Деякі властивості лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з мероморфними коефіцієнтами

Размещено на http://allbest.ru

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.5+517.9

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З МЕРОМОРФНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ

01.01.01 - математичний аналіз

Шавала Олена Василівна

Львів - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Винницький Богдан Васильович, Дрогобицький державний педагогічний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри математичного аналізу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Мохонько Анатолій Захарович, Національний університет «Львівська політехніка», професор кафедри вищої математики

кандидат фізико-математичних наук, доцент Гринів Ростислав Олегович, Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача НАН України, старший науковий співробітник відділу функціонального аналізу

Захист відбудеться “5” березня 2009 р. о 15⁰⁰ на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано “4” лютого 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради_____________ Тарасюк С.І.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Лінійне однорідне диференціальне рівняння

(1)

є одним з найважливіших диференціальних рівнянь, яке разом із пов'язаними з ним крайовими задачами має різноманітні застосування. Тому дослідженню залежності властивостей його розв'язків та властивостей відповідних крайових задач від властивостей його коефіцієнтів та присвячено багато робіт. Зокрема, при розгляді багатьох проблем важливо знати властивості послідовностей, які можуть бути послідовностями нулів розв'язків рівняння (1). Шеда (Љeda) показав, що кожна послідовність різних комплексних чисел, яка не має скінченних часткових границь, може бути послідовністю нулів розв'язку рівняння (1), в якому і - ціла функція. Аналогічне питання до розв'язаного Шедою, було поставлене і повністю розв'язане Хеіттокангасом (Heittokangas) для інтерполяційної послідовності, що задовольняє умову Бляшке в одиничному крузі. Залишались відкритими питання про знаходження аналогу вказаного результату Шеди (Љeda) для випадку, коли функція є мероморфною, а також про класи, в яких може існувати розв'язок рівняння (1), в якому , послідовність нулів якого задовольняє умову Бляшке, а коефіцієнт може бути голоморфним або мероморфним в одиничному крузі. Одним із важливих класів голоморфних функцій є клас обмежених функцій. Геіттокангасом (Heittokangas) знайдено достатні умови на голоморфні в одиничному крузі коефіцієнти рівняння (1), за яких кожен розв'язок цього рівняння (1) є обмеженим у вказаному крузі. Проте, питання про знаходження таких умов у випадку, коли функції та є мероморфними (зокрема, коли ) залишалось відкритим. Також залишалось відкритим питання, коли існує фундаментальна система розв'язків рівняння , де функції і - мероморфні в одиничному крузі, голоморфна, як функція двох змінних і для кожного обмежена в одиничному крузі. Серед багаточисельних досліджень крайових задач для рівняння Бесселя, яке є частинним випадком рівняння (1), ми не знайшли таких, в яких власними функціями були б функції Бесселя першого роду з індексами і . Як відомо, ці функції виражаються через тригонометричні функції і є пов'язані з квазіполіномами. При цьому, дослідження властивостей останніх, як розв'язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, мають багаточисельне технічне застосування. Водночас, серед досліджень про наближення різних класів функцій лінійними комбінаціями функцій Бесселя, ми не знайшли таких, в яких ці проблеми досліджуються для функцій Бесселя з індексом, меншим за .

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, проведених в дисертації, передбачений планами наукової роботи Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є знаходження нових взаємозв'язків між властивостями мероморфних коефіцієнтів лінійного диференціального рівняння другого порядку та властивостями його розв'язків і породжених ним крайових задач, що передбачає вирішення таких задач:

– знаходження опису послідовностей комплексних чисел, які можуть бути послідовностями нулів деякого голоморфного розв'язку в однозв'язній області лінійного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної з мероморфним коефіцієнтом з полюсами другого порядку або без полюсів;

– знаходження класів, яким може належати розв'язок лінійного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної з голоморфним коефіцієнтом, послідовність нулів якого задовольняє лише умову Бляшке;

– знаходження класів, яким може належати голоморфний розв'язок рівняння , коефіцієнт якого є мероморфним з полюсами другого порядку або без полюсів. При цьому, послідовність нулів цього розв'язку задовольняє умову Бляшке, а прості нулі утворюють інтерполяційну підпослідовність;

– знаходження умов, за яких кожен розв'язок рівняння , де функції і - мероморфні в одиничному крузі, є голоморфним і обмеженим в цьому крузі;

