любых векторов и из .

Арифметический вектор является линейной комбинацией векторов , если найдутся такие действительные числа , что

. (1.8)

Из свойств 2) и 3) скалярного произведения следует, что если вектор имеет вид (1.8), тогда

для любых векторов из и любых действительных чисел . Это свойство называется свойством линейности скалярного произведения по первому сомножителю. Аналогично имеет место свойство линейности скалярного произведения по второму сомножителю. В частности, если наряду с равенством (1.8) справедливо равенство

где , тогда

4) Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат любого арифметического вектора есть число неотрицательное, т.е. . Причём равенство выполняется лишь для .

1.7 Умножение матриц

Пусть . Для того чтобы, существовало произведение необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы должно совпадать с числом строк матрицы (или порядок строк матрицы должен совпадать с порядком столбцов матрицы ). Если условие согласования выполнено, т.е.

тогда произведение определено формулой

,

т.е. если , тогда

- элемент, стоящий в -ой строке и -ом столбце матрицы равен скалярному произведению -ого столбца матрицы (или транспонированной -ой строки матрицы ) на -ый столбец матрицы .

Пример 2. Пусть

Так как , то условие согласования для матрицы выполнено и

.

Отметим также, что произведение в данном случае не существует, так как для него не выполнено условие согласования.

Заметим, что существуют и другие способы умножения матриц, естественно, приводящие к другим результатам. Данный способ умножения матриц диктуется потребностями линейной алгебры и связан с произведением (композицией, суперпозицией) так называемых линейных преобразований. Всякое линейное преобразование определяется некоторой матрицей. Во второй части курса будет показано, что матрица произведения двух линейных преобразований равна произведению матриц этих преобразований в смысле введенного выше определения.

Рассмотрим основные свойства умножения матриц.

1) Если , тогда .

< Это свойство вытекает из определения произведения матриц. >

2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

< Прежде всего заметим, что произведение и не всегда существуют одновременно, как это видно из примера 2. Если и существуют одновременно, т.е. , тогда , , т.е. при матрицы и разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже если и, следовательно, и одного порядка, равенство , вообще говоря, не выполняется. Например,

. >

В то же время существуют матрицы и для которых . Такие матрицы называются перестановочными. Например, матрицы

перестановочны, т.к.

.

Более того, существуют квадратные матрицы порядка , которые перестановочны со всеми матрицами из .

Примером такой матрицы во множестве является матрица

,

в чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно.

3) Умножение матриц ассоциативно, т.е.

. (1.9)

Равенство (1.9) следует понимать так: если его левая (или правая) часть существует, тогда существует и правая (левая) часть и обе они совпадают.

Доказательство этого свойства содержится в учебнике [1], §13.

4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е.

,

< Пусть . Тогда

. >

5) Произведение матриц однородно по каждому из сомножителей, т.е.

где .

< Например

.

Равенство доказывается аналогично. >

6) Реакция произведения матриц на операцию транспонирования выражается формулой

(1.10)

< Пусть , тогда , , т.е. левая и правая части равенства (1.10) существуют и имеют одинаковые порядки. Далее

. >

7) Рассмотрим множество квадратных матриц следующего вида:

.

Матрица называется единичной матрицей порядка .

Если , тогда матрица является её левой единицей, а матрица - правой единицей, т.е.

.

Если матрица квадратная и имеет порядок , тогда матрица является её двусторонней (левой и правой) единицей, т.е.

8) Напомним, что для всех действительных чисел , т.е. ноль является делителем нуля. В то же время произведение действительных чисел может равняться нулю лишь в том случае, когда по крайней мере одно из чисел или равно нулю. Иными словами, среди действительных чисел отсутствуют истинные (т.е. отличные от 0) делители нуля. В отличие от действительных чисел среди действительных матриц истинные делители существуют, т.е. найдутся такие ненулевые матрицы порядка и порядка , что .

