Координатний метод і теорія нарізно неперервних відображень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

КООРДИНАТНИЙ МЕТОД І ТЕОРІЯ НАРІЗНО НЕПЕРЕРВНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ

01.01.01 - математичний аналіз

Михайлюк Володимир Васильович

Чернівці - 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук,

професор Маслюченко Володимир Кирилович,

завідувач кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

професор Зарічний Михайло Михайлович,

декан механіко-математичного факультету,

завідувач кафедри геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка

доктор фізико-математичних наук,

професор Зелінський Юрій Борисович,

завідувач відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України

доктор фізико-математичних наук,

професор Плічко Анатолій Миколайович,

професор кафедри прикладної математики, статистики та економіки Кіровоградського педагогічного університету імені Володимира Винниченка

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження властивостей нарізно неперервних функцій та їх аналогів, які були започатковані в кінці ХІХ століття Р. Бером, А. Лебеґом та В. Осґудом, інтенсивно розвивалися багатьма математиками ХХ століття і привели до виникнення цілого розділу сучасної математичної науки - теорії нарізно неперервних відображень, який знаходиться на стику загальної теорії функцій та функціонального аналізу. Г. Ган, В. Юнґ і Ґ. Юнґ, Е. ван Влек, С. Кемпістий, В. Серпінський, А. Алексєвич і В. Орлич, М. Форт, Р. Кешнер, Н. Бурбакі, К. Куратовський, Д. Монтґомері, Дж. Вестон, Р. Фейок, І. Наміока, М. Талаґран, Ж. Кальбрі і Ж.-П. Труаллік, Р. Христенсен, Ж. Сан-Ремо, Ґ. Дебс, Ч. Стігалл, Р. Девілль, Р. Гансел, В. Моран, В. Рудін, Ґ. Вера, Дж. Брекенрідж і Т. Нішіура, В. Маслюченко, З. Пьотровський, А. Бузіад - це далеко не повний перелік математиків, які здійснювали і продовжують дослідження в даному напрямку.

Сучасна теорія нарізно неперервних відображень містить багато задач і нерозв'язаних проблем. Ці питання стосуються, зокрема, берівської та лебеґівської класифікацій нарізно неперервних відображень, встановлення необхідних і достатніх умов на множину точок розриву нарізно неперервних відображень (так звані прямі та обернені задачі), побудови нарізно неперервних відображень з даною діагоналлю чи даним звуженням, вивчення зв'язків між топологічним простором і простором , розв'язування рівнянь з частинними похідними за мінімальних вимог, тощо.

Подальший розвиток даних досліджень, крім досконалого володіння сучасними методами, які уже дістали свою реалізацію і стали традиційними для даної тематики, вимагає також нових підходів та оригінальних ідей.

З іншого боку, залежність неперервних функцій на добутках від певної кількості координат інтенсивно вивчались математиками середини ХХ століття (І. Мібу, С. Мазур, Г. Корсон і Дж. Ізбелл, К. Росс і А. Стоун, Р. Енґелькінґ, А. Міщенко, Н. Нобл і М. Ульмер) і стала зручним інструментом для досліджень властивостей неперервних відображень, залишаючись, тим не менше, впродовж кількох десятиліть поза увагою дослідників питань теорії нарізно неперервних відображень.

В 1991 році автором при дослідженні нарізно неперервних функцій на добутках тихоновських кубів було запропоновано новий підхід, який базувався на понятті залежності функцій від певної кількості координат. Подальший розвиток цього методу разом з використанням інших технічних прийомів та ідей показали, що даний підхід застосовний до розв'язання багатьох задач теорії нарізно неперервних відображень і дає можливість отримувати найбільш загальні результати у напрямку конкретних досліджень.