– знаходження умов, за яких існує фундаментальна система розв'язків рівняння , де функції і - мероморфні в одиничному крузі, голоморфна, як функція двох змінних і , і для кожного обмежена в одиничному крузі;

– знаходження умов, за яких рівняння , де функція - мероморфна з однією особливою точкою в одиничному крузі, має голоморфний і обмежений розв'язок в цьому крузі;

– знаходження умов, за яких рівняння , де функція - голоморфна в одиничному крузі, має голоморфний і для кожного обмежений розв'язок в цьому крузі;

– розгляд деяких крайових задач, власні функції яких породжені функціями Бесселя першого роду з індексами і ;

– встановлення апроксимаційних властивостей функцій Бесселя першого роду з індексами і .

Об'єктом дослідження є лінійні диференціальні рівняння другого порядку з мероморфними коефіцієнтами.

Предметом дослідження є взаємозв'язок між властивостями коефіцієнтів лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з мероморфними коефіцієнтами та властивостями його розв'язків і породжених ним крайових задач.

Методи дослідження. Використовуються методи аналітичної теорії диференціальних рівнянь, методи комплексного аналізу та методи функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі:

– вперше знайдено опис послідовностей комплексних чисел, які можуть бути послідовностями нулів деякого голоморфного розв'язку в однозв'язній області лінійного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної з мероморфним коефіцієнтом з полюсами другого порядку або без полюсів;

– вперше знайдено класи, яким може належати розв'язок лінійного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної з голоморфним коефіцієнтом, послідовність нулів якого задовольняє лише умову Бляшке;

– вперше знайдено класи, яким може належати голоморфний розв'язок рівняння , коефіцієнт якого є мероморфним з полюсами другого порядку або без полюсів. При цьому, послідовність нулів цього розв'язку задовольняє умову Бляшке, а прості нулі утворюють інтерполяційну підпослідовність;

– вперше знайдено умови, за яких кожен розв'язок рівняння , де функції і - мероморфні в одиничному крузі, є голоморфним і обмеженим в цьому крузі;

– вперше знайдено умови, за яких існує фундаментальна система розв'язків рівняння , де функції і - мероморфні в одиничному крузі, голоморфна, як функція двох змінних і , і для кожного обмежена в одиничному крузі;

– вперше знайдено умови, за яких рівняння , де функція - мероморфна з однією особливою точкою в одиничному крузі, має голоморфний і обмежений розв'язок в цьому крузі;

– вперше знайдено умови, за яких рівняння , де функція - голоморфна в одиничному крузі, має голоморфний і для кожного обмежений розв'язок в цьому крузі;

– вперше знайдено апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексами і .

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку аналітичної теорії лінійних диференціальних рівнянь, теорії крайових задач та дослідження властивостей функцій Бесселя з від'ємним індексом.

Особистий внесок здобувача. У спільних працях з Б.В. Винницьким [1], [3], [4], науковому керівнику належать постановки задач та загальне керівництво роботою. З спільних статей [1] і [3] у дисертацію ввійшли лише результати, отримані здобувачем. У роботі [4], написаній у співавторстві, дисертанту належать такі результати: встановлення умов, коли існує фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної, утворена з голоморфного розв'язку, який є обмеженим в одиничному крузі і мероморфного, який є сумою двох функцій, одна з яких є голоморфною і обмеженою в цьому крузі; знаходження асимптотики розв'язків рівняння з параметром; знаходження вигляду біортогональної системи для системи власних функцій однієї крайової задачі та ідея доведення відсутності базису з цих функцій. Метод доведення повноти цих функцій належить Б.В. Винницькому.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації оприлюднено на: Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (24-28 вересня 2007р., Дрогобич); Міжнародній конференції “Аналіз і топологія” (26 травня - 7 червня 2008р., Львів); ХІІ-ій міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (15-17 травня 2008 р., Київ); семінарі з теорії аналітичних функцій у м.Дрогобичі (керівник проф. Б.В.Винницький); семінарі з теорії аналітичних функцій у м.Львові (керівники проф. А.А.Кондратюк, проф. О.Б.Скасків).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 7 наукових праць [1- 7] (3 без співавторів), серед них 4 статті (1 без співавторів), 3 (2 без співавторів) - у матеріалах доповідей на наукових конференціях різного рівня.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розділених на підрозділи і пункти, висновку та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 127 сторінок. Список використаних джерел обсягом 6 сторінок включає 61 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету й задачі дослідження, висвітлено наукову новизну, практичне значення, апробацію отриманих результатів, кількість публікацій та структуру роботи.