< В самом деле, матрицы

и ,

соответственно порядков и , очевидно удовлетворяют нужному условию. В частности, если , то. >

1.8 Теория делимости квадратных матриц

Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления. Любое отличное от 0 действительное число имеет обратное число , т.е.

, (1.11)

и поэтому любое действительное число можно разделить на любое ненулевое число ,

Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11).

Матрица называется обратимой, если существует такая матрица , что

. (1.12)

Если матрица обратима матрица называется её обратной матрицей и обозначается . Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют одинаковый порядок . В связи с этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат множеству , а единичную матрицу будем обозначать для простоты . Множество всех квадратных обратимых действительных матриц порядка в дальнейшем будем обозначать через .

Свойства обратимых матриц.

1) Если , её обратная матрица единственна.

< Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства

. (1.13)

где . Умножая обе части равенства на матрицу слева, по свойству ассоциативности умножения матриц получаем, что

.

С другой стороны,

, т.е. . >

2) Если , тогда , и .

< Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). >

3) Если , тогда , и

. (1.14)

< Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам (1.12) и учитывая при этом, что , получаем, что

или

.

Последнее равенство означает, что матрица обратима, и её обратная матрица имеет вид , т.е. выполнено равенство (1.14). >

4) Если и , тогда матрица обратима и

. (1.15)

< Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что

,

.

Откуда следует обратимость матрицы и равенство (1.15). >

5) Если , тогда и

(1.16)

< Докажем, например, обратимость матрицы ,

Откуда следует обратимость матрицы и первое равенство (1.16). Обратимость матрицы и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. >

6) Если , то во множестве всегда существует необратимые матрицы.

< Примером такой матрицы является матрица

.

Действительно, равенство не может выполняться ни для какой матрицы из , так как в произведении последняя строка всегда нулевая и поэтому

.>

Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в .

Предложение 1.1. Если матрица является истинным делителем нуля, тогда она необратима.

< Пусть матрица и существует такая матрица , , что или . Тогда матрица не может быть обратимой. Действительно, если предположить существование такой матрицы , что

,

тогда умножая обе части равенства на матрицу справа (или обе части равенства на матрицу слева), получаем, что

и аналогично в случае . >

Справедливо и обратное утверждение.

Предложение 1.2. Если матрица отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем нуля, тогда она обратима.

Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».

1.9 Основные типы алгебраических структур

Пусть и два произвольных непустых множества. Декартовым произведением этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество называется декартовым квадратом множества .

Пусть . Внутренним законом композиции на множестве называется произвольное отображение декартова квадрата во множество . Внутренний закон композиции на множестве каждой паре элементов множества ставит в соответствие определенный элемент множества , который принято обозначать в виде сочетания трёх символов: элементов и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,

,

и т.д.

Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

.

Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а умножение матриц - внутренним законом композиции на множестве .

Пусть . Внешним законом композиции на множестве над множеством называется произвольное отображение множества во множество .

Примером внешнего закона композиции на множестве матриц над множеством действительных чисел является операция умножения матрицы на число,

.

Задание на некотором множестве одного или нескольких законов композиции, внутренних или (и) внешних, обладающих некоторыми стандартными свойствами, определяет на этом множестве различные алгебраические структуры (группы, поля, кольца, линейного пространства, алгебры и т.д.).

Если внутренний закон композиции на множестве , записываемый как умножение, обладает свойствами:

1) (ассоциативность) для любых из ;

2) в существует такой элемент , что (существование единицы) для каждого из ;

3) для каждого элемента из найдется такой элемент , что (обратимость) тогда говорят, что закон композиции определяет на структуру группы. Элемент называется при этом единицей группы, а элемент из 3) - обратным к элементом и обозначается .

Если наряду со свойствами 1) - 3) выполняется свойство

4) (коммутативность) для любых из , такая группа называется абелевой. Свойства 1) - 3) называются аксиомами группы, а свойства 1) - 4) аксиомами абелевой группы. В абелевой группе закон композиции записывается обычно как сложение, в связи с чем её аксиомы принимают вид

1')

2') в существует элемент такой, что

;

3') для любого из найдется элемент , такой, что

;

4') .