Властивості доповняльних підпросторів простору вивчалися багатьма математиками (Р. Дуґлас, Т. Андо, А. Пелчинський, Дж. Лінденштраус, П.Енфло і Т.Старбьорд, Д. Льюіс і Ч. Стіґалл, А. Розенталь, Дж. Бурґейн, Л. Дор, М. Талаґран, А. Плічко і М. Попов), що, зокрема, привело до виникнення наступного питання: чи обов'язково нескінченновимірний доповняльний підпростір простору ізоморфний до простору або ? У зв'язку з цим питанням природно виникає потреба у розкладі проекторів на просторі (чи, загальніше, операторів ) у вигляді , де - доданок, який при приводить до образу, ізоморфного до , а - ”масивний” доданок, який приводить до образу, ізоморфного до .

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науково-дослідними програмами "Нарізні і сукупні властивості функцій багатьох змінних та геометрія функціональних просторів" (номер держ. реєстрації - 0106U001455) і "Властивості абстрактних просторів та їх відображень" (номер держ. реєстрації - 0105U002888).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розвиток і застосування координатного методу в теорії нарізно неперервних відображень.

Задачами дослідження є:

- встановлення необхідних і достатніх умов залежності від певної кількості координат нарізно неперервних функцій двох сукупних змінних;

- вивчення властивостей хрест-топології;

- побудова нарізно неперервних функцій з даним звуженням;

- встановлення характеристичних властивостей функцій першого класу Бера;

- вивчення властивостей просторів , для яких кожна нарізно неперервна функція, визначена на добутку простору і довільного топологічного простору , є функцією першого класу Бера чи Лебеґа;

- встановлення достатніх умов метризовності компактного простору в термінах властивостей простору ;

- дослідження властивостей наміокових просторів;

- встановлення зв'язків між морановими і наміоковими просторами;

- дослідження властивостей конаміокових просторів;

- вивчення властивостей просторів Кемпістого;

- побудова скрізь розривних нарізно неперервних функцій;

- побудова нарізно неперервних функцій на добутку компактів з даною множиною точок розриву;

- розв'язання рівнянь з частинними похідними при мінімальних вимогах;

- одержання розкладу операторів на просторі .

Об'єктом досліджень є нарізно неперервні відображення, функції першого класу Бера і Лебеґа, відображення, неперервні відносно однієї змінної і квазінеперервні відносно іншої, нарізно диференційовні функції та їх частинні похідні, оператори на просторі . Предметом досліджень є нерозв'язані задачі теорії нарізно неперервних відображень, залежність функцій від певної кількості координат, множина точок неперервності нарізно неперервних відображень та їх аналогів, розклад операторів на .

Основним інструментом досліджень є розроблений автором координатний метод, з допомогою якого вдається розв'язати деякі задачі теорії нарізно неперервних відображень і узагальнити класичні результати, роблячи більш прозорою математичну природу отриманих висновків. В дослідженнях використовуються також категорний метод, локально скінченні системи та розбиття одиниці і інші методи загальної теорії функцій і функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі отримано наступні нові результати:

- в термінах кардинальних властивостей сімей відкритих множин встановлено необхідні умови і достатні умови залежності нарізно неперервних функцій на добутках від певної кількості координат, зокрема, для зліченно компактних просторів отримано характеризацію такої залежності;

- узагальнено теорему Серпінського про те, що кожне нарізно неперервне відображення однозначно визначається своїми значеннями на щільній в добутку множині;

- отримано результати про побудову нарізно неперервної функції з даним звуженням, звідки, зокрема, випливає загальне розв'язання задачі про побудову нарізно неперервної функції змінних з даною діагоналлю -го класу Бера для довільних топологічних просторів;

- узагальнено теорему Бера про характеризацію функцій першого класу Бера в термінах точково розривних функцій;

- встановлено рівність для компактів Валдівіа і лінійно впорядкованих компактів, що, зокрема, дає відповіді на два питання О. Окунєва і В. Ткачука;

- доведено субметризовність лінделефових підмножин цілком регулярного простору з -властивістю, що узагальнює відповідну властивість компактних підмножин, одержану Ґ. Верою;

- побудовано приклад несепарабельного цілком регулярного простору з -властивістю і умовою зліченності ланцюжків, що дає негативну відповідь на одне питання М. Бурке;

- встановлено, що кожний слабко морановий простір є наміоковим, що дає позитивну відповідь на одне питання Ґ. Вери;

