Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут математики

M-ФУНКЦІЇ НА НЕКОМПАКТНИХ ПОВЕРХНЯХ

01.01.04 - геометрія та топологія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Міщенко Катерина Ігорівна

УДК 517.938.5

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано у Національному авіаційному університеті МОН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, доцент

Пришляк Олександр Олегович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри геометрії.

Офіційні опоненти:

кандидат фіз.-мат. наук,

старший науковий співробітник

Болотов Дмитро Валерійович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б.І. Вєркіна НАН України,

старший науковий співробітник відділу геометрії;

доктор фіз.-мат. наук, професор

Лейко Святослав Григорович,

Одеський національний університет

ім. І.І.Мечникова,

завідувач кафедри геометрії і топології.

Захист відбудеться «11» листопада 2008 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий «_7_» жовтня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Сергейчук В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одними із фундаментальних об'єктів досліджень диференціальної топології та топології многовидів є поверхні. У першій чверті XX століття П.С.Александров та П.С.Урисон побудували теорію компактних просторів. Теорема класифікації компактних поверхонь є одним з найважливіших результатів теорії компактних просторів. Класифікацією некомпактних поверхонь на початку XX століття займався німецький математик Керекьярто. При роботі з некомпактними многовидами розмірності 2 він вперше ввів поняття ідеальної межі поверхні та її кінців. В його роботах висвітлено ключові моменти та особливості роботи з некомпактними многовидами, але повної класифікації некомпактних поверхонь не наведено. У 1961 році американський математик Ян Річардс довів, що дві некомпактні поверхні є гомеоморфними тоді і тільки тоді, коли їх ідеальні межі топологічно еквівалентні. Також він довів, що будь-який диз'юнктний компактний сепарабельний простір є ідеальною межею деякої некомпактної поверхні. В дисертаційній роботі пошукувача наведено повну топологічну класифікацію некомпактних поверхонь з краєм, розглянено узагальненні функції Морса на некомпактних поверхнях та наведено повну топологічну класифікацію m-функцій на некомпактних поверхнях.

Функції Морса - основний об'єкт досліджень в теорії Морса. Вони дають можливість представити складні геометричні структури у просторах високої вимірності у вигляді простих блоків: так званих ручок, кожна з яких відповідає критичній точці, де функції Морса обертаються в нуль. Теорія Морса виявилася дуже ефективною в теоретичній фізиці, в останні роки вона знайшла безліч застосувань у комп'ютерній геометрії. Функції Морса зазвичай розглядаються на компактних поверхнях. На некомпактних поверхнях узагальнення функцій Морса на край називають m-функціями. Апарат дослідження m-функцій базується на представленні функції через сукупність ребер та вершин, що відповідають критичним точкам m-функцій на поверхні. Так звані m-графи або графи Ріба m-функцій дають можливість провести класифікацію m-функції і на некомпактних поверхнях. Одним з результатів дисертаційної роботи автора є повна топологічна класифікація скінченних m-функцій на некомпактних поверхнях.

Актуальність теми дисертаційної роботи пов'язана із задачами, які виникають при дослідженні аналітичних та гармонічних функцій на некомпактних поверхнях.

Оскільки такі функції існують на некомпактних поверхнях або поверхнях з краєм, то важливою є повна топологічна класифікація некомпактних поверхонь з краєм. Функції загального положення є m-функціями, тому питання, пов'язані з класифікацією таких функцій є особливо актуальними.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є повна топологічна класифікація некомпактних поверхонь скінченного типу із довільним числом компонент краю та класифікація m-функцій на некомпактних поверхнях. Топологічній класифікації некомпактних поверхонь присвячено другий розділ дисертаційної роботи, класифікації m-функцій на некомпактних поверхнях скінченного типу присвячено третій розділ дисертації. Перша спроба класифікувати некомпактні поверхні з'явилася у роботах Керекьярто та Річардса, але було розглянуто лише випадок поверхонь без краю. В дисертаційній роботі розглянуто повну топологічну класифікацію некомпактних поверхонь з довільним числом компонент краю. Для роботи з некомпактними поверхнями необхідно ввести кілька нових понять та означень: граничний компонент некомпактної поверхні, ідеальна межа поверхні. Далі, класифікуючи поверхні за їх типом орієнтованості та родом, можливо описати характеристичні властивості ідеальних меж некомпактних поверхонь із довільним числом компонент краю.

Об`єктом дослідження є некомпактні поверхні скінченного роду та m-функції на некомпактних поверхнях скінченного типу (скінченний род, скіннчена кількість компонент краю, скінченне число кінців поверхні).

Предметом дослідження є топологічні властивості і інваріанти некомпактних поверхонь та m-функцій на них.

