Узагальнені функції в теорії субгармонічних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

Шуігі Ажмі

УДК 514.574

УЗАГАЛЬНЕНІ ФУНКЦІЇ В ТЕОРІЇ СУБГАРМОНІЧНИХ ФУНКЦІЙ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2008

ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фiзико-математичних наук, професор Гришин Анатолій Пилипович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, професор кафедри математичного аналізу.

Офiцiйнi опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Фаворов Сергій Юрійович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, завідувач кафедри теорії функцій;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Агранович Поліна Залманівна, Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б.І. Вєркіна, старший науковий співробітник відділу теорії функцій.

Захист відбудеться 18.02.2008 року о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 62.051.11 у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 17.01. 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Скорик В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. “Однією з найкрасивіших глав класичного аналізу є теорія суб- та супергармонічних функцій”, - це слова із передмови Є.Б. Динкіна до книги Дж. А. Ханта “Марківські процеси і потенціали”. Ефективним засобом вивчення субгармонічних функцій є застосування уже досить розвиненої теорії узагальнених функцій. Базовою роботою в цьому напрямку є стаття В.С. Азаріна “Про асимптотичну поведінку субгармонічних функцій скінченного порядку” (1979), в якій запроваджено та вивчено граничні множини субгармонічних функцій та мір. Наведемо деякі аргументи Азаріна на користь теорії граничних множин субгармонічних функцій. Гранична множина субгармонічних функцій - це більш тонка характеристика зростання ніж індикатор та нижній індикатор. За допомогою теорії граничних множин можна будувати субгармонічні функції зі складною асимптотичною поведінкою. Із теорії граничних множин виводяться багато теорем теорії функцій цілком регулярного зростання в сенсі Левіна-Пфлюгера, яка є одним із головних досягнень в теорії зростання цілих функцій в першій половині двадцятого сторіччя. Теорія граничних множин дозволяє зводити вивчення асимптотичних властивостей цілих та субгармонічних функцій до вивчення глобальних властивостей субгармонічних функцій, для яких можна використовувати добре розвинуту теорію і термінологію теорії потенціала. Різні питання, що стосуються граничних множин субгармонічних функцій, досліджували багато авторів, серед яких П.З.

Агранович, В.С. Азарін, О.Е. Єременко, В.Б. Гінер, Л.Р. Подошев, О.Ю. Рашковський, Л.І. Ронкін, Р. Сігурдссон, М.Л. Содін, Л. Хермандер.

Розглядати субгармонічну функцію, як узагальнену функцію, досить природно. У цьому випадку ріссівська міра функції задається формулою

,

де - оператор Лапласа, а диференціювання розглядається в сенсі теорії узагальнених функцій. Одним із головних завдань теорії зростання субгармонічних функцій є встановлення зв'язків між зростанням субгармонічних функцій та зростанням її ріссівської міри.

Збіжність послідовності субгармонічних функцій, як послідовності узагальнених функцій, це найбільш слабкий вид збіжності і його найлегше встановити. Разом з тим, працювати з цим видом збіжності досить нелегко. Тому актуальним є питання встановлення зв'язків між збіжністю в сенсі теорії узагальнених функцій та іншими видами збіжності, яке розглядалося багатьма авторами. Багато уваги цьому питанню приділено в чотиритомній монографії Л. Хермандера “Аналіз лінійних диференціальних операторів із частинними похідними”. Це є одним із головних питань, що розглядаються в дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень дисертації узгоджено з планами наукової роботи Харківського на-ціонального університету імені В.Н.Каразіна, відповідає тематиці за державним реєстраційним номером № 0106U003143 “Асимптотичні методи в теорії функцій, операторні функції, операторні методи в траекторній теорії”. Тема дисертації затверджена вченою радою механіко-математичного факультету.

Мета і задачі дослідження.

Знайти умови, за яких із збіжності послідовності субгармонічних (-субгармонічних) функцій в сенсі теорії узагальнених функцій випливає її збіжність в лебегівських просторах .

Розглянути деякі питання загальної теорії граничних множин субгармонічних функцій.

Дослідити множину - множину значень функцій із граничної множини деякої субгармонічної функції у фіксованій точці .

