Глобальна стійкість різницевих рівнянь та функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.9

ГЛОБАЛЬНА СТІЙКІСТЬ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ ТА ФУНКЦІОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ІМПУЛЬСНОЮ ДІЄЮ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

НЕНЯ Олександр Іванович

Київ 2009

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор ТКАЧЕНКО Віктор Іванович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України ПЕРЕСТЮК Микола Олексійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

кандидат фізико-математичних наук, доцент БІГУН Ярослав Йосипович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри прикладної математики.

Захист відбудеться ” 22 ” вересня 2009 р. о 12 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий ” 20 ” серпня 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена дослідженню глобальної поведінки різницевих рівнянь вищих порядків та функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією. Такі рівняння мають численні застосування і виникають при моделюванні фізичних та біологічних явищ, коли необхідно враховувати залежність від попередніх станів системи.

Фундаментальні основи теорії різницевих рівнянь викладені в монографіях А.О. Гельфонда, А.А. Самарського, А. Халаная і Д. Векслера, Д.І. Мартинюка, V.L. Kocic, G. Ladas. Дослідження різницевих рівнянь активно продовжується в наш час багатьма вченими, серед яких представники вітчизняної математичної школи А.М. Самойленко, О.М. Шарковський, Г.П. Пелюх, В.Ю. Слюсарчук, В.І. Ткаченко, С.І. Трофімчук та іноземні науковці S. Elaydi, R. Agarwal, V. Lakshmikantham, E. Liz, А. Ivanov, I. Gyri, H.A. El-Morshedy та інші.

Диференціальні рівняння з імпульсною дією дозволяють досліджувати процеси та явища з короткотривалими збуреннями, тривалістю яких можна знехтувати, і вважати, що збурення носять раптовий характер. Глибокі і систематичні дослідження диференціальних рівнянь з імпульсною дією проведені в роботах представників Київської школи нелінійної механіки А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, М.У. Ахметова, О.А. Бойчука, В.Г. Самойленка, С.І. Трофімчука. Відмітимо також роботи А.Д. Мишкіса, В.О. Плотнікова, Н.Х. Розова, Д. Байнова, Д. Векслера, С. Швабіка.

Функціонально-диференціальні рівняння з імпульсною дією досліджувалися в роботах G. Ballinger, X. Liu, K. Gopalsamy, J. Nieto та інших.

Дослідження стійкості нерухомих точок є однією з важливих задач при дослідженні моделей із запізненням. Великий практичний інтерес має питання еквівалентності локальної та глобальної стійкості єдиної нерухомої точки моделі, оскільки проведення локального аналізу нерухомої точки простіше, ніж її глобальний аналіз. Еквівалентність локальної та глобальної стійкості нерухомої точки строго доведена тільки у найпростіших випадках для звичайних диференціальних рівнянь та різницевих рівнянь першого порядку. У загальному випадку різницевих рівнянь вищих порядків чи рівнянь із запізненням чисельні експерименти переконують у справедливості твердження про еквівалентність локальної та глобальної стійкості. Але такі твердження залишаються не доведеними строго. Це предмет відомих гіпотез Левіна-Мея для різницевих рівнянь та Райта для рівнянь із запізненням.

Тому залишається актуальним знаходження достатніх умов глобальної стійкості нерухомих точок різницевих і диференціальних рівнянь із запізненням.

При вивченні неавтономних рівнянь, які моделюють біологічні або екологічні явища і враховують періодичні зміни навколишнього середовища, важливими є дослідження додатнозначних розв'язків, їх асимптотичної поведінки, обмеженості, відділеності від нуля та знаходження умов існування додатних періодичних розв'язків. Зокрема, постійно зростаючий інтерес викликає вивчення функіонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією, які враховують як періодичні зміни параметрів, так і залежність від попередніх станів системи і короткострокових зовнішніх впливів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилася згідно із загальним планом досліджень відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України в рамках теми “Аналітичні та якісні методи теорії нелінійних диференціальних рівнянь” (номер держреєстрації 0105U007978).

Мета і завдання дослідження.