Серед методів дослідження, які використовуються в дисертаційній роботі, слід виділити наступні: виділення інваріантних властивостей поверхонь та розподілення поверхонь на певні класи орієнтованості, методи теорії Морса, представлення функції як сукупності атомів з певними правилами приклейки один до одного, а також співставлення з m-функціями відповідних їм m-графів з точністю до ізоморфізму.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі автором отримано нові теоретичні результати. Наукова новизна результатів дисертації полягає у наступному:

- дано повну топологічну класифікацію некомпактних поверхонь зі скінченним числом компонент краю;

- дано повну топологічну класифікацію некомпактних поверхонь з довільним числом компонент краю;

- вивчено топологічні властивості некомпактних поверхонь з краєм;

- виведено точну кількість простих атомів для розкладу довільної m-функції загального положення на некомпактній орієнтованій поверхні скінченного типу;

- виведено точну кількість простих атомів для розкладу довільної m-функції загального положення на некомпактній неорієнтованій поверхні зі скінченним числом компонент краю;

- доведено, що кожній простій m-функції на некомпактній поверхні єдиним чином з точністю до ізоморфізму відповідає m-граф;

- отримано повну топологічну класифікацію m-функцій на некомпактних поверхнях скінченного типу.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані при роботі з многовидами малих розмірностей та у дослідженнях поведінки функцій Морса та m-функцій на них.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. У роботах 1-4 зі списку опублікованих праць автора за темою дисертації, виконаних у співавторстві з науковим керівником, керівникові належить постановка задач та загальне керівництво роботою, дисертанту належить формулювання, доведення і оформлення наукових результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались:

на Міжнародній конференції “GEOMETRY IN ODESSA - 2005. DIFFERENTIAL GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS” (Одеса, травень 2005);

на Міжнародній конференції “GEOMETRY IN ODESSA - 2006” (Одеса, травень 2006);

на Міжнародній конференції “6-TH INTERNATIONAL CONFERENCE ON GEOMETRY AND TOPOLOGY” (Черкаси, вересень 2005);

на Міжнародній конференції “GEOMETRY IN ODESSA - 2008” (Одеса, травень 2008);

на Міжнародній конференції “Analysis & Topology” (Львів, червень 2008);

на наукових семінарах Інституту математики НАН України, наукових семінарах механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, наукових семінарах кафедри Прикладної математики факультету ТЗІ Національного авіаційного університету.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 9 наукових роботах. Із них 5 - у фахових виданнях та 4 - у матеріалах та тезах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи - 114 сторінок, із них список використаних джерел займає 5 сторінок (40 найменувань).

Висловлюю щиру подяку своєму науковому керівникові професору О.О. Пришляку та учасникам наукового семінару з топології при Інституті математики НАН України (під керівництвом члена-кореспондента НАН України, професора В.В. Шарка) за увагу і підтримку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ дисертації є допоміжним, в ньому викладено основні поняття та властивості досліджуваних об'єктів. Другий розділ присвячено класифікації некомпактних поверхонь з краєм. В ньому безпосередньо вивчаються типи некомпактних поверхонь, розглянуто можливі причини некомпактності, введено поняття та розглянуто основні властивості ідеальних меж (кінців) некомпактних поверхонь, окремо детально розглянуто класифікацію крайових кінців які мають скінченне та нескінченне число компонент краю. Головним результатом другого розділу дисертації є теорема про повну топологічну класифікацію некомпактних поверхонь з краєм.

Означення 1.13. Граничною компонентою некомпактної поверхні S називатимемо послідовність зв'язних необмежених відкритих множин в даній топології на S: - таких, що виконуються умови:

a) границя Pn в S є компактною для довільного n1;

b) для довільної зв'язної множини AS та достатньо великого n виконується: .

Означення 1.14. Дві граничних компоненти та називаються еквівалентними, якщо таке, що та навпаки. За даною компонентою визначається клас еквівалентності граничних компонент, який містить . Позначимо такий клас через p*.

Означення 1.15. Ідеальною межею, або множиною кінців, B(S) многовиду S назвемо топологічний простір, елементами якого є побудовані вище класи еквівалентності граничних компонент в S.

Означення 1.16. Назвемо точку р* планарною, якщо для всіх її достатньо малих відкритих околів U перетин US гомеоморфний підмножині площини.

Означення 1.17. Назвемо точку р* орієнтованою, якщо для всіх її достатньо малих відкритих околів U перетин US орієнтований.

Позначимо через В??(S) підмножину всіх планарних точок з В(S), та через В?(S) - підмножину всіх орієнтованих точок з В(S). Очевидно, що В?(S) та В??(S) є відкритими підмножинами компактного цілком незв'язного метричного простору В(S) та В(S)В?(S)В??(S).

Означення 1.18. Некомпактна поверхня S називається поверхнею скінченного роду, якщо існує компактна поверхня з краєм А S така, що доповнення S\А є гомеоморфним підмножині площини R2 . Її рід визначається як рід поверхні А. В іншому випадку S називається поверхнею нескінченного роду.

Означення 1.19. Некомпактна поверхня S називається скінченно неорієнтованою, якщо існує така компактна підмножина АS, що доповнення (М\S) є орієнтованим. Інакше S називається нескінченно неорієнтованою.

Суто нескінченно неорієнтовані поверхні належать класу поверхонь нескінченного роду.

Означення 1.20. Скінченно неорієнтована поверхня називається поверхнею парного (непарного) типу орієнтованості, якщо кожна достатньо велика компактна підмножина А, яка є поверхнею з краєм, має парний (непарний) рід.

На некомпактних поверхнях зі скінченним числом компонент краю компоненти краю в свою чергу можуть бути компактними (кола) та некомпактними (відкриті інтервали). Якщо ми маємо справу із колами, то їх можна стягнути в точку або заклеїти диском. Якщо ж маємо справу з інтервалами, то ці компоненти теж можна представити у вигляді кіл, з яких відкинуто скінченне число точок. Цей факт представлено у вигляді теореми 2.1. та доведено у другому розділі дисертації.