Знайти граничні множини Азаріна дуже нерегулярно зростаючих субгармонічних функцій.

Об'єкт дослідження. Субгармонічні функції та їх граничні множини.

Предмет дослідження. Топології на множинах субгармонічних функцій.

Методами дослідження є методи теорії узагальнених функцій, методи комплексного та дійсного аналізу, методи функціонального аналізу.

Окремо слід відзначити, що в дисертації вперше субгармонічні функції в півплощині розглядаються як узагальнені функції у всій площині.

Наукова новизна одержаних результатів. Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що на множині субгармонічних функцій вперше розглядається метрика з загальною мірою. Раніше Хермандер розглядав тільки випадок, коли була обмеженням міри Лебега на компакт, який міститься в області субгармонічності. Випадок, коли носій міри перетинається з межою області, взагалі, не розглядався. У роботі доведено нові результати з теорії граничних множин субгармонічних функцій. Зокрема, у роботі вперше:

Одержано ознаки збіжності в просторах із загальною мірою послідовностей субгармонічних та -субгармонічних функцій, які збігаються в просторах узагальнених функцій.

Повністю описана множина - значень функцій для фіксованої точки , коли пробігає граничну множину субгармонічної функції .

Описано граничні множини Азаріна екстримально нерегулярних субгармонічних функцій.

Крім того:

У роботі одержані нові, більш простіші, доведення деяких важливих теорем із теорії субгармонічних функцій.

Розглянуто новий вид збіжності послідовностей субгармонічних функцій у півплощині.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоре-тичний характер. Її результати можуть бути використані для подальшого розвитку теорії субгармонічних та -субгармонічних функцій. Так у дисертації доведено, що із збіжності послідовності -субгармонічних функцій у сенсі теорії узагальнених функцій випливає її збіжність в просторах для деяких мір . Це твердження дуже корисне для застосувань. Зокрема, це твердження часто застосовується в дисертації.

Результати дисертації також можуть бути використані в спеціальних курсах по теорії субгармонічних функцій.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержані автором особисто. У сумісних роботах науковому керівнику належать постановки задач та вибір методів їх дослідження.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на міжнародній конференції молодих учених, Харків, 5 - 7 червня 2007 року; International Conference, on the occasion of the 150th birthday of Aleksander Mikhailovich Lyapunov (Kharkiv, June 24 - 30, 2007); International Conference “Analysis and Topology” (Lviv, May 26 - June 7, 2008). Автор також доповідав результати дисертації на Харківському міському семінарі з теорії функцій (керівник - проф. С. Ю. Фаворов).

Публікації. Головні результати дисертації надруковані в 7 роботах. Чотири роботи [1] - [4] надруковані у виданнях із перечня ВАК України, три з яких написані у співавторстві з науковим керівником А.П. Гришиним. Три роботи [5] - [7] є тезами доповідей на конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, шести розділів, висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел містить 73 найменування і займає 6 сторінок. Повний обсяг дисертації займає 122 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику дисертації.

У першому розділі, який називається “Огляд літератури, вибір напрямків досліджень, основні результати” спочатку викладаються результати, які взяті з поширеного варіанту огляду В.С. Азаріна “Граничні множини цілих та субгармонічних функцій”, який міститься в англійському перекладі з російського орігіналу книги А.А. Гольдберга, Б.Я. Левіна, І.В. Островського “Цілі та мереморфні функції”, та із вже згадуваної чотиритомної монографії Л. Хермандера. Далі в першому розділі дисертації викладається зміст дисертації у скороченому вигляді.

Другий розділ дисертації називається “Допоміжні результати”. Тут подаються повні формулювання більшості відомих тверджень, на які ми посилаємось в дисертації.