- введено клас --несприятливих просторів і встановлено наміоковість кожного --несприятливого простору, що узагальнює одержані раніше в термінах топологічних ігор результати Р. Христенсена, Ж. Сан-Ремо, М. Талаґрана, Ґ. Дебса, О. Маслюченка і В. Рибакова;

- введено поняття сильно берівського простору, означення якого є трансфінітним підсиленням одного із переформулювань означення берівського простору, і показано, що кожний сильно берівський простір є наміоковим;

- встановлено конаміоковість кожного лінійно впорядкованого компакта, що узагальнює результати Ґ. Девіля і А. Бузіада про конаміоковість цілком впорядкованого компакта і компакта "дві стрілки";

- показано, що кожний компакт Валдівіа є простором Кемпістого, що узагальнює результат А. Бузіада про конаміоковість компактів Валдівіа;

- встановлено, що, аналогічно, як і для конаміокових просторів (результат А. Бузіада), добуток довільної сім'ї компактних просторів Кемпістого також є простором Кемпістого;

- показано, що існування нарізно неперервної функції на добутку довільних двох цілком регулярних просторів з даною одноелементною -множиною точок розриву, яка має неізольовані проекції, не залежить від -аксіом, що є новим явищем в теорії нарізно неперервних відображень;

- встановлено необхідні і достатні умови існування нарізно неперервної функції на добутку компактних просторів з даною одноелементною множиною точок розриву;

- одержано часткові розв'язання загальної оберненої задачі і ослабленої оберненої задачі теорії нарізно неперервних відображень на добутку двох компактних просторів;

- побудовано приклади, які показують, що одержані раніше розв'язання оберненої задачі теорії нарізно неперервних відображень на добутку двох компактних просторів з певних класів не можна перенести на загальніші випадки;

- у зв'язку з проблемою Талаґрана побудувано приклад скрізь розривної нарізно неперервної функції на добутку -сприятливого простору і зліченно компактного простору з деякими додатковими властивостями і встановлено рівносильні переформулювання беровості простору ;

- в класі нарізно диференційовних функцій дано опис розв'язків рівняння , що дає позитивну відповідь на питання Р. Бера і П. Чернова;

- з допомогою введеної автором допоміжної функції і розробленої оригінальної техніки одержано теорему, яка є розвитком результату З. Лі, про розклад операторів на просторі на репрезентовний доданок і доданок з "масивним" образом.

