Размещено на http://www.allbest.ru/

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені І. І. МЕЧНИКОВА

УДК 517.5, 517.98

ПАСИВНІ СИСТЕМИ ОПОРУ З ВТРАТАМИ КАНАЛІВ РОЗСІЯННЯ З ДИСКРЕТНИМ ЧАСОМ

01.01.01 - математичний аналіз

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико - математичних наук

РОЖЕНКО Наталя Олександрівна

Одеса 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Південноукраїнського державного педагогічного університету імені К. Д. Ушинського

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор АРОВ Дамір Зямович, Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського, професор кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ДЕРКАЧ Володимир Олександрович, Донецький національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу та теорії функцій;

доктор фізико-математичних наук, професор ПИВОВАРЧИК Вячеслав Миколайович, Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського, завідувач кафедри прикладної математики та інформатики

Захист відбудеться “__16__” _____січня_______ 2009 року о __15___ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 в Одеському національному університеті імені І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська 2.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного університету імені І.І. Мечникова (65026, м. Одеса, вул. Преображенська 24).

Автореферат розісланий “__05___” ______грудня_____________ 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради __________________ Кореновський А. О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В роботі вивчаються лінійні пасивні системи опору з втратами каналів розсіяння та відповідні класи матриць-функцій (оператор-функцій), до яких належать передатні функції цих систем.

Актуальність теми. Необхідність розвитку теорії лінійних пасивних систем стимулюється проблемами теорії операторів, теорії електричних ланцюгів, задачами прогнозування та фільтрації випадкових процесів, визначення параметрів акустичних хвильових фільтрів.

Представлена дисертаційна робота присвячена розвитку теорії лінійних стаціонарних динамічних пасивних систем опору з втратами каналів розсіяння з дискретним часом у межах напрямку "вхід-стан-вихід". Своїм виникненням цей напрямок багато в чому завдячує проблемам автоматичного регулювання, в яких важливими виявилися такі внутрішні властивості системи, як керованість, спостережність, мінімальність та ін.

Р. Калман у 1971 р. розглядав випадок, коли передатна функція, що відображає праву напівплощину в себе та не набуває чисто уявних значень на уявній вісі, є раціональною. Але замість традиційної її реалізації простою консервативною системою з нескінченновимірним гільбертовим простором внутрішніх станів X та основним оператором A таким, що A=-A*, в його підході мала місце пасивна реалізація, що не є консервативною. В цієї системи Re A 0 та простір X мав мінімальний скінчений вимір.

Мінімальні пасивні реалізації виявились тісно пов'язаними з матричними нерівностями Якубовича-Попова, які виникли у зв'язку з питаннями стійкості та відіграють там особливо важливу роль: мінімальні додатні в сенсі Попова системи є подібними до реалізацій за Калманом. У роботах В.А. Якубовича (1974 р.) та А.А. Нудельмана і П.А. Шварцмана (1975 р.), присвячених цим нерівностям, для систем вже у нескінченновимірних просторах передатна функція має фізичний зміст матриці опору - імпедансу.

В той час, як теорія лінійних стаціонарних консервативних систем опору з дискретним часом розвивалась у межах традиційної спектральної теорії унітарних операторів у просторах Гільберта, теорія консервативних систем розсіяння та проходження з дискретним часом розвивалась разом з теорією стискуючих та неунітарних операторів й відповідних унітарних та (J₁,J₂)-унітарних вузлів. Початок розвитку останньої був закладений у роботах М.С. Лівшица, його учнів та колег, де передатні функції систем називаються характеристичними функціями, оскільки вони визначають просту консервативну систему з точністю до унітарної подібності.

Саме розвитку теорії пасивних лінійних стаціонарних систем з втратами каналів розсіяння була присвячена серія наукових праць Д.З. Арова (1971 - 1983 рр.). Важливе місце в цих роботах займає розвиток методу Дарлінгтона реалізації таких систем у випадку нераціональних передатних функцій, матриць розсіяння та опору. Цей метод, добре відомий в теорії пасивних лінійних ланцюгів із зосередженими параметрами, привів до відокремлення класу Р матриць розсіяння та опору, що мають мероморфне псевдопродовження у нефізичну область Щ_e (зовнішність одиничного круга для систем з дискретним часом, та ліву або нижню напівплощину для систем з неперервним часом) з обмеженою характеристикою Неванлінни в Щ_e. Основні результати були отримані для пасивних систем розсіяння. Значно менше уваги при цьому було приділено пасивним системам опору.