Теорема 2.1. Диск із виколотою точкою на границі гомеоморфний диску із виколотим відрізком на границі.

Теорема 2.3. Дві некомпактні поверхні S1 та S2 із скінченним числом компонент краю є гомеоморфними тоді і тільки тоді, коли:

1) вони мають однакову кількість заклеєних дисків;

2) на кожній своїй границі вони мають однакову (скінченну) кількість виколотих точок;

3) мають однаковий рід та один клас орієнтованості;

4) існує гомеоморфізм В(S1) на B(S2), який відображає B?(S1) та B??(S1) в B?(S2) та B??(S2) відповідно.

Ця теорема дає топологічну класифікацію некомпактних поверхонь зі скінченним числом компонент краю. Доведення теореми 2.3. наведено у підрозділі 2.1. дисертації.

У підрозділі 2.3. розглянуто розширення даної ситуації на випадок некомпактних поверхонь із довільним числом компонент краю.

Позначимо через С множину тих кінців, які лежать на краю поверхні. Множину С, -- так само, як і B(S), -- розбиваємо на С та С і розглядаємо далі пари (В, С), (В, С) та (В, С). На множині С слід ввести відношення еквівалентності.

Означення 2.2. Будемо вважати, що кінці належать одному і тому ж класу еквівалентності, якщо між собою їх можна попарно з`єднати послідовністю суміжних кінців.

Означення 2.3. Суміжними називаються ті два кінці, між якими знайдеться компонента краю, кінцями якої вони є.

На множинах С та C відношення еквівалентності таке саме, як у означенні 2.2. для кінців на С. Таким чином введене відношення еквівалентності (~), породжує множину: D= C/~.

Означення 2.4. D -- це множина крайових циклів або (що те саме) множина кіл із виколотими точками.

Лема 2.1. Об`єднання крайових кінців можна представити як кола з вкладеними в них підмножинами Канторової множини, що є множинами крайових кінців.

Основним результатом другого розділу є теорема 2.4., яка дає повну топологічну класифікацію некомпактних поверхонь скінченного роду з краєм.

Теорема 2.4. Некомпактні сепарабельні поверхні з краєм S1 та S2 є гомеоморфними між собою тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий рід, один клас орієнтованості та існує гомеоморфізм, який відображає В(S1) на B(S2), D(S1) на D(S2), C(S1) на C(S2), В(S1) на B(S2), D(S1) на D(S2), C(S1) на C(S2), В(S1) на B(S2), D(S1) на D(S2), C(S1) на C(S2).

У третьому розділі дисертаційної роботи вивчаються m-функції загального положення на некомпактних поверхнях скінченного типу. Для класифікації m-функцій на поверхнях розглядаються m-графи та розклад m-функції на прості атоми. Атом -- це малий окіл критичного шару m-функції на поверхні. В залежності від особливостей m-функцій на некомпактних поверхнях в цьому розділі розглянуто всі можливі варіанти будови простих атомів в залежності від того, який вигляд має лінія рівня в момент проходження критичної точки. Таким чином, при розгляді всіх можливих простих атомів, на які можуть бути розкладені m-функції на некомпактних поверхнях, отримано теорему класифікації простих атомів як для орієнтованого випадку поверхні, так і для випадку, коли початкова поверхня є неорієнтованою. Основним результатом третього розділу є класифікація простих атомів m-функцій загального положення на некомпактних поверхнях скінченного типу.

Означення 3.1. Функція називається m-функцією на компактній поверхні N, якщо усі її критичні точки є невиродженими та не лежать на краї. Причому обмеження цієї функції на край є функцією Морса.

Нехай M - некомпактна орієнтована поверхня скінченного типу (вона має скінченний рід, скінченне число компонент краю та скінченне число кінців).

Означення 3.2. Функція на некомпактній поверхні скінченного типу називається m-функцією, якщо існує компактифікація , , та m-функція такі, що є об`єднанням кіл та замкнених інтервалів. Причому обмеження f* на M співпадає з функцією f. Фактично, m-функції -- це узагальнення функцій Морса на випадок многовидів із краєм.

Означення 3.3. Дві m-функції та називаються топологічно еквівалентними, якщо існують гомеоморфізми та такі, що: та зберігають орієнтацію.

Нехай f є m-функцією на M. Розглянемо довільну лінію рівня f -1(a) та компоненти її зв'язності. Тоді поверхня М розбивається в об'єднання шарів з особливостями. Ті точки, які є граничними для компонент краю, називатимемо далі особливими точками. Відповідні їм лінії рівня -- особливими лініями рівня. Введемо природну фактор-топологію на М. Вважаючи кожен шар однією точкою, отримуємо простір шарів Г. Для m-функції Г є графом.

Означення 3.6. Граф Г називається графом Ріба для m-функції f на поверхні М. Вершина графа Ріба -- це точка, яка відповідає особливому шару m-функції f. На графі Ріба є природна орієнтація ребер, породжена зростанням функції на відповідних лініях рівня.

Означення 3.5. f називається m-функцією загального положення, якщо на кожному її особливому рівні знаходиться лише одна критична (особлива) точка.