Метою даної роботи є дослідження глобальної стійкості єдиної нерухомої точки різницевих та функіонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією та з правими частинами, які задовольняють умову Йорка; дослідження обмеженості, відділеності від нуля та періодичності розв'язків систем функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

Об'єктом дослідження є нелінійні різницеві рівняння вищих порядків, функціонально-диференціальні рівняння з імпульсною дією та системи функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

Предметом дослідження є глобальна стійкість єдиної нерухомої точки нелінійного різницевого рівняння та функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією, обмеженість, відділеність від нуля та періодичність розв'язків систем функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією. диференціальний рівняння стійкість імпульсний

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використовуються методи якісної теорії функіонально-диференціальних та різницевих рівнянь, зокрема, методи порівняння розв'язків, метод нерухомої точки.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, такі:

* отримано точні достатні умови глобальної стійкості нульового розв'язку для класу нелінійних різницевих рівнянь вищих порядків з правими частинами, які задовольняють умови негативного зворотного зв'язку та підлінійного росту;

* доведено теореми про глобальну стійкість нульового розв'язку функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією та нелінійною функцією, що задовольняє умову Йорка;

* отримано умови існування додатного періодичного розв'язку для системи нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією;

* для рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією отримано умови обмеженості, відділеності від нуля та прямування до нуля розв'язків, а також доведено теореми про існування додатнозначних кусково-неперервних періодичних розв'язків.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використаними для розв'язування ряду конкретних задач теорії диференціальних рівнянь, а також у прикладних задачах, пов'язаних з дослідженням еволюції біологічних популяцій.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати дисертаційної роботи отримано здобувачем особисто. У спільних роботах з В.І. Ткаченком, С.І. Трофімчуком та О.І. Кочергою, співавторам належить постановка задач та обговорення можливих шляхів розв'язування. Автору дисертації --- проведення досліджень та доведення тверджень.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертацiйної роботи доповідалися і обговорювалися на Міжнародній науковій конференції: "International Conference on Differential Equations and Applications" (м. Жіліна, Словаччина, 2003р.), VII Кримській міжнародній математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, 2004), VIII Кримській міжнародній математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" ( Алушта, 2006), XI міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука ( Київ, 2006), XІI міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2008), семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань (Інститут математики НАН України, керівник семінару: доктор фізико-математичних наук, академік НАН України А.М. Самойленко).

Публiкацiї. За результатами дисертаційної роботи опубліковано п'ять статей [1-5] у провідних фахових періодичних наукових журналах, що входять до переліку ВАК України, а також тези доповідей [6-10], що були представлені на наукових конференціях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Основний текст становить 127 сторінок, список використаних джерел включає 110 найменувань і займає.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

У першому розділі подано огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями, проведено аналіз деяких результатів дослідження подібних проблем, отриманих іншими авторами.

Другий розділ присвячено вивченню глобальної стійкості єдиної нерухомої точки для нелінійних різницевих рівнянь вищих порядків з правою частиною, що задовольняє умови негативного зворотного зв'язку та підлінійного росту.

Розглядається рівняння

(1)

де Нелінійні функції задовольняють умову Йорка (H):

існує таке, що

де функціонал визначається таким чином:

Розв'язком рівняння (1) з початковою умовою

(2)

є послідовність , яка означена для всіх , задовольняє початкову умову і рівняння при . Очевидно, що розв'язок існує для всіх і може бути побудований послідовно. Як випливає з умови (H), точка є єдиною нерухомою точкою рівняння.

Основні результати викладено в таких теоремах.

Теорема 2.3. Припустимо, що виконується нерівність

(3)

і функції задовольняють умову Йорка (H). Тоді рівняння (1) глобально асимптотично стійке для кожної трійки параметрів , які задовольняють умову

(4)

Це означає, що існують і такі, що

(5)

для кожного розв'язку рівняння (1). Умова є точною для класу різницевих рівнянь, які задовольняють нерівність (3) та умову Йорка (H): для кожного значення параметрів і які не задовольняють нерівність (4), існує рівняння (1), яке не є глобально стійким.

Для , близьких до , попередня умова не гарантує навіть локальну стійкість нульового розв'язку рівняння. Тому при де - корінь рівняння для глобальної стійкості отримано такі умови.

Теорема 2.5. Нехай і функції задовольняють умову Йорка (H). Тоді для прямування кожного розв'язку рівняння (1) до та виконання нерівності достатні такі умови:

якщо

якщо

якщо

де - правий корінь квадратного відносно рівняння

- єдиний розв'язок рівняння

при

Наведені умови точні при відповідних значеннях для класу рівнянь (1), які задовольняють умову (H).

