Спектральна теорія блочних якобієвих матриць та її застосування до задачі інтегрування диференціально-різницевих ланцюжків

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

01.01.01 - математичний аналіз

УДК 517.984 + 530.1

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

СПЕКТРАЛЬНА ТЕОРІЯ БЛОЧНИХ ЯКОБІЄВИХ МАТРИЦЬ ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ ДО ЗАДАЧІ ІНТЕГРУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-РІЗНИЦЕВИХ ЛАНЦЮЖКІВ

МОХОНЬКО ОЛЕКСІЙ

АНАТОЛІЙОВИЧ

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Березанський Юрій Макарович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Голінський Леонід Борисович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, старший науковий співробітник;

кандидат фізико-математичних наук Дудкін Микола Євгенович, Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», доцент кафедри диференціальних рівнянь.Захист відбудеться «21» жовтня 2008 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий «21» вересня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для інтегрування нелінійного рівняння Кортевега-де-Фріза існує відомий метод оберненої спектральної задачі для рівняння Штурма-Ліувілля на осі, запропонований і розвинутий у класичних роботах І.М. Гельфанда, Б.М. Левітана, В.А. Марченка та М.Г. Крейна Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля / Б.М. Левитан - М.: Наука, 1984. - 356 с.. Пізніше у роботах Ю.М. Березанського Berezansky Yu.M. The integration of semi-infinite Toda chain by means of inverse spectral problem / Yurij Makarovich Berezansky - Kiev, 1984. - 42 p. - (Preprint / Acad. Sci. Ukr., Inst. of Math.; 84.79) було побудовано подібний метод інтегрування задачі Коші для півнескінченного ланцюжка Тоди, що використовував більш просту спектральну теорію різницевого аналога рівняння Штурма-Ліувілля - півнескінченної самоспряженої якобієвої матриці. В обох випадках використовувалися самоспряжені оператори.

У дисертації, зокрема, продемонстровано, що аналогічна теорія інтегрування нелінійних різницевих рівнянь може бути розвинута на базі спектральної теорії нормальних півнескінченних блочних якобієвих матриць. При цьому, замість скалярних, виникають неабелеві (матричні) нелінійні різницеві рівняння. Технічним засобом, що дозволив ефективно інтегрувати рівняння Кортевега-де-Фріза і ряд інших рівнянь математичної фізики, стало їх подання у вигляді операторного рівняння Лакса. Роботою, яку можна вважати початком досліджень у цій галузі, є стаття Пітера Лакса Lax P. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves / P. Lax // Comm. Pure Applied Math. - 1968. - №21. - P. 467-490., присвячена дослідженню солітонів у неперервних середовищах. Пізніше почалися дослідження неізоспектральних деформацій скінченних, півнескінченних та нескінченних якобієвих матриць, що породжуються узагальненим рівнянням Лакса:

Тут - шуканий розв'язок (операторнозначна функція), - деяка фіксована функція, що задає рівняння (найчастіше - оператор, компоненти матриці якого у певному базисі пов'язані із компонентами матриці невідомого - фіксована функція, зокрема, можна подати рівняння Кортевега-де-Фріза (при ), одновимірне нелінійне рівняння Шредінгера, рівняння Benjamin - Ono, систему Davey - Stewartson, рівняння Kadomtsev-Petviashvili-Boussinesq тощо Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений / Леонид Павлович Нижник. - К.: Наукова думка, 1991. - 232с., Теория солитонов. Метод обратной задачи / [Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П.]. - М.: Наука, 1980. - 320 с.. Рівняння описують коливні процеси у різноманітних фізичних середовищах.

Операторне рівняння Лакса у випадку, коли у відповідному базисі має півнескінченну якобієву матрицю, еквівалентне системі нелінійних диференціально-різницевих рівнянь. Важливим прикладом такої системи є ланцюжок Тоди (тут ; далі ми часто не будемо виписувати аргумент у позначенні шуканої функції):

Цей ланцюжок описує еволюцію системи частинок із експоненціальною взаємодією між сусідніми частинками. Подібно до рівнянь Кортевега-де-Фріза, він є універсальним із точки зору застосувань. У цьому випадку спектр не залежить від часу (такі задачі називаються ізоспектральними).

Спосіб інтегрування ланцюжка Тоди, запропонований Ю.М. Березанським, використовував метод оберненої спектральної задачі: еволюція з часом розв'язку (що є складною) пов'язувалася із еволюцією спектральної міри самоспряженого оператора (що є порівняно простою). Цей метод, зокрема, дозволив охопити клас неізоспектральних диференціально-різницевих ланцюжків, пов'язаних із самоспряженим оператором-невідомою . У роботах Ю.М. Березанського та М. Шмойша Berezansky Yu. M. Nonisospectral flows on semi-infinite Jacobi matrices / Yu. M. Berezansky, M. Shmoish // Nonlinear Math. Phys. - 1994. - Vol. 1, №2. - P. 116-146. досліджувалися також різні узагальнення класичної системи Лотки-Вольтерра, породжені узагальненим рівнянням Лакса (1).