Отже, m-функціям загального положення зі скінченним числом критичних точок та особливих рівнів на некомпактних поверхнях скінченного типу відповідають скінченні графи Ріба, в яких кількість вершин дорівнює точно кількості критичних та особливих точок m-функції. Більше того, за графом Ріба таких функцій можна відновити топологію поверхні.

Теорема 1.8. Граф Ріба m-функції загального положення на некомпактній поверхні скінченного типу визначає цю поверхню однозначно з точністю до дифеоморфізму.

Компоненти зв'язності регулярних ліній рівня m-функції загального положення на некомпактних поверхнях скінченного типу можуть бути: відкриті або замкнені інтервали, напіввідкриті (напівзамкнені) інтервали та кола. Перш за все це приводить до розрізнення позначень ребер графів Ріба.

Те ребро графа, компоненти лінії рівня якого є відкриті інтервали, позначатимемо ребром типу (1) (див. таблицю), напіввідкриті інтервали -- ребром типу (2), напівзамкнені інтервали -- ребром типу (3), замкнені інтервали -- ребром типу (4), кола -- ребром типу (5). Щоб розрізняти ребра типу (2) та (3) потрібно зафіксувати орієнтацію поверхні. Якщо напрямок руху згідно з орієнтацією йде із замкненого кінця компоненти лінії рівня до відкритого кінця -- позначатимемо таке ребро типом (3). Інакше -- типом (2).

Отже, для подальших досліджень поверхонь та m-функцій на них цей факт вимагає від нас чіткої фіксації орієнтації поверхні.

В залежності від причини некомпактності поверхні розрізнятимуться позначення й вершин графа Ріба. З першого погляду було б доцільним розфарбувати в два різні кольори ті вершини, яким відповідають критичні точки m-функцій, що належать до поверхні (тип А) та ті, що не належать їй, тобто є виколотими (тип Б). Але шляхом компактифікації поверхні, яка відповідає графу із вершинами типу А, отримуємо поверхню, що відповідає графу із вершинами типу Б, тому розрізняти позначення вершин графа Ріба недоцільно. Більш того, в залежності від позначення ребра графа, суміжного до даної вершини, логічним чином можна визначати до якого саме типу належатиме вершина.

Означення 3.8. M-графом m-функції на некомпактній поверхні скінченного типу називається побудований за нею орієнтований граф Ріба з ребрами типу (1)-(5) та впорядкуванням вершин.

Означення 3.9. Два m-графи на некомпактній поверхні скінченного типу називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм їх графів Ріба, що зберігає типи ребер та впорядкування вершин.

Теорема 3.2. Дві m-функції на некомпактній поверхні скінченного типу є топологічно еквівалентиними тоді і тільки тоді, коли існує ізоморфізм їхніх m-графів.

Дану теорему доведено у підрозділі дисертації 3.2.2., вона дає змогу класифікувати m-функції загального положення за допомогою відповідних їм m-графів.

Означення 1.35. Атомом називається окіл критичного шару, заданий нерівністю для достатньо малого , який розшарований на лінії рівня m-функції f та розглядається з точністю до топологічної еквівалентності.

Означення 1.36. Атом називається простим, якщо m-функція f на цьому околі є простою (загального положення).

Розглянемо всі можливі лінії рівня m-функцій загального положення на заданій некомпактній поверхні скінченного типу. Для регулярного значення m-функції відповідна лінія рівня складається з неперетинних між собою кіл, замкнених, відкритих, напівзамкнених або напіввідкритих інтервалів. Опишемо їхні перебудови при переході через особливий рівень. Позначатимемо критичні точки m-функції через c, регулярні точки -- через a.

1. Випадок мінімуму (максимуму). Для компактних частин поверхонь, на яких розглядаються m-функції, виникає два класичних атома -- мінімум та максимум. Всі інші можливі атоми складаються з 6 можливих типів: звичайний мінімум, максимум, плоский мінімум та максимум, в якого границя належить до поверхні та плоский мінімум і максимум, в якого границя є виколотою.

2. Коли лінія рівня в момент перебудови є колом, існує чотири можливих варіанта розташування критичних точок m-функцій на некомпактних поверхнях скінченного типу: мінімум та максимум, які належать до поверхні та мінімум і максимум, які знаходяться на виколотому краї поверхні.

3. Якщо лінія рівня в момент перебудови є вісімкою, то це випадок звичайного орієнтованого компактного сідла. Можливі всього два випадки простих атомів: сідло, в якому за зростанням m-функції кількість компонент зв'язності регулярних ліній рівня з однієї перетворюється у дві, та навпаки -- з двох кіл перетворюється в одне.

4. Якщо лінія рівня в момент перебудови є інтервалом, то всі можливі розташування критичних точок m-функцій на некомпактних поверхнях складають 16 можливих атомів-триног та 8 атомів, m-графи яких мають вершину валентності 2. 16 графів мають вигляд триноги завдяки зміні кількості компонент зв`язності регулярних ліній рівня при перебудові. Атоми на планарних частинах поверхонь відрізняються один від одного належністю (неналежністю) певних частин краю до поверхні.

Якщо кількість компонент зв'язності ліній рівня дорівнює одиниці, як до, так і після перебудови, то валентність графів таких атомів лише 2. Таких атомів та відповідних їм m-графів існує 8 (якщо лінія рівня в момент перебудови є інтервалом).