Наукове та практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в загальній теорії функцій, функціональному аналізі та теорії операторів і знаходяться на передньому краї сучасної математичної науки. Всі наукові положення і висновки дисертації є цілком обґрунтованими і достовірними.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертацію, одержані здобувачем особисто. Щодо внеску автора в публікації зі співавторами зазначимо наступне. В статті [2] автору належать результати останнього параграфа. З праці [5] в дисертацію включені лише результати п.3.4, які належать автору. В роботі [7] О. Євстаф'євич належить доведення твердження 1, все решта - автору. В статті [9] О. Собчуку належить ідея використання залежності нарізно неперервних функцій від зліченної кількості координат для одержання берівської класифікації, реалізація цієї ідеї, яка привела до основних результатів роботи, належить автору. В праці [14] М. Попову належать результати параграфів 2 і 3, а автору - параграфів 4-7, які включені в дисертацію. В статті [17] В. Маслюченку і В. Нестеренку належать постановка задач і методичний виклад результатів, основні ідеї доведення теорем 1 і 2 належать автору. В статті [19] автору належить доведення рівносильності умов 1 і 4 з теореми 4, тобто результат, включений в дисертацію, а також участь в обговоренні інших результатів, які належать Т. Банаху і О. Маслюченку. В роботі [26] В. Маслюченку належить постановка задачі і участь в опрацюванні результатів п'ятого розділу дисертації Р. Бера, основні результати роботи [26] належать автору.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації апробовувались на міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" [28], на міжнародній конференції "Функціональний аналіз та його застосування", присвяченій 110-річчю від дня народження С. Банаха [29], на міжнародній конференції "Комплексний аналіз і його застосування" [30], на міжнародній конференції "Шості Боголюбівські читання" [31], на міжнародній науково-практичній конференції "Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології" [32], на міжнародній конференції "Геометрична топологія: нескінченновимірна топологія, абсолютні екстензори, застосування" [33], на міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана [34], на міжнародній конференції пам'яті В.Я.Буняковського [35], на міжнародних конференціях ім. В.Я.Скоробогатька [36, 41], на міжнародній конференції "Математичний аналіз і суміжні питання" [37], на міжнародній конференції "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування" [38], на міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" [39], на міжнародній конференції "Боголюбівські читання", присвяченій 90-річчю від дня народження Ю. Митропольського [40], на міжнародній конференції "Аналіз і топологія" [42]. Крім того, вони доповідалися на науковому семінарі кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету (керівник проф. В. Маслюченко), на науковому семінарі математичного факультету Чернівецького національного університету (керівники проф. С. Івасишен та проф. Р. Петришин), на науковому семінарі кафедри алгебри і топології (керівник проф. М. Зарічний), на львівському семінарі з функціонального аналізу (керівники проф. О. Скасків та проф. А. Кондратюк), на науковому семінарі відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України (керівник проф. Ю. Зелінський), на об'єднаному науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань і відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (керівники проф. А. Самойленко та проф. А. Дороговцев).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 42 наукових працях, з них - 12 статей в українських журналах з переліку ВАК України ([1, 3, 6, 8, 11, 15, 16, 21, 22, 25, 26, 27]), 8 статей у збірниках наукових праць з переліку ВАК України ([2, 4, 7, 9, 10, 17, 23, 24]), 7 статей у закордонних журналах ([5, 12, 13, 14, 18, 19, 20]) та 15 тез міжнародних конференцій ([28 - 42]). Крім того, використовуються при доведенні результатів дисертації і цитуються у першому розділі, у зв'язку з дисертаційними дослідженнями, 19 наукових статей автора, серед яких - 16 опубліковані в українських журналах та збірниках наукових праць з переліку ВАК України або за кордоном.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень і термінів, вступу, восьми розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 206 найменувань і займає 22 сторінки. Повний обсяг роботи - 333 сторінки.

Висловлюю велику вдячність своєму науковому консультанту Володимиру Кириловичу Маслюченку за корисні поради та постійну увагу до даної роботи.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню зв'язків між нарізними і сукупними властивостями нарізно неперервних відображень та їх аналогів, вивченню питань, пов'язаних з берівською та лебеґівською класифікаціями таких відображень, розв'язуванню диференціальних рівнянь з частинними похідними при мінімальних вимогах і дослідженню питань розкладу операторів на просторі . Основним своїм здобутком автор вважає розроблений ним координатний метод, який разом з використанням інших технічних прийомів та ідей виявився застосовним до розв'язання багатьох задач теорії нарізно неперервних відображень.

В дисертаційній роботі отримано наступні нові результати.

1. Встановлено необхідні умови і достатні умови залежності нарізно неперервних функцій на добутках від певної кількості координат. Зокрема, для зліченно компактних просторів отримано характеризацію такої залежності.

2. Досліджено властивості хрест-топології, з допомогою яких отримано узагальнення теореми Серпінського про те, що кожне нарізно неперервне відображення однозначно визначається своїми значеннями на щільній в добутку множині.

3. Отримано результати про побудову нарізно неперервної функції з даним звуженням, звідки, зокрема, випливає загальне розв'язання задачі про побудову нарізно неперервної функції змінних з даною діагоналлю -го класу Бера для довільних топологічних просторів.

4. Узагальнено теорему Бера про характеризацію функцій першого класу Бера в термінах точково розривних функцій на випадок спадково берівських досконалих паракомпактів.

5. Встановлено рівність для компактів Валдівіа і лінійно впорядкованих компактів, що, зокрема, дає відповіді на два питання О. Окунєва і В. Ткачука.

6. Показано, що кожний лінделефовий підпростір цілком регулярного простору з -властивістю можна неперервно бієктивно відобразити на сепарабельний метризовний простір.