Дослідження пасивних систем опору та їх передатних функцій (матриць опору) у роботах Д.З. Арова зводиться до розгляду відповідних систем розсіяння з дискретним часом та їх матриць розсіяння. Необхідність у подальшому окремому вивченні та вдосконаленні теорії пасивних систем опору з втратами каналів розсіяння була викликана вивченням робіт А. Ліндквіста, Д. Піччі та М. Павона (1982 - 2007 рр.) з теорії стохастичних реалізацій випадкових стаціонарних процесів. В цих роботах мовою стохастичних реалізацій розглядаються по суті консервативні й пасивні лінійні стаціонарні системи опору з мінімальними втратами каналів розсіяння. Матриці опору цих систем мають спектральну щільність, що є недотичним граничним значенням функції з обмеженою характеристикою Неванлінни, тобто належать до классу Р, хоча ця властивість і не згадується у зазначених роботах. Результати, що представлені у дисертаційній роботі, також безпосередньо пов'язані з проблемою визначення параметрів акустичних хвильових фільтрів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась на кафедрі математичного аналізу Південноукраїнського державного педагогічного університету імені К. Д. Ушинського. Дослідження проводились в рамках науково-дослідної роботи за темою № 654 "Дослідження крайових та обернених задач, проблем керування для лінійних та нелінійних рівнянь", 2006 - 2009 рр., у Південноукраїнському державному педагогічному університеті імені К. Д. Ушинського, наказ № 5 від 29.12.2005 (номер держреєстрації - 0106U000467).

Мета і завдання дослідження. Об'єкт дослідження - пасивні та консервативні лінійні стаціонарні динамічні системи опору з втратами каналів розсіяння з дискретним часом.

Предмет дослідження - спектральні властивості основних операторів пасивних систем опору з втратами каналів розсіяння та класи оператор-функцій, до яких належать передатні функції таких систем - матриці опору.

Метою дисертаційної роботи є визначення спектральних властивостей системних операторів пасивних систем опору та їх передатних функцій, встановлення двостороннього зв'язку між спеціальними класами оператор-функцій з відповідними пасивними реалізаціями. В роботі використовується вдосконалений метод Дарлінгтона і результати теорії Калмана для мероморфних у фізичній області передатних функцій. Вдосконалений метод Дарлінгтона полягає у зведенні проблеми синтезу або аналізу пасивної системи опору з втратами каналів розсіяння до синтезу або аналізу деякої консервативної SI (scattering-impedance) - системи проходження без втрат шляхом обліку мінімального числа втрачених каналів розсіяння. Він призводить до необхідності розв'язку оберненої проблеми побудови повної матриці проходження без втрат за її блоком - матрицею опору.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати роботи є новими і полягають у наступному.

1. Наведений критерій належності матриці-функції класу Каратеодорі до підкласу матриць-функцій, що мають псевдопродовження у зовнішність одиничного круга. Отриманий опис множини всіх J_p,m-внутрішніх дилатацій матриці-функції цього підкласу. Відокремлені та описані спеціальні види J_p,m-внутрішніх дилатацій: мінімальні, оптимальні, *-оптимальні та ін.

2. Довільна лінійна пасивна стаціонарна система опору з втратами каналів розсіяння реалізована як частина консервативної SI-системи проходження без втрат. Досліджені основні властивості матриць проходження відповідних консервативних SI-систем проходження як для довільних, так і для стійких (*-стійких, двосторонньо стійких) пасивних систем опору. пасивний система опір дарлінгтон

3. Доведена необхідна і достатня умова того, що оператор-функція класу Каратеодорі є матрицею опору деякої пасивної стійкої (*-стійкої, двосто-роньо стійкої) системи опору.

4. Досліджені та описані двосторонньо стійкі пасивні системи опору зі спеціальними властивостями: мінімальні, оптимальні, *-оптимальні, та ін. в термінах матриць проходження відповідних консервативних SI-систем проходження.

5. Встановлено, що матриця проходження консервативної системи проходження типу SI має мероморфне псевдопродовження у випадку, коли основний оператор відповідної пасивної системи опору має мінімальну функцію.

Отримані результати дозволяють безпосередньо встановлювати двосторонні зв'язки між функціями класу Каратеодорі та відповідними пасивними реалізаціями без зведення до розгляду відповідних систем розсіяння, що доповнює та узагальнює попередні результати інших авторів з теорії пасивних систем опору та теорії операторів.