5. Коли лінія рівня в момент перебудови є хрестоподібною, кількість компонент зв'язності регулярних ліній рівня одного типу до перебудови повинна бути такою самою, як і після неї. M-графи, що відповідають простим атомам в даному випадку матимуть хрестоподібний вигляд: вершина графа має валентність 4. Всього таких атомів може бути 10, кожен з яких зображено та розглянуто у підрозділі 3.3.2.6 дисертаційної роботи.

6. Якщо лінія рівня в момент перебудови є петлею, 8 можливих атомів зображено на рис. 3.31 та на рис. 3.32.

Ті випадки, коли до або після перебудови лінія рівня являє собою напівзамкнений або напіввідкритий інтервал, зображено на рис. 3.31. Для того, щоб розрізняти ребра графів типу (2) та (3), чітко зафіксована орієнтація зображена стрілочками. Випадки, коли до або після перебудови регулярна лінія рівня, яка складається з однієї компоненти зв'язності, є замкненим або відкритим інтервалом, зображено на рис. 3.32.

Теорема 3.3. Довільний простий атом обмеженої m-функції загального положення на некомпактній орієнтованій поверхні скінченного типу співпадає з одним з 54 атомів, наведених у підрозділах 3.3.1. та 3.3.2..

Дана теорема є основним результатом класифікації m-функцій загального положення на орієнтованих некомпактних поверхнях скінченного типу. Її формулюванню та доведенню повністю присвячено підрозділ 3.3.3 дисертації.

Неорієнтований випадок розглянуто у підрозділі 3.4. Загальний апарат дослідження m-функцій на неорієнтованих частинах некомпактних поверхонь істотно відрізняється від попередньо викладених міркувань щодо класифікації m-функцій на орієнтованих поверхнях. Основною ідеєю дослідження є представлення неорієнтованих поверхонь через дволискові накриття, які в свою чергу є орієнтованими. За допомогою розкладу на m-ручки та дослідження властивостей дволисткових накриттів неорієнтованих поверхонь, ми фактично розкладаємо m-функцію на атоми, яким відповідатимуть графи з іншим позначенням вершин. З леми Морса випливає, що довільна перебудова поверхні при переході через критичний рівень зводиться або до приклейки двовимірного диска до границі, або до приклейки прямокутника до границі. Неорієнтованими перебудовами будемо називати ті, в яких безпосередньо відбувається зміна орієнтації певної частини поверхні. Виходячи з того, що при проходженні точок максимуму або мінімуму m-функції на поверхні зміна орієнтації неможлива, єдиним можливим випадком неорієнтованої перебудови є випадок неорієнтованого сідла. Для позначення перебудови, яка дає зміну орієнтації всередині поверхні при проходженні критичної сідлової точки, введемо два різних типи вершин відповідного m-графа. Ті вершини, яким відповідатимуть неорієнтовані перебудови, ми позначимо як квадратні. Після проходження таких особливих точок m-функції, всередині поверхні з'являється ще одна стрічка Мьобіуса. Ті вершини, при проходженні яких орієнтація поверхні не змінюється, й надалі позначатимемо як округлі.

Всі перебудови, що відповідають особливим точкам максимуму та мінімуму m-функції на неорієнтованих частинах некомпактної поверхні, мають ту ж саму структуру, як і у орієнтованому випадку.

Порівнюючи неорієнтований випадок з орієнтованим, бачимо, що атомів-триног бути не може. У неорієнтованій перебудові при проходженні критичної точки m-функції на компактній частині поверхні початкове граничне коло не розпадається на кілька кіл, а залишається одним, що відповідає неорієнтованому атому, який зображується графом Ріба валентності 2. На некомпактних частинах поверхні при неорієнтованій перебудові чітко прослідкувати за фіксованою орієнтацією неможливо, тому розрізи у циліндрах, до яких приклеюється стрічка Мьобіуса, повинні бути симетрично однаковими, тобто з однаковою кількістю та розташуванням вирізаних (невирізаних) країв поверхні.

Зауваження 3.8. Після зміни орієнтації внаслідок додавання до поверхні листів Мьобіуса прослідкувати за орієнтацією неможливо, тому у позначеннях ребер m-графів будемо користуватися тільки ребрами типу (2).

Компактний випадок неорієнтованої перебудови співпадає зі звичайним сідлом, яке можна отримати завдяки приклеюванню перегорнутої стрічки до циліндра. Атоми з одностороннім розрізом у циліндрі матимуть загальну будову, зображену на рис. 3.38. В залежності від того чи край буде належати до розглядуваної поверхні, інші атоми будуть такими з двох можливих атомів, у яких обидва краї є одночасно виколотими, або один з них є виколотий, а другий належатиме поверхні. Простих атомів з двостороннім симетричним розрізом всього існує 7. Якщо всі края розрізів є виколотими (невиколотими), то перед проходженням критичної точки регулярні лінії рівня мають по 2 компоненти зв'язності та є відкритими (замкненими) відрізками (рис. 3.40.).

