Математичне моделювання руху рідини і теплофізичних процесів в середовищах з вільною межею

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова

УДК 517.9:517.988

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Математичне моделювання руху рідини і теплофізичних процесів в середовищах з вільною межею

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Міненко Олександр Степанович

Київ-2009

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Державному університеті інформатики і штучного інтелекту

Науковий консультант: член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, професор Шевченко Анатолій Іванович ректор університету

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Бєлов Юрій Анатолійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри

доктор фізико-математичних наук, професор Макаренко Олександр Сергійович, ННК «Інститут прикладного системного аналізу» НТУУ «КПІ» МОН України та НАН України, в.о. зав. відділом

доктор фізико-математичних наук Галба Євген Федорович, Інститут кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник

Захист відбудеться «_22_» ____травня____ 2009 р. о (об) _11_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, проспект академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розіслано «_21_» ___квітня___ 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Широкий клас задач математичного моделювання фізичних процесів, що призводять до виникнення вільних меж, зводиться до крайових задач математичной фізики і містить в якості невідомих функцію та область, в якій вона визначена, або частина межі цієї області. Фізична природа проблем, які при цьому вивчаються, є вельми широкою. Це можуть бути задачі визначення вільних струменів, поверхневих хвиль, задачі кавітації й фільтрації в гідродинаміці.

Проблема побудови нелінійних моделей та їх математичне дослідження на сучасному стані є актуальною. При цьому виникає необхідність дати теоретичне обґрунтування цілому ряду задач:

- дослідження коректності відповідних математичних моделей та їх чисельна реалізація;

- розробка методів розв'язання дискретних задач, доведення існування наближених розв'язань, збіжність їх до точних розв'язань математичних задач, дослідження умов збереження фізичного смислу наближених розв'язань;

- оцінка швидкості збіжності, апроксимація й мінімізація функції;

- вдосконалення методів чисельного аналізу.

Фундаментальні результати розв'язування вказаних проблем отримані в працях Л.В.Канторовича, О.А.Самарського, А.М.Тихонова, К.І.Бабенка, О.О.Ладиженської, Ж.Л.Ліонса, М.М.Яненка, Г.І.Марчука, С.М.Нікольського, М.С.Бахвалова, М.М.Лаврентьєва.

Вагомий внесок для розв'язання цих проблем в Україні зробили М.П.Корнійчук, І.І.Ляшко, І.В.Сергієнко, Ю.Г.Кривоніс, В.С.Дейнека, В.В.Скопецький, В.К.Задірака, А.Ю.Лучка.

Найбільш ефективним способом вивчення проблем з вільною межею є варіаційний підхід та метод варіаційних нерівностей. Варіаційний підхід до задач з вільними межами, заснований на методі інтегральних функціоналів з перемінною областю інтегрування.

Стосовно струменевих течій функціональний метод успішно застосував К.Фрідріхс для доведення єдиності розв'язку. Звернення до варіаційного методу дозволило П.Гарабедяну, Г.Леві, М.Шифферу довести існування та єдиність розв'язку задачі про осьосиметричну кавітаційну течію. За допомогою цього ж методу І.І.Данилюк вирішив проблему існування в довільному зовнішньому силовому полі.

Введення нової невідомої функції дозволило К.Байоккі редукувати до еліптичного варіаційного нерівняння задачу з вільною межею з теорії фільтрації, а потім Г.Діво аналітичною заміною здійснив редукцію багатовимірної однофазної нестаціонарної задачі Стефана до параболічної варіаційної нерівності.

Приблизно в ці ж роки вагомі результати були отримані в працях Л.Кафареллі, А.Фридмана у вивченні властивостей вільної межі. Синтез цих досліджень дозволив Д.Кіндерлереру й Л.Ніренбергу довести, що побудований методом варіаційних нерівностей узагальнений розв'язок багатовимірної однофазної нестаціонарної задачі Стефана є насправді класичним розв'язком.

Принципово нову точку зору на сутність задачі Стефана запропонували А.М.Тихонов й О.А.Самарський. Основна ідея цього підходу полягає у введенні поняття „ефективної” теплоємності. На цьому шляху за допомогою процесу згладжування коефіцієнтів отриманої математичної моделі був розроблений ефективний метод чисельного аналізу нестаціонарної багатовимірної задачі Стефана.