Поряд із ланцюжками, пов'язаними із самоспряженим виникли ланцюжки, пов'язані із унітарним оператором-невідомою. Прикладом такого ланцюжка є потік Шура:

Потік Шура вперше виник у роботах Ablowitz M.J., Ladik J.F. Ablowitz M.J. Nonlinear differential-difference equations / M.J. Ablowitz, J.F. Ladik // J. Math. Phys. - 1975. - №16, - P. 598-603. під назвою дискретного модифікованого рівняння Кортевега-де-Фріза. У роботах Л. Файбусовича та М. Гехтмана Faybusovich L. On Schur flows / L. Faybusovich, M. Gekhtman // J. Phys. A.: Math. Gen. - 1999. - №32. - P. 4671-4680. вивчаються скінченні дійсні потоки Шура. У статті A. Mukaihira, Y. Nakamura Mukaihira A. Schur flow for orthogonal polynomials on the unit circle and its integrable discretization / A. Mukaihira, Y. Nakamura // J. of Comp. Appl. Math. - 2002. - №139. - P. 75-94. вперше з'являється перетворення Бесселя спектральної міри, що породжує потік Шура. У роботі I. Nenciu Nenciu I. Lax pairs for the Ablowitz-Ladik system via orthogonal polynomials on the unit circle / I. Nenciu // IMRN. - 2005. - №11. - P. 647-686. автор досліджує структуру Пуассона і пари Лакса для систем Абловіца-Ладика, що включають у себе потоки Шура у якості частинного випадку. Потоки Шура виникають також у зв'язку із рівняннями “нульової кривизни” для рівнянь Бакстера (див. роботи G.S. Geronimo, F.Gesztesy Geronimo G.S. Algebroico-geometric solution of the Baxter-Szego difference equation / G.S. Geronimo , F. Gesztesy, H. Holden // Comm. Math. Phys. - 2005. - №258. - P. 149-177.).

У роботі Л.Б. Голінського Голинский Л.Б. Потоки Шура и ортогональные полиномы на единичной окружности / Л.Б. Голинский // Матем. сборник. - 2006. - Т.197, №8. - С. 41-62. вперше було застосовано спектральний підхід із використанням унітарного у рівнянні Лакса (1). Після неї випадки рівняння Лакса, пов'язаного із самоспряженим та унітарним вдалося об'єднати у рамках запропонованого Ю.М. Березанським методу. Таке поєднання стало можливим після побудови відповідної теорії розкладу по узагальненим власним векторам для блочних унітарних операторів Berezansky Yu.M. The direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type unitary matrices / Yu.M. Berezansky, M.E. Dudkin // Methods Funct. Anal. Topology. - 2005. - Vol. 11, №4. - P. 327-345.. Крім того, самоспряжені та унітарні оператори, що виникали у цих роботах, пов'язувалися із оператором множення на незалежну змінну, що у загальному випадку, є нормальним. Тому природньо було б очікувати існування аналогічної теорії диференціально-різницевих ланцюжків, пов'язаних із нормальним оператором , яка б, зокрема, охоплювала вже відомі результати. Відповідна спектральна теорія блочних нормальних операторів міститься у статті Ю.М. Березанського та М.Є. Дудкіна Berezansky Yu.M. The complex moment problem and direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type bounded normal matrices / Yu.M. Berezansky, M.E. Dudkin // Methods Funct. Anal. Topology. - 2006. - Vol. 12, №1. - P. 1-31..

Таким чином, узагальнене рівняння Лакса пов'язує велику кількість важливих із теоретичної і практичної точки зору рівнянь. Саме тому актуальною є задача об'єднання різних підходів до його інтегрування у рамках спільного методу для трьох характерних випадків оператора-невідомої: самоспряженого, унітарного та нормального .

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, тема 01БФ038-05 “Побудова та дослідження математичних моделей взаємодії суцільних середовищ при наявності поверхонь розриву” (керівник І.О. Шевчук, номер державної реєстрації 0101U002482).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є:

1. побудова теорії диференціально-різницевих ланцюжків, породжених узагальненим рівнянням Лакса із нормальним оператором , а саме, адаптація методу оберненої спектральної задачі до інтегрування такого типу рівнянь;

2. класифікація диференціально-різницевих ланцюжків та виділення частинних випадків, коли існують зручні методи їх інтегрування у рамках запропонованого методу;

3. демонстрація особливостей, притаманних диференціально-різницевим ланцюжкам, пов'язаним із трьома характерними типами нормальних операторів: самоспряженими, унітарними та (загальними) нормальними.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано наступні теоретичні результати:

1. метод оберненої спектральної задачі адаптовано до інтегрування диференціально-різницевих ланцюжків, породжених рівнянням Лакса, пов'язаним із унітарними та нормальним операторами;

2. запропоновано і деталізовано метод дослідження неізоспектральних ланцюжків (на відміну від класичного ізоспектрального випадку), породжених рівнянням Лакса, пов'язаним із самоспряженими та унітарними операторами;

3. розроблено метод дослідження неізоспектральних диференціально-різницевих потоків коефіцієнтів Верблунського як частинного випадку ланцюжків, породжених унітарними операторами у рамках запропонованого методу.