Оскільки фіксованої орієнтації на розглядуваних частинах поверхні немає, то певні атоми будуть гомеоморфними та матимуть однакові m-графи. За означенням ізоморфізму графів, враховуючи різні можливі випадки неорієнтованих перебудов на некомпактних частинах неорієнтованих поверхонь, існуватимуть такі атоми, які є між собою гомеоморфними, а відповідні їм m-графи будуть ізоморфними між собою.

Таким чином, всі неорієнтовані перебудови m-функцій загального положення на некомпактних поверхнях скінченного типу вичерпуються 11 варіантами атомів та відповідних їм простих m-графів з квадратними вершинами, їх розглянуто та зображено у підрозділі 3.4. дисертаційної роботи.

Оскільки на неорієнтованих частинах поверхонь відсутня фіксована орієнтація, то певній m-функції неможливо співставити у відповідність єдиний m-граф за рахунок неоднозначності склеювання атомів між собою, а отже, неможливо навести повну топологічну класифікацію простих m-функцій на неорієнтованих частинах поверхонь скінченного типу. Для того, щоб уникнути неоднозначності, ми пропонуємо розглядати дволисткові орієнтовані накриття неорієнтованих поверхонь. Досліджуючи m-функцію на дволистковому накритті неорієнтованої поверхні, можливо єдиним чином поставити у відповідність її дабл-m-граф, який слід будувати за правилами будови графів на орієнтованих частинах поверхонь.

Використовуючи розклад поверхонь на m-ручки з комірами, легко побудувати m-граф відповідної m-функції, при цьому ручкам будуть відповідати вершини графа, а комірам -- ребра графа. Побудова дволисткового накриття проходитиме наступним чином: кожній 0-ручці відповідатиме дві 0-ручки накриваючої поверхні.

Очевидно, після приклейки 0-ручок (проходження мінімумів m-функції) отримуємо об'єднання 2-дисків, що є орієнтованою поверхнею. Приклейка 1-ручок (проходження критичних точок m-функції) може залишати поверхню орієнтованою або зробити її неорієнтованою. Тоді дві 0-ручки накриваючої поверхні слід розрізнити на ліву та праву (відповідно зображенню). Якщо 1-ручка узгоджує орієнтацію, то відповідні дві 1-ручки на накритті з'єднають ліві 0-ручки та праві між собою. У випадку неузгодження орієнтації ліві 0-ручки з'єднаються з 1-ручками з правими 0-ручками. Далі, 2-ручки заклеюють компоненти края поверхні, отриманої після приклейки 0- та 1-ручок. Таким чином, отримуємо розклад на ручки орієнтованого дволисткового накриття для неорієнтованої поверхні. У розкладі на ручки з комірами зафіксуємо орієнтацію на кожній ручці, тоді комір узгоджую (не узгоджує) ці орієнтації. Кожній ручці відповідає вершина m-графа, для дволисткового накриття буде дві вершини (ліва і права). Описаний таким чином розклад на ручки з комірами для дволисткових накриттів неорієнтованих некомпактних поверхонь дає можливість розглянути всі можливі прості неорієнтовані атоми та побудувати відповідні їм дабл-m-графи для розглядуваних m-функцій на поверхнях. Дабл-m-графи складатимуться з ребер типу (1)-(5) та округлих вершин. Випадку, зображеному на рис. 3.38 буде відповідати дабл-m-граф, зображений та розглянутий на рис. 3.53.

За описаними вище правилами та отриманими у підрозділі 3.4 дисертації властивостями, всі інші можливі прості неорієнтовані перебудови зображено та описано у підрозділі 3.4. Отже, загальна кількість отриманих дабл-m-графів та простих негомеоморфних неорієнтованих атомів дорівнює 15.

Теорема 3.4. Довільний простий атом обмеженої m-функції загального положення на неорієнтованій частині некомпактної поверхні скінченного типу співпадає з одним із 15 атомів, наведених та зображених дабл-m-графами на рисунках 3.52 -- 3.66 дисертації.

Теорема 3.5. Дві m-функції f1, f2 на довільній неорієнтованій поверхні скінченного типу N є топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли існують ізоморфізми їх m-графів та дабл-m-графів , , які комутують з відображеннями 1 та 2 даних графів:

некомпактний поверхня край теорема

тобто .

Доведення теореми 3.5 базується на беспосередній побудові ізоморфізмів графів та гомеоморфізмі m-функцій на поверхні. Ця теорема дає необхідні і достатні умови топологічної еквівалентності m-функцій на некомпактних неорієнтованих поверхнях скінченного типу. Більше того, вірна також теорема про реалізацію (теорема 3.6), яка парі m-графа та дабл-m-графа ставить у відповідність певну m-функцію на некомпактній поверхні скінченного типу. Таким чином, теореми 3.5 та 3.6 є повною топологічною класифікацією m-функцій на некомпактних неорієнтованих поверхнях.

Теорема 3.6. (теорема про реалізацію) Для довільного дабл-m-графа та відповідного йому m-графа з відображенням між ними , обмеження якого на околи вершин кожного з графів співпадає з відображеннями, описаними на рис. 3.52 -- 3.66, існує поверхня та m-функція на ній, дабл-m-графи та m-графи якої співпадають з та .

Поєднуючи результати теореми 3.5 для неорієнтованого випадку та теореми 3.2 для орієнтованого, теорема 3.7 є узагальненням топологічної класифікації m-функцій на некомпактних поверхнях скінченного типу незалежно від орієнтованості (неорієнтованості) поверхні, на якій розглядаються m-функції загального положення.