Перший розділ присвячено огляду літературних джерел, пов'язаних з тематикою дисертації. Також тут наведені основні результати роботи.

У другому розділі дано повний опис послідовностей нулів голоморфних розв'язків рівняння

(2)

з мероморфним коефіцієнтом. Встановлено класи, в яких може існувати голоморфний розв'язок рівняння (2) з голоморфним в одиничному крузі коефіціентом, якщо послідовність його нулів задовольняє лише умову Бляшке в . Отримано один результат, коли добуток Бляшке для півплощини не є розв'язком рівняння (2) з голоморфним в коефіцієнтом. Встановлено класи, в яких може існувати голоморфний розв'язок рівняння (2) з мероморфним в одиничному крузі коефіціентом, якщо послідовність його нулів задовольняє умову Бляшке і містить інтерполяційну підпослідовність в .

У підрозділі 2.1 дано повний опис послідовностей нулів голоморфних розв'язків рівняння (2) з мероморфним коефіцієнтом.

Нехай - клас функцій, мероморфних в однозв'язній області , з полюсами другого порядку або таких, що зовсім не мають полюсів, тобто є голоморфними в . Основною в цьому підрозділі є наступна

Теорема 2.1. Для того щоб скінченна або нескінченна послідовність була послідовністю нулів деякої функції , голоморфної в однозв'язній області , яка є розв'язком в рівняння (2), в якому - деяка функція з класу з множиною полюсів , необхідно і достатньо, щоб виконувалися наступні умови

1) послідовність не має частинних границь в ;

2) , якщо і ;

3) .

4) для кожного існує принаймні одне , , для якого .

Ця теорема є узагальненням вже згадуваного результату Шеди.

У пункті 2.2.1 описано класи, яким належать голоморфні розв'язки рівняння , послідовності нулів яких задовольняють умову Бляшке для одиничного круга

.(3)

Як добре відомо, за умови (3) добуток Бляшке (тут , якщо ) для круга є функцією, голоморфною в і для . мероморфний диференціальний бессель

Нехай і - відповідно максимум модуля та максимальний член цілої функції .

Однією з основних в цьому підрозділі є наступна

Теорема 2.2. Нехай - довільна послідовність різних точок з круга , яка задовольняє умову (3), - ціла функція така, що в кожній точці

.

Тоді існує така голоморфна в функція , що рівняння (2) має голоморфний в розв'язок , для якого - послідовність нулів і

,

де і - деякі сталі.

Ця теорема доповнює результати Хеіттокангаса, який розглянув аналогічне питання, наклавши додаткову умову, щоб послідовність була інтерполяційною.

Нехай , - добуток Бляшке для півплощини . Якщо послідовність точок з півплощини задовольняє умову , то функція голоморфна в і для .

Для добутка Бляшке нами отримано наступний результат

Теорема 2.4. Якщо функція голоморфна у півплощині , то добуток Бляшке для не може бути розв'язком рівняння (2) у півплощині , якщо виконується принаймні одна з п'яти умов:

1) для деяких та , ;

2) множина є скінченною;

3) множина має найменший елемент;

4) всі мають однакову дійсну частину;

5) множина має найменший або найбільший елемент.

Нехай - клас функцій, голоморфних і обмежених в одиничному крузі , - простір всіх обмежених послідовностей комплексних чисел з нормою . Послідовність точок одиничного круга називається інтерполяційною, якщо для будь-якої послідовності існує функція така, що для будь-якого .

У пункті 2.2.2 встановлено класи, в яких може існувати голоморфний розв'язок рівняння (2) з мероморфним в одиничному крузі коефіцієнтом , послідовність нулів якого задовольняє умову Бляшке, а прості нулі утворюють інтерполяційну підпослідовність в . Слід відзначити, що на відміну від попереднього випадку, ми припускаємо, що серед членів послідовності можуть бути рівні між собою. Розв'язок рівняння (2) ми шукаємо у вигляді , де добуток Бляшке можна подати, як добуток , де (тут , якщо ), , .

Теорема 2.5. Нехай послідовність задовольняє умову (3), існує така її інтерполяційна підпослідовність , що з рівності випливає і - ціла функція така, що в кожній точці

.