4. проведено класифікацію ланцюжків, що допускають інтегрування, та наведено ряд нових прикладів, які демонструють застосування запропонованого методу.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані у спеціальних курсах та в дослідженнях у галузі нелінійних еволюційних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертаційної роботи одержано автором самостійно. У спільній роботі [2] внески авторів (Березанського Ю.М. і дисертанта) в отримані результати є рівноцінними. У роботі [4] Ю.М. Березанському належить постановка питання, а І.Я. Івасюку і дисертанту - його розв'язання (відповідно, достатність та необхідність).

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

1. 5th International ISAAC Congress 25-30 July, 2005, University of Catania, Italy;

2. міжнародній конференції «Математичний аналіз та суміжні питання» (Львів, 17-20 листопада 2005 р.);

3. International Conference “Modern analysis and applications (MAA 2007) dedicated to the centenary of Mark Krein, Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007;

4. 6th International ISAAC Congress, Middle East Technical University, Ankara, Turkey, 13 - 18 August 2007;

5. київському науковому семінарі з функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівники: академік НАН України Березанський Ю.М., член-кореспондент НАН України Горбачук М.Л., член-кореспондент НАН України Самойленко Ю.С.);

6. семінарі з теорії наближень Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник: професор Шевчук І.О.);

7. Workshop on Special Functions and Orthogonal Polynomials, Foundations of Computational Mathematics 2008, City University of Hong Kong, China, June 16-26, 2008;

8. SIDE8 International Conference (Symmetries and Integrability of Difference Equations), Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Montreal, Montreal (Quebec) Canada, June 22 - 28, 2008.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 10 наукових роботах. З них 4 статті - у фахових виданнях із переліку, затвердженого ВАК України, та 6 робіт - у тезах доповідей на міжнародних математичних конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, списку цитованої літератури (що містить 94 назви) та додатків. Обсяг роботи складає 148 сторінок друкованого тексту (202 сторінки з додатками).

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів та додатків.

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, розкрито суть, мету та наукову новизну проведених досліджень.

Перший розділ присвячено огляду літератури, пов'язаної із темою дисертації, та висвітленню сучасної точки зору щодо основних підходів до вивчення диференціально-різницевих ланцюжків, які виникають у теоретичних та прикладних застосуваннях.

У другому, третьому та четвертому розділах здійснено побудову методу інтегрування визначеного у роботі класу диференціально-різницевих ланцюжків, породжених узагальненим рівнянням Лакса, пов'язаним, відповідно, із нормальними, унітарними та самоспряженими блочними якобієвими матрицями.

Загальна постановка задачі. Розглянемо гільбертів простір

Зафіксуємо базис цього простору: складений із елементів стандартних базисів просторів Назвемо цей базис стандартним базисом простору

Розглянемо сім'ю блочних якобієвих матриць, параметризованих за часом наступного вигляду (тут ):

Матриці довільні, розмірності

Матриця для кожного визначає лінійний оператор на фінітних векторах. Припустимо, що його замикання є обмеженим нормальним оператором. Із вигляду матриці (5) (а саме, з того, що ) ясно, що має циклічний вектор. Навпаки, довільний обмежений нормальний оператор, для якого існує циклічний вектор, має вказаний вище вигляд у базисі з координат узагальненого власного вектору.

Розглянемо гільбертове оснащення де є гільбертовим простором, що складається із послідовностей із ваговими коефіцієнтами Позначатимемо Простір визначається аналогічно. є простором, спряженим до лінійного простору фінітних послідовностей

Представники негативного простору трактуються як узагальнені функції - антилінійні функціонали, що діють на елементах позитивного простору Будемо використовувати кутові дужки для позначення півторалінійної форми, що оснащує нульовий простір позитивним та негативним просторами та тобто для позначення дії узагальненої функції.

Вкладення буде оператором Гільберта - Шмідта, якщо ваги підібрані відповідним чином: Нехай - розклад одиниці обмеженого нормального оператора а - спряжене до вкладення. Тоді операторнозначна міра має скінченний слід. Тут - множина усіх лінійних обмежених операторів із в Відомо Березанский Ю.М. Спектральные методы в бесконечномерном анализе / Ю.М. Березанский, Ю.Г. Кондратьев. - К.: Наукова думка, 1988. - 680 c., глава 3, §2, теорема 2.1., що за цих умов існує похідна Радона - Нікодима розкладу одиниці по її слідовій мірі :

Тут - слідова міра, що відповідає розкладу одиниці . Інтеграл є інтегралом Бохнера і збігається за нормою Гільберта - Шмідта. Міра за означенням, є спектральною мірою оператора

