Задача Коші та задача з імпульсною дією для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь вищого порядку по t

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Задачі для рівнянь з частинними похідними виникають в різних галузях математики, механіки, фізики, техніки, економіки і екології та інших науках. Вони постійно стимулюють створення досконалих математичних моделей явищ і процесів та розвиток точних теорій.

Добре відомі глибокі й повні результати в теорії задачі Коші для параболічних диференціальних, псевдодиференціальних рівнянь та систем. При одержанні більшості з цих результатів істотну роль відіграє фундаментальна матриця розв'язків для системи рівнянь (у випадку рівняння вищого порядку фундаментальна система розв'язків) задачі Коші, їх властивості, а також властивості породжуваних потенціалів.

Фундаментальна матриця розв'язків для параболічних диференціальних рівнянь, систем рівнянь другого та вищого порядків, при різних умовах на коефіцієнти, будувалась і досліджувалась І.Г. Петровським, О.А. Лади-женською, С.Д. Eйдельманом, С.Д. Івасишеном, В. Погожельським (W. Pogo-rzelski), Д.Г. Аронсоном (D.G. Aronson), Л.Н. Слобедецьким і М.І. Матій-чуком; для параболічних псевдодиференціальних рівнянь - С.Д. Eйдель-маном, А.Н. Кочубеєм, Я.М. Дрінем, Р.Я. Дрінем, М.В. Федорюком, В.В. Го-родецьким, В.А. Літовченком та ін.

З іншого боку, основною проблемою в теорії рівнянь математичної фізики є відшукання розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними, що задовольняють певні додаткові умови, зокрема, початкові та крайові. В теорії звичайних диференціальних рівнянь поряд з початковою задачею (задачею Коші) почали вивчати багатоточкові задачі, що мають природне узагальнення як в математичному розумінні, так і в розумінні фізичної інтерпретації. Така задача в 60-х роках була поставлена і для рівнянь з частинними похідними Б.Й. Пташником. Виявляється, що розв'язок багатоточкової задачі, взагалі кажучи, не буде єдиним, як встановлено Б.Й. Пташником, дослідження таких задач вимагає додаткових умов.

Одночасно з розвитком теорії багатоточкових задач досліджувалися крайові періодичні задачі та задачі з імпульсною дією. На даний момент опубліковано чимало праць, присвячених дослідженню крайових періодичних задач та задач з імпульсною дією для різних класів диференціальних рівнянь. Зауважимо, що такі задачі для звичайних диференціальних рівнянь грунтовно вивчені А.М. Самойленком і його учнями. Проаналізувавши відомі результати для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних систем та рівнянь, можна зробити висновок, що вони є неповними, тому їх необхідно розвинути і доповнити, аби одержати результати, подібні до відомих у теорії задачі Коші для лінійних систем та рівнянь, у теорії псевдодиференціальних рівнянь. Невирішеним є також питання про розв'язність задачі Коші для параболічної системи та рівняння вищого порядку з імпульсною дією. Дисертаційна робота присвячена вирішенню вищезазначених питань.

Мета i задачі дослідження. Метою роботи є одержання для параболічного диференціального та псевдодиференціального рівняння вищого порядку результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші, багатоточкових задачах, задачах з імпульсною дією для звичайних диференціальних рівнянь, для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь та систем першого порядку.

Безпосередніми задачами дослідження є:

- вивчення властивостей фундаментальної матриці розв'язків задачі Коші для параболічних систем з імпульсною дією;

- вивчення властивостей фундаментальної системи розв'язків задачі Коші для параболічного рівняння вищого порядку з імпульсною дією;

- встановлення коректної розв'язності двоточкової крайової задачі та задачі про відшукання періодичного розв'язку параболічного рівняння вищого порядку з імпульсною дією;

- постановка та коректна розв'язність задачі Коші для параболічного псевдодиференціального рівняння вищого порядку.

1. задача Коші для системи параболічних рівнянь з імпульсною дією

За допомогою прямого та оберненого перетворення Фур'є побудовано розв'язок неоднорідної системи та функцію Гріна, яка визначається як обернене перетворення Фур'є матрицанта. Для системи рівнянь зі змінними коефіцієнтами за допомогою методики, яка базується на "заморожуванні" коефіцієнтів побудовано фундаментальну матрицю, за допомогою якої зображується розв'язок імпульсної задачі.