7. Побудовано приклад несепарабельного цілком регулярного простору з -властивістю і умовою зліченності ланцюжків, що дає негативну відповідь на одне питання М. Бурке.

8. Встановлено, що кожний слабко морановий простір є наміоковим, що дає позитивну відповідь на одне питання Ґ. Вери.

9. Введено клас --несприятливих просторів і встановлено наміоковість кожного --несприятливого простору, що узагальнює одержані раніше в термінах топологічних ігор результати.

10. Введено поняття сильно берівського простору, і показано, що кожний сильно берівський простір є наміоковим.

11. Встановлено конаміоковість кожного лінійно впорядкованого компакта.

12. Показано, що кожний компакт Валдівіа є простором Кемпістого.

13. Встановлено, що добуток довільної сім'ї компактних просторів Кемпістого також є простором Кемпістого.

14. Показано, що існування нарізно неперервної функції на добутку двох довільних цілком регулярних просторів з даною одноелементною -множиною точок розриву, яка має неізольовані проекції, не залежить від -аксіом. бер морановий координата похідна

15. Встановлено в термінах збіжних послідовностей функціонально відкритих множин необхідні і достатні умови існування нарізно неперервної функції на добутку компактних просторів з даною одноелементною множиною точок розриву.

16. Розв'язано на добутку двох компактних просторів обернену задачу теорії нарізно неперервних відображень для сепарабельних досконалих проективно ніде не щільних функціонально замкнених множин і ослаблену обернену задачу для функціонально замкнених проективно ніде не щільних множин.

17. Побудовано приклад, який показує, що одержані раніше В. Маслюченком і автором теореми про опис множин точок розриву нарізно неперервних функцій на добутку двох просторів, що є добутками сімей метризовних компактів, не можна перенести на добуток двох компактів Еберлейна.

18. Побудовано -приклад, який вказує на те, що одержані раніше О. Маслюченком розв'язання оберненої задачі для компактів Еберлейна не можна перенести на випадок сепарабельних компактів Валдівіа.

19. У зв'язку з проблемою Талаґрана побудувано приклад скрізь розривної нарізно неперервної функції на добутку -сприятливого простору і зліченно компактного щільного підпростору простору і встановлено деякі рівносильні переформулювання беровості простору ;.

20. В класі нарізно диференційовних функцій дано опис розв'язків рівняння , що дає позитивну відповідь на питання Р. Бера і П. Чернова.

21. З допомогою введеної автором допоміжної функції і розробленої оригінальної техніки одержано теорему про розклад операторів на просторі на репрезентовний доданок і доданок з "масивним" образом.

Для обґрунтування результатів дисертації використовуються координатний метод, категорний метод, локально скінченні системи та розбиття одиниці і інші методи загальної теорії функцій і функціонального аналізу.

Результати дисертаційної роботи носять теоретичний характер, можуть бути використані в загальній теорії функцій, функціональному аналізі та теорії операторів і знаходяться на передньому краї сучасної математичної науки.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Залежність від координат нарізно неперервних функцій на добутках компактів / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. - 1998. - Т. 50, № 9. - С. 822-829.

2. До проблеми Талаґрана / О. В. Маслюченко, В. В. Михайлюк // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 46. Математика. - Чернiвцi: ЧДУ, 1999. - С. 95-99.

3. Топологія нарізної неперервності та одне узагальнення теореми Серпінського / В. В. Михайлюк // Мат. студії. - 2000. - Т. 14, № 2. - C. 193-196.

4. Берiвська класифiкацiя точково розривних функцiй / В. В. Михайлюк // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 76. Математика. - Чернівці: ЧДУ, 2000. - С. 77-79.

5. Paracompactness and separately continuous mappings / O. V. Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, V. V. Mykhaylyuk, O. V. Sobchuk // General Topology in Banach spaces, Nova Sci. Publ., Nantintong - New-York. - 2001. - P. 147-169.

6. Побудова нарізно неперервних функцій з даним звуженням / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55, № 5. - С. 716-721.