Теорема 3.7. Дві обмежені m-функції загального положення на некомпактних поверхнях скінченного типу є топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли відповідні їм m-графи (або m-графи у парі з дабл-m-графами) є ізоморфними.

Теорема 3.7 є основним результатом третього розділу дисертації і дає повну топологічну класифікацію m-функцій загального положення на некомпактних поверхнях скінченного типу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Міщенко К.І. Скінченні функції Морса на некомпактних поверхнях скінченого типу / Міщенко К.І., Пришляк О.О. // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Серія: Математика). -- 2003. -- вип. 9. -- С. 57-59.

2. Міщенко К.І. Класифікація некомпактних поверхонь зі скінченною кількістю компонент краю / Міщенко К.І., Пришляк О.О. // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Серія: Механіка. Математика). -- 2004. -- Вип. 11-12. -- С. 89-91.

3. Mishchenko K.I. Classification of noncompact surfaces with boundary / Mishchenko K.I., Prishlyak A.O. // Methods Funct. Anal. Topology. -- 2007. -- Vol. 13. -- No. 1. -- P. 62-66.

4. Міщенко К.І. Повний топологічний інваріант функцій зі скінченним числом особливостей на класичних некомпактних поверхнях / Міщенко К.І., Пришляк О.О.// Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Серія: Математика. Механіка). -- 2006. -- Вип. 15-16. -- С. 83-85.

5. Міщенко К.І. Класифікація m-функцій загального положення на некомпактних поверхнях скінченного типу / К.І. Міщенко // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. (Серія: фізико-математичні науки). -- 2006. -- Вип. 3. -- С. 36-42.

6. Міщенко К.І. Класифікація некомпактних поверхонь з краєм // “Міжнародна конференція Геометрія в Одесі -- 2005. Диференціальна геометрія та її застосування.” : Тези доп., Одеса. -- 2005. -- С. 77-79.

7. Міщенко К.І. Еквівалентність m-функцій на некомпактних поверхнях // Міжнародна конференція „Геометрія в Одесі -- 2006” : Тези доп., Одеса. -- 2006. -- С. 122-124.

8. Міщенко К.І. M-функції на некомпактних неорієнтованих поверхнях // Міжнародна конференція «Геометрія в Одесі -- 2008» : Тези доп., Одеса. -- 2008. -- С.55-56.

9. Mischenko K.I. The topological classification of m-functions on noncompact surfaces of finite type // International Conference “Analysis & Topology. Lviv--2008” : Abstracts. Part II. Topology. Lviv. --2008. -- P. 82.

АНОТАЦІЯ

Міщенко К.І. M-функції на некомпактних поверхнях. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія та топологія. - Національна Академія Наук України, Інститут математики, Київ, 2008.

В дисертації розглянуто повну топологічну класифікацію некомпактних поверхонь з краєм. Вивчено топологічні властивості некомпактних поверхонь з краєм. Виведено та досліджено чотири можливі класи орієнтованості некомпактних поверхонь з краєм. Доведено, що основними інваріантами некомпактних поверхонь з краєм є: кількість виколотих точок на краї, кількість заклеєних дисків на поверхні, род поверхні та її клас орієнтованості.

Також одним з результатів дисертаційної роботи є повна топологічна класифікація m-функцій на некомпактних поверхнях скінченного роду, зі скінченним числом кінців та із скінченним числом компонент краю. Аппарат дослідження m-функцій базується на представленні функції через сукупність околів критичних точок (атомів) та правилах поєднання та приклейки атомів між собою. Кожну m-функцію можна представити за допомогою сукупності ребер та вершин, які відповідають регулярним та критичним точкам функції (m-графа). M-графи (графи Ріба) m-функцій дають можливість провести класифікацію m-функцій на некомпактних поверхнях. Виведено точну кількість простих атомів для розкладу довільної обмеженої m-функції загального положення на некомпактній поверхні скінченного типу. Доведено, що кожній простій m-функції на некомпактній поверхні можна єдиним чином поставити у відповідність її m-граф.

Ключові слова: некомпактні поверхні, функції Морса на многовидах, m-функції на многовидах, графи Ріба, m-графи, топологічна еквівалентність, класифікація з точністю до ізоморфізма.

АНОТАЦИЯ

Мищенко Е.И. М-функции на некомпактных поверхностях. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. Национальная Академия Наук Украины, Институт математики, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена рассмотрению полной топологической классификации некомпактных поверхностей с краем и m-функций на некомпактных поверхностях конечного типа (с конечным числом компонент края, конечным родом и конечным числом концов поверхности). Рассматриваются обобщенные функции Морса на поверхностях (m-функции) и соответствующие им графы Риба (m-графы).