Практичне значення отриманих результатів. Робота носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані у розвитку теорії операторів у гільбертових просторах, теорії мероморфних оператор-функцій при вивченні властивостей узагальненого классу Каратеодорі, кореляційної теорії випадкових процесів, теорії керування при розв'язанні проблем абсолютної стікості автоматичного регулювання систем.

Апробація результатів. Результати роботи доповідались автором

- в Інституті математики НАН України на Київському міському семінарі з функціонального аналізу, керівники М.Л. Горбачук та Ю.М. Березанський;

- на Одеському міському семінарі з функціонального аналізу та теорії операторів, керівник Д.З. Аров;

- в Одеському національному університеті імені І.І. Мечникова на семінарі з теорії функцій кафедри математичного аналізу, керівник Е.О. Стороженко;

- в Донецькому національному університеті на семінарі кафедри мате-матичного аналізу та теорії функцій, керівник В.О. Деркач;

- в Харківському національному університеті на семінарі з функціо-нального аналізу, керівник В.О. Золотарьов;

- on International conference Modern Analysis and Applications 2007, dedicated to the centenary of Mark Krein, Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007;

- on 7th Workshop Operator Theory in Krein Spaces and Spectral Analysis, dedicated to the memory of Peter Jonas, Berlin, Germany, December 13-16, 2007.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в трьох статях [1 - 3] у фахових наукових виданнях, а також у тезах доповідей міжнародних наукових конференцій [4 - 7].

Особистий внесок здобувача. Публікації [1 - 3], а також тези доповідей [4 - 5] виконані в співавторстві з науковим керівником, Д.З. Аровим. В цих роботах науковому керівнику належать постановки задач, рекомендації щодо вибору методів дослідження та визначення характеру умов на об'єкти, що підлягають дослідженню. Автору дисертації в роботі [1] належать представлення і опис множини всіх J_p,m -внутрішніх дилатацій матриць-функцій класу Каратеодорі, відокремлення та опис спеціальних видів дилатацій: мінімальних, оптимальних та ін.; в роботі [2] автором досліджені основні властивості матриць проходження відповідних консервативних SI-систем проходження як для довільних, так і для стійких у певному сенсі пасивних систем опору, одержаний критерій того, що функція c(z) є матрицею опору деякої пасивної стійкої (*-стійкої, двостороньо стійкої) системи опору; в роботі [3] автором описані двосторонньо стійкі пасивні системи опору зі спеціальними властивостями: мінімальні, оптимальні та ін., досліджений випадок, коли основний оператор пасивної системи опору має мінімальну функцію.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація загальним обсягом 124 сторінки складається з вступу, трьох розділів, які поділяються на підрозділи, висновків, та списка використаних джерел, що містить 61 найменування.

ОГЛЯД ОСНОВНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, визначено об'єкт і предмет дослідження, сформульовані ціль і задачі, визначаються методи дослідження, наукова новизна, теоретичне і практичне значення, коментується повнота викладення матеріалу в наукових працях та ступінь його апробації, наведена структура дисертаційної роботи та огляд основних результатів.

У першому розділі основна увага приділяється класу голоморфних у відкритому одиничному крузі D матриць-функцій с(z) порядку p з Re c(z)0 в D, оскільки передатні функції пасивних систем опору належать саме цьому класу.

Розвиток методу Дарлінгтона привів до необхідності дослідження підкласу Р матриць-функцій с, що мають мероморфне псевдопродовження c_(z) у зовнішність D_e відкритого одиничного круга D з обмеженою характеристикою Неванлінни в D_e. Той факт, що c_(z) є псевдопродовженням матриці-функції c(z), означає, що

c(ж) = c(rж) = c_(rж) м.в. при |ж| =1.

Д.З. Аровим у 1973р. було одержано представлення таких матриць-функцій у вигляді дробово-лінійного перетворення

c(z) = [a₁₁(z)ф+a₁₂(z)] [a₂₁(z)ф+a₂₂(z)]^-1. (1)

В (1) ф - стала матриця порядку p з Reф 0, а A(z)=[a_ij(z)]_{i,j=1,2} - мероморфна в D матриця-функція порядку 2p, що набуває J_p-стискуючих значень на множині Щ_A⁺ голоморфності A(z) в D:

A(z)^* J_p A(z) J_p, zЩ_A⁺,

та майже всюди на одиничному колі |ж|=1 має J_p-унітарні недотичні граничні значення A(ж):

A(ж)^* J_p A(ж)^* = J_p м.в. при |ж| =1,

Де

J_p=, J_p = J_p*, J_p² = I_p.

