Компактні екстремуми та компактно-аналітичні властивості основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут прикладної математики і механіки

УДК 517.923:517.972

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Компактні екстремуми та компактно-аналітичні властивості основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва

01.01.02 -- Диференціальні рівняння

Божонок Катерина Валеріївна

Донецьк-2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті імені В.І. Вернадського

Міністерства освіти і науки України м. Сімферополь.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Орлов Ігор Володимирович, Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського, м. Сімферополь, завідувач кафедри алгебри та функціонального аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Бурський Володимир Петрович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м.Донецьк, провідний науковий співробітник відділу нелінійного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, професор Богданський Юрій Вікторович, Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», м. Київ, кафедра математичних методів системного аналізу.

Захист відбудеться «8» квітня 2009 р. о 16-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розісланий «1»лютого 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Екстремальні задачі для інтегральних функціоналів відіграють важливу роль у сучасній теорії диференціальних рівнянь, варіаційному численні, нелінійному аналізі та прикладних проблемах. Дослідженню даної проблеми, у тому числі в просторах Соболєва, присвячена велика кількість сучасних робіт. Відмітимо серед них роботи таких українських авторів, як М.З. Згуровський, В.С. Мельник, Є.Я. Хруслов, І.В. Орлов, а також таких авторів із різних країн, як В.М. Тихомиров, А.В. Фурсиков, А.В. Угланов, Н.В. Азбелєв, А.А. Милютин, А.В. Дмитрук, Н.П. Осмоловський, M.O. Rieger, M. Morini, H. Attouch, G. Buttazzo, L. Ambrosio, I. Fonseca, P. Marcellini, L. Tartar, N. Fusco, D. Pallara, S. Mosconi, P. Tilli, N. Sagara, L. Carbone, R.De Arcangelis. Основну складність у цьому питанні у випадку гільбертових просторів типу становить той факт, що в них функціонал Ейлера-Лагранжа має значно гірші аналітичні властивості, ніж у банахових просторах типу . При цьому і сам інтегрант функціонала не повинен бути гладким у звичайному сенсі. Так, у відомій монографії І.В. Скрипника було показано, що, за винятком найпростішої ситуації, функціонал Ейлера-Лагранжа не є двічі диференційовним за Фреше в просторі Соболєва , що виключає в цьому випадку застосування класичних методів сильного диференціального числення і класичної теорії екстремумів. Відзначимо, що раніше для інтегральних функціоналів у просторі відповідну умову одержав М.М. Вайнберг.

Аналіз таких задач в роботах І.В. Орлова привів, зокрема, до узагальнення понять локального екстремуму, неперервності, сильної диференційовності і т.д., заснованому на переході до відповідних понять та властивостей у шкалі підпросторів, породжених абсолютно опуклими компактами. Виявилося, що теорія компактних екстремумів достатньо адекватно описує екстремуми інтегральних функціоналів у просторі , що робить актуальним побудову розвитого варіаційного числення в гільбертових просторах Соболєва, що вивчає компактні екстремуми варіаційних функціоналів та їх компактно-аналітичні властивості.

У зв'язку з цим, істотний інтерес являє собою дослідження компактно-аналітичних властивостей основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва , одержання достатніх умов коректної визначеності, компактної неперервності, компактної диференційовності і повторної компактної диференційовності функціонала Ейлера-Лагранжа в термінах «псевдоквадратичних» інтегрантів відповідних класів K-гладкості. Отримані результати дають можливість для компактних екстремумів варіаційних функціоналів у просторі Соболєва одержати аналоги загальних класичних умов локального екстремуму і відомих умов екстремуму варіаційних функціоналів у банахових просторах типу .

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках держбюджетних тем кафедри алгебри і функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського «Проблеми теорії функцій і оператор-функцій» (2001-2005 р., номер державної реєстрації 0101U005081), «Проблеми функціонального і нескінченновимірного аналізу» (2006-2010 р., номер державної реєстрації 0106U003959); а також конкурсної теми МОН України «Операторні методи в початково-крайових, спектральних і екстремальних задачах» (2006-2008 р., номер державної реєстрації 0106U001753), в яких автор брав участь у якості виконавця.

Мета і завдання дослідження. Побудова, в основних рисах, загальної теорії компактних екстремумів варіаційних функціоналів від функцій однієї змінної у гільбертових просторах Соболєва.

Одержання умов додатної означеності і невід'ємності операторних матриць і квадратичних форм у добутку n гільбертових і напів'ядерних просторів. Застосування отриманих результатів для вивчення умов компактних екстремумів функціоналів від n змінних у термінах компактних похідних.

Опис компактно-аналітичних властивостей основного варіаційного функціонала в просторах Соболєва над гільбертовим і напів'ядерним просторами.