7. Неперевність функцій з неперервними звуженнями / О. В. Євстаф'євич, В. В. Михайлюк // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 160. Математика. - Чернівці: Рута, 2003. - С. 60-64.

8. Нарізно неперервні функції на добутках і їх залежність від координат / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. 56, № 10. - С. 1357-1368.

9. Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і залежність від зліченного числа координат / В. В. Михайлюк, О. В. Собчук // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Вип. 191-192. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С. 116-118.

10. Узагальнення одного результату Вери / В. В. Михайлюк // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 228. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С. 86-88.

11. Одноточкові розриви нарізно неперервних функцій на добутку двох компактних просторів / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. - 2005. - Т. 57, № 1. - С. 94-101.

12. Namioka spaces and topological games / V. V. Mykhaylyuk // Bull. Austral. Math. Soc. - 2006. - V. 73. - P. 263-272.

13. The Namioka property of -functions and Kempisty spaces / V. V. Mykhaylyuk // Topology Appl. - 2006. - V. 153. - P. 2455-2461.

14. Some Geometric Aspects of Operators Acting from / V. V. Mykhaylyuk, M. M. Popov // Positivity. - 2006. - V. 10. - P. 431-466.

15. Простори Наміоки і сильно берівські простори / В. В. Михайлюк // Мат. студії. - 2006. - Т. 26, № 1. - С. 55-64.

16. Побудова нарізно неперервних функцій від змінних з даним звуженням / В. В. Михайлюк // Укр. мат. вісник. - 2006. - Т. 3, № 3. - С. 374-381.

17. Про оператор переходу до поточкової границі / В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк, В. В. Нестеренко // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 288. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 77-79.

18. Metrizable compacta in the space of continuous functions with the topology of pointwise convergence / V. V. Mykhaylyuk // Acta Math. Hungarica. - 2007. - V. 117, № 4. - P. 315-323.

19. Discontinuous separately continuous functions and near coherence of -filters / T. O. Banakh, O. V. Maslyuchenko, V. V. Mykhaylyuk // Real Anal. Exch. - 2007. - V. 32, № 2. - P. 335-348.

20. Lebesque measurability of separately continuous functions and separability / V. V. Mykhaylyuk // International Journal of Mathematics and Math. Sciences. - 2007. - 4 p.

21. Лінійно впорядковані компакти і конаміокові простори / В. В. Михайлюк // Укр. мат. журн. - 2007. - Т. 59, № 7. - С. 1001-1004.

22. The set of discontinuity points of separately continuous functions on the products of compact spaces / V. V. Mykhaylyuk // Methods of Func. Anal. and Top. - 2007. - V. 13, № 3. - P. 284-295.

23. Берівська класифікація частинних похідних / В. В. Михайлюк // Мат. вісник НТШ. - 2007. - Т. 4. - С. 220-226.

24. Берівська класифікація нарізно напівнеперервних і монотонних функцій / В. В. Михайлюк // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 349. Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 95-97.

25. Про питання, пов'язані з проблемою Талаґрана / В. В. Михайлюк // Мат. студії. - 2008. - Т. 29, № 1. - С. 81-88.

26. Solving of partial differential equations under minimal conditions / V. K. Maslyuchenko, V. V. Mykhaylyuk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2008. - V. 4, № 2. - P. 252-266.

27. Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки / В. В. Михайлюк // Укр. мат. вісник. - 2008. - Т. 5, № 2. - С. 203-218.

28. Побудова нарізно неперервних функцій з даним звуженням / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Диф. рівн. і нелінійні коливання", 27-29 серпня 2001 року. Тези доповідей. - Київ, 2001. - С. 112.

29. Sufficient conditions of the dependence on coordinates of separately continuous functions of products / V. V. Mykhaylyuk // Internat. Conf. on Funct. Analysis and its Appl. Dedic. to the 110-th ann. of Stefan Banach. May 28-31, 2002, Lviv. - P. 142-143.

30. Властивість Наміоки -функцій / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Комплексний аналіз і його застосування", 26-29 травня 2003р. Тези доповідей. - Львів, 2003. - С. 49-50.