Третій розділ, який називається “Різні види збіжностей послідовностей субгармонічних та -субгармонічних функцій”, є найбільший за обсягом і, можна сказати, за значенням розділ дисертації. Він складається з трьох підрозділів. Розглянемо зміст підрозділу 3.1 “Теореми про рівномірну неперервність”. Функцію

можна розглядати в різних сенсах. Її можна розглядати як числову функцію з областю визначення Окрім того, її можна розглядати як відображення у простір . У цьому випадку будемо писати

(1)

Аналогічно, можна розглядати відображення

(2)

Обмеження на міру , які розглянуті в дисертації полягають в тому, щоб функція (1) була рівномірно неперервною в

,

а функція (2) була рівномірно неперервною в . Умови рівномірної неперервності цих функцій доведені в двох теоремах підрозділу 3.1. У авторефераті теореми мають таку ж нумерацію, як і у дисертації.

Теорема 3.1. Нехай - довільне фіксоване число. Нехай , supp , позитивна скінченна фінітна борелівська міра, що не навантажує дійсну вісь і така, що

.

Тоді функція (1) рівномірно неперервна в .

Ми користуємось позначеннями

.

Теорема 3.2. Нехай - довільне фіксоване число. Нехай - позитивна скінченна фінітна борелівська міра така, що

.

Тоді функція (2) рівномірно неперервна в .

У підрозділі 3.2 “Зв'язок між різними видами збіжності послідовностей субгармонічних і -субгармонічних функцій” доведено чотири теореми. Щоб мати можливість сформувати ці теореми нам необхідні деякі терміни.

Ми позначаємо через клас субгармонічних у півплощині функцій, які в кожній обмеженій області мають додатну гармонічну мажоранту.

Клас - це клас -субгармонічних функцій , що зображаються у вигляді

, де .

Якщо - субгармонічна функція у півплощині ,яка належить класу , то існує межова міра на дійсній осі, що визначається формулою

для будь-якого сегмента на дійсній осі.

Для вище згаданої функції також визначається повна міра . Маємо

для будь-якої борелівської множини в площині . У написаній формулі - ріссівська міра функції .

Наступні властивості є характеристичними властивостями повної міри.

1) Міра є радоновою мірою в площині.

2) Обмеження міри на верхню півплощину є додатною мірою.

3) Обмеження міри на нижню півплощину є нульовою мірою.

Повна міра визначає субгармонічну функцію класу у такій же мірі, як ріссівська міра визначає субгармонічну у всій комплексній площині функцію . Точніше, має місце наступне твердження.

Нехай субгармонічні у півплощині функції і належать класу і мають однакові повні міри. Тоді існує дійсна ціла функція така, що виконується рівність

, .

Нехай - послідовність субгармонічних функцій у півплощині . Умова - це наступна система обмежень.

1)

2) Якщо функції продовжити нулем у нижню півплощину, то послідовність , як послідовність узагальнених функцій в площині , збігається до деякої узагальненої функції .

3) Послідовність повних мір функцій слабо обмежена.

Умова - це головне обмеження на послідовність , коли розглядається випадок півплощини. Прокоментуємо умову .

Клас субгармонічних функцій у півплощині - це дуже широкий клас функцій, для якого питання, що розглядаються в дисертації, не мають сенсу. Наприклад, якщо - субгармонічна у півплощині функція, то вона не обов'язково інтегрована по множині

.

Отже, така функція, яка продовжена нулем у нижню півплощину, не є узагальненою функцією в площині. Обмеження забезпечує достатню загальність дослідження.

Слаба обмеженість мір означає, що для кожної неперервної фінітної функції числова послідовність є обмеженою. Це досить природна умова, що забезпечує справедливість наступного твердження. Нехай послідовність , як послідовність узагальнених функцій, збігається до узагальненої функції . Тоді узагальнена функція є мірою. Окрім того, із слабої обмеженості послідовності випливає, що послідовність є компактною.

Обмеження 2) - це наша знахідка. Саме такий вид збіжності забезпечує збіжність в інтегральних метриках, як це стверджується в наведених нижче теоремах.

Якщо в умові обмеження замінити на обмеження , то одержану умову будемо називати умовою .