Одержання необхідної умови Лежандра, достатньої умови Лежандра-Якобі, а також достатньої умови в термінах гессіана підінтегральної функції сильного компактного екстремуму варіаційних функціоналів однієї і багатьох змінних у просторах Соболєва над гільбертовим і напів'ядерним просторами.

Застосування отриманих результатів для обчислення компактних екстремумів при узагальненні деяких відомих функціоналів у просторі Соболєва і варіаційних функціоналів з параметром.

Об'єкт дослідження. Основний варіаційний функціонал у просторі Соболєва .

Предмет дослідження. Компактні екстремуми та компактно-аналітичні властивості основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва .

Методи дослідження. У даній роботі застосовуються методи диференціальних рівнянь, варіаційного числення, функціонального аналізу і нескінченновимірного математичного аналізу. Зокрема, методи варіаційного числення і теорії диференціальних рівнянь у банахових просторах застосовувалися при дослідженні рівняння Ейлера-Лагранжа в просторі Соболєва, а також одержанні достатніх і необхідних умов компактного екстремуму основного варіаційного функціонала в просторі .

Методи теорії міри й інтеграла, нескінченновимірного диференціального числення застосовувалися при вивченні компактно-аналітичних властивостей основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва.

Методи теорії квадратичних форм застосовувалися при дослідженні квадратичних форм, екстремумів і компактних екстремумів як у гільбертовому, так і в локально опуклому просторі.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше отримано умови додатної означеності, K- додатної означеності і невід'ємності операторних матриць у добутку n гільбертових просторів. На цій базі доведено як необхідні, так і достатні умови локальних і компактних екстремумів (K-екстремумів) функціоналів від n гільбертових змінних.

2. Вперше введено класи псевдоквадратичних відображень K₂(z) і вейєрштрасівських псевдоквадратичних відображень WK₂(z), W¹ K₂(z), W² K₂(z). Показано, що приналежність інтегранта відповідному вейєрштрасівському класу гарантує коректну визначеність, компактну неперервність (K-неперервність), компактну диференційовність (K-диференційовність) і повторну компактну диференційовність (повторну K-диференційовність) основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва над гільбертовим простором.

3. Вперше отримано аналоги класичних необхідної умови Лежандра і достатньої умови Лежандра-Якобі для K-екстремуму основного варіаційного функціонала в над гільбертовим простором у випадках як однієї, так і багатьох змінних. Достатню умову K-екстремуму основного варіаційного функціонала в у термінах гессіана узагальнено на випадок багатьох змінних.

4. Вперше введено клас напів'ядерних локально опуклих просторів і просторів Соболєва над напів'ядерним локально опуклим простором. На цей випадок перенесено результати, що описані вище в пп. 2 і 3. Як застосування, вперше отримано варіаційне рівняння Ейлера-Лагранжа для варіаційного функціонала від скалярної функції з параметром.

5. Як застосування, вперше обчислено K-екстремуми «соболєвської косинус-норми» та «гармонічного косинус-осцилятора» в як у випадку скалярних, так і у випадку гільбертовозначних відображень. Розглянуто узагальнення цих прикладів на широкий клас псевдоквадратичних інтегрантів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має в основному теоретичне значення. Результати дисертації доповнюють і розвивають теорію екстремумів варіаційних функціоналів у просторі Соболєва .

Результати досліджень можуть бути використані в актуальних задачах сучасного варіаційного числення, що мають застосування в математичній фізиці, зокрема, для розрахунку компактних екстремумів у відповідних задачах механіки і фізики.

Особистий внесок здобувача. Роботи [1, 2, 7, 8, 10-13], що опубліковані за матеріалами дисертації, не мають співавторів, роботи [3-6, 9] вийшли в співавторстві з науковим керівником Орловим І.В.