31. Нарізно неперервні функції на добутку компактів з одноточковою множиною точок розриву / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Шості Боголюбівські читання", 26-30 серпня 2003р. Тези доповідей. - Київ, 2003. - С. 153.

32. Про поточкові границі нарізно неперервних функцій / В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк, В. В. Нестеренко // Матеріали міжнар. наук.-пр. конф. "Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології". (19 - 21 травня 2004 р.). Тези доповідей. - Чернівці, 2004. - С. 78-79.

33. Pointwise finite families in spaces of continuous functions on the Eberlein compactum / V. V. Mykhaylyuk // Міжнар. конф. "Геометрична топологія: нескінченновимірна топологія, абсолютні екстензори, застосування", 26 - 30 травня 2004р. Тези доповідей. - Львів, 2004. - С. 46-47.

34. Сильно берівські простори і простори Наміоки / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф., присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана, 27 червня-3 липня 2004р. Тези доповідей. - Чернівці, 2004. - С. 76-77.

35. Простори Наміоки і топологічні ігри / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. пам'яті В.Я.Буняковського, 16-21 серпня 2004р. Тези доповідей. - Київ, 2004. - С. 100-101.

36. Метризовні компакти в просторі неперервних функцій / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. ім. В.Я.Скоробогатька, 27 вересня - 1 жовтня 2004р. Тези доповідей. - Львів, 2004. - С. 146.

37. Лінійно впорядковані компакти і точково скінченна клітковість / В. В. Михайлюк // Міжнародна конференція "Математичний аналіз і суміжні питання"(17-20 листопада, 2005 р.). Тези доповідей. - Львів, 2005. - С. 75.

38. Моранові простори і властивість Наміоки / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування", 18-23 вересня 2006 р., Ужгород. Тези доповідей. - Київ, 2006. - С. 74.

39. -простори та сепарабельність / В. В. Михайлюк // Міжнар. конф. "Диференціальні рівняння та їх застосування", 11-14 жовтня 2006 р. Тези доповідей. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 108.

40. Диференціальні рівняння в частинних похідних з мінімальними вимогами / В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк // Bogolyubov readings 2007 dedicated to Yu.A.Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday. Ukraine, Zhitomir - Kiev, 19 august - 2 september 2007. Program and abstracts. - K.:2007. - P. 82-83.

41. Про розриви нарізно неперервних функцій на добутках компактів / В. В. Михайлюк // Міжнародна конференція ім. В.Я.Скоробагатька (24-28 вересня 2007 р.). Тези доповідей. - Львів, 2007. - С. 194.

42. The Baire classification of partial derivatives of function of two variables / V. V. Mykhaylyuk // International conference "Analysis and topology", June 2-7, 2008. Abstracts Part II. Topology. - Lviv, 2008. - P. 44.

АНОТАЦІЯ

Михайлюк В.В. Координатний метод і теорія нарізно неперервних відображень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. - Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2009.

Дисертація присвячена дослідженню питань, пов'язаних з нарізно неперервними відображеннями та їх аналогами (залежність від певної кількості координат, побудова функцій з даним звуженням чи даною множиною точок розриву, берівська та лебеґівська класифікації, вивчення властивостей множини точок сукупної неперервності, розв'язування диференціальних рівнянь в класі нарізно диференційовних функцій). Головним здобутком роботи є запропонований автором підхід, який дістав назву "координатного методу". Він дав можливість розв'язати різні задачі теорії нарізно неперервних відображень та узагальнити деякі раніше одержані результати.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй, топологiї та функцiональному аналiзi.

Ключовi слова: берівська класифікація, властивість Наміоки, доповняльний підпростір, координатний метод, залежність від певної кількості координат, лебеґівська класифікація, нарізно диференційовні функції, нарізно неперервне відображення.

Михайлюк В.В. Координатный метод и теория раздельно непрерывных отображений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2009.