У підрозділах 2.4, 2.5 досліджено глобальну стійкість рівняння вигляду

(6)

де нелінійні функції задовольняють умову (Y), яка складається з умови Йорка (H) та умови

що виконується для кожної послідовності яка має ненульову границю на нескінченності.

Основний результат викладено в наступній теоремі.

Теорема 2.6. Припустимо, що функціі задовольняють умову Тоді кожний розв'язок рівняння (6) прямує до якщо

(7)

де - це ціла частина числа , а . Умова (7) є точною для класу різницевих рівнянь, які задовольняють умову (Y).

Отримані результати застосовано до дослідження неавтономної моделі генетичного відбору, яка описується рівнянням

де - невід'ємна послідовність,

Третій розділ присвячено вивченню глобальної стійкості нульового розв'язку функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією, дослідженню на періодичність розв'язків систем функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією та дослідженню розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дієї.

У підрозділі 3.1 наводяться достатні умови глобальної стійкості нульового розв'язку функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією та нелінійною функцією, яка задовольняє умови негативного зворотного зв'язку та підлінійного росту.

Розглядається таке нелінійне функціонально-диференціальне рівняння з імпульсною дією:

(8)

(9)

де а послідовність точок імпульсної дії задовольняє умови Означаємо спаввідношеням

Означення 3.1. Функція де - банаховий простір означених на відрізку неперервних справа кусково-неперервних функцій зі значеннями в зі скінченною кількістю розривів та з нормою називається розв'язком рівняння (8),(9) якщо

неперервна при всіх ;

неперервно диференційовна для всіх за виключенням скінченної кількості точок;

правостороння похідна функції існує і задовольняє рівняння (8) для всіх ;

при функція задовольняє співвідношення (9).

Вважаємо розв'язок неперервною справа функцією.

Функціонал задовольняє умову Йорка (H):

де

Нуль є єдиною нерухомою точкою даного рівняння.

Нехай

- фундаментальний розв'язок відповідного лінійного рівняння з імпульсами. Позначимо

Доведено такі теореми про глобальну стійкість нульового розв'язку рівняння (8),(9).

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови

де - ціла частина числа. Тоді нульовий розв'язок рівняння (8),(9) глобально асимптотично стійкий, а саме: існують сталі і такі, що для всіх ненульових розв'язків виконується нерівність

(10)

Теорема 3.3. Нехай фундаментальний розв'язок задовольняє оцінки

зі сталими Якщо виконується нерівність

Де

то нульовий розв'язок рівняння глобально асимптотично стійкий.

Теорема 3.4. Нехай фундаментальний розв'язок задовольняє оцінки

зі сталими Якщо виконується нерівність

то нульовий розв'язок рівняння глобально асимптотично стійкий.

У підрозділі 3.2 знаходяться умови існування додатних періодичних розв'язків системи функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією:

(11)

(12)

де означається рівністю для всіх .

Під розв'язком системи рівнянь (11), (12) розуміємо абсолютно неперервну на кожному інтервалі функцію, яка задовольняє систему рівнянь (11) майже скрізь і задовольняє умови імпульсів (12).

Припускаємо, що виконуються такі умови.

- кусково-неперервна -періодична матрична функція, матриці та функції задовольняють умови періодичності з певним натуральним послідовність моментів імпульсної дії задовольняє умову

функціонал - неперервний, -періодичний по та рівномірно неперервний по де - банаховий простір -періодичних кусково-неперервних неперервних зліва вектор-функцій з нормою

для всіх

Згідно з лемою 3.6 при періодична вектор-функція є -періодичним розв'язком системи (11), (12) тоді і тільки тоді, коли є -періодичним розв'язком системи інтегральних рівнянь

де функція Гріна має координати

Позначаємо

У просторі означимо конус

де

Використовуючи теорему Красносельського про нерухому точку відображення в додатному конусі, а такаж функцію Гріна задачі про періодичний розв'язок лінійної імпульсної системи, отримуємо нові умови існування періодичних розв'язків системи (11), (12).

Теорема 3.6. Нехай виконуються умови та існують додатні сталі та такі, що

для виконується

де

для і деякого виконується

Тоді система (11), (12) має -періодичний розв'язок який задовольняє оцінки де

Теорему 3.6 застосовано до дослідження додатних періодичних розв'язків рівняння Ніколсона та інтегро-диференціального рівняння Вольтерри з лінійною та нелінійною імпульсною дією.