На сьогодні дослідження з теорії задач з вільною межею, зокрема, задач про фазові переходи речовини, стали важливою й невід'ємною частиною математичної фізики. Був досягнутий певний успіх в дослідженні так званої задачі Стефана, важливість якої, як теоретична, так і практикчна, є загальновідомою. Згадана задача у своїй традиційній постановці не враховує конвективного переносу тепла в рідинній чи газоподібній фазі. Задача Стефана з урахуванням подібного теплопереносу має більшу адекватність фізичним процесам, що відбуваються, наприклад, при кристалізації. Врахування конвективних рухів при аналізі задачі Стефана складає нову область досліджень, важливість яких визначається, однак, не тільки й не стільки новизною задачі, скільки її теоретичною й практичною актуальністю, зокрема.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Дисертаційна робота виконувалась у відповідності до планів наукових досліджень, що проводилися у Державному університеті інформатики і штучного інтелекту за наступними темами: «Математичне моделювання процесів руху», HDP № 0104U000114; «Експериментально-теоретичні дослідження інтелектуально творчих процесів при формуванні нових знань і рішень», HDP № 0106U012653; «Розробка методів комп'ютерного тестування інтелектуальних здібностей людини на засадах експериментальних досліджень її інтелектуальної діяльності», РК № 0105U001162.

Мета та завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка наближених й аналітичних методів дослідження нелінійних математичних моделей з вільною межею, які мають теплофізичне й гідродинамічне походження.

При цьому розробляються методи:

- обґрунтування коректності класів нелінійних математичних моделей з вільною межею, що мають варіаційну природу (побудова загальної методики доведення теорем існування та єдиності розв'язків, встановлення властивостей гладкості, включаючи аналітичність вільних меж);

- наближеного розв'язку таких нелінійних крайових задач (мінімізація функціоналів, обґрунтування застосування методу Рітца при побудові наближених розв'язків);

- дослідження збіжності наближених розв'язків до точних розв'язків в метриці С та в інтегральних метриках, оцінка швидкості збіжності, апроксимація припустимих функцій багаточленами;

- дослідження просторових стаціонарних та нестаціонарних математичних моделей типу Стефана з урахуванням конвективного руху в рідинній фазі (розробка методів наближеного аналізу таких задач; розв'язання задач спряження, що виникають при цьому; вивчення впливу конвекції на фронт кристалізації).

Об'єкт дослідження. Процеси в теплофізиці й гідродинаміці, що призводять до виникнення вільних меж.

Предмет дослідження. Нелінійні математичні моделі з вільною межею.

Методи дослідження. При дослідженні використовуються методи теорії функцій комплексного перемінного, нелінійного функціонального аналізу, методи оптимізації й чисельні методи.

Наукова новизна отриманих результатів. Всі основні результати дисертаційної роботи є новими. При дослідженні математичних моделей з вільними межами, що мають варіаційну природу, був запропонований підхід, який дозволяє на єдиній методологічній основі вивчити широкий клас нелінійних задач: задачі типу Бернуллі в площинному та осьосиметричному випадках, двовимірні задачі типу Стефана в стаціонарному та квазістаціонарному режимах однофазні та двуфазні. За допомогою розробленого математичного апарату встановлюються властивості гладкості розв'язків крайових задач і доводиться аналітичність вільних меж у випадку, коли нормальна похідна розв'язку за вільною межею дорівнює , де -аналітична функція змінних та . В основу доведення покладені результати Гарабедяна, Леві й Шиффера для випадку =const. Доведення аналітичності вільної межі виходить з розв'язуваності системи двох інтегральних рівнянь, яка встановлюється методом послідовних наближень. Крім того, побудовані наближені розв'язки нелінійних варіаційних крайових задач, вивчених раніше в дисертації, методом Рітца. Метод Рітца суттєво ускладнюється при мінімізації нелінійних функціоналів. Тому спочатку доводиться розв'язати систему Рітца, а потім встановлюється збіжність наближень Рітца до точного розв'язку в інтегральних метриках й рівномірна збіжність також. Доведена збіжність наближень Рітца до точного розв'язку у двофазній стаціонарній задачі Стефана в (в однофазній задачі має місце збіжність в С та ); побудований алгоритм оцінки швидкості збіжності наближеного розв'язку до точного розв'язку в задачах Бернуллі. При доведенні збіжності були узагальнені результати Л.В.Канторовича з мінімізації квадратичних функціоналів.