Результати, що опубліковані в роботах [1, 2, 7, 8, 10-13], отримані здобувачем самостійно. У роботах [3-6, 9] професору І.В. Орлову належить постановка задачі і загальний план дослідження, отримані результати належать здобувачу.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Міжнародній конференції «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», присвяченій сторіччю академіка С.М. Нікольського (Москва, Росія, 23-29 травня 2005 р.); Conference «Analysіs and partіal dіfferentіal equatіons» іn honor of Pr. Bogdan Bojarskі (June 18-24, 2006 Mathematіcal Research and Conference Center, Bedlewo, Poland); Іnternatіonal Conference «Modern Analysіs and Applіcatіons (MAA 2007)» dedіcated to the centenary of Mark Kreіn (Odessa, Ukraіne, Aprіl 9-14, 2007); Міжнародній конференції «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», присвяченій пам'яті І.Г.Петровського (1901-1973) (Москва, Росія, 21-26 травня 2007 р.); Conference «Lіnear and non-lіnear theory of generalіzed functіons and іts applіcatіons» (September 2-8, 2007, Mathematіcal Research and Conference Center, Bedlewo, Poland); XVІ-ХІХ Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах: КРОМШ-2005, КРОМШ-2006, КРОМШ-2007, КРОМШ-2008 (Ласпі, Крим, Україна, 2005-2008 р.р.); Міжнародній конференції студентів і молодих вчених з диференціальних рівнянь та їх застосувань ім. Я.Б. Лопатинського, присвяченій 90-річчю НАН України (11-14 листопада 2008 р., Донецьк, Україна); семінарах кафедри алгебри і функціонального аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (під керівництвом проф. І.В. Орлова, Сімферополь, 2005-2008 р.р.); XXXІІІ-XXXVІ наукових конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (Сімферополь, Україна, 2005-2008 р.р.); об'єднаному семінарі відділів нелінійного аналізу, рівнянь з частинними похідними та рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (під керівництвом проф. О.А. Ковалевського, проф. В.П. Бурського, проф. А.Є. Шишкова, проф. А.Ф. Тедеєва, Донецьк, листопад, 2008 р.); Київському семінарі з функціонального аналізу, Інститут математики НАН України (під керівництвом акад. Ю.М. Березанського, чл.-кор. М.Л. Горбачука, чл.-кор. Ю.С. Самойленко, грудень, 2008 р.).

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел. Повний обсяг роботи - 161 сторінка, у тому числі основного тексту 133 сторінки. Список використаної літератури налічує 154 назви.

Публікації.

Основні результати дисертації викладено у 13 наукових працях, 8 з яких належать до переліку фахових наукових видань, 5 публікацій у збірниках тез конференцій.

Основний зміст дисертації

У вступі розкривається сутність і стан наукової проблеми та її значущість. Проведено огляд отриманих результатів, виділені положення, що виносяться на захист. Нумерація тверджень у дисертації й авторефераті та сама.

У розділі 1 наводиться коротка історична довідка стосовно кола питань, що мають відношення до теми роботи. Наведено огляд літератури з теми дисертації і сформульовані основні результати, що досягнуті в цьому напрямку.

Розділ 2 складається з вступу і трьох пунктів. У підрозділі 2.1 наведений огляд результатів, зв'язаних з поняттями компактного екстремуму, компактної неперервності, диференційовності (K-екстремуму, K-неперервності, K-диференційовності). Зокрема, розглядаються перенесені на випадок K-екстремуму класичні необхідні умови і достатні умови локального екстремуму для функціоналів однієї і двох перемінних у гільбертовому просторі. Крім цього, вводиться поняття слабкого K-екстремуму і вивчається співвідношення між слабким K-екстремумом, локальним екстремумом і сильним K-екстремумом при щільному компактному вкладенні двох гільбертових просторів.

Наведемо необхідні для подальшого розгляду поняття. Основну увагу ми приділяємо компактним екстремумам (K-екстремумам) функціоналів у гільбертовому просторі. Однак загальні поняття K-екстремуму, K-неперервності та K-диференційовності були введені в довільному дійсному повному локально опуклому просторі (ЛОП).

Означення 2.1.1 Нехай E - повний дійсний ЛОП, Ф:E>?. Говорять, що функціонал Ф має компактний екстремум (K-екстремум) в точці y?E, якщо для будь-якого абсолютно опуклого компакта C?E звуження Ф на y+span C має локальний екстремум в точці відносно норми ??Ѓa_C в span C, породженої С.

Означення 2.1.25 Говорять, що функціонал Ф компактно неперервний (K-неперервний) в точці y?E, якщо для будь-якого абсолютно опуклого компакта C?E звуження Ф на y+span C, відповідно, неперервно, диференційовано по Фреше, двічі диференційовано по Фреше і т.д. в точці відносно норми ??Ѓa_C в span C, породженої C.

Перейдемо до випадку гільбертового простору. Усюди далі Н і H_i- нескінченновимірні сепарабельні гільбертові простори.

Теорема 2.1.14 Функціонал Ф:H>? має K-екстремум в точці y?H тоді і тільки тоді, коли для будь-якого компактного еліпсоїда С_? звуження Ф на y+span С_? має в точці локальний екстремум відносно гільбертової норми .

У випадку гільбертового простору, можна розглянути більш слабкий тип компактного екстремуму.

Означення 2.1.19 Говорять, що функціонал Ф:H>? має слабкий компактний екстремум (слабкий K-екстремум) в точці y?H, якщо знайдеться такий (невироджений) компактний еліпсоїд С_?, що звуження Ф на y+span С_? має локальний екстремум в відносно норми .

Зауважимо, що слабкі K-екстремуми відіграють роль екстремумів по «компактним напрямкам». На відміну від них, K-екстремуми, введені в означені 2.1.1, назвемо сильними.