Тоді існує функція така, що рівняння (2) має голоморфний в крузі розв'язок , для якого - послідовність нулів і

,

де і - деякі сталі.

У третьому розділі розглянуто питання про існування голоморфних і обмежених в одиничному крузі розв'язків рівнянь

(4) і

(5)

з мероморфними коефіцієнтами.

У підрозділі 3.1 розглянуто питання про існування голоморфних і обмежених в одиничному крузі розв'язків рівнянь (1) і (5) з мероморфними коефіцієнтами. Основною в цьому підрозділі є наступна

Теорема 3.2. Нехай функції і є мероморфними в , причому:

а) множина полюсів функції є підмножиною множини полюсів функції ;

б) функція є голоморфною в або має в полюси першого порядку;

в) функція має в полюси не вище другого порядку;

г) для кожного корені і рівняння

є різними цілими невід'ємними числами: , ;

д) для кожного

,

де і для , а числа і знаходяться з розвинень

, .

Тоді, якщо для деякого і будь-якого

,

то існує фундаментальна система розв'язків рівняння (5), утворена функціями, голоморфними в і для будь-якого обмеженими в .

Ця теорема є узагальненням результатів Хеіттокангаса, який розглядав аналогічні питання для рівняння (1) з голоморфними коефіцієнтами.

У підрозділі 3.2 розглянуто питання про існування голоморфних і обмежених в одиничному крузі розв'язків рівнянь (2) і з мероморфними коефіцієнтами, де - деяка голоморфна функція в .

Основною в цьому підрозділі є наступна

Теорема 3.6. Нехай функція в крузі подається у вигляді

, ,

де - стала, - функція, голоморфна в така, що

.

Тоді в існує фундаментальна система розв'язків рівняння

,

така, що , , функція є голоморфною в і для кожного обмеженою в , а функція подається у вигляді

, ,

де - функція, голоморфна в і для кожного обмежена в . Крім цього,

, ,

, ,

рівномірно за і для кожного

, , .

Зауважимо, що асимптотичні формули фундаментальна системи розв'язків при великих значеннях параметра , коли , можна отримати також із результатів В.А.Юрка.

Важливу роль при доведенні теорем розділів 2 і 3 відіграли наведений в лемі 2.1 критерій мероморфності кожного розв'язку рівняння (1), у лемі 3.1 критерій голоморфності кожного розв'язку рівняння (1) і наведений в лемі 3.4 критерій існування фундаментальної системи розв'язків рівняння (5), голоморфної, як функцій двох змінних і .

У четвертому розділі досліджено апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексами та і розглянуто деякі пов'язані з ними крайові задачі.

Нехай - функція Бесселя першого роду з індексом , яка є розв'язком рівняння Бесселя

У підрозділі 4.1 досліджено апроксимаційні властивості функцій Бесселя і розглянуто деякі пов'язані з ними крайові задачі.

Позначимо через - множину додатних нулів функції : . Крім дійсних нулів, має два спряжені чисто уявні нулі. Для визначеності, той чисто уявний нуль, який має додатну уявну частину позначимо . Нехай - простір таких функцій , для яких .

Теорема 4.1. Нехай - множина нулів функції . Тоді система є повною в просторі , має в цьому просторі біортогональну систему і не є базисом цього простору. При цьому

.

Теорему 4.1 можна сформулювати в термінах власних функцій однієї крайової задачі.

Розглянемо крайову задачу

, ,(6)

, ,(7)

,(8)

де , - деякі сталі.

Теорема 4.2. Крайова задача (6)-(8) має зліченну множину власних значень, всі власні значення дійсні, серед них одне від'ємне і множина співпадає з множиною нулів функції , тобто функції . При цьому, відповідна система власних функцій , де , є повною в просторі , має в цьому просторі біортогональну систему і не є базисом цього простору.

При цьому

.

Наслідок 4.3. Нехай - множина нулів функції . Тоді

, ,

де .

У підрозділі 4.2 досліджено апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексом і розглянуто деяку пов'язану з ними крайову задачу.

Нехай і - два комплексні нулі з додатною уявною частиною і - множина додатніх нулів рівняння , занумерованих у порядку зростання.

Теорема 4.5. Нехай - множина нулів функції . Тоді система є повною в просторі , має в цьому просторі біортогональну систему і не є базисом цього простору.

При цьому

.

Теорему 4.5 можна сформулювати в термінах власних функцій однієї крайової задачі.