Досліджено вплив конвекції на фронт кристалізації. Розроблено метод розв'язання задач спряження, що виникають при дослідженні стаціонарних і нестаціонарних задач Стефана на площині і в просторі. Допускаючи достатньо малою величину інтенсивності вихору, отримано рівняння з вільною межею в залежності від у плоскому випадку. Досліджується просторова стаціонарна та нестаціонарна задачі теплопроводності з урахуванням конвективного руху у рідинній фазі, що описується рівнянням Нав'є-Стокса.

Запропоновано метод вивчення цієї задачі, який полягає у розкладанні розв'язки у ряд відповідно до ступенів малого параметру числа Рейнольдса. У нестаціонарному випадку розв'язання відповідних крайових задач, для визначення першого та другого члена розкладання, будуються як нерухомі точки операторів, що стискуються. Отримано рівняння вільної поверхні в залежності від

Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що результати дисертації мають як теоретичне, так і практичне значення. Розглянуті математичні моделі природним чином виникають при дослідженні процесів в спецметалургії або в гідротехнічних спорудах, чим обумовлюється практичне значення результатів.

Виконані дослідження моделей, що описують практичні фізичні процеси, дозволяють безпосередньо застосовувати наявні результати для проектування та оптимального використання цих складних систем. Запропоновані чисельні методи можуть використовуватися для побудови програмних комплексів проектування, розрахунку складними фізичними процесами.

З іншого боку деякі результати роботи можна використовувати при викладанні курсів «Варіаційне числення», «Рівняння математичної фізики», «Чисельні методи» та в курсах математичного моделювання фізичних процесів, що викладаються в Державному університеті інформатики і штучного інтелекту.

Крім того, побудовано і досліджено широкий клас нелінійних математичних моделей з вільною межею, що мають теплофізичне чи гідродинамічне походження на площині і в просторі. Запропонована схема доведення теорем існування нелінійних крайових задач з вільною межею, що мають варіаційну природу. Розроблений також апарат, що дозволяє встановити аналітичність вільної межі. Був застосований метод Рітца для наближеного розв'язку нелінійних задач, що мають варіаційну природу. Розроблено метод отримання обмежень на параметри задач, при яких є можливими виникнення вільних меж, для досліджуваних класів математичних моделей.

Отримано рівняння вільної межі в залежності від малих чисел Рейнольдса чи інтенсивності вихору які дозволяють досліджувати вплив конвекції на фронт кристалізації.

Припущено нову схему розрахунку поля швидкостей і температурних полів у трьохмірних стаціонарних та нестаціонарних конвективних задачах Стефана.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати наукових досліджень, які увійшли до дисертації, доповідались на наступних наукових конференціях, симпозіумах та семінарах: „Питання оптимізації обчислювань” (Алушта, 1987); „Нелінійні задачі математичної фізики й задачі з вільною межею” (Донецьк, 1991); Fifth SIAM conference on optimization (Victoria, British Columbia, May 20 - 22, 1996); Міжнародна науково-технічна конференція „Штучний інтелект. Інтелектуальні та багатопроцесорні системи” (Кацивелі, 2006); міжнародна конференція „Питання оптимізації обчислювань” (Кацивелі, 2005 та 2007).

Матеріали дисертації в різні роки доповідались та обговорювались на наукових семінарах кафедри диференційних рівнянь Московського державного університету (керівник семінару О.А. Олійник); на теоретичному семінарі (інститут гідродинаміки СО АН СРСР, керівник Л.В. Овсянніков); на семінарах відділу рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України (керівник І.І. Данилюк, Б.В. Базалій); на семінарі кафедри „Вища математика” Московського енергетичного інституту (керівник С.І. Похажаєв); на наукових семінарах Державного університету інформатики і штучного інтелекту; на семінарі кафедри «Теоретична кібернетика» Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник Ю.А. Бєлов); на семінарі в Інституті кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України (керівник В.С. Дейнека).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у 27 працях. Серед них 1 монографія, 22 статті у наукових журналах і в 4 тезах наукових конференцій.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані здобувачем самостійно або за участю автора [1] - [27]. В статті [1] автору належить теорема 1 та схема побудови наближень Рітца, в статті [5] - теорема та лема, в статті [6] - теорема та лема, в статті [7] - теореми 1, 2, 3, 4 та лема.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, шести розділів, висновків, списку використаної літератури та трьох додатків. Загальний обсяг дисертації 339 сторінок, основний текст роботи викладений на 281 сторінцi, при цьому малюнків 19, додатків 3, які розташовані на 45 сторінках, список використаних джерел містить 228 назв, що розташовуються на 13 сторінках.

Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність дисертаційної роботи, сформульовано тему і задачі дослідження, зроблено короткий огляд літератури за темою, наведені основні результати дисертації й підкреслено їх наукову новизну.

Перший розділ присвячений огляду літератури за темою дослідження, аналізу етапів розв'язання проблем з вільною межею із зазначенням методів дослідження.

У другому розділі побудовані математичні моделі потенціальної та вихрової течії в площинному та осьосиметричному випадках в термінах функцій струменя. В якості граничної умови на вільній межі береться умова Бернуллі. Побудовані нелінійні математичні моделі мають варіаційний характер. Вивчаються задачі потенціальної та вихрової течії на площині.

Третій і четвертий розділи присвячені вивченню властивостей гладкості вільної межі при дослідженні квазістаціонарної задачі типу Стефана, яка формується наступним чином.

П'ята глава присвячена наближеному розв'язанню методом Рітца нелінійних крайових задач, вивчених у главах 2-4.

Шостий розділ присвячений наближеному аналізу нелінійної конвективної задачі теплопровідності. Процеси кристалізації, які зустрічаються в природі, супроводжуються конвективними перемішуваннями в рідинній фазі.

Висновки

Дисертаційна робота є новим комплексним дослідженням, в якому розроблені наближені й аналітичні методи дослідження нелінійних математичних моделей з вільною межею, що мають теплофізичне або гідродинамічне походження.

Основні результати дослідження:

I. Обґрунтовано коректність класу нелінійних математичних моделей, що мають варіаційну природу (побудова загальної методики доведення існування та єдиності розв'язань, встановлення властивостей гладкості, включаючи аналітичність вільних меж):

1) побудовані нелінійні математичні моделі теплофізичних і гідродинамічних процесів з вільною межею;

2) при дослідженні математичних моделей з вільними межами, що мають варіаційну природу, запропоновано підхід, який дозволяє на єдиній методологічній основі вивчити широкий клас нелінійних задач: задачі типу Бернуллі в плоскому й осьосиметричному випадках, двомірні задачі типу Стефана в стаціонарному та квазістаціонарному режимах, однофазні й двофазні;

3) доведено існування класичного розв'язання для класу задач потенціальної та вихрової течії рідини з вільною межею типу Бернуллі в плоскому й осьосиметричному випадках;

4) в основу доведення єдиності розв'язання досліджуваного класу задач покладено додатну визначеність другої варіації інтегрального функціонала (вихідні крайові задачі є еквівалентними проблемі мінімуму декотрих інтегральних функціоналів).

II. Доведено метод аналітичності вільної межі у випадку, коли нормальна похідна шуканого розв'язку на дорівнює , де - аналітична функція змінних та :

В основі доведення аналітичності вільної межі покладено розв'язуваність системи інтегральних рівнянь. Методом послідовних наближень доведено існування та єдиність розв'язання в класі аналітичних функцій комплексної змінної (доведення нагадує метод Пікара в теорії звичайних диференційних рівнянь).

III. Побудовані алгоритми розв'язання нелінійних крайових задач варіаційного походження методом Рітца:

1) при мінімізації функціоналів на припустимих множинах функцій методом Рітца в кожному випадку розв'язується проблема апроксимації припустимих елементів багаточленами;

2) вперше застосовано метод Рітца для мінімізації функціоналів з невідомою областю інтегрування та розроблено метод оцінювання швидкості збіжності функціонала при наближеннях Рітца до точної нижньої межі;

3) доведено розв'язність всіх систем Рітца одночасно;

4) доведено збіжність наближень Рітца до точного розв'язку у двофазній стаціонарній задачі Стефана в (в однофазній задачі має місце збіжність в С та ); побудовано алгоритм оцінювання швидкості збіжності наближеного розв'язку до точного розв'язку в задачах Бернуллі;

5) отримано збіжність наближень Рітца в осьосиметричному випадку в задачі типу Бернуллі в інтегральній метриці;

6) узагальнено методику Л.В.Канторовича, що застосовується для квадратичних функціоналів при доведенні збіжності наближень Рітца в просторі С.