У підрозділі 3.3 досліджуються властивості розв'язку функціонально-диференціального рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією:

(13)

(14)

де функції і є кусково-неперервними і -періодичними, - додатна стала. Послідовності у правій частині (14) задовольняють умови

, , ,

Отримано умови додатності, обмеженості, відділеності від нуля розв'язків з невід'ємною початковою функцією.

В теоремах 3.14, 3.15 отримано умови існування додатних періодичних розв'язків рівняння.

Теорема 3.14. Нехай при виконуються умови

І

де

Тоді рівняння (13), (14) має додатнозначний кусково-неперервний -періодичний розв'язок, який задовольняє оцінки з деякими

Теорема 3.15. Припустимо, що і

для

Якщо виконуються умови

і для всіх

Або

і для всіх де

тоді рівняння (13), (14) має додатнозначний кусково-неперервний -періодичний розв'язок.

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

* отримано точні достатні умови глобальної стійкості нульового розв'язку різницевого рівняння де нелінійні функції задовольняють умови негативного зворотного зв'язку та підлінійного росту. Для кожного натурального інтервал представляється як об'єднання підінтервалів і для з кожного підінтервалу у явному вигляді наводиться умова глобальної стійкості;

* доведено теореми про глобальну стійкість нульового розв'язку функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією та нелінійною функцією, що задовольняє умову Йорка;

* отримано умови існування додатного періодичного розв'язку системи нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією;

* отримано умови обмеженості, відділеності від нуля та прямування до нуля розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією. Доведено теореми про існування додатнозначних кусково-неперервних періодичних розв'язків рівняння Маккі-Гласса з імпульсною дією.

Список опублікованих праць за темою дисертації

[1] Неня О.І. Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня, В.І. Ткаченко, С.І. Трофімчук // Нелінійні коливання. 2004. Т.7, № 4. С. 487-494.

[2] Неня О.І. Про глобальну стійкість одного нелінійного різницевого рівняння / О.І. Неня // Нелінійні коливання. 2006. Т.9, № 4. С. 525-534.

[3] Неня О.І. Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією/ О.І. Неня, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. 2007. Т.10, № 2. С. 258-269.

[4] Неня О.І. Про точні умови глобальної стійкості різницевого рівняння, яке задовольняє умову Йорка/ О.І. Неня, В.І. Ткаченко, С.І. Трофімчук // Український математичний журнал. 2008. Т.60, №1. С. 73-80.

[5] Кочерга О.І. Про додатні періодичні розв'язки нелінійних функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією/ О.І. Кочерга, О.І. Неня, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. 2008. Т.11, № 4. С. 501-511.

[6] Nenya O. On global attractivity of scalar difference equations/ O. Nenya, V. Tkachenko// International conference on differential equations and applications (CDEA), 30.06.2003-04.07.2003: thesis of reports. Zilina, Slovak Republic, 2003. p. 34-35.

[7] Неня О.І. Глобальна стійкість різницевого рівняння з запізненням/ О.І. Неня// Тез. докл. VII Крымская Международная математическая школа ”Метод функций Ляпунова и его приложения” Алушта, 11-18 сентября 2004 г. Таврический национальный ун-т.Симферополь: ДиАйПи, 2004. с. 112.

[8] Неня О.І. Глобальна стійкість одного різницевого рівняння з запізненням /О.І. Неня// Тез. докл. VIII Крымская Международная математическая школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”. Алушта, 10-17 сентября 2006 г. Таврический национальный ун-т. Симферополь: ДиАйПи, 2006. с. 127.

[9] Неня О.І. Глобальна стійкість одного різницевого рівняння/

О.І. Неня// Матеріали XI міжнародної наукової конф. імені академіка М. Кравчука, 18-20 трав., 2006 р. Київ: ТОВ “Задруга”, 2006. с. 206.

[10] Неня О.І. Розв'язок одного диференціального рівняння з запізненням та імпульсною дією/ О.І. Неня// Матеріали XII міжнародної наукової конф. імені академіка М. Кравчука, 15-17 трав., 2008 р. Київ: ТОВ “Задруга”, 2008. Т.1. с. 290.

