Дифференциальные уравнения высших порядков

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференциальные уравнения высших порядков



Основные понятия.

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

. (1)

Будем предполагать функцию F такой, чтобы уравнение (1) было разрешимо относительно старшей производной:

. (2)

Определение 2. Всякая функция y=ц(x), определенная и непрерывно дифференцируемая n раз в интервале (a,b), называется решением уравнения (1) в этом интервале, если при подстановке она обращает уравнение (1) в тождество

, (3)

справедливое при всех значениях x из интервала (a,b).

Задача Коши.

Для уравнения (2) задача Коши ставится следующим образом. Требуется среди всех решений уравнения (2) найти решение

y=y(x), (4)

дифференциальный уравнение коши краевой

в котором функция y(x) вместе с ее производными до (n-1)-го порядка включительно принимает заданные значения при заданном значении x₀ независимой переменной x, т. е.



, (5)

где - заданные числа, так, что решение (4) удовлетворяет условиям:

, (6)

Числа называются начальными значениями решения (4), число x₀ - начальным значением независимой переменной, числа вместе взятые, называются начальными данными решения (4), а условия (6) - начальными условиями этого решения.

Характерная особенность задачи Коши состоит в том, что условия, которые налагаются на искомое решение при ее постановке, задаются при одном и том же значении независимой переменной.

Единственность решения задачи Коши для уравнения n-го порядка (2) не означает, что через заданную точку M₀(x₀,y₀) проходит только одна интегральная кривая, как это имело место для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

Например, для уравнения второго порядка

(7)

единственность решения задачи Коши с начальными условиями



нужно понимать в том смысле, что через точку M₀(x₀,y₀) проходит единственная интегральная кривая уравнения (7), обладающая тем свойством, что касательная к ней в этой точке составляет с положительным направлением оси Ox угол б₀, тангенс которого равен заданному начальному значению первой производной , в то время как через точку (x₀,y₀), наряду с этой интегральной кривой, как правило, проходит еще бесчисленное множество интегральных кривых, но уже с другими наклонами касательных в этой точке.

Рассмотрим теорему, определяющую достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема. Пусть дано уравнение (2)

и поставлены начальные условия (6):

.

Предположим, что функция определена в некоторой замкнутой ограниченной области

с точкой () внутри (a и b - заданные положительные числа) и удовлетворяет в этой области следующим двум условиям:

1. Функция непрерывна по всем своим аргументам и, следовательно, ограничена, т. е.



(8)

где М - постоянное положительное число, а - любая точка области R;

2. Функция имеет ограниченные частные производные по аргументам , т. е.

,

где К - постоянное положительное число, а а - любая точка области R.

При этих предположениях уравнение (2) имеет единственное решение (4)

y=y(x),

удовлетворяющее начальным условиям (6). Это решение заведомо определено и непрерывно вместе с производными до порядка n включительно в интервале

,

где

.?



Понятие о граничной (краевой) задаче.

Задача Коши (начальная задача) является лишь одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений, в которой ищется решение, подчиненное некоторым условиям. Другой не менее важный тип таких задач представляет собой так называемые граничные (краевые) задачи, в которых условия, налагаемые на искомое решение, задаются не в одной точке, как это имеет место в задаче Коши, а на концах некоторого интервала [a,b] и ищется решение, определенное внутри этого интервала. Эти условия называются граничными (краевыми) условиями.

Граничные задачи могут ставиться, очевидно, лишь для уравнений порядка выше первого, ибо, в случае уравнения первого порядка задание значения искомого решения в одной точке уже определяет интегральную кривую единственным образом, и эта интегральная кривая может удовлетворять граничному условию в другой точке лишь случайно.

Заметим, что граничная задача не всегда имеет решение, а если имеет, то, весьма часто, не единственное.

Пример 1. Найти решение уравнения , удовлетворяющее граничным условиям:

Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем:

Подставим сюда граничные условия, т.е. положим в первом из равенств x=0, y'=0, а во втором x=1, y=1. Получим:

Отсюда С₁=0, С₂=0, так что искомым решением будет

.

Других решений нет.¦

Пример 2. Покажем, что для уравнения не существует решения, удовлетворяющего граничным условиям:

y=1 при x=0 и y=2 при x=р.