Такі матриці-функції A(z) називаються J_p-внутрішніми. Якщо матриця-функція c(z) належить до класу Р, то число

m_c = rank Re c(ж)

є сталим майже всюди при |ж|=1, оскільки 2Re c(ж) є недотичним граничним значенням матриці-функції c(z)+c_(1/) з обмеженою характеристикою Неванлінни в D. У (1) матриця ф є такою, що rank ф=m_c та існує представлення c(z) у вигляді (1) при 1 m_c p та з ф = при m_c = 0. Число m_c інтерпретується у методі Дарлінгтона як мінімальне число втрат каналів розсіяння.

Одним з основних результатів першого розділу є нове представлення матриці-функції c(z) класу Р у вигляді блоку J_p,m-внутрішньої в D матриці-функції

и(z) = при m ? m_c > 0, (2)

J_p,m = при m ? 0 (3).

Матриці-функції и(z) такого типу називаються J_p,m-внутрішніми дилатаціями матриці-функції c(z). Зазначене представлення надає наступна теорема.

Теорема 1.1. Матриця-функція c(z) належить до класу Р тоді, і тільки тоді, коли для неї існує J_p,m-внутрішня дилатація и виду (2). При цьому, якщо , то у відповідної J_p,m-внутрішньої дилатації и виду (2) m ? m_c ? 0, та існує J_p,m-внутрішня дилатація з m = m_c.

Представлення матриці-функції з m_c>0 у вигляді (2) не є єдиним; у підрозділі 1.4 наведений опис всіх таких представлень з m=m_c. А саме, нехай , m = m_c > 0, та матрицi-функцiї ц_N і ш_N є нормованими зовнiшнiм та *-зовнiшнiм розв'язками факторизацiйних рiвнянь

2Rec(ж) = ц(ж)^*ц(ж), 2Rec(ж) = ш(ж) ш(ж)^* м.в. при |ж|=1,

вiдповiдно. Визначимо матрицю-функцiю за формулою

(z) = ,

де s_c - субоператор розсіяння матриці-функції c(z). Якщо {b₁,b₂} - знаменник матрицi-функцiї s_c, то поклавши

б(z) = b₁(z) s_c(z) b₂(z), в(z) = b₁(z) ц_N(z),

г(z) = ш_N(z) b₂(z), д(z) = c(z),

побудуємо и(z) за формулою (2) і отримаємо, що справедлива наступна

Теорема 1.2. Для матриці-функції з m=m_c>0 J_p,m-внутрiшня дилатацiя и(z) може бути єдиним чином представлена у виглядi добутку

и(z)=(z), (4)

де {b₁,b₂} - знаменник субоператора розсіяння s_c. Формулою (4) описується множина всіх J_p,m-внутрiшнiх дилатацiй матрицi-функцiї .

У підрозділі 1.5 введені до розгляду і описані спеціальні представлення виду (2): мінімальні, оптимальні, *-оптимальні, мінімальні та оптимальні, мінімальні та *-оптимальні, які є важливими у подальшій побудові за їх допомогою відповідних пасивних реалізацій матриць опору c(z) та встановленні двосторонього зв'язку між цими об'єктами.

У другому розділі на основі отриманих в першому розділі результатів вивчаються довільні пасивні системи опору ?=(A,B,C,D;X,U) з втратами каналів розсіяння з дискретним часом.

Еволюція лінійної стаціонарної динамічной системи ?=(A,B,C,D;X,U,Y) з дискретним часом описується рівняннями

n=0,1,2,…

де U, Y та X - гільбертові простори вхідних даних, вихідних даних та внутрішніх станів системи відповідно, u(n)U, y(n)Y, x(n)X, A, B, C і D - лінійні обмежені оператори, що діють між відповідними просторами. Передатна функція системи ? визначається за формулою

f_??z????D+zC(I-zA)^-1B

де змінна z належить до множини точок комплексної площини, для яких існує обмежений обернений оператор (I-zA)^-1.

Система ?=(A,B,C,D;X,U,Y) є пассивною системою опору, якщо U = Y та для коефіцієнтів системи справедлива наступна нерівність:

.