Оператори стандартно пов'язані із оснащенням (6). Тому, згідно з проекційною спектральною теоремою Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов / Юрій Макарович Березанський. - К.: Наукова думка, 1965. - 800 с., глава 5, теорема 2.1., існує унітарне відображення (перетворення Фур'є), що переводить оператор у оператор множення на незалежну змінну у просторі а образ похідної Радона - Нікодима складається із узагальнених власних векторів, що відповідають узагальненому власному значенню Тобто майже для усіх відносно одночасно виконуються дві рівності Березанский Ю.М. Функциональний анализ. Курс лекций / Ю.М. Березанский, Г.Ф. Ус, З.Г. Шефтель. - К.: Вища школа, 1990. - 600 с., глава XV, §2, п.2, теорема 2.3:

Ці два рівняння дозволяють розв'язувати пряму спектральну задачу: будувати перетворення Фур'є і базис (з координат узагальненого власного вектора), синхронізований зі стандартним базисом простору у яких оператори та мають спільну матрицю

Наведемо загальну постановку задачі, що розглядається у дисертації. Розглянемо узагальнене рівняння Лакса:

Тут - шукане сімейство матриць вигляду (5) обмежених нормальних операторів у стандартному базисі простору , - комутатор, - матриця, що, зокрема, може складатися із елементів матриць за рахунок, власне, чого виникають нелінійні диференціально-різницеві ланцюжки, якщо матричне рівняння розписати покоординатно. у загальному випадку не породжує оператора (тобто ця властивість не вимагається).

Рівняння (8) еквівалентне операторному рівнянню у слабкому сенсі (усі операторні рівняння у роботі розуміються у слабкому сенсі, тобто покоординатно у стандартному базисі):

Завдяки описаному вище наслідку з проекційної спектральної теореми, це рівняння еквівалентне рівнянню відносно оператора множення на незалежну змінну що діє у просторі

Рівняння (10) дозволяє аналізувати задачу із використанням функціональних властивостей оператора множення на незалежну змінну.

Позначимо через клас матриць вигляду (5) які, після замикання за неперервністю з породжують обмежені нормальні оператори у просторі і сформулюємо загальну (в межах дисертації) постановку задачі Коші для диференціального рівняння (8).

Нехай задано блочну якобієву матрицю Необхідно знайти сімейство матриць із неперервно диференційовними коефіцієнтами, що були б визначені на деякому інтервалі і розв'язували (8) із початковою умовою

Для розв'язання цієї задачі необхідно застосувати метод оберненої спектральної задачі. А саме, треба пов'язати еволюцію операторів із еволюцією їх спектральних мір (що буває більш простою) шляхом вивчення прямої спектральної задачі, розв'язати задачу для мір і відновити матрицю відповідного оператора-розв'язку шляхом дослідження оберненої спектральної задачі.

Ізоспектральні ланцюжки, пов'язані з рівняннями Лакса для нормальних операторів.

Теорема 1 (теорема існування для нормального ) Розглянемо задачу Коші для рівняння

Тут - довільна обмежена борельова по та інтегровна по функція, задається формулою:

Розв'язок задачі Коші існує на проміжку і може бути знайдений за допомогою наступної процедури. Необхідно:

1. побудувати спектральну міру оператора

2. побудувати перетворення міри типу множення:

3. відновити шуканий розв'язок методом оберненої спектральної задачі: необхідно побудувати ортонормований базис шляхом ортогоналізації за Граммом - Шмідтом степеневої послідовності у просторі та обчислити шукані коефіцієнти матриці як елементи матриці оператора множення на незалежну змінну у цьому базисі (тут ):

Теорема 2 (теорема єдиності для нормального) Нехай виконуються обмеження теореми існування 1. Додатково припускаємо, що при кожному фіксованому спектр лежить на жордановій кривій (замкнутій чи незамкнутій) або на обмеженому континуумі, без внутрішніх точок, доповнення до якого є зв'язним. Тоді два довільні розв'язки задачі Коші із класу зі спільною початковою умовою тотожньо співпадають.

Рівняння Лакса (11) може бути переписане у вигляді системи блочних диференціально-різницевих ланцюжків. У дисертації здійснено класифікацію таких ланцюжків та досліджено необхідні умови щодо їх алгебраїчної структури.

Теорема 3 Нехай матриці операторів та у стандартному базисі простору мають тридіагональну блочну структуру (5) та

Тут - неперервні скалярнозначні функції, що множаться на вказані матриці-функції.

Тоді рівняння Лакса еквівалентне системі диференціально-різницевих рівнянь

Якщо - матриця унітарного оператора вигляду (5), для якої виконується рівняння (15), то із необхідністю має вигляд (14).

Класифікація диференціально-різницевих рівнянь на основі наведеної теореми будується наступним чином. Вигляд ланцюжка (16) вказує на те, що є наступні характерні класи рівнянь (випадки, коли у (16) відбуваються скорочення доданків): 1. при 2. при 3. при 4. при У роботі містяться два приклади диференціально-різницевих ланцюжків, породжених класичним рівнянням Лакса і побудованих на основі нормальних операторів зі спектром на жордановій кривій та на двовимірній множині.