Розглянемо крайову задачу

, ,(9)

, ,(10)

,(11)

де , .

Теорема 4.6. Крайова задача (9)-(11) має зліченну множину власних значень, всі власні значення дійсні, за винятком двох комплексно спряжених і , множина співпадає з множиною нулів функції , тобто функції . При цьому, відповідна система власних функцій є повною в просторі , має в цьому просторі біортогональну систему і не є базисом цього простору. При цьому

.

Наслідок 4.8. Нехай - множина нулів функції . Тоді

, .

Відзначимо, що система функцій Бесселя першого роду з індексом, більшим за утворює ортогональний базис простору .

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв'язано ряд актуальних задач, які знаходяться на стику аналітичної теорії диференціальних рівнянь, комплексного аналізу та функціонального аналізу, а саме:

- знайдено опис послідовностей комплексних чисел, які можуть бути послідовностями нулів деякого голоморфного розв'язку в однозв'язній області лінійного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної з мероморфним коефіцієнтом з полюсами другого порядку або без полюсів;

- знайдено класи, яким може належати розв'язок лінійного диференціального рівняння другого порядку без першої похідної з голоморфним коефіцієнтом, послідовність нулів якого задовольняє умову Бляшке;

- знайдено класи, яким може належати голоморфний розв'язок рівняння , коефіцієнт якого є мероморфним з полюсами другого порядку або без полюсів. При цьому, послідовність нулів цього розв'язку задовольняє умову Бляшке, а прості нулі задовольняють інтерполяційну умову;

- знайдено умови, за яких кожен розв'язок рівняння , де функції і - мероморфні в одиничному крузі, є голоморфним і обмеженим в цьому крузі;

- знайдено умови, за яких існує фундаментальна система розв'язків рівняння , де функції і - мероморфні в одиничному крузі, голоморфна, як функція двох змінних і , і для кожного обмежена в одиничному крузі;

- знайдено умови, за яких рівняння , де функція - мероморфна з однією особливою точкою в одиничному крузі, має голоморфний і обмежений розв'язок в цьому крузі;

- знайдено умови, за яких рівняння , де функція - голоморфна в одиничному крузі, має голоморфний і для кожного обмежений розв'язок в цьому крузі;

- знайдено апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексами і ;

- розглянуто властивості власних функцій деяких крайових задач, які породжені функціями Бесселя першого роду з індексами і .

Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку аналітичної теорії диференціальних рівнянь, теорії крайових задач та дослідження властивостей функцій Бесселя з від'ємним індексом.

Ряд результатів дисертації мають форму критеріїв і носять завершений характер. Для досягнення поставленої мети використовувались методи аналітичної теорії диференціальних рівнянь, методи комплексного аналізу та методи функціонального аналізу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Винницький Б.В., Шавала О.В. Зауваження про голоморфні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь // Математичні Студії. - 2007. - Т.28, №1. - С.71-76.

2. Шавала О.В. Про голоморфні розв'язки рівняння , нулі яких задовольняють умову Бляшке // Математичні Студії. - 2007. - Т.28, №2. - С.213-216.

3. Винницкий Б.В., Шавала О.В. О последовательностях нулей голоморфных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т.44, №10. - С.1306-1310.

4. Винницький Б.В., Шавала О.В. Обмеженість розв'язків лінійного диференціального рівняння другого порядку і одна крайова задача для рівняння Бесселя // Математичні Студії. - 2008. - Т.30, №1. - С.31-41.

5. Шавала О. Про обмеженість голоморфних розв'язків лінійних диференціальних рівнянь // Міжнар. матем. конфер. ім. В.Я.Скоробогатька: Тези доп. - Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р. - Львів, 2007. - С.296.

6. Шавала О. Про послідовності нулів голоморфних розв'язків лінійних диференціальних рівнянь // ХІІ міжнар. наукова конфер. ім. акад. М. Кравчука: Тези доп. - Київ, 15-17 травня 2008 р. - Київ, 2008. - Т.1. - С.437.

7. Vynnyts'kyi B., Shavala O. On completeness of the system and a boundary value problem for Bessel operator // International Conference Analysis and Topology: Abstracts. - Lviv, May 26 - June 7 2008. - Lviv, 2008. - P.54-55.

АНОТАЦІЯ

Шавала О. В. Деякі властивості лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з мероморфними коефіцієнтами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2008.