Якщо для будь-якої неперервної фінітної функції виконується рівність то будемо писати

Теорема 3.3. Нехай - послідовність субгармонічних в функцій, що задовольняють умову . Тоді:

1) гранична функція

є регулярною узагальненою функцією, що зображується в півплощині субгармонічною функцією класу ;

2) якщо - повна міра функції , то

;

3) має місце принцип підвищення: якщо

,

То

;

4) множина тих точок , де виконується нерівність

,

має ємність нуль;

5) для всіх точок виконується рівність

;

6) якщо , supp, - позитивна фінітна скінченна борелівська міра, яка не навантажує дійсну вісь, і така, що функція

неперервна в , то

;

7) Якщо , supp , - позитивна фінітна в скінченна борелівська міра така, що функція (1) є рівномірно неперервною в , то

.

Ми користуємось позначенням

Теорема 3.4. Нехай - послідовність -субгармонічних функцій в , що задовольняють умову . Тоді:

1) гранична функція є регулярною узагальненою функцією, що зображується в півплощині -субгармонічною функцією класу ;

2) якщо - повна міра функції , то

;

3) якщо , supp , - позитивна фінітна скінченна борелівcька міра, яка не навантажує дійсну вісь, і така, що функція

неперервна в , то

;

4) Якщо , supp , - позитивна фінітна в скінченна борелівська міра така, що функція (1) є рівномірно неперервною в , то

.

Теорема 3.5. Нехай - послідовність субгармонічних в області функцій, яка, як послідовність узагальнених функцій, збігається до узагальненої функції . Тоді:

1) узагальнена функція є регулярною узагальненою

функцією, що зображується субгармонічною в області функцією ;

2) якщо - ріссівська міра , а - ріссівська міра , то

субгармонічний функція теорема азарін

;

3) виконується принцип підвищення: якщо

,

То

;

4) множина тих , для яких виконується нерівність

має ємність нуль;

5) для будь-якої точки виконується рівність

;

6) якщо - позитивна фінітна скінченна борелівська міра в така, що функція

є неперервною в , то

;

7) якщо - позитивна фінітна скінченна борелівська міра в така, що функція (2) є рівномірно неперервною в , то

.

Теорема 3.6. Нехай - послідовність -субгармонічних в області функцій, яка, як послідовність узагальнених функцій, збігається до узагальненої функції , причому послідовність ріссівських мір функцій є слабо обмеженою. Тоді:

1) узагальнена функція є регулярною узагальненою

функцією, що зображується -субгармонічною функцією ;

2) якщо - ріссівська міра функції , то

;

3) якщо - позитивна фінітна скінченна борелівcька міра в така, що функція

є неперервною в , то

;

4) якщо - позитивна фінітна скінченна борелівcька міра в така, що функція (2) є рівномірно неперервною в , то

.

У підрозділі 3.3 “Збіжність послідовностей -субгармонічних функцій у просторах з конкретними мірами ”в двох теоремах доводиться для конкретних мір співвідношення

для послідовностей -субгармонічних функцій , що збігаються, як послідовності узагальнених функцій.

Теорема 3.7. Нехай - послідовність функцій класу , продовжених нулем у нижню півплощину, збігається, як послідовність узагальнених функцій в площині, до узагальненої функції , причому послідовність повних мір функцій є слабо обмеженою. Тоді є регулярною узагальненою функцією, яка у верхній півплощині зображується -субгармонічною функцією класу . Якщо і , то виконуються рівністі

, ,

,

, .

Теорема 3.8. Нехай - послідовність -субгармонічних функцій в області , яка, як послідовність загальнених функцій, збігається до узагальненої функції , причому послідовність ріссівських мір функцій є слабо обмеженою. Тоді - регулярна узагальнена функція в області , яка зображується -субгармонічною функцією . Нехай , а круг і відрізок належать . Тоді мають місце рівністі

,

,

.

У розділі 4 “Загальні теореми про граничні множини Азаріна”, який складається з чотирьох підрозділів, доведено чотири теореми. У підрозділі 4.1 “Критерій компактності сім'ї субгармонічних функцій” доведено наступне.

Теорема 4.1. Нехай - довільна множина. Для того, щоб сім'я , , субгармонічних в області функцій була компактною в сенсі теорії узагальнених функцій, необхідно і достатньо, щоб

1) для будь-якого компакту виконувалось співвідношення

,

2) існував компакт такий, що

.