Можно доказать, что все решения данного уравнения содержатся в формуле

, (*)

где С₁ и С₂ - произвольные постоянные. Попытаемся выбрать их так, чтобы функция y, определяемая формулой (*), удовлетворяла граничным условиям. Подставляя в (*) поочередно граничные условия, т.е. полагая сначала x=0, y=1, затем x=р, y=2, получаем:

1=С₁, 2=-С₁.

Эта система не совместна. Таким образом, данное уравнение не имеет решений, удовлетворяющих заданным граничным условиям.¦

Уравнения, интегрируемые в квадратурах, и уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим некоторые типы уравнений n-го порядка, главным образом нелинейные, общее решение (общий интеграл) которых можно найти при помощи квадратур. Приведение к квадратурам выполняется либо при помощи специальных способов, применяемых непосредственно к данному уравнению, либо путем предварительного понижения порядка уравнения, если получаемое при этом уравнение интегрируется в квадратурах.

Численное интегрирование дифференциального уравнения производится тем легче, чем ниже порядок уравнения. Поэтому прежде, чем интегрировать уравнение, стараются понизить его порядок.

1) Рассмотрим сначала неполные уравнения. Простейшими из них являются уравнения, содержащие независимую переменную и производную порядка n.

Если уравнение может быть написано в виде

, (9)

где функция f(x) непрерывна в интервале (a,b), то оно легко интегрируется в квадратурах.

Действительно, так как , то мы можем переписать уравнение (9) в виде:

,

откуда:

,

где С₁ - произвольная постоянная, а x₀ - любое фиксированное число из промежутка (a,b).

Аналогичными рассуждениями находим:

,

,

……………………………………………………..

.

То есть уравнения данного типа решаются путем последовательного n-кратного интегрирования.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем:

,

2) Рассмотрим теперь уравнения, не содержащие явно искомой функции.

Пусть дано уравнение вида

, (10)

причем производная k-того порядка () обязательно входит в уравнение.

Введем новую неизвестную функцию z, положив



.

Тогда уравнение (10) перепишется в виде:

.

Это уравнение (n-k)-го порядка. Нам удалось, таким образом, понизить порядок уравнения (10) на k единиц.

Предположим, что, решая полученное уравнение, мы найдем его общее решение

.

Тогда мы имеем:

.

Мы получили уравнение уже рассмотренного выше типа. Интегрируя его, введем еще k произвольных постоянных. Получим

.

Пример. Решить дифференциальное уравнение .

В уравнение не входят , поэтому полагаем . Тогда и уравнение примет вид:

.

Отсюда



.

Решая, получим

или

.

Интегрируя последовательно три раза, найдем общее решение данного уравнения:

Отметим два частных случая уравнения вида (10).

1. Уравнение вида

.

Предположим, что это уравнение разрешимо :

.

Полагая , получаем z'=f(z), откуда , . Это уравнение вида (9) и, следовательно, разрешимо в квадратурах.

2. Уравнение вида

.

Предположим, что это уравнение разрешимо относительно y⁽ⁿ⁾:

.

Положим y^(n-2)=z. Тогда:

.

Умножим обе части этого уравнения на 2z'dx:

.

Переписав полученное уравнение в виде

и интегрируя, найдем:

Следовательно:



.

Это уравнение вида (9) и, следовательно, разрешимо в квадратурах.

3) И, наконец, рассмотрим уравнение, не содержащее независимой переменной. Это уравнение имеет вид:

. (11)

Введем новую искомую функцию z по формуле:

и примем y за независимую переменную. Выразим через функцию z и ее производные. Имеем:

,

,

………………………………………..,

.

Поэтому уравнение (11) примет вид:

.

Это уравнение порядка n-1. Если, решая его мы найдем общее решение



,

То, возвращаясь к искомой функции y, получим уравнение:

.

Проинтегрировав его, найдем общий интеграл уравнения (11).

Пример. Решить дифференциальное уравнение

.

Полагая y'=z и принимая y за независимую переменную, имеем: , так что данное уравнение примет вид:

.

Сократим на z (при этом равенство z=0 дает y=const, что мы пока отбросим, поскольку приняли y за независимую переменную):

.

Разделяя переменные, получаем:

.



Отсюда, интегрируя, найдем:

или

.

Возвращаясь к функции y, получим:

.

Интегрируя еще раз, найдем общий интеграл

.

Положим теперь в исходном уравнении y=m (const). Получим:

.

Так как любое m удовлетворяет этому уравнению, то исходное уравнение допускает также семейство решений y=C, где С - произвольное постоянное число.

Размещено на Allbest.ru