Элемент называется нулем абелевой группы, а элемент из аксиомы 3') - противоположным к элементу и обозначается .

Пример 3. а) Множество является мультипликативной группой, т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы.

< Действительно, из свойства 5) обратимых матриц следует, что умножение матриц является внутренним законом композиции на множестве . Аксиома группы 1) является следствием свойства 3) умножения матриц. Единичная матрица, очевидно, обратима, так как , откуда следует аксиома группы 2), . Аксиома группы 3) является следствием свойства 2) обратимых матриц. >

б) Множество является аддитивной абелевой группой, т.е. операция сложения матриц определяет на этом множестве структуру абелевой группы.

< Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а аксиомы абелевой группы являются следствием свойств 1) - 4) сложения матриц. >

Если на множестве определены два внутренних закона композиции, которые записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:

1) сложение определяет на структуру абелевой группы;

2) ;

3)

для любых из , тогда говорят, что на множестве задана структура кольца. Если при этом по умножению существует единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна, кольцо называется коммутативным.

Пример 4. а) Операции сложения и умножения чисел задают на множестве структуру коммутативного кольца с единицей.

б) Операции сложения и умножения матриц задают на множестве , , структуру некоммутативного кольца с единицей.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором все отличные от нуля элементы обратимы, называется полем. Важнейшими примерами полей являются поле рациональных чисел и поле действительных чисел .

Пусть задано непустое множество , элементы которого мы будем называть векторами, и поле с единицей 1. Если на множестве определены внутренний закон композиции, записываемый как сложение векторов,

,

и внешний закон композиции над полем , записываемый как умножение вектора на скаляр,

,

и эти законы обладают свойствами:

1) сложение векторов определяет на структуру абелевой группы;

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

тогда говорят, что на множестве задана структура линейного пространства над полем .

Пример 5. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число задают на множестве структуру линейного пространства над полем или кратко структуру действительного линейного пространства.

Непустое множество , на котором заданы два внутренних закона композиции (записываемых как сложение и умножение) и один внешний закон композиции над полем (записываемый как умножение на число), называется алгеброй над полем , если:

1) сложение и умножение задают на структуру кольца,

2) сложение и умножение на число задают на структуру линейного пространства над полем ,

3) .

Если умножение коммутативно, алгебра называется коммутативной, если умножение обладает единицей, алгебра называется алгеброй с единицей.

Пример 6. Из лекций I и II следует, что введённые там операции сложения и умножения матриц с операцией умножения матрицы на число задают на множестве при структуру некоммутативной алгебры с единицей.

1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:

1) перемена местами двух строк или столбцов; обозначения - или соответственно;

2) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения - или соответственно, ;

3) добавление к какой-либо строке или столбцу другой строки или столбца, умноженных на произвольное число ; обозначения - или соответственно (элементарное преобразование этого типа называется трансвекцией).

В результате применения к матрице элементарного преобразования первого типа её строки и (или столбцы и ) поменяются местами; во втором случае строка (или столбец ) будет заменена на строку (или столбец ); в последнем случае строка (или столбец ) будет заменена на строку (или столбец ), а строка (столбец ) остается неизменной.

Свойства элементарных преобразований.

1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.

< Пусть в матрице нужно поменять местами, например, строки и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату

2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица получена из матрицы с помощью элементарного преобразования, тогда матрица может быть получена из матрицы с помощью элементарного преобразования того же самого типа.

< Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что

,

,

3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.

< Действительно, элементарные преобразования и порождают одну и ту же элементарную матрицу

(1.17)

Элементарные преобразования и порождают одну и ту же элементарную матрицу

(1.18)

Наконец, элементарные преобразования и порождают одну и туже элементарную матрицу

 (1.19)

4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.

< Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы

являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). >

5) Пусть . Проведение в матрице одного строчного (столбцового) элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную матрицу порядка (порядка ), отвечающую этому элементарному преобразованию.

< Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице элементарных преобразований соответственно и , а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственно и . >

1.11 Эквивалентные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пусть . Будем говорить, что матрица л_эквивалентна (п_эквивалентна или эквивалентна) матрице и обозначать ( или ), если матрица может быть получена из матрицы с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л_эквивалентные и п_эквивалентные матрицы являются эквивалентными.

Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому приведённым.

Пусть . Говорят, что ненулевая строка этой матрицы имеет приведённый вид, если в ней найдется такой равный 1 элемент , что все элементы столбца , отличные от , равны нулю, . Отмеченный единичный элемент строки будем называть ведущим элементом этой строки и заключать его в кружок. Иными словами, строка матрицы имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец вида

.

Например, в следующей матрице

строка имеет приведенный вид, так как . Обратим внимание на то, что в этом примере на роль ведущего элемента строки претендует также элемент . В дальнейшем, если в строке приведённого вида есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять лишь один из них произвольным образом.

Говорят, что матрица имеет приведённый вид, если каждая её ненулевая строка имеет приведённый вид. Например, матрица

имеет приведённый вид.

Предложение 1.3 Для любой матрицы существует л_эквивалентная ей матрица приведённого вида.

< Во-первых, любую ненулевую строку матрицы , с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведённой, т.е. если , тогда найдется конечное число строчных элементарных преобразований, применив которые к матрице , мы получим матрицу , строка которой имеет приведённый вид.

Действительно, если матрица имеет вид (1.1) и , то после проведения в ней элементарных преобразований

(1.20)

получаем матрицу

,

у которой строка имеет приведённый вид.

Во-вторых, если строка , в матрице была приведённой, то после проведения элементарных преобразований (1.20) строка матрицы будет приведённой. Действительно, так как , приведённая, найдётся такой столбец , что

.

но тогда и, следовательно, после проведения преобразований (1.20) столбец не меняется, т.е. . Поэтому строка , имеет приведённый вид.

Теперь ясно, что поочерёдно преобразуя указанным выше способом каждую ненулевую строку матрицы , после конечного числа шагов мы получим матрицу приведённого вида. Так как для получения матрицы использовались только строчные элементарные преобразования, то она л_эквивалентна матрице . >

Пример 7. Построить матрицу приведённого вида, л_эквивалентную матрице

.

< Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

Среди всех матриц размера выделим множество диагональных матриц

где , у которых

Матрицу удобно записывать в так называемом блочном виде

, (1.21)

где единичная матрица порядка , а - обозначение, общее для нулевых блоков соответствующих размеров.

Предложение 1.4. Для любой ненулевой матрицы найдётся эквивалентная ей матрица вида (1.21).

< Из предложения 1.3 следует, что существует матрица приведённого вида, л_эквивалентная, а поэтому и эквивалентная, матрице . Пусть - число ненулевых строк матрицы . Меняя местами, если это нужно, строки и столбцы матрицы , приведём её к виду

.

Проводя в матрице столбцовые элементарные преобразования

,

получим матрицу вида (1.21), эквивалентную матрице . >

1.12 Отношение эквивалентности

Пусть - непустое множество произвольной природы и - его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве называется произвольное непустое подмножество в . бинарное отношение на множестве можно определить указанием всех пар , принадлежащих , говоря при этом, что элементы и из множества находятся в отношении . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество бесконечно), то высказывание “” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,

.

которые читаются соответственно как “ больше ”, “ равно ”, “ влечёт ”, “ эквивалентно ”

Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

1) для любого ,

2) если , тогда ,

3) если и , тогда .

Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)_3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

1') , (рефлексивность)

2') , (симметричность)

3') и . (транзитивность)

Введение на множестве какого-нибудь отношения эквивалентности приводит к разбиению множества на классы эквивалентности, то есть к представлению этого множества в виде объединения конечного или бесконечного числа попарно непересекающихся подмножеств эквивалентных между собой элементов. Множество классов эквивалентности при этом называется фактор-множеством множества по бинарному отношению и обозначается . Построение фактор-множества множества по какому-нибудь отношению эквивалентности называется факторизацией множества . Задача факторизации множества является математической формализацией проблемы классификации объектов, с которой мы сталкиваемся не только в любой научной области, будь то физика (элементарные частицы), химия (таблица Менделеева), медицина (вирусология), лингвистика (части речи) или геология (классификация топов пород), но и в повседневной жизни (проблемы прописки, гражданства или деления Думы на фракции).

В алгебре матриц отношения “л_эквивалентности”, “п_эквивалентности” и “эквивалентности”, введенные в предыдущем пункте, являются отношениями эквивалентности на множестве . Наиболее важным из них является последнее отношение, которое приводит к построению фактор-множества, в одном классе эквивалентности которого содержатся те и только те матрицы, которые строчными и столбцовыми элементарными преобразованиями приводятся к матрице вида (1.21) с данным . Нетрудно посчитать, что различных видов матриц всего . Это отношение эквивалентности в алгебре называется “одинаковый ранг” и подробно будет изучено во второй части нашего курса.

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть фактор-множества по двум другим указанным выше отношениям эквивалентности при различных соотношениях между и .

1.13 Разложение матрицы в произведение простейших

Пусть - некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

.

Предложение 1.5. Любую ненулевую матрицу из можно представить в виде произведения

, (1.22)

где , - элементарные матрицы порядка , - элементарные матрицы порядка , и матрица имеет вид (1.21).

< В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу к виду . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную матрицу порядка , а проведение в одного столбцового элементарного преобразования равносильно умножению матрицы справа на некоторую элементарную матрицу порядка , получаем матричное равенство

. (1.23)

Матрицы обратимы, а обратные им матрицы являются элементарными матрицами того же порядка. Поэтому, вводя обозначения

,

,

и умножая обе части равенства (1.23) в соответствующем порядке на матрицы слева и на матрицы справа, получаем

,

т.е. равенство (1.22). >

Пример 8. разложить матрицу



в произведение простейших.

< Элементарными преобразованиями приводим матрицу к виду ,

.

Проводим эквивалентную цепочку элементарных преобразований, умножая матрицу слева на элементарную матрицу порядка 2, отвечающую элементарному преобразованию , и умножая её справа на элементарные матрицы порядка 3, отвечающие элементарным преобразованиям , , , . В результате получаем, что

.

Определяя обратные элементарные матрицы (см. свойство 4 элементарных преобразований) и умножая на них в соответствующем порядке последнее равенство, получаем, что

. >

Следствием предложения 1.5 является критерий обратимости квадратной матрицы.

Предложение 1.6. (1-й критерий обратимости матрицы). Для того, чтобы матрица была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

< Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.

Необходимость. Пусть матрица обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, . Наше утверждение будет верно, если мы покажем, что . В самом деле, матрицы

обратимы как произведение обратимых матриц. Поэтому обратимы матрицы и . Из равенства (1.22) получаем, что матрица

и является обратимой как произведение трёх обратимых матриц. Однако, матрица обратима в том и только том случае, когда . Действительно, и поэтому обратима. Если же , то матрица не может быть обратимой, так как последняя строка матрицы в этом случае нулевая и поэтому последняя строка произведения нулевая для любой матрицы , т.е. равенство не может выполняться ни для каких матриц . В результате получаем, что матрица в данном случае имеет вид

. >

Пример 9. Выяснить, является ли следующая матрица обратимой

< Приводим матрицу к виду ,

,

т.е. матрица обратима. Действуя дальше так же, как и в примере 6, можно представить матрицу в виде произведения элементарных матриц, а после этого найти обратную матрицу . Однако этот способ обращения матриц является слишком громоздким. Ниже в Гл.2 мы разберём более простой алгоритм отыскания обратной матрицы. >

Вернёмся к предложению 1.2. Это предложение является следствием предложений 1.5 и 1.6. В самом деле, нам нужно показать, что любая ненулевая и необратимая матрица из , , является истинным делителем нуля.