У цій теоремі новим є твердження про необхідність. ''Достатня'' частина збі-гається з теоремою 2.7.1.1 із роботи: В.С. Азарин. “Теория роста субгармонических функций”. Текст лекций. - Харьков, ХГУ, 1978. Ще раніше в 1963 році Л. Хермандер довів що умови 1), 2) достатні для компактності сім'ї . Доведення цього можна також знайти у вже згадуваній монографії Хермандера - теорема 4.1.9. Незважаючи на це, у дисертації наводиться повне доведення теореми 4.1. Хоча схема доведення “достатньої” частини теореми 4.1 збігається із схемою доведення теореми 2.7.1.1, мені задається, що доведення в дисертації все ж простіше. Воно значно відрізняється від доведення Хермандера.

У підрозділі 4.2 “Загальний вид граничної множини субгармонічної функції цілого порядку” доведено наступне.

Теорема 1.4. Нехай - субгармонічна функція уточненого порядку ,

,

є ціле строго додатне число і нехай - ріссівська міра . Для того, щоб субгармонічна функція належала граничній множині Азаріна Fr функції , необхідно і достатньо, щоб існували міра і функція , з властивостями

1) , якщо міра не навантажує коло

,

2)

,

,

такі, що для всіх виконується рівність

.

У тексті теореми використані такі позначення:

,

,

- множина границь всіх послідовностей виду

,

де така послідовність, що

,

а число визначається з рівності

.

Теорема 1.4 є наша інтерпретація однієї теореми Содіна (1983). У дисертації наведено повне доведення теореми 1.4, тому що, на мій погляд, відповідна теорема Содіна сформульована не досить чітко, а доведення дуже стисле.

У підрозділі 4.4 “Теорема про заміну уточненого порядку” доводиться твердження, яке дозволяє при вивченні властивостей граничних множин розглядати тільки випадок, коли уточнений порядок є сталою функцією.

Теорема 4.3. Нехай і - уточнені порядки такі, що

.

Нехай - субгармонічна функція уточненого порядку . Тоді існує субгармонічна функція уточненого порядку така, що співвідношення еквівалентні.

У тексті теореми використані позначення

.

Збіжність розуміється у сенсі теорії узагальнених функцій, тобто для будь-якої нескінченно диференційованої функції виконується рівність

.

Теорема 4.3 майже збігається з теоремою 5 з дисертації: В.Б. Гинер “Предельные множества целых и субгармонических функций конечного порядка”. - Харьков, ХГУ, 1988. Доведення Гінера спирається на деякі результати його дисертації. Наше доведення більш коротке, автономне і використовує більш стандартну техніку.

Розглянемо тепер зміст підрозділу 4.3 “Одна властивість граничної множини ріссівських мір субгармонічних функцій цілого порядку”. У 1979 році Азарін висловив припущення, що якщо , де - ріссівська міра субгармонічної функції цілого порядку ,

то виконується рівність

.

Добре відомо, що ця рівність виконується для субгармонічних функцій цілком регулярного зростання. У дисертації побудовано приклад, з якого випливає, що в загальному випадку написана рівність не виконується.

У наступній теоремі дається правильний варіант припущення Азаріна.

Теорема 4.2. Нехай - субгармонічна функція цілого строго додатного порядку , - її ріссівська міра, ,

.

Тоді - обмежена функція.

Перейдемо до викладу результатів розділу 5 “Одна властивість граничних множин Азаріна”. Спочатку зупинимось на позначеннях. Нехай - субгармонічна функція уточненого порядку - гранична множина Азаріна цієї функції.

Позначимо

, .

Легко перевірити, що

.

Доведено таку теорему.

Теорема 5.1. Мають місце співвідношення

, (3)

Причому

, де

- індикатор та нижній індикатор функції .

Ця теорема підсилює одну теорему Азаріна, де стверджуються рівності

.

Далі нами побудовано приклад субгармонічної функції, з якого видно, що точка може як належати, так і не належати множині . Це означає, що в загальному випадку, тобто без додаткових обмежень на функцію , співвідношення (3) не допускають уточнення.