Якщо в цій нерівності має місце знак „=”, то ? є консервативною системою опору. Передатні функції c(z) пасивних систем опору (матриці опору) складають клас Каратеодорі аналітичних у відкритому одиничному крузі D функцій з Rec(z)0 в D, значеннями яких є лінійні обмежені оператори, що діють з U в U. Простір лінійних обмежених операторів, які діють з U в U, надалі позначатиметься через B(U).

Зазвичай пасивна система опору ? з матрицею опору c(z) в D називається пасивною системою опору без втрат, якщо Rec(ж)=0 м.в. на |ж|=1. Це є випадок, коли функція c(z) класу Каратеодорі має сингулярну спектральну функцію. В дисертації, на відміну від даного означення, під пасивною системою опору без втрат каналів розсіяння розуміється така пасивна система опору з матрицею опору c(z) в D, для якої факторизаційні нерівності

ц(z)^*ц(z) ? 2Rec(z), ш(z)ш(z)^*? 2Rec(z), zD (5)

мають лише нульові розв'язки ц(z) і ш(z) в класах аналітичних в D оператор-функцій. В протилежному випадку пасивна система опору ? називається пасивною системою опору з втратами каналів розсіяння (див. підрозділ 2.5). Наведене в роботі нове означення є рівносильним до стандартного у випадку, коли матриця опору c(z) має псевдопродовження в D_e, а у загальному випадку воно охоплює більш широкий клас пасивних систем опору без втрат каналів розсіяння. Основні результати відносяться до випадку, коли обидві факторизаційні задачі (5) мають ненульові розв'язки.

У другому розділі продемонстровано (підрозділ 2.6, теорема 2.1), що довільна пасивна система опору ?=(A,B,C,D;X,U) з втратами каналів розсіяння є частиною деякої системи =() з зовнішніми просторами та так, що

X =, A =, B =|U, C =, D =|U.

Відповідний до системи системний оператор є ()-унітарним, тобто

, (6)

Де

, j=1,2, J₁=, J₂=, (7)

і оператори системи мають спеціальну блочну структуру

, , , . (8)

З (6) та (8) випливає, що оператори M: X>Y₁, K: U₁>X, S: U₁>Y₁, N: U>Y₁, та L: U₁>Y задовольняють рівностям

,

L = B*K+ N*S, N = MC*+ SL*,

і оператор

V = (9)

є унітарним. Ці умови еквівалентні до співвідношень (6).

Навпаки, якщо =() - система з блочним представленням операторів яке вказане у (8), та з ()-унітарним системним оператором, де і визначені у (7), то її частина - система ?=(A,B,C,D;X,U) є пасивною системою опору з втратами каналів розсіяння. Такі системи зі спеціальними операторами та виду (7), що мають відповідні блочні представлення коефіцієнтів виду (8), є консервативними SI-системами проходження (scattering-impedance).

Звуження на відкритий одиничний круг D передатної функції (матриці проходження) консервативної системи проходження =() типу SI є голоморфною двосторонньо (J₁,J₂)-стискуючою в D функцією зі спеціальною блочною структурою (2), де д(z) = c(z), де оператори J₁ та J₂ визначаються формулою (7), та при zD

б(z) = S+ zM (I-zA)^-1K, в(z) = N+ zM (I-zA)^-1B,

г(z) = L+ zC (I-zA)^-1K, д(z) = D+ zC (I-zA)^-1B.

Довільна функція и блочної структури (2) з вищевказаними властивостями є звуженням на D матриці проходження деякої простої консервативної системи проходження типу SI, що визначається за и з точністю до унітарної подібності (теорема 2.2).

У третьому розділі основна увага приділяється вивченню пасивних систем опору, що мають за основні оператори класів C₀, C₀, та C₀₀ у сенсі, визначеному Б. Секефальві-Надєм та Ч. Фойяшем. А саме, якщо A - стискуючий оператор для якого виконується умова

(a) lim Aⁿ = 0 при n>?, або (b) lim (A*)ⁿ = 0 при n>?,

або обидвi умови (a) i (b) одночасно, то для нього, вiдповiдно, пишуть:

(a) A C₀, (b) A C₀, або A C₀₀.

Пасивні системи опору з такими основними операторами називаються відповідно стійкими, *- стійкими та двосторонньо стійкими.

Пасивним системам опору з основним оператором класу C₀₀ відповідають пасивні системи опору з втратами каналів розсіяння, для яких мають ненульові розв'язки навіть факторизаційні рівняння

ц(ж)*ц(ж) = 2Re c(ж), ш(ж) ш(ж)* = 2Re c(ж) м.в. при |ж|=1, (10)

які в загальному випадку для оператор-функцій треба розуміти у слабкому сенсі. В підрозділі 3.2 встановлений наступний результат.