Диссертация посвящена исследованию следующих вопросов, связанных с раздельно непрерывными отображениями и их аналогами: зависимость раздельно непрерывных отображений от определённого количества координат, построение раздельно непрерывных функций с данным сужением или множеством точек разрыва, бэровская и лебеговская классификации раздельно непрерывных функций, изучение свойств точек совокупной непрерывности раздельно непрерывных функций и их аналогов, решение дифференциальных уравнений с частными производными в классе раздельно дифференцируемых функций. Главным достижением работы является предложенный автором подход, который получил название "координатного метода", и позволил решить разные задачи теории раздельно непрерывных отображений и обобщить некоторые полученные ранее результаты.

Диссертация содержит следующие результаты: получены необходимые и достаточные условия зависимости раздельно непрерывных функций от определённого количества координат; обобщенно теорему Серпинского о том, что каждое раздельно непрерывное отображение однозначно определяется своими значениями на плотном в произведении множестве; получено общее решение задачи о построении раздельно непрерывной функции переменных с данной диагональю -го класса Бэра; обобщенно теорему Бэра о характеризации функций первого класса Бэра в терминах точечно разрывных функций; установлено равенство для компактов Валдивиа и линейно упорядоченных компактов, что даёт ответы на два вопроса О. Окунева и В. Ткачука; построено пример несепарабельного вполне регулярного пространства с -свойством и условием счётности цепей, что даёт отрицательный ответ на один вопрос М. Бурке; установлено, что каждое слабо морановое пространство является намиоковым, что даёт положительный ответ на один вопрос Ґ. Веры; введён класс --неблагоприятных пространств и установлено свойство Намиоки каждого --неблагоприятного пространства, что обобщает полученные ранее в терминах топологических игр результаты; введено понятие сильно бэровского пространства и показано, что каждое сильно бэровское пространство имеет свойство Намиоки; установлено конамиоковость каждого линейно упорядоченного компакта; показано, что каждый компакт Валдивиа является пространством Кемпистого; установлено, что произведение произвольного семейства компактных пространств Кемпистого также является пространством Кемпистого; показано, что существование раздельно непрерывной функции на произведении двух вполне регулярных пространств с данным одноэлементным -множеством точек разрыва не зависит от -аксиом; установлены необходимые и достаточные условия существования раздельно непрерывной функции на произведении компактных пространств с данным одноэлементным множеством точек разрыва; получены частные решения общей обратной задачи и ослабленной обратной задачи теории раздельно непрерывных отображений на произведении двух компактных пространств; построены примеры, которые показывают, что полученные ранее решения обратной задачи теории раздельно непрерывных отображений на произведении двух компактных пространств с определённых классов нельзя перенести на более общие случаи; получено описание всех решений уравнения в классе раздельно дифференцируемых функций, что даёт положительный ответ на один вопрос Р. Бэра и П. Чернова. Кроме того, с помощью введённой автором вспомогательной функции и разработанной оригинальной техники получена теорема, которая развивает результат З. Ли и дает разложение операторов на пространстве на репрезентативное слагаемое и слагаемое с "массивным" образом.

Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и могут быть использованы в общей теории функций, топологии и функциональном анализе.

Ключевые слова: бэровская классификация, свойство Намиоки, дополняемое пространство, зависимость от определённого количества координат, координатный метод, лебеговская классификация, раздельно дифференцируемая функция, раздельно непрерывное отображение.

Mykhaylyuk V.V. The method of coordinates and separately continuous mappings. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Ivan Franko's L'viv National University, L'viv, 2009.

The thesis is devoted to investigation of some questions which are connected with separately continuous mappings and its analogues (the dependence upon some quantity of coordinates, the construction of function with a given restriction or discontinuity point set, the Baire and Lebesgue classifications, the study of joint continuity set property, solving of partial differential equations for separately differentiable functions). The main achievement of the thesis is new method suggested by author and which was named as “method of coordinates”. It gives the possibility to solve several problems of separately continuous mappings theory and to generalize some results.

The results of the thesis are of theoretical character and can be applied in the general function theory, topology and functional analysis.

Key words: Baire classification, complemented subspace, dependence upon some quantity of coordinates, Lebesgue classification, method of coordinates, Namioka property, separately continuous mapping, separately differentiable function.

Размещено на Allbest.ru