Дифференциальное и интегральное исчисление функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФГБОУ ВПО «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ/НАПРАВЛЕНИЕ/МАГИСТРАТУРА

«Экономика»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: Математика

Вариант № 2

Выполнил:

Касымова Фируза Абдугафаровна

Студент 1 курса

1 семестр

16 февраля 2015 г.

А - Фируза (6)

Б - Касымова (8)

В - Абдугафар (9)

Г - 8

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8	сумма
Кол-во баллов

1. «ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

6. Вычислить предел

.

Решение:

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида . Чтобы раскрыть неопределенность вида , необходимо применить первый замечательный предел:

.

Ответ:

7. Найти асимптоты функции

.

Решение:

; .

- вертикальная асимптота.

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

.

; .

у= х+1

- горизонтальная асимптота.

8. Определить глобальные экстремумы

,

при .

Решение:

.

При

, .

- точка максимума.

- точка минимума.

9. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

.

Решение:

.

При

.

Функция возрастающая на интервале (-3,75; 0) и (0; ); убывающая - (; 3,75).

- точка минимума.

Построим график функции:

10. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

.

Решение:

;

.



График выпуклый вверх на интервале (-2; 1); на интервале (; -2) и (1; ) - выпуклый вниз.

2. «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»

4. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

.

Решение:

1. Функция не определена при . Область ее определения состоит из двух интервалов - (; 2), (2;), а график из двух ветвей.

2. Если х=0, то у =0, график пересекает ось Оу в точке .

Если у=0, то , график пересекает ось Ох в точке .

3. Функция знакоположительна на интервале (2; ); знакоотрицательная - (; 2).

4. Функция не является ни четной ни нечетной.

.

дифференциальный интегральный исчисление функция

5. х = 2 - вертикальная асимптота:

, .

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

.

; .

у= х+2

- наклонная асимптота.

6. Находим интервалы возрастания и убывания функции:

.

Функция возрастающая на интервале (; 0) и (4; ); убывающая - (0; 2) и (2; 4)

7. (0; 0) - точка максимума.

(4; 8) - точка минимума.

8. Исследуем функцию на выпуклость:

.

Точек перегиба нет.

График выпуклый вверх на интервале (; 2); на интервале (2; ) - выпуклый вниз.

9. Изобразим график функции.

5. Найти локальные экстремумы функции

.

Решение:

Приравняв частные производные функции первого порядка к нулю, получим систему уравнений для определения стационарных точек:

Отсюда получаем координаты стационарной точки

.

Найдем частные производные второго порядка:

Так как

.

В стационарной точке .

.

В стационарной точке - экстремума нет.

6. Определить экстремумы функции

Если

.

Решение:

Найдем экстремум функции

,

используя функцию Лагранжа.

Перепишем ограничение задачи в неявном виде:

.

Составим вспомогательную функцию Лагранжа:

L(X, л) =.

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х_i и неопределенному множителю л.

Составим систему:

?L/?x =;

?L/?y = ;

?L/?л = .

Решив данную систему, получаем стационарные точки:

, при .

, при .

Найдем частные производные второго порядка:

;

;

;

;

;

.

В точке :

- точка максимума.

.

В точке :

- точка максимума.

.

В точке :

- точка минимума.

.

В точке :

- точка минимума.

.

3. «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

1 -3. Найти неопределенный интеграл

.

Решение:

.

Ответ:

.

.

Решение:

.

.

Ответ:

.

Решение:

Воспользуемся методом интегрирования по частям:

Пусть

.

Тогда,

.

Ответ:

.

4. Вычислить

.

Решение:

Пусть

;

При .

.

Ответ:

.

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

.

Решение:

.

Ответ: .

Размещено на Allbest.ru