АНОТАЦІЯ

НЕНЯ О.І. Глобальна стійкість різницевих рівнянь та функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зa спеціальнiстю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут математики НАН України, Київ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню глобальної стійкості різницевих рівнянь та функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

В дисертації отримано точні достатні умови глобальної стійкості нульового розв'язку різницевого рівняння вигляду

де нелінійні функції задовольняють умови негативного зворотного зв'язку та підлінійного росту. Інтервал зміни параметру представляється як об'єднання підінтервалів і для з кожного підінтервалу у явному вигляді наводиться умова глобальної стійкості. Отримані умови є точними для класу рівнянь, які задовольняють умову Йорка.

Доведено теореми про глобальну стійкість нульового розв'язку функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією та нелінійністю, що задовольняє умову Йорка. Отримано умови глобальної асимптотичної стійкості нульового розв'язку функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією при певних обмеженнях фундаментального розв'язку.

Використовуючи теорему Красносельського про нерухому точку відображення у конусі, отримано умови існування додатних кусково- гладких періодичних розв'яків функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсною дією.

Досліджено рівняння Маккі-Гласса зі змінними коефіцієнтами, несталим запізненням та імпульсною дією. Наводяться умови додатності, обмеженості, прямування до нуля, відділеності від нуля та періодичності розв'язків даного рівняння.

Ключові слова: різницеве рівняння, функціонально-диференціальне рівняння з імпульсною дією, глобальна стійкість, відділеність від нуля, періодичний розв'язок.

АННОТАЦИЯ

НЕНЯ А.И. Глобальная устойчивость разностных уравнений и функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

Диссертационная работа посвящена исследованию глобальной устойчивости разностных уравнений и функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.

В диссертации получены точные достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения разностного уравнения

где нелинейные функции удовлетворяют условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста. Интервал изменения параметра представляется как объединение подинтервалов и для с каждого подинтервала в явном виде приводится условие глобальной устойчивости. Полученные условия точные для класса уравнений, которые удовлетворяют условию Йорка. Результаты диссертационной работы применяются для исследования неавтономной модели генетического отбора.

Доказаны теоремы о глобальной устойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения с импульсным воздействием и нелинейностью, которая удовлетворяет условию Йорка. Получены условия глобальной асимптотической устойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения с импульсным воздействием при определенных ограничениях фундаментального решения.

При помощи теоремы Красносельского о неподвижной точке отображения в конусе получены условия существования положительных кусочно-гладких периодических решений функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Полученные результаты применяются для исследования существования положительных периодических решений уравнения Николсона с импульсным воздействием и интегро-дифференциального уравнения Вольтерры с импульсным воздействием.

Исследовано уравнение Макки-Гласса с изменяющимися коеффициентами, непостоянным запаздыванием и импульсным воздействием. Приводятся условия положительности, ограничености, стремления к нулю, отделенности от нуля и периодичности решений данного уравнения.

Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Они могут применяться для решения ряда конкретных задач теории дифференциальных уравнений, а также в прикладных задачах, которые связаны с исследованиями эволюции биологических популяций.

Ключевые слова: разностное уравнение, функционально-дифференциальное уравнение с импульсным воздействием, глобальная устойчивость, отделенность от нуля, периодическое решение.

ABSTRACT

NENYA O.I. Global stability of difference equations and functional-differential equations with impulsive action. - Manuscript.

Thesis submitted for the degree of Candidate of Physics and Mathematics; Specialization 01.01.02 - differential equations. - Institute of Mathematics NAS of Ukraine, Kyiv, 2009.

This dissertation research deals with the investigation of global stability of difference equations and functional-differential equations with impulsive action.

We give sharp conditions that are sufficient for global stability of the zero solution of the difference equation

where the nonlinear functions satisfy the negative feedback condition and have sub-linear growth. We give simple sufficient conditions for global stability of the zero solution for the difference equation, where the nonlinear functions satisfy the Yorke condition. Interval is presented as the union of disjoint subintervals and for from each subinterval the global stability condition is given explicitely. Our conditions are sharp for the class of equations satisfying the Yorke condition.

We give conditions that are sufficient for global stability of the zero solution of the functional-differential equation with impulsive action and nonlinear function satisfying the Yorke condition.

By applying Krasnosel'skii fixed point theorem to a mapping on a cone, we find conditions for existence of positive piecewise smooth periodic solutions of functional-differential equations with impulsive effects.

For Mackey-Glass equation with periodic coefficients, nonconstant delay and impulsive action conditions of boundedness, persistence, extinction and periodicity of positive solutions are presented.

Key words: difference equation, functional-differential equation with impulsive effect, global stability, persistence, periodic solution.

Размещено на Allbest.ru