Застосування наведених теорем продемонстровано на прикладі неабелевого аналогу системи типу А. Полякова. Нехай у матриці (14). Відповідна система має вигляд:

Тут Приклад, зокрема, відзначається тим, що перетворення спектральної міри, яке описує еволюцію нормального оператора, формально співпадає із аналогічним перетворенням для ланцюжка Тоди. Відмінність полягає у тому, що система складена із некомутуючих компонент і задача її інтегрування є істотно складнішою через несамоспряженість відповідного оператора множення на незалежну змінну.

Для побудови розв'язків диференціально-різницевих ланцюжків, пов'язаних із нормальними операторами зі спектром на двовимірних множинах, використовуються дві допоміжні функції: функція Вейля та її аналог:

Теорема 4. Нехай - зафіксовано, - обмежений нормальний оператор. Тоді за функцією (18) відновлюється його спектральна міра.

У роботі міститься результат, що демонструє альтернативний спосіб інтегрування ізоспектрального рівняння Лакса з використанням допоміжних рівнянь для функції Вейля. Визначимо матрицю - формально спряжену до формулою

Теорема 5. Розглянемо систему нелінійних рівнянь:

Тут задані.

Нехай існує розв'язок задачі Коші (постановку і клас, у якому шукається розв'язок вказано вище) для якого Тоді цей розв'язок відновлюється за допомогою формули (13), в якій спектральна міра знаходиться за початковою спектральною мірою наступною процедурою:

1. за знаходимо функцію Вейля і розв'язуємо задачу Коші із початковими даними;

2. розв'язуємо задачу Коші для рівняння із початковими даними що знаходяться за згідно (18);

3. знайдена функція визначає міру у відповідності до теореми 4

Неізоспектральні ланцюжки, пов'язані із рівняннями Лакса для унітарних операторів. У третьому розділі дисертації здійснюється побудова методу для випадку унітарних блочних якбієвих матриць. Зокрема, наводиться обгрунтування методу оберненої спектральної задачі для блочних {неізоспектральних} ланцюжків (вище розглядалися лише рівняння, що приводять до ізоспектральної ситуації).

Оскільки унітарні матриці, що використовуються у цьому розділі, співпадають із CMV-матрицями сучасної і добре розвинутої теорії ортогональних поліномів на одиничному колі (OPUC), застосування методу демонструється на об'єктах із OPUC-теорії (приклади диференціально-різницевих потоків коефіцієнтів Верблунського).

Замість простору (4) використовується простір

Розглянемо наступні поліноми по і

Позначимо через оператор диференціювання і розглянемо наступні (залежні від ) оператори: спектральний ланцюжок рівняння інтегрування

Розглянемо узагальнене рівняння Лакса:

Задача Коші для диференціального рівняння (26) формулюється наступним чином.

Нехай задано блочну якобієву матрицю із елементами що породжує унітарний оператор Необхідно знайти слабко неперервно диференційовний оператор такий, що є слабким розв'язком (26) для де залежить лише від початкових даних і функцій (див. (23), (24)), причому

Теорема 6. (теорема існування для унітарного). Розв'язок задачі Коші (26), (27) існує і може бути знайдений наступною процедурою.

Нехай є спектральною мірою оператора Позначимо через Розглянемо наступну задачу Коші:

Із теорії звичайних диференціальних рівнянь відомо, що можна вибрати таке, що для кожного існує єдиний розв'язок задачі Коші (28), визначений на інтервалі

Для кожного фіксованого розглянемо відображення

і сконструюємо наступну міру (відбувається крок "відображення міри"):

Тут позначає повний прообраз під дією відображення

Розглянемо наступне диференціальне рівняння у частинних похідних:

Нехай є його розв'язком. Побудуємо остаточне перетворення міри (відбувається крок "множення міри"):

Останнім етапом є відновлення оператора за його спектральною мірою шляхом розв'язання оберненої спектральної задачі. А саме, розглянемо послідовність функцій:

Методом ортогоналізації Грама-Шмідта будуємо ортонормований базис простору Розв'язок відновлюється за формулою (13), де

Теорема 7. (теорема єдиності для унітарного) Нехай коефіцієнти поліномів (23), (24) є аналітичними функціями в околі відрізку Тоді довільні два розв'язки задачі Коші (26), (27) зі спільними початковими умовами тотожньо співпадають.

У дисертації багато уваги приділено застосуванню теорем існування та єдиності розв'язків диференціально-різницевих ланцюжків для унітарного випадку в рамках теорії ортогональних поліномів на одиничному колі (OPUC).

Нехай - ймовірнісна борелева міра із носієм, що є нескінченною підмножиною одиничного кола, - монічні ортогональні поліноми у просторі Числа називаються коефіцієнтами Верблунського. Позначимо Відомо13, Simon B. Orthogonal Polynomials on the Unite Circle. Part 1: Classical Theory, Part 2: Spectral Theory / B. Simon. - AMS Colloquium Series, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005. - P. 1100., що оператор множення на незалежну змінну можна подати у вигляді матриці Cantero M.J. Five-diagonal matrices and zeros of orthogonal polynomials on the unite circle / M.J. Cantero, L. Moral, L. Velazquez // Linear Algebra Appl. - 2003. - №362. - P. 29-56., Dudkin M.E. The exact inner structure of the block Jacobi type unitary matrices connected with the corresponding direct and inverse spectral problems / Mykola Evgenovich Dudkin // Methods Funct. Anal. Topology. - 2008. - Vol. 14, №2. - P. 141-149.:

Якщо використати це подання у матрицях початкової умови і шуканого розв'язку у рівнянні задачі Коші (26), (27), отримаємо змістовні приклади застосування теорем існування та єдиності.