Теорема 3.2. Функція c(z), що діє з D у B(U), є звуженням на D матриці опору деякої двосторонньо стійкої пасивної системи опору ?=(A,B,C,D;X,U) в тому і тільки в тому випадку, коли c(z) належить до класу Каратеодорі, має абсолютно неперервну спектральну функцію, та для неї існує двосторонньо (J₁,J₂)-внутрішня функція и(z) спеціальної блочної структури (2), де J₁ і J₂ - оператори виду (7).

Зауважимо, що функція и(z) є двосторонньо (J₁,J₂)-внутрішньою в тому сенсі, що вона є голоморфною в D, набуває там двосторонньо (J₁,J₂)-стискуючих значеннь, та м.в. на колі |ж|=1 вона є двосторонньо (J₁,J₂) унітарною.

Встановлено, що блоки функції и(z) мають наступні властивості: вH²(U,Y₁), гH²(U,U₁), в та г є розв'язками факторизаційних задач (10), д належить до класу Каратеодорі, а також функція б є двосторонньо внутрішньою матрицею розсіяння консервативної системи розсіяння ?_scat=(A,K,M,S; X,U₁,Y₁), де оператори K: U₁>X, M: X>Y₁ та S: U₁>Y₁ виникають як блоки унітарного оператора V у (9).

Функція и(z) із заданим блоком д(z)=c(z) в D, що має вищевказані властивості, називається двосторонньо (J₁,J₂)-внутрішньою SI-дилатацією функції c(z).

У підрозділі 3.2 встановлений критерій існування двосторонньо (J₁,J₂)-внутрішньої SI-дилатації з мінімальними втратами для функції c(z), що діє з D у B(U), а також приведений опис множини всіх таких SI-дилатацій (теорема 3.3). Цей результат є узагальненням на нескінченновимірний випадок результатів першого розділу.

У підрозділах 3.3 й 3.4 за допомогою двосторонньо (J₁,J₂)-внутрішніх SI-дилатацій функції c класу Каратеодорі побудовані функціональні моделі мінімальних двосторонньо стійких пасивних систем опору та консервативних систем опору з матрицею опору c(z) в D. З використанням цих моделей встановлена відповідність між поняттями двосторонньо стійкої пасивної системи опору з мінімальними втратами каналів розсіяння та двосторонньо (J₁,J₂)-внутрішньої SI-дилатації функції c(z) з мінімальними втратами. А саме, якщо и(z) - двосторонньо (J₁,J₂)-внутрішня SI-дилатація функції c(z), й за c(z) визначена пасивна двосторонньо стійка система опору ? з матрицею опору c(z) в D, тоді консервативна система опору, що є дилатацією вихідної системи ? та отримується за ? шляхом підключення до неї втрачених каналів розсіяння, є простою тоді і тільки тоді, коли и(z) - SI-дилатація з мінімальними втратами.

В роботі повністю досліджені оптимальні та мінімальні і *-оптимальні та мінімальні двосторонньо стійкі пасивні системи опору в термінах оптимальних й мінімальних та *-оптимальних й мінімальних двосторонньо (J₁,J₂)-внутрішніх SI-дилатацій з мінімальними втратами.

У заключній частині третього розділу (підрозділ 3.6) досліджуються пасивні системи опору з основними операторами, що належать до класу C₀ стисків у гільбертовому просторі, які мають мінімальну функцію. Встановлено, що якщо основний оператор A пасивної системи опору ? належить до класу С₀, то матриця проходження відповідної консервативної системи проходження типу SI є мероморфною у зовнішності D_e одиничного круга D і має обмежену характеристику Неванлінни D_e. Більш того, мероморфне псевдопродовження у D_e в слабкому сенсі звуження цієї функції на D співпадає з нею ж в D_e так, що

м.в. при |ж| = 1.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена розвитку теорії лінійних стаціонарних динамічних пасивних систем опору. Доведені в роботі твердження доповнюють та узагальнюють попередні результати з теорії пасивних систем опору та теорії операторів, отримані іншими авторами, оскільки дозволяють безпосередньо встановлювати двосторонні зв'язки між функціями класу Каратеодорі та відповідними пасивними реалізаціями. Основні результати дисертації полягають у наступному.