IV. Запропоновано алгоритм наближеного аналізу конвективної задачі Стефана в стаціонарному та нестаціонарному випадках на площині і в просторі:

1) вивчено вплив конвекції на фронт кристалізації в плоскому стаціонарному випадку;

2) отримано рівняння вільної поверхні в залежності від чисел Рейнольдcа в стаціонарному і нестаціонарному випадках у просторі;

3) розроблено метод розв'язання задач спряження, що виникають при дослідженні стаціонарних і нестаціонарних задач Стефана на площині і в просторі;

4) вперше застосовано метод малого параметру при наближеному розв'язанні конвективних задач Стефана на площині і в просторі.

Обраний метод Рітца, наближеного розв'язання нелінійних задач, може бути використаний при мінімізації нелінійних інтегральних функціоналів, з обґрунтуванням збіжності наближень Рітца до точного розв'язку.

Розроблена схема розрахунку поля швидкостей й температурних полів може бути використана при наближеному розв'язанні конвективних задач Стефана двовимірних та тривимірних, стаціонарних та нестаціонарних.

Запропоновано підхід, який дозволяє здійснити якісні дослідження вільної поверхні у тривимірних конвективних задачах теплопровідності з вільною межею. В основу цієї методики покладено розкладання розв'язку в ряд за степенями малого параметру (у нашій ситуації це число Рейнольдса або інтенсивність вихру). При цьому розв'язок вихідної нелінійної задачі замінюється розв'язком ряду задач вже у відомій області.

Деякі результати роботи знайшли застосування в курсах „Варіаційне числення” й „Чисельні методи”, що читаються в Державному університеті інформатики та штучного інтелекту.

Список виданих робіт за темою дисертації

1. Миненко А.С., Шевченко А.И. Об одной проблеме Стефана // Доповіді НАН України. - 2008. - № 1 - С. 26 - 30..

2. Миненко А.С. Приближенный анализ конвективной пространственной нестационарной задачи Стефана // Искусственный интеллект-2007. - № 4. - С. 553-561.

3. Миненко А.С. Исследование конвективной стационарной задачи Стефана // Искусственный интеллект. - 2007. - № 3. - С. 476 - 480..

4. Миненко А.С. Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритца // Укр. мат. журнал. 2007. - 59, № 11. - С. 1546 - 1556.

5. Миненко А.С., Шевченко А.И. Приближенный анализ одной пространственной конвективной задачи теплопроводности // Доповіді НАН України. - 2007. - № 7. - С. 22 - 27.

6. Миненко А.С., Шевченко А.И. Исследование конвективного теплопереноса в одной пространственной задаче теплопроводности // Доповіді НАН України. - 2007. - № 9. - С. 25 - 29..

7. Миненко А.С., Шевченко А.И. Об одной проблеме минимума со свободной границей // Доповіді НАН України.-2007. - № 11 - С. 29 - 33..

8. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат. журнал. 2006. - 58, №10. - С. 1385 - 1394.

9. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. - Киев: Наукова думка, 2005. - 354 с

10. Миненко А.С. Аналитичность свободной границы в одной задаче осесимметричного течения // Укр. мат. журнал. - 1998. - 50, №12. - С. 1700.

11. Миненко А.С. Проблема минимума со свободной границей // Искусственный интеллект. - 1998. - №2. - С. 89 - 98.

12. Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей//Укр.мат.журнал.-Київ: Наукова думка,1995.- 47, №4. - С. - 487.

13. Миненко А.С. Проблема минимума одного класса интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования // Мат.физика и нелинейн. механика.-Київ: Наукова думка, 1991.- Вып. 16. - С. 48 - 52.