У останньому, шостому розділі дисертації “Субгармонійні функції з дуже нерегулярним зростанням” побудовано приклади функцій , які можуть претендувати на роль саме нерегулярно зростаючих функцій. Крайня нерегулярність зростання полягає в тому, що гранична множина Азаріна ріссівської міри функції складається з нульової міри і мір з одноточковим носієм. Нагадаємо, що для функцій цілком регулярного зростання в сенсі Левіна-Пфлюгера множина складається з однієї міри , яка має вигляд

,

де - міра на півосі , а - міра на колі .

У той час, як міра - це довільна міра на колі, яка залежить від , міра не залежить від і має вигляд

.

Зокрема, міра має щільність.

Теорема 6.1. Нехай ,

,

Причому

.

Тоді є субгармонічною функцією порядку і

.

У дисертації дається зображення індикатора в параметричному вигляді через елементарні функції.

ВИСНОВКИ

Важливість теорії узагальнених функцій для теорії субгармонічних функцій випливає хоча б із того, що одним із головних тверджень теорії субгармонічних функцій є нерівність , де диференціювання треба розуміти в сенсі узагальнених функцій. Плідність ідеї розглядати субгармонічні функції, як узагальнені функції, продемонстрував В.С Азарін, який побудував теорію граничних множин субгармонічних функцій і мір. Важливі аргументи на користь теорії граничних множин наводить Азарін у своєму огляді (1991). Ми цитували деякі із цих аргументів.

Збіжність послідовності субгармонічних функцій у сенсі теорії узагальнених функцій часто більш просто встановити, ніж будь-який інший вид збіжності. Разом з тим це досить своєрідний вид збіжності і з ним важко працювати. Тому природно постало питання про зв'язок збіжності в сенсі теорії узагальнених функцій з іншими видами збіжності.

Особливо просто такий зв'язок встановлюється, як це довів Л. Хермандер, для випадку послідовностей гармонічних функцій. Якщо послідовність гармонічних функцій в області збігається у сенсі теорії узагальнених функцій, то вона рівномірно збігається на будь-якому компакті з області .

Хермандер також довів, що для послідовності субгармонічних функцій в області збіжність у сенсі теорії узагальнених функцій еквівалента збіжності в просторі .

Це можна переформулювати так. Нехай - компакт в , - обмеження міри Лебега на компакт . Тоді із збіжності послідовності субгармонічних функцій в області в сенсі теорії узагальнених функцій випливає її збіжність у просторі .

Проте, це твердження не є вірним для довільних мір з носієм в . У розділі 3 знайдені обмеження на міру , за яких із збіжності послідовності у сенсі теорії узагальнених функцій випливає її збіжність у просторі . Збіжність послідовностей субгармонічних функцій у просторах із загальними мірами раніше не розглядалася. Крім того, у роботі доведено, що послідовність субгармонічних функцій можна замінити на послідовність -субгармонічних функцій, якщо послідовність їх ріссівських мір є слабко обмеженою. У випадку півплощини ми відмовляємось від умови, що міра є фінітною в Це є значно загальнішим випадком. Для того, щоб розглянути цей випадок, субгармонічна (-субгармонічна) функція в продовжується нулем у півплощину і розглядається продовжена функція, як узагальнена функція у всій площині. Така операція раніше не розглядалася.

У розділах 4 - 6 дисертації доведено кілька нових тверджень, що відносяться до теорії граничних множин субгармонічних функцій. Зокрема, у розділі 4 спростовано одне припущення Азаріна. У розділі 5 доведено, що множина

є відрізок, який містить в собі точну верхню грань. Цікаво, що точна нижня грань може як міститися, так і не міститися в множині . У розділі 6 побудовано функцію, яка може претендувати на роль функції з екстремально нерегулярним зростанням.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Шуиги А. Субгармоническая функция с крайне нерегулярным ростом // Вісник Харківського національного університету, серія “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2006. - Вып. 56, № 749. - C. 80 - 85.

Гришин А.Ф., Шуиги А. К теории предельных множеств Азарина // Математичні Студії. - 2007. - Т. 28, №. 2. - С. 162 - 174.

Гришин А.Ф., Шуиги А. Различные виды сходимости последовательностей -субгармонических функций // Математический сборник. - 2008. - Т. 199, № 6. - С. 27 - 48.