1. Наведене нове представлення матриці-функції класу Каратеодорі у вигляді блоку J_p,m-внутрішньої матриці-функції спеціальної структури (дилатації). Отриманий опис множини всіх J_p,m-внутрішніх дилатацій матриці-функції класу Каратеодорі. Відокремлені та описані спеціальні види J_p,m-внутрішніх дилатацій: мінімальні, оптимальні, *-оптимальні та ін.

2. Довільна лінійна пасивна стаціонарна система опору з втратами каналів розсіяння реалізована як частина консервативної SI-системи проходження без втрат.

3. Встановлені основні властивості матриць проходження консервативних SI-систем проходження. За їх допомогою доведена необхідна і достатня умова того, що функція класу Каратеодорі є матрицею опору пасивної стійкої (*-стійкої, двостороньо стійкої) системи опору.

4. Досліджені та описані мінімальні і оптимальні та мінімальні і *-опти-мальні двосторонньо стійкі пасивні системи опору в термінах матриць проходження відповідних консервативних SI-систем проходження.

5. Встановлено, що у випадку, коли основний оператор пасивної системи опору має мінімальну функцію, матриця опору та матриця проходження відповідної консервативної SI-системи проходження мають мероморфне псевдопродовження.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Аров Д. З. J_p,m-внутренние дилатации матриц-функций класса Каратеодори, имеющих псевдопродолжение / Д.З. Аров, Н.А. Роженко // Алгебра и Анализ. 2007. Т. 19, № 3. С. 76-106.

2. Аров Д. З. Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния / Д.З. Аров, Н.А. Роженко // Украинский математи-ческий журнал. 2007. Т. 59, № 5. С. 618-649.

3. Аров Д. З. К теории пассивных систем сопротивления с потерями каналов рассеяния / Д.З. Аров, Н.А. Роженко // Записки научных семинаров ПОМИ. 2008. Т. 355. С. 37-71.

4. Arov D. Z. J_p,m-inner dilations of matrix functions of Caratheodory class that have pseudocontinuations and their passive realizations / D.Z. Arov, N.A. Rozhenko // Book of abstracts of International Conference “Modern Analysis and Applications”, Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007. K: Institute of Mathematics, National Acad. Sci. of Ukraine, 2007. P. 12-13.

5. Arov D. Z. Passive linear time invariant systems and second order stochastic realizations theories / D.Z. Arov, N.A. Rozhenko // Book of abstracts of International Conference “Modern Analysis and Applications”, Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007. K.: Institute of Mathematics, National Acad. Sci. of Ukraine, 2007. P. 13-14.

6. Rozhenko N. A. Passive impedance bi-stable systems with losses of scattering channels / N.A. Rozhenko // Book of abstracts of 7^th International Workshop “Operator Theory in Krein spaces and Spectral Analysis”, Berlin, Germany, December 13-16, 2007. Berlin: Technische Universitat, 2007.

7. Роженко Н. А. Матрицы-функции класса Каратеодори, имеющие псевдопродолжение / Н.А. Роженко // Тези доповідей міжнародної конференції "Боголюбовські читання, 2008: Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування", Мелітополь, 16-21 червня, 2008. К.: Інститут Математики НАН України, 2008. С. 93-94.

АНОТАЦІЯ

Роженко Н.О. Пасивні системи опору з втратами каналів розсіяння з дискретним часом. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Одеський національний університет імені І. І. Мечникова, Одеса, 2008.

Доведений критерій належності матриці-функції класу Каратеодорі до підкласу матриць-функцій, що мають псевдопродовження у зовнішність одиничного круга. Отриманий опис множини всіх J_p,m-внутрішніх дилатацій матриці-функції цього підкласу. Відокремлені та описані спеціальні види J_p,m-внутрішніх дилатацій: мінімальні, оптимальні, *-оптимальні, мінімальні та оптимальні, мінімальні та *-оптимальні. Довільну пасивну систему опору з втратами каналів розсіяння реалізовано як частину консервативної SI-системи проходження без втрат. В термінах матриць проходження відповідних консервативних SI-систем проходження ((J₁,J₂)-внутрішніх SI-дилатацій) досліджені стійкі, *-стійкі та двосторонньо стійкі пасивні системи опору. Особлива увага приділена мінімальним і оптимальним та мінімальним і *-оптимальним двосторонньо стійким пасивним системам опору, які відіграють важливу роль у застосуваннях.