14. Миненко А.С. О вариационном методе исследования одной задачи вихревого течения жидкости со свободной границей // Нелинейные граничные задачи. - Київ: Наукова думка, 1993. - Вып. 5. - С. 58-64.

15. Миненко А.С. Исследование осесимметричного течения со свободной границей // Нелинейные граничные задачи. - Київ: Наукова думка, 1993. - Вып. 5 - С. 65-71.

16. Миненко А.С. О вариационном методе исследования одной нелинейной задачи потенциального течения жидкости // Нелинейные граничные задачи. - Київ: Наукова думка, 1991. - Вып. 3. - С. 60 - 66.

17. Миненко А.С. О вариационном методе изучения квазистационарной задачи Стефана // Уравнения в частных производных и задачи со свободной границей. - Киев: Наукова думка, 1983. - С. 82 - 85.

18. Миненко А.С. Об аналитичности свободной границы в одной теплофизической задаче // Мат. физика. - Київ: Наукова думка, 1983. - Вып. 33. - С. 80 - 82.

19. Миненко А.С. Некоторые оценки решения квазистационарной однофазной задачи Стефана // Мат. физика. - Київ: Наукова думка, 1982. - Вып. 31. - С. 102 - 105.

20. Миненко А.С. О разрешимости одной нелинейной теплофизической задаче // Мат. физика. - Київ: Наукова думка, 1981. - Вып. 30. - С. 77 - 83.

21. Миненко А.С. Об одной нелинейной задаче со свободной границей // Граничные задачи математической физики. - Киев: Наукова думка, 1981. - С. 85 - 86

22. Миненко А.С. О разрешимости одной теплофизической задачи со свободной границей // Граничные задачи для дифференциальных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1980. - С. 104 - 114.

23. Миненко А.С. Приближенный анализ нелинейной конвективной задачи теплопроводности. // Материалы международной научно-технической конференции «Искусственный интеллект. Интеллектуальные и многопроцессорные системы». - К., 2006. - Т.1. - С. 322 - 325.

24. Миненко А.С. Исследование одной задачи вихревого течения жидкости со свободной границей // Тезисы докладов конференции «Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей»» - Д., Институт прикладной математики и механики, 1991. - С. 77.

25. Миненко А.С. Приближенный анализ стационарной, пространственной, конвективной задачи теплопроводности // Праці міжнародної конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО - ХХХІІІ)». - К.: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова, 2007. - С. 202 - 203..

26. Миненко А.С. Исследование конвективного теплопереноса в нестационарной, пространственной задаче Стефана // Праці міжнародної конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО - ХХХІІІ)». - К.: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова, 2007. - С. 200 - 201.

27. Миненко А.С. О минимизации нелинейного интегрального функционала с неизвестной областью интегрирования // Праці міжнародної конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО - ХХХІІ)». - К.: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова. 2005 . - С. 152 - 153.

Анотація

Міненко О.С. Математичне моделювання руху рідини та теплофізичних процесів в середовищах з вільною межею - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, Київ, 2009.

Дисертація присвячена задачам з вільною межею, що виникають в багатьох областях природничих наук і мають варіаційну природу. Це дозволяє на єдиній методологічній основі досліджувати широкий клас нелінійних граничних проблем: задачі типу Бернуллі в плоскому й осьосиметричному випадках; двовимірні задачі типу Стефана в стаціонарному і квазістаціонарному режимах. За допомогою розробленого математичного апарату встановлюються властивості гладкості розв'язку граничних задач й доводиться аналітичність вільних меж. Обґрунтовується застосування методу Рітца для побудови наближених розв'язків, що збігаються до точних розв'язків, в різноманітних метриках.

Досліджується також просторова стаціонарна й нестаціонарна задачі теплопровідності з урахуванням конвективного руху в рідинній фазі. Запропоновано метод вивчення цієї задачі, що полягає в розкладанні рішення в ряд за степенями малого параметра числа Рейнольдса. Отримано рівняння вільної поверхні в залежності від числа Рейнольдса Re.

Ключові слова: диференціальні рівняння, вільна межа, функціонал, оптимізація, чисельні методи.

Миненко А.С. Математическое моделирование движения жидкости и теплофизических процессов в средах со свободной границей. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт кибернетики имени В.М.Глушкова НАН Украины, Киев, 2009.