Chouigui A., Grishin A.F. A property of Azarin's limit set of subharmonic functions // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2008. - Vol. 4, No. 3. - P. 346 - 357.

Шуиги А. Одно свойство предельных множеств Азарина // Тезисы докладов Международной конференции молодых учёных. - Харьков. - 2007. - С. 46.

Chouigui A. Subharmonic function with extremely non-regular growth // Abstracts of International Conference, on the occasion of the 150th birthday of Aleksander Mikhailovich Lyapunov. - Kharkіv. - 2007. - P. 29.

Chouigui A. One property of Azarin's limit set of subharmonic functions // Abstracts of International Conference ''Analysis and Topology''. - Lviv. - 2008. - P. 9.

АНОТАЦІЯ

Шуігі Ажмі. Узагальнені функції в теорії субгармонічних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Харківський національний університет имені В.Н Каразіна, Харків, 2008. Дисертація присвячена застосуванню теорії узагальнених функцій у теорії субгармонічних функцій. Хермандер довів, що якщо послідовность субгармонічних функцій в деякій області збігається як послідовність узагальнених функцій, то вона збігається в просторах Лебега з мірами, які є обмеженням міри Лебега на компакти, які містяться в області. Це твердження не вірне для просторів Лебега з довільними мірами. В дисертації знаходиться умова на міру , яка гарантує збіжність в Лебегових просторах послідовностей, які збігаються в сенсі узагальнених функцій. Ця задача не розглядалась раніше. Для півплощини розглядається ширший клас мір. Носії таких мір не вкладені компактно в півплощину.

Крім того, у дисертації повністю описана множина , яка складається із значень в фіксованій точці , функцій , де пробігає граничну множину деякої субгармонічної функції . Також описується гранична множина Азаріна екстримально нерегулярних субгармонічних функцій.

Ключові слова: Узагальнена функція, субгармонічна функція, уточнений порядок, простір Лебега, рівномірна неперервність, гранична множина Азаріна субгармонічної функції, гранична множина Азаріна міри, індикатор субгармонічної функції.

АННОТАЦИЯ

Шуиги Ажми. Обобщённые функции в теории субгармонических функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2008.

Диссертация посвящена применению теории обобщённых функций к теории субгармонических функций. Хёрмандер доказал, что из сходимости последовательности субгармонических в некоторой области функции в смысле теории обобщённых функций следует её сходимость в пространствах Лебега с мерами, которые являются ограничениями меры Лебега на компакты, расположенные в области. Это утверждение не распространяется на произвольные меры с носителем, принадлежащем области. В диссертации находится условие на такие меры, которое обеспечивает сходимость в пространствах Лебега с такими мерами последовательностей субгармонических функций, сходящихся в смысле теории обобщённых функций. Это условие заключаются в следующем. Функция рассматривается как отображение плоскости в пространство функций Требуется, чтобы это отображение было равномерно непрерывным во всей плоскости. Сходимость в пространствах Лебега с общей мерой последовательностей субгармонических функций раньше не рассматривалась.

В случае, когда область, в которой рассматриваются субгармонические функции, есть верхняя полуплоскость, мы значительно ослабляем ограничение на меры, отказываясь от требования, чтобы носитель меры был расположен в области. В этом случае вместо сходимости последовательностей субгармонических функций в верхней полуплоскости мы требуем, чтобы они, продолженные нулём в нижнюю полуплоскость, сходились как обобщённые функции, во всей полуплоскости. Такой процесс раньше не рассматривался. Благодаря этому для рассматриваемого более широкого класса мер получен результат такой же общности, как и в случае, когда носитель меры вкладывается в область субгармоничности. Это можно считать главным результатом диссертации. В диссертации рассматрены также последовательности функций, представимых в виде разности субгармонических функций. Это составляет содержание третьего раздела диссертации.