В OPUC провідну роль грає рекурентність Szego, що пов'язує послідовні монічні поліноми (тут - певне відображення):

Теорема 8. Рекурентність Szego еквівалентна рівнянню на пошук узагальненого власного вектора (7).

Шляхом вибору різних поліномів (23), (24) продемонстровано, що побудований у дисертації метод, зокрема, дозволяє інтегрувати відомі диференціально-різницеві потоки. Наприклад, потік Шура (3) отримується при Відповідна еволюція спектральної міри має вигляд

Аналогічно до нормального випадку, продемонстровано, які потоки виникатимуть, якщо в якості закону еволюції спектральної міри обрати залежність, характерну для ланцюжка Тоди. Нехай Аналог класичного ланцюжка Тоди у термінах коефіцієнтів Верблунського має вигляд:

Так само, якщо обрати отримаємо аналог ланцюжка Kac-van Moerbeke:

Неізоспектральні ланцюжки, пов'язані із рівняннями Лакса для самоспряжених операторів. Самостійний інтерес мають неізоспектральні ланцюжки, породжені еволюцією спектральної міри типу відображення. Приклади таких ланцюжків, зокрема, містяться у четвертому розділі дисертації, присвяченому диференціально-різницевим рівнянням пов'язаним із самоспряженими операторами. Теореми існування та єдиності розв'язку задачі Коші були доведені у роботі Ю.М. Березанського та М. Шмойш . У дисертації міститься класифікація рівнянь і наводяться числові приклади.

Розглядаються два диференціальні рівняння: тут

Із ними пов'язується диференціально-різницевий ланцюжок

Тут - оператор диференціювання по у базисі гільбертового простору Ланцюжок пов'язується із перетворенням спектральної міри типу відображення + множення:

Тут У дисертації здійснено аналіз цієї загальної побудови у випадках, коли відповідні диференціальні рівняння ефективно інтегруються. Окремо аналізуються властивості оператора диференціювання, випадки невеликих за обсягом ланцюжків (чи ланцюжків, для яких вдається отримати зручну для розрахунків аналітичну формулу) та приклади, що демонструють характерні властивості перетворень мір.

Додатки. У додатках до дисертації розглянуто наступні питання:

1. Самоспряжені та унітарні оператори, зокрема, є нормальними. У роботі міститься аналіз того, як саме ці два більш специфічні випадки (диференціально-різницеві ланцюжки, пов'язані із самоспряженими та унітарними операторами) виглядають із точки зору загальної теорії для нормальних операторів: вказано алгебраїчний механізм вкладення теорій.

2. Обговорюється модифікація теорії у випадку, коли спектр нормального оператора лежить на алгебраїчній кривій, відмінній від дійсної осі та одиничного кола. Аналіз проводиться засобами алгебраїчної геометрії. Досліджуються твірні ідеалів поліномів, що описують розклад на незвідні компоненти спектру у топології Зариського. Зокрема, наведено числовий приклад: коли спектр нормального оператора лежить на гіпоциклоїді.

3. Розглянуто коло питань стосовно побудови числових прикладів блочних якобієвих матриць нормальних операторів: наведено явний вигляд матриць нормальних операторів зі спектром на крузі, вертикальній прямій, гіпоциклоїді та області Штейнера.

4. Наведено ряд зауважень щодо шляхів перспективних досліджень. Обговорюється можливість використання нормальних операторів зі спектрами на дугах, що є аналітичними образами одиничного кола, демонструється можливість перенесення понять поліномів першого та другого роду із теорії класичних якобієвих матриць, обговорюється питання розвитку теорії диференціально-різницевих ланцюжків у абстрактних просторах Фока.

ВИСНОВКИ

У роботі побудовано ефективний алгоритм інтегрування блочних ланцюжків диференціально-різницевих рівнянь, пов'язаних із узагальненим рівнянням Лакса. Розглядаються три основні випадки: рівняння Лакса із невідомим, що є залежним від часу самоспряженим, унітарним та (загальним) нормальним оператором. Відповідно, розглядаються послідовності одновимірних, двовимірних рівнянь (тобто ланцюжків систем рівнянь), та рівнянь із розмірностями, що зростають.

Отримано наступні результати:

1. Метод оберненої спектральної задачі адаптовано до інтегрування задачі Коші для випадку класичного рівняння Лакса (що породжує ізоспектральні диференціально-різницеві ланцюжки) із невідомою, що є обмеженим нормальним оператором. Доведено теореми існування та єдиності розв'язку. Проведено класифікацію рівнянь. Метод застосовано для аналізу розв'язків рівнянь типу А. Полякова.