Розглянуто приклад (випадок системи зі сталими коефіцієнтами), в якому показано, як за рахунок імпульсної дії в близькі моменти часу можна отримати експоненціальне спадання до нуля матриці Гріна та її похідних при великих значеннях.

2. Задача Коші для параболічного рівняння вищого порядку, для якої поряд з початковими умовами задаються умови з імпульсною дією

Розв'язок шукається за допомогою перетворення Фур'є. Для даної задачі будується функція Гріна, яка визначається як обернене перетворення Фур'є матрицанта. Розглянуто випадок змінних коефіцієнтів. Методом Е.Е. Леві побудовано фундаментальну систему розв'язків, за допомогою якої зображується розв'язок задачі Коші.

3. Параболічне рівняння вищого порядку

Для цього рівняння ставляться доточкова крайова задача, задача про відшукання періодичного розв'язку та розв'язку, що задовольняє імпульсні умови. З'ясовується, при яких умовах буде існувати єдиний розв'язок цих задач. Наводиться приклад, при яких умовах на параметр існує та єдиний розв'язок двоточкової задачі.

Висновки

псевдодиференціальний параболічний крайовий

Дисертація присвячена одержанню для параболічного диференціального та псевдодиференціального рівняння вищого порядку результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші, багатоточкових задачах, задачах з імпульсною дією для звичайних диференціальних рівнянь,

для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь та систем першого порядку.

Основними науковими результатами є наступні:

- для лінійних параболічних систем:

1) побудовано та отримано оцінки матрицанта задачі Коші з імпульсними умовами;

2) отримано оцінки похідних розв'язку даної задачі у нормованих просторах Гельдера;

3) побудовано фундаментальну матрицю, за допомогою якої зображується розв'язок імпульсної задачі зі змінними коефіцієнтами;

- для лінійних параболічних рівнянь вищого порядку:

1) побудовано та отримано оцінки матрицанта задачі Коші з імпульсними умовами;

2) побудовано фундаментальну систему розв'язків, за допомогою якої зображується розв'язок задачі Коші для рівняння зі змінними коефіцієнтами;

3) встановлено умови, при яких існує періодичний розв'язок задачі з імпульсною дією та розв'язок двоточкової задачі, і отримані оцінки їх похідних;

- для лінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь вищого порядку:

1) побудовано фундаментальну систему розв'язків;

2) доведено леми про перетворення Фур'є фундаментальної системи розв'язків та її похідних;

3) встановлена коректна розв'язність задачі Коші та задачі Коші з імпульсними умовами.

Одержані результати та методика доведення мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватись при подальших дослідженнях нелокальних крайових задач для параболічних диференціальних та псевдодиференціальних рівнянь вищого порядку по $t$ зі сталими та змінними коефіцієнтами.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Матійчуку Михайлу Івановичу за постановку розглянутих у дисертаційній роботі питань, постійну увагу і підтримку в роботі.

Література

1. Матійчук М.І. Задача Коші для параболічних систем з імпульсною дією / М.І. Матійчук, В.М. Лучко // Укр. матем. журн. - 2006. - T.58, №11. - С. 1525-1535.

2. Лучко В.М. Задача Коші для параболічного рівняння вищого порядку з імпульсною дією / В.М. Лучко // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2008. - T.51, №1. С. 17-24.

3. Лучко В.М. Про двоточкову крайову задачу для параболічних рівнянь вищого порядку / В.М. Лучко // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 228. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С. 51 - 59.

4. Лучко В.М. Про періодичний розв'язок параболічного рівняння вищого порядку по t / В.М. Лучко // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 269. Математика. - Чернівці: Рута, 2005. - С.63-67.

5. Лучко В.М. Про періодичний розв'язок параболічного рівняння вищого порядку по t з імпульсною дією / В.М. Лучко // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 349. Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 83-87.

6. Лучко В.М. Задача Коші для параболічного псевдодиференціального рівняння вищого порядку / В.М. Лучко // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. Вип. 2. - 2008. - С. 19-25.

Размещено на Allbest.ru