< Пусть и . В силу предложений 1.5 и 1.6 , где . Введём матрицы

и отметим, что . Так как , то

,

. >

В заключение этого пункта предлагаем читателю самостоятельно доказать следующее усиление предложения 1.6.

Предложение 1.7. Пусть . Следующие утверждения равносильны:

1) ;

2)

где - элементарная матрица порядка ;

3) ;

4) ;

5)

1.14 Матричные уравнения

Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

, (1.24)

, (1.25)

, (1.26)

где - известные матрицы, а - неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы и обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

Предложение 1.8. Пусть матрицы и обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

, ()

, ()

, ()

< Так как уравнения (1.25) и (1.26) являются частными случаями уравнения (1.24) ( в первом случае и во втором случае), доказательство проведём лишь для уравнения (1.24). (Рассуждения в случае уравнений (1.25) и (1.26) предлагаем читателю провести самостоятельно.)

Пусть ,, тогда по необходимости матрицы и имеют размер . Так как ,, то для любой матрицы из существует матрица вида (). Подставляя её в уравнение (1.24), получаем

,

т.е. матрица вида () является решением уравнения (1.24). Тем самым показано, что решение уравнения (1.24) существует.

Осталось показать его единственность. В самом деле, пусть некоторое решение уравнения (1.24), тогда справедливо матричное равенство

.

Умножая обе части слева на матрицу , а справа на матрицу , получаем, что

или

.

т.е. имеет вид (). >

Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.

Предложение 1.9. Пусть и . Тогда уравнения

, (1.27)

(1.28)

равносильны для любых матриц из .

< Действительно, если - решение уравнения (1.27), тогда . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем, что.

или ,

т.е. является решением уравнения (1.28). Наоборот, если - решение уравнения (1.28), тогда

.

Но матрица обратима. Умножая обе части последнего равенства слева на матрицу , получаем, что

,

т.е. - решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном случае, повторяя проведённые выше рассуждения, приходим к противоречию. >

Упражнения

1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

3. Если матрица имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

4. Матрицы и имеют вид:

а)

б) .

Каковы размеры матрицы , если известно, что ?

5. Даны матрицы и . Найти матрицы .

а) ;

б) ;

в) .

6. Найти произведение матриц , если:

а) ;

б);

в) ;

г)

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) .

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

Пример 10. Найти матрицу , если

.

< Матрица существует, так как порядки сомножителей согласованны , и имеем порядок .

Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например, или .

Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и - «сложным», если (сокращённо ПСУ и ССУ).

Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу указанными выше способами.

В первом случае последовательность вычислений такова:

1) - 6 ССУ

2) - 2 ССУ

3) - 8 ПСУ.

Всего: 8 ССУ и 8 ПСУ.

Во втором случае:

1) - 12 ПСУ

2) - 12 ССУ

3) - 8 ССУ.

Всего: 20 ССУ и 12 ПСУ.

Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

В самом деле,

1) - 3 ССУ

2) - 2 ССУ

3) - 8 ПСУ.

Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. >

7. Найти произведение , если:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

При вычислении матричных выражений вида предварительно следует привести подобные члены, если это возможно.

Пример 11. Найти матрицу

,

если

,

.

< Приводим подобные члены в исходном выражении для матрицы ,

.

Так как

,

. >

8. Найти матрицу , если:

а)

;

б)

.

Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.

Пример 12. Найти матрицу

,

если

< Заметив, что

,

где

,

получаем, что

. >

9. Найти матрицу , если:

а) ;

б) .

10. Найти матрицу , если:

а) ;

б) ;

в) .

11. Найти матрицу , если

.

12. Найти матрицу , если:

а) ;

б) .

Введём обозначение для степени матрицы

,

И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

.

Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы должно совпадать с числом столбцов матрицы .

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

Пример 13. а) Найти матрицу

.