2. Метод оберненої спектральної задачі адаптовано до інтегрування узагальненого рівняння Лакса (що породжує неізоспектральні диференціально-різницеві ланцюжки) із невідомою, що є унітарним оператором. Доведено теореми існування та єдиності розв'язку. Метод застосовано для інтегрування диференціально-різницевих потоків коефіцієнтів Верблунського.

3. Цей же метод розвинуто у неізоспектральній ситуації для інтегрування узагальненого рівняння Лакса із невідомою, що є самоспряженим оператором. Проведено класифікацію і наведено числові приклади ланцюжків, що ефективно інтегруються запропонованим методом.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мохонько О.А. Деякі розв'язні класи нелінійних неізоспектральних різницевих рівнянь / Олексій Анатолійович Мохонько // Укр. мат. журн. - 2005. - Т. 57, №3. - С. 356-365.

2. Березанский Ю.М. Интегрирование некоторых дифференциально-разностных нелинейных уравнений с помощью спектральной теории блочных якобиевых нормальных матриц / Юрий Макарович Березанский, Алексей Анатольевич Мохонько // Функц. анализиз его прил. - 2008. - Т. 42, №1. - С. 1-21.

3. Mokhonko O. Nonisospectral flows on semi-infinite unitary block Jacobi matrices / Oleksii Mokhonko // Ukr. Math. J. - 2008. - Vol. 60, №4. - P. 521-544.

4. Berezansky Yu. M. Recursion relation for orthogonal polynomials on the complex plane / Yu. M. Berezansky, I. Ya. Ivasiuk, O.A. Mokhonko // Methods Funct. Anal. Topology. - 2008. - Vol. 14, №2. - P. 123-132.

5. Mokhonko O. Some solvable classes of Cauchy problems for nonisospectral difference equations / Oleksii Mokhonko // 5-th ISAAC Congress, University of Catania, Italy, July 25-30, 2005: book of abstracts. - 2005. - P. 187-188.

6. Mokhonko O. Spectral measure of generalized Poisson field / Oleksii Mokhonko // Analysis and Related Topics, Lviv Ivan Franko national university, Ukraine: International conference, November 17-20, 2005: book of abstracts. - 2005. - P. 73-74.

7. Mokhonko O. Nonisospectral flows on semi-infinite unitary block Jacobi matrices / Oleksii Mokhonko // Modern Analysis and Applications, Odessa National I.I. Mechnikov university, Ukraine: International conference dedicated to the centenary of Mark Krein, April 9-14, 2007: book of abstracts. - 2007. - P. 96-97.

8. Mokhonko O. OPUC from the point of view of block Jacobi matrices theory and related difference-differential lattices / Oleksii Mokhonko // 6-th ISAAC Congress, Middle east technical university, Ankara, Turkey, August 13-18, 2007: book of abstracts. - 2007. - P. 101.

9. Mokhonko O. Toda lattice (OPRL) and Schur flow (OPUC) from the viewpoint of the spectral theory for block normal Jacobi matrices / Oleksii Mokhonko // Foundations of Computational Mathematics 2008: Workshop on Special Functions and Orthogonal Polynomials, City University of Hong Kong, China, June 16-26, 2008: book of abstracts. - 2008.

10. Mokhonko O. Block Jacobi matrix structure of the normal operators with specific spectral properties and the corresponding difference-differential flows / Oleksii Mokhonko // Symmetries and Integrability of Difference Equations (SIDE8): International Conference, Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Montreal, Montreal, Quebec, Canada, June 22 - 28, 2008: book of abstracts. - 2008.

АНОТАЦІЇ

Мохонько О.А. Спектральна теорія блочних якобієвих матриць та її застосування до задачі інтегрування диференціально-різницевих ланцюжків. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

У роботі досліджено випадок ізоспектральних неабелевих диференціально-різницевих потоків, породжуваних класичним рівнянням Лакса із невідомою, що є обмеженим нормальним оператором.

Неізоспектральні ланцюжки аналізуються для випадку узагальненого рівняння Лакса, пов'язаного із унітарними та самоспряженими операторами. Для рівнянь із унітарним оператором-невідомою наведено обгрунтування методу оберненої спектральної задачі та вказано спосіб застосування запропонованого методу до аналізу диференціально-різницевих потоків коефіцієнтів Верблунського, що є предметом дослідження у рамках теорії ортогональних поліномів на одиничному колі. У випадку узагальненого рівняння Лакса, пов'язаного із самоспряженими операторами, наведено класифікацію ланцюжків, що допускають ефективне інтегрування. Для усіх трьох випадків у роботі містяться приклади застосування запропонованого методу.

Ключові слова: спектральна теорема, якобієва матриця, спектральна міра, розклад одиниці, рівняння Лакса, диференціально-різницевий ланцюжок, коефіцієнти Верблунського, пряма та обернена спектральні задачі.

Мохонько А.А. Спектральная теория блочных якобиевых матриц и её применение к задаче интегрирования дифференциально-разностныхцепочек. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертация посвящена адаптации метода обратной спектральной задачи к решению задачи Коши для обобщённого уравнения Лакса, которое порождает как изоспектральные, так и неизоспектральные дифференциально-разностные потоки.