Целью диссертационной работы является разработка приближенных и аналитических методов исследования нелинейных математических моделей со свободной границей, имеющих теплофизическое или гидродинамическое происхождение.

При этом разрабатываются методы:

1) обоснование корректности классов нелинейных математических моделей со свободной границей имеющих вариационную природу (построение общей методики доказательства теоремы существования и единственности решений, установление свойств гладкости, включая аналитичность свободных границ);

2) приближенного решения таких нелинейных краевых задач (минимизация функционалов, обоснование применимости метода Ритца при построении приближенных решений);

3) исследование сходимости приближенных решений к точным решениям в метрике С и в интегральных метриках, оценка скорости сходимости, аппроксимация допустимых функций многочленами;

4) исследования пространственных стационарных и нестационарных математических моделей типа Стефана с учетом конвективного движения в жидкой фазе (разработка методов приближенного анализа таких задач; решение возникающих задач сопряжения; изучение влияния конвекции на фронт кристаллизации).

При исследовании математических моделей со свободными границами, имеющими вариационную природу, был предложен подход, позволяющий на единой методологической основе изучить широкий класс нелинейных задач: задачи типа Бернулли в плоском и осесимметрическом случаях, двумерные задачи типа Стефана в стационарном и квазистационарном режимах однофазные и двухфазные. При помощи разработанного математического аппарата устанавливаются свойства гладкости решений граничных задач и доказывается аналитичность свободных границ в случае, когда нормальная производная решения на свободной границе равняется , где - аналитическая функция переменных x и y. В основу доказательства положены результаты Гарабедана, Леви и Шиффера для случая =const. Доказательство аналитичности свободной границы вытекает из решения системы двух интегральных уравнений, которая устанавливается методом последовательных приближений. Кроме того построены приближенные решения нелинейных вариационных краевых задач, изученных ранее в диссертации, методом Ритца. Метод Ритца существенно усложняется при минимизации нелинейных функционалов. Поэтому вначале доказывается разрешимость системы Ритца, а затем устанавливается сходимость приближенний Ритца к точному решению в интегральных метриках и равномерная сходимость также. Доказана сходимость приближений Ритца к точному решению в двухфазной стационароной задаче Стефана в (в однофазной задаче имеет место сходимость С и ); построен алгоритм оценки скорости сходимости приближенного решения к точному решению в задачах Бернулли. При доказательстве сходимости обобщены результаты Л.В. Канторовича по минимизации квадратичных функционалов.

Исследовано влияние конвекции на фронт кристаллизации. Разработан метод решения задач спряжения, которые возникают при исследовании стационарных и нестационароных задач Стефана на плоскости и в пространстве. Предполагая достаточно малой величину интенсивности вихря м, получено уравнение свободной границы в зависимости от м в плоском случае. Исследуется пространственная стационарная и нестационарная задачи теплопроводности с учетом конвективного движения в жидкой фазе, которая описывается уравнением Навье-Стокса. Предложен метод изучения этой задачи, состоящий в разложении решения в ряд по степеням малого параметра числа Рейнольдса.

В нестационарном случае решения соответствующих краевых задач, для определения первого и второго члена разложения, строятся как неподвижные точки операторов. Получено уравнения свободной поверхности в зависимости от

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, свободная граница, функционал, оптимизация, численные методы

Minenko A.S. Mathematical modeling of fluid and thermophysical processes motion in media with free boundary. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree of physics and mathematics by speciality 01.05.02 - mathematical simulation and numerical methods. - Glushkov Institute of Cybernetics, NAS Ukraine, Kiev, 2009.

The dissertation is devoted to the problems of free boundaries, evolving in many branches of sciences and possessing characteristics of variations. This makes it possible to investigate a wide range of non-linear border problems on the basis of unique methodology: problems of Bernoulli type in flat and axially symmentric cases; two-dimensional problems of Stephan type in a stationary regime and a quasi-stationary regimes. With the help of the developed mathematical methods the properties of smoothness of solving boundaries problems have been defined and analogy of free boundaries has been proved. Applicability of method for building approximate problem solving by Reitz has been grounded in the work.. The method comes down to precise problem solving, in dvarious metrics.

Key words: differential equation, functional, free boundary, optimization, numerical algorithms.

Размещено на Allbest.ru