Во второй главе диссертации проведена топологическая классификация некомпактных поверхностей с краем. Рассматриваются сепарабельные некомпактные поверхности со счетной базой топологии. Отдельно рассмотрены случаи как конечного, так и бесконечного количества компонент края. При помощи описаной в разделе 2.3 конструкции, более наглядным представляется доказательство приведенной классификации. Основными инвариантами некомпактных поверхностей с краем являются: род поверхности, количество заклееных дисков, количество выколотых точек на крае поверхности и класс ориентируемости. Получено четыре класса ориентируемости некомпактных поверхностей с краем: ориентируемые, бесконечно неориентируемые, четно- или нечетно-неориентируемые. Основным результатом второго раздела является теорема о том, что две некомпактные сепарабельные поверхности с краем S1 и S2 являются гомеоморфными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый род, один и тот же класс ориентированности и существует гомеоморфизм, который отображает множества и подмножества концов В(S1) на B(S2), D(S1) на D(S2), C(S1) на C(S2), В(S1) на B(S2), D(S1) на D(S2), C(S1) на C(S2), В(S1) на B(S2), D(S1) на D(S2), C(S1) на C(S2).

Третья глава диссертиции посвящена рассмотрению функций Морса на некомпактных поверхностях конечного типа. Функции Морса -- основной объект теории Морса. Они дают возможность представить сложные геометрические структуры в пространствах большой размерности в виде простых блоков -- так называемых ручек, каждая из которых соответствует критической точке, где функции Морса обращаются в нуль. Функции Морса обычно рассматриваются на компактных поверхностях. На некомпактных поверхностях обобщения функций Морса на край называют m-функциями. Аппарат изучения m-функций базируется на представлении функции через совокупность ребер и вершин, которые соответствуют регулярным и критическим точкам m-функций на поверхности. Так называемые m-графы или графы Риба m-функций дают возможность провести классификацию m-функций общего положения на некомпактных поверхностях конечного типа.

M-функции общего положения (простые m-функции) -- это те функции, у которых на каждом критическом уровне может находиться не более чем одна критическая точка. Одним из результатов диссертационной работы является полная топологическая классификация m-функций общего положения на некомпактных поверхностях конечного типа. В третьей главе диссертационной работы рассмотрены все возможные атомы и соответствующие им m-графы для m-функций общего положения на некомпактных поверхностях конечного типа, выведено точное число простых атомов для представления произвольной m-функции в виде их объединения, описаны правила приклейки атомов один к другому. Исходя из определенных ограничений, наложенных на рассматриваемые некомпактные поверхности и функции, выведены основные свойства полученных простых атомов и правила сочетания атомов между собой. Доказано, що каждой простой m-функции на некомпактной поверхности можно поставить в соответствие m-граф. Таким образом, m-функции являются гомеоморфными на некомпактных поверхностях тогда и только тогда, когда соответствующие им m-графы изоморфны. Отдельно рассмотрен случай ориентируемых и неориентируемых поверхностей и m-функций на них. Так, в случае представления m-функций общего положения на ориентируемых некомпактных поверхностях, количество простых атомов, при помощи которых можно представить функцию, равно 54. Общий аппарат исследования m-функций на неориентируемых поверхностях существенно отличается от ориентированного случая. Поскольку на неориентируемых поверхностях невозможно точно проследить за ориентацией для согласования приклейки атомов между собой, то неориентируемые поверхности представляются с помощью своих двухлистных накрытий. Таким образом, рассматривая данную m-функцию на соответствующем двухлистном накрытии, представляется возможным построение дабл-m-графа по правилам и обозначениям, принятым в разделе диссертации 3.3, так как двухлистное накрытие является ориентированным. Количество простых атомов для представления m-функции на неориентируемой части поверхности дабл-m-графами равно 15.

Основным результатом третьего раздела диссертации является полная топологическая классификация m-функций на некомпактных поверхностях конечного типа.

Ключевые слова: некомпактная поверхность, функция Морса на многообразии, m-функция на многообразии, граф Риба, m-граф, топологическая эквивалентность, классификация с точносьтю до изоморфизма.

ABSTRACT

Mischenko K.I. M-functions on the noncompact surfaces. - Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of Candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.04 - geometry and topology. Institution of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

There is a complete topologic classification of noncompact surfaces with a boundary in the dissertation. The topologic properties of noncompact surfaces with a boundary are studied. There are four orientability classes of noncompact surfaces with a boundary. It is proved, that main invariants of noncompact surfaces with a boundary are: the number of cuted points on the boundary, the number of glued up disks on the surface, reduced genus and orientability class.

One of the most result of dissertation is complete topologic classification of m-functions on the noncompact surfaces, which has finite reduced genus, finite number of ideal boundaries and finite numbers of boundary components. Investigating of m-functions on the noncompact surfaces based on the introducing some m-function using unite of simple atoms and the rules of their gluing are obtained. An atom is neighborhood of critical point. So, any m-function may be represented by your own m-graph. It is proved, that two atoms are homeomorphic if and only if their m-graphs are isomorphic. M-graph is set of edges and vertexes, which correspond to regular and critical points of m-function. M-graphs let us to give a complete topological classification of m-functions on the noncompact surfaces. The number of simple atoms for representation of any m-function on the noncompact surface of finite type are calculated.

Keywords: noncompact surfaces, Morse functions on the manifolds, m-function on the surfaces, Reab's graphs, m-graphs, topological equivalence, isomorphism of graphs.

Підписано до друку 28.09.2008р. Формат 6084/16. Папір друк. Офсет. друк. Фіз.друк. арк. 1,8. Умов. друк арк. 1,6.

Тираж 110пр. Зам 145.

Інститут математики НАН України

01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

Размещено на Allbest.ru