В работе рассмотрены три основных случая: когда неизвестная является самосопряжённым, унитарным и нормальным оператором (общего вида). В слабом смысле уравнение Лакса порождает, соответственно, классические цепочки (типа цепочки Тоды), цепочки двумерных систем уравнений и неабелевые цепочки с возрастающими размерностями. Решение представляет собой совокупность координат блочных якобиевых матриц операторов умножения на независимую переменную, параметризованных по времени.

В работе исследован случай изоспектральных неабелевых дифференциально-разностных потоков, порождаемых классическим уравнением Лакса с неизвестной, являющейся ограниченным нормальным оператором. Доказаны теоремы существования (методом обратной спектральной задачи) и единственности решений. Также проведена классификация характерных типов таких уравнений и продемонстрирован способ применения предложенного метода для интегрирования неабелевого аналога уравнений типа А. Полякова.

Неизоспектральные цепочки анализируются для случая обобщённого уравнения Лакса, связанного с унитарными и самосопряжёнными операторами.

Для уравнений с унитарным оператором-неизвестной приведено обоснование метода обратной спектральной задачи: доказаны теоремы существования и единственности. Также в работе указан способ применения предлагаемого метода для анализа дифференциально-разностных потоков коэффициентов Верблунского, которые являются предметом исследований в рамках теории ортогональных полиномов на единичной окружности. В частности, продемонстрировано, как уже известные результаты (в частности, вопросы, связанные с интегрированием потоков Шура), вкладываются в построенную более абстрактную теорию в качестве частных случаев. В диссертации также содержится ряд новых примеров дифференциально-разностных цепочек такого типа.

В случае обобщённого уравнения Лакса, связанного с самосопряжёнными операторами, приведена классификация цепочек, допускающих эффективное интегрирование. Особое внимание уделено дифференциально-разностным цепочкам, порождаемым эволюцией спектральной меры типа отображения исходной меры. Подобные примеры имеют самостоятельный интерес, так как в случае цепочек, связанных с нормальными операторами общего вида, их построение невозможно, а в случае унитарных операторов - сильно затруднено.

В дополнениях к диссертации рассматриваются следующие вопросы. На основе аппарата алгебраической геометрии проведён анализ механизма вложения теорий для цепочек, связанных с частными случаями нормальных операторов (в частности, самосопряжённых и унитарных) в общую теорию для нормальних операторов общего вида в зависимости от их спектральных свойств. Приведены примеры, демонстрирующие характерные особенности уравнений, связанных с нормальными операторами, спектр которых лежит на кривых, отличных от действительной оси и единичной окружности (а именно, анализируются случаи вертикальной прямой и гипоциклоиды). Рассмотрен круг вопросов, связанных с построением числовых примеров блочних нормальных якобиевых матриц (строятся матрицы нормальных операторов со спектром на области Штейнера). Обсуждается возможность использования теории, характерной для унитарных операторов, для интегрирования дифференциально-разностных цепочек, связанных с операторами со спектром на кривых, являющихся аналитическим образом единичной окружности. Затронут ряд вопросов, касающихся построения аналогичной теории интегрирования дифференциально-разностных цепочек в абстрактных пространствах Фока. Также обсуждаются возможные пути перспективных исследований и развития теории.

Ключевые слова: спектральная теорема, якобиевая матрица, спектральная мера, разложение единицы, уравнение Лакса, дифференциально-разностная цепочка, коэффициенты Верблунского, прямая и обратная спектральные задачи.

Mokhonko O.A. Spectral theory of block Jacobi matrices and its application to difference-differential lattices integration problem. - Manuscript.

Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of Mathematics of the National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2007.

Thesis is devoted to the adaptation of the Inverse Spectral Problem method to solving the Cauchy problem for generalized Lax equation. Three main cases are considered: when the unknown is bounded self-adjoint, unitary and bounded normal operator. These options correspond to three main types of difference-differential lattices generated by Lax equation in weak sense: classical one-dimensional lattices (e.g. Toda lattice), block two-dimensional lattices and non-Abelian lattices of growing dimensions. The solution itself is given by the entries of the block Jacobi matrix of multiplication operator parameterized with time.

The case of isospectral non-Abelian difference-differential flows generated by Lax equation with normal unknown are thoroughly explored. Existence and uniqueness of solutions are proved. Lattices classification is given. Method application is demonstrated for the non-Abelian analogue of A. Polyakov system.

Nonisospectral lattices are considered for the case of generalized Lax equation, connected with unitary and self-adjoint operators. For equations with unitary unknown the thesis contains the existence and uniqueness theorems based on Inverse Spectral Method approach. Application to analyzing difference-differential flows of Verblunsky coefficients is demonstrated. In the case of generalized Lax equation with the self-adjoint unknown the work contains the chain classification and numerical examples. Examples of Inverse Spectral Problem method application for all three cases can also be found.

Key words: spectral theorem, Jacobi matrix, spectral measure, resolution of identity, Lax equation, difference-differential lattice, Verblunsky coefficients, direct and inverse spectral problems.

Размещено на Allbest.ru