< Пусть , тогда

Поэтому



>

б) Найти матрицу , где

< Рассмотрим матрицы и :

,

.

Но тогда

. >

13. Вычислить значение матричного выражения:

а) , если ;

б) , если ;

в) , если ,

14. Вычислить .

Пусть - многочлен, , , . Многочленом от матрицы называется матричное выражение

где .

Пример 14. Найти значение , если

< По определению

. >

15. Найти значение :

а) ;

б) ;

в) .

Аппарат элементарных матриц позволяет находить обратную матрицу, если исходная матрица обратима.

Пример 15. Разложить матрицу в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если

.

< Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу к виду ,

.

Матрица обратима и удовлетворяет соотношению

.

Умножая полученное равенство справа на матрицу

,

получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

слева,.

Матрица обратима и . Поэтому

).

Откуда следует что

. >

16. Указать элементарные матрицы, отвечающие следующим элементарным преобразованиям матрицы размера :

.

17. Каким элементарным преобразованиям матрицы размера соответствуют элементарные матрицы:

,,,,,.

18. В матрице произвести элементарные преобразования умножением на соответствующие элементарные матрицы или ( соответствуют строчным преобразованиям, - столбцовым):

а) ,

.

б) ,

,

.

19. Элементарными преобразованиями привести матрицу к виду :

а) , б) , в) ,г)

д) ,е) , ж) , з) .

20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

21. Выяснить, является ли матрица обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица имеет вид:

а) ,б) ,в) .

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Историческая справка.

Понятие матрицы появилось в средине ХIX века в работах У. Гамильтона, А.Кэли и Дж. Сильвестра. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу.

Идея группы также принадлежит ХIX веку. Название «группа» появилось в работах Э. Галуа. Успех, который выпал на долю этой идеи в анализе, механике, геометрии и теоретической физике, явился основой бурного развития абстрактной алгебры и вторжения ее понятий в математику в первой половине ХХ века. Это вторжение связано с именами Р. Дедекинда, Д. Гильберта, Э. Нетер, Э. Атина. Отметим также, что термин «алгебра матриц», принятый в учебной литературе и использованный в названии Главы 1, понимается как «матричное исчисление», а не как алгебраическая структура, описанная в п.1.9.

Литература

Основная литература.

1. Дыбин В.Б. 12 лекций по алгебре. Пособие для первокурсника. 2006. Электронная форма.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М: Наука, 1973.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. М.: Физико- математическая литература, 2000.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. М.: Физико- математическая литература, 2000.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. М.: Физико- математическая литература, 2000.

6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.

7. Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. М.: Вузовская книга, 2001.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

9. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1975.

10. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М: Наука, 1974.

11. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука, 1980.

12. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии, Т.1. М.: Наука, 1989.

13. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, ч.I, выпуск 1. Алгебра матриц. Учебное пособие. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1995.

14. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, ч.I, выпуск 2. Матрицы и системы уравнений. Учебное пособие. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1996.

15. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, ч.I, выпуск 3. Определители. Учебное пособие. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1997.

16. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, ч.II, выпуск 1. Линейное пространство. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1996.

17. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, ч.II, выпуск 2, Подпространство, 2006, Электронный вид.

18. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, Ч II, выпуск 4. Функционалы. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 2000.

Задачники и дополнительные методические материалы.

19. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М: Наука, 1972.

20. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М: Лаборатория базовых знаний, 2001.

21. Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.: Вузовская книга, 2006.

22. Беклемишева Л.А, Петрович А.Ю Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М: Наука, 1987.

23. Дыбин В.Б., Семигук В.М. Алгебра матриц. Методические указания, выпуск 1. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1994.

24. Дыбин В.Б., Семигук В.М. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. Методические указания, выпуск 2. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1996.

25. Дыбин В.Б., Семигук В.М. Теория определителей. Методические указания, выпуск 3. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1996.

26. Дыбин В.Б. Комплексные числа и многочлены. Методические указания, выпуск 4. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1996.