Дисертаційна робота присвячена вивченню зв'язку між властивостями мероморфних коефіцієнтів лінійного диференціального рівняння другого порядку і властивостями мероморфних і голоморфних розв'язків цього рівняння та породженого ним крайових задач. У роботі знайдено класи, яким може належати голоморфний розв'язок рівняння з мероморфним коефіцієнтом з полюсами другого порядку або без полюсів, коли послідовність його нулів задовольняє умову Бляшке, а прості нулі утворюють інтерполяційну підпослідовність. Досліджено умови, за яких лінійне диференціальне рівняння другого порядку з мероморфними коефіцієнтами має голоморфні і обмежені в одиничному крузі розв'язки. З'ясовано апроксимаційні властивості функцій Бесселя першого роду з індексами і та побудовано деякі крайові задачі, власні функції яких пов'язані з цими функціями.

Ключові слова: лінійне диференціальне рівняння другого порядку, нулі розв'язків, послідовності Бляшке, обмежені розв'язки, функції Бесселя, крайова задача.

АННОТАЦИЯ

Шавала О. В. Некоторые свойства линейных дифференциальных уравнений второго порядка с мероморфными коэффициентами. - Рукопись.

Диссертация на получение научной степени кандидата физико-математических наук за специальностью 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2008.

Диссертационная работа посвящена изучению связи между свойствами мероморфних коэффициентов линейного дифференциального уравнения второго порядка и свойствами мероморфних и голоморфных решений этого уравнения и порожденного им краевых задач. Основой для ее написания послужили критерии голоморфности и мероморфности каждого решения уравнения и критерий существования фундаментальной системы решений уравнения , голоморфной как функции двух переменных.

Используя критерий мероморфности каждого решения уравнения , было найдено описание последовательностей, которые могут быть последовательностями нулей некоторого голоморфного решения уравнения с мероморфним коэффициентом с полюсами второго порядка или без полюсов. В то же время было найдено классы, которым может принадлежать решение уравнения с голоморфным коэффициентом, последовательность нулей которого удовлетворяет условие Бляшке для единичного круга. Сочетание этих двух направлений и примененных методов исследований позволило получить классы, которым может принадлежать голоморфное решение уравнения с мероморфним коэффициентом с полюсами второго порядка или без полюсов, когда последовательность нулей этого решения удовлетворяет условие Бляшке для единичного круга, а простые нули образуют интерполяционную подпоследовательность.

Используя критерий существования фундаментальной системы решений уравнения , голоморфной как функции двух переменных, мы исследовали условия, когда существует фундаментальная система решений уравнения , где функции и - мероморфные в единичном круге , голоморфная, как функция двух переменных и , и для каждого ограниченная в этом круге. Для случая, когда , а функция , где функция - голоморфная в круге , найдены условия, при выполнении которых уравнение имеет голоморфное и для каждого ограниченное решение в круге , а второе линейно независимое решение есть суммой двух функций, одна из которых - голоморфная и ограниченная в .

Выяснены аппроксимационные свойства функций Бесселя первого рода с индексами и и построены некоторые краевые задачи, собственные функции которых связаны с этими функциями. Исследованы свойства собственных функций таким образом определенных краевых задач.

Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение второго порядка, нули решений, последовательности Бляшке, ограниченные решения, функции Бесселя, краевая задача.

ABSTRACT

Shavala O.V. Some properties of linear differential equations of the second order with meromorphic coefficients. ? Manuscript.

The thesis of dissertation for a Candidate's degree in Physics and Mathematics Sciences by speciality 01.01.01 ? Mathematical Analysis.? The Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2008.

The dissertation is devoted to studying of connection between properties of meromorphic coefficients of linear differential equation of the second order and properties of meromorphic and holomorphic solutions of this equation and generated by it boundary value problems. Classes are found, in which the holomorphic in a unit disc solution of the equation with meromorphic coefficient exists, the sequence of zeros of which satisfies the Blaschke condition and simple zeros form an interpolation subsequence. It is investigated conditions for which the linear differential equation of the second order with meromorphic coefficients has holomorphic and bounded solution in a unit disk. An approximation properties of first kind Bessel function of order and are found out and some boundary value problems, eigenfunctions of which are related with these functions, are constructed.

Key words: linear differential equation of the second order, zeros of solutions, Blaschke sequences, bounded solutions, Bessel functions, boundary value problems.

Размещено на Allbest.ru