В разделе 4 доказаны четыре теоремы. Одна из них - это критерий компактности субгармонической функции. В другой теореме описываются предельные множества субгармонических функций целого порядка. Как известно случай целого порядка более сложный, чем случай нецелого порядка. Далее доказывается, что каковы бы ни были уточнённые порядки и ,

и какова бы ни была субгармоническая функция уточнённого порядка всегда существует субгармоническая функция такая, что последовательности и сходятся или расходятся одновременно, и в случае сходимости сходятся к одному и тому же пределу. Это некоторое усиление теоремы из диссертации В.Б. Гинера. Предложенное доказательство короче доказательства В.Б.Гинера и основано на других более традиционных для теории субгармонических функций идеях. Как показывает доказанная теорема не возможно получить для функций порядка какие - либо свойства предельных множеств, отличные от свойства предельных множеств субгармонических функций постоянного уточнённого порядка

В свое время стояла задача о существовании целой функции вполне регулярного роста с заданным индикатором относительно заданного уточнённого порядка . Теперь после доказанных теорем эта задача становится тривиальной.

Азарин высказал предположение, что если мера входит в предельное множество риссовской меры субгармонической функции целого порядка , то выполняется равенство

.

Mы показываем, что это равенство справедливо не всегда. Вместе с тем доказывается, что функция ограничена при .

В пятом разделе диссертации описано множество значений в фиксированной точке , которые принимают функции из предельного множества Азарина данной субгармонической функции. В зависимости от субгармонической функции и точки, для которой строится множество, - это замкнутый или полуоткрытый интервал в множестве вещественных чисел, дополненных точкой минус бесконечность. Интересно что, нижний конец интервала может как входить, так и не входить в рассматриваемое множество. Теорема этого раздела является усилением одной теоремы Азарина, в которой описаны точная верхняя и точная нижняя грани множества .

В шестом разделе рассматрены функции, которые могут претендовать на роль экстремально нерегулярно растущих функций. Крайняя нерегулярность роста этих функций заключается в том, что предельные множества Азарина риссовских мер этих функций состоят из нулевой меры и мер, с одноточечным носителем.

Ключевые слова: Обобщённая функция, субгармоническая функция, уточнённый порядок, пространство Лебега, равномерная непрерывность, предельное множество Азарина субгармонической функции, предельное множество Азарина меры, индикатор субгармонической функции.

ABSTRACT

Chouigui Ajmi. Distributions in the theory of subharmonic functions. - Manuscript.

The thesis is presented for the scientific degree of the candidate of physics and mathematics by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Karazin Kharkov National University, Kharkov, 2008.

The thesis is devoted to applications of distributions in the theory of subharmonic functions. Hцrmander has proved that if a sequence of subharmonic functions is convergent in the some domain as a sequence of distributions then it is convergent in the Lebesgue spaces with measures that are restrictions of the Lebesgue measure to compact sets of this domain. This statement is false for the Lebesgue spaces with arbitrary measures. In the thesis it is established the condition on a measure that guarantees a convergence in the Lebesgue spaces of a sequence of subharmonic functions converging as a distributions. These problems did not consider earlier. For a half-plane in the thesis it is considered more general case of measures. The supports of these measures are not compact imbedded in the domain.

In addition in the thesis it is completely described the set that is the set of value of the function for the fix point when passes the limit set of a subharmonic function and it is described Azarin's limit sets of extremal non-regular subharmonic functions.

Key words: Distribution, subharmonic function,proximate order, space of Lebesgue, uniform continuity, Azarin's limit set of subharmonic function, Azarin's limit set of measure, indicator of subharmonic function.

НАУКОВЕ ВИДАННЯ

Шуігі Ажмі

''УЗАГАЛЬНЕНІ ФУНКЦІЇ В ТЕОРІЇ СУБГАРМОНІЧНИХ ФУНКЦІЙ''

Підписано до друку 03.11.2008. Формат 6084/16.

Папір офісний. Друк-ризографія.

Умовн. друк. арк. 1,0. Облік.-вид. арк. 1,3.

Наклад 100 прим.

Надруковано ФОП ``Петров .І.В.''

61044, м. Харків-144, вул. Гв. Широнінців, буд.. 79-в, к. 137

Тел.(057) 362-01-52

Свідоцтво про державну реєстрацію ВОО № 948011 від 03.01.03

Размещено на Allbest.ru