Ключові слова: внутрішні дилатації, пасивні системи опору, втрати каналів розсіяння, консервативні SI-системи проходження, матриці опору, проходження, класи Каратеодорі, Шура, мінімальні та оптимальні, мінімальні та *-оптимальні системи.

АННОТАЦИЯ

Роженко Н.А. Пассивные системы сопротивления с потерями каналов рассеяния с дискретным временем. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова, Одесса, 2008.

Диссертация посвящена развитию теории линейных стационарных динамических пассивных систем рассеяния с потерями каналов рассеяния с дискретным временем в рамках направления «вход-состояние-выход». Исследованию подвергаются такие важные внутренние характеристики системы, как управляемость, наблюдаемость, минимальность, оптимальность, *-оптимальность.

В диссертации произвольная пассивная система сопротивления с потерями каналов рассеяния реализуется как часть консервативной SI-сис-темы прохождения без потерь. Такой подход приводит к необходимости решения обратной задачи построения полной матрицы прохождения без потерь по ее блоку - матрице сопротивления. Также возникает необходимость выделить и исследовать класс матриц сопротивления, имеющих мероморфное псевдопродолжение во внешность единичного круга с ограниченной характеристикой Неванлинны в этой области.

Поскольку матрицы сопротивления пассивных систем сопротивления составляют класс Каратеодори, в диссертации установлен критерий существования мероморфного псевдопродолжения для функций этого класса (критерий существования J_p,m-внутренних дилатаций для матриц-функций, двусторонне (J₁,J₂)-внутренних SI-дилатаций для оператор-функций класса Каратеодори). Приведено описание множества всех J_p,m-внутренних дилатаций (двусторонне (J₁,J₂)-внутренних SI-дилатаций). Выделены и описаны специальные виды дилатаций: минимальные, оптимальные, *-опти-мальные, минимальные и оптимальные, минимальные и *-оптимальные.

В терминах матриц прохождения соответствующих консервативных SI-систем прохождения (двусторонне (J₁,J₂)-внутренних SI-дилатаций) исследованы устойчивые, *-устойчивые и двусторонне устойчивые пассивные системы сопротивления. Доказано необходимое и достаточное условие того, что функция, действующая из единичного круга в пространство линейных ограниченных операторов, является матрицей сопротивления пассивной устойчивой (*-устойчивой, двусторонне устойчивой) системы сопротивления. Изучены минимальные и оптимальные, минимальные и *-оптимальные двусторонне устойчивые пассивные системы сопротивления, играющие особую роль в приложениях. С помощью двусторонне (J₁,J₂)-внут-ренних SI-дилатаций построены функциональные модели минимальных двусторонне устойчивых пассивных систем сопротивления, а также консервативных систем сопротивления.

В случае, когда основной оператор пассивной системы сопротивления имеет минимальную функцию, установлено, что матрица прохождения соответствующей консервативной SI-системы прохождения имеет мероморфное псевдопродолжение во внешность единичного круга в слабом смысле.

Ключевые слова: внутренние дилатации, пасивные системы сопротивления, потери каналов рассеяния, консервативные SI-системы прохождения, матрицы сопротивления, прохождения, классы Каратеодори, Шура, минимальные и оптимальные, минимальные и *-оптимальные системы.

ABSTRACT

Rozhenko N.A. Passive impedance discrete time systems with losses of scattering channels. - Manuscript. - Thesis for a Ph. D. degree in Physics and Mathematics by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Odessa I.I. Mechnikov National University, Odessa, 2008.

The criterion of belonging of matrix-function of Caratheodory class to subklass of matrices-functions which have pseudocontinuation to the exterior of unit disk is established. The description of J_p,m-inner dilations set is obtaned for a matrix function from this subclass. J_p,m-inner dilations of the following special types: minimal, optimal, *-optimal, minimal and optimal, minimal and *-optimal are separated and described. An arbitrary passive impedance system with the losses of scattering channels is realized as a part of the conservative transmission SI-system without losses. Stable, *-stable and bilaterally stable passive impedance systems are investigated in terms of transmission matrices (bilaterally (J₁,J₂)-inner SI-dilations) of the corresponding conservative transmission SI-system. The special attention is paid to the minimal and optimal, minimum and *-optimal bilaterally stable passive impedance systems wich are very important applications.

Key words: inner dilations, passive impedance systems, losses of scattering channels, conservative transmission SI-systems, impedance, transmission matrix, Caratheodory and Schur classes, minimal and optimal, minimal and *-optimal systems.

Размещено на Allbest.ru