Основним результатом розділу 2 є узагальнення достатньої умови K-екстремуму функціонала від двох змінних на випадок функціоналів від n змінних, а також одержання відповідної необхідної умови K-екстремуму функціоналів від n змінних (підрозділ 2.3). Для цього в підрозділі 2.2 отримані необхідні для рішення цієї задачі твердження про операторні матриці і квадратичні форми, а саме, достатня умова додатної означеності, K- додатної означеності, та необхідна умова невід'ємності операторних матриць і квадратичних форм у добутку n гільбертових просторів.

У 3 розділі розглянуті K-аналітичні властивості основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва над гільбертовим простором. У підрозділі 3.1 даного розділу міститься огляд деяких відомих результатів по коректній визначеності, абсолютним, локальним і K-екстремумам варіаційних функціоналів у просторі Соболєва . Розглянуто приклад нелокального компактного екстремуму, а також приклад слабкого K-екстремуму, який не є сильним.

У підрозділі 3.2 викладені основні результати розділу: умови коректної визначеності, K-неперервності, K-диференційовності і повторної K-диференційовності функціонала Ейлера-Лагранжа в термінах приналежності інтегранта, відповідно, класам K₂(z), WK₂(z), W¹ K₂(z),

W² K₂(z). Показано на прикладах, що K-аналітичні властивості слабкіші відповідних класичних.

Базисним надалі є поняття псевдоквадратичного відображення.

Означення 3.2.1 Борелівське відображення f :?ЧYЧZ>F, де ?-компактний простір зі скінченною борелівською мірою, Y, Z, F-дійсні банахові простори, назвемо псевдоквадратичним за z (f ? K₂ (z)), якщо f можна подати у вигляді:

f(x,y,z)=P(x,y,z) +R(x,y,z)??z?² , (5)

де для будь-якого компакта C_Y борелівські відображення P і R істотно за x?? обмежені на T_C =?Ч C_Y ЧZ.

Тоді має місце наступна

Теорема 3.2.2 Нехай E-банаховий простір, f :[a;b]ЧE²>?. Тоді за умови f? K ₂ (z) варіаційний функціонал Ейлера-Лагранжа визначений всюди на .

Властивість K-неперервності функціонала (6) в вимагає більш сильних умов для f і гільбертового простору значень для .

Означення 3.2.5 Нехай, у позначеннях означення 3.2.1, f? K₂(z) і неперервне за . Назвемо відображення f вейєрштрасівським псевдоквадратичним: f?WK ₂ (z), якщо представлення (5) можна вибрати таким чином, що для будь-якого компакта C_Y відображення P і R рівномірно неперервні й обмежені на T_C .

Тоді, якщо , то функціонал (6) K-неперервний всюди на ([a;b],H) (Н-дійсний гільбертів простір) (теорема 3.2.7).

Розглянемо приклад інтегрального функціонала, що є K-неперервним в , але при цьому розривним у нулі в звичайному розумінні. Цей функціонал уже приводився раніше (приклад 3.1.13).

Для K-диференційовності та повторної K-диференційовності функціонала Ейлера-Лагранжа (6 ) ми вимагаємо приналежність інтегранта класам відображень W¹K ₂ (z) і W²K ₂ (z) відповідно, а саме

Означення 3.2.10 Нехай, у позначеннях означень 3.2.1-3.2.5, f? WK₂(z) і неперевно диференційовне за . Скажемо, що відображення f належить класу W¹K₂(z), якщо представлення (5) можна вибрати таким чином, що для будь-якого компакта C_Y не тільки P і R, але також і градієнти ?P, ?R рівномірно неперервні й обмежені на T_C .

Означення 3.2.16 Якщо ж f? W¹K ₂(z) і двічі неперервно диференційовне за , то f належить класу W²K ₂ (z), якщо додатково і гессіани Н(P), Н(R) рівномірно неперервні й обмежені на T_C .

Тоді мають місце наступні теореми

Теорема 3.2.14 (3.2.18) Якщо f? W¹K₂(z) (f?W²K₂(z)), то функціонал Ейлера-Лагранжа (6) K-диференційовний (повторно K-диференційовний) всюди на .

Примітка В монографії І.В. Скрипника «Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка» (1973 р.) було вперше доведено, що варіаційний функціонал (6) в просторі у загальному випадку не є двічі сильно диференційовним (за винятком чисто квадратичного випадку за ). Нами отримано в теоремі 3.2.18 умова більш слабкої властивості повторної K-диференційовності для більш широкого класу псевдоквадратичних інтегрантів.

Далі в підрозділах 3.2.3 і 3.2.4 установлені прості достатні умови приналежності інтегранта відповідним вейєрштрасівським класам і досліджений їх зв'язок із класичними оцінками росту інтегранта. Показано на прикладах, що K-аналітичні властивості слабкіші класичних.

У розділі 4 розглянуті достатні і необхідні умови компактного екстремуму основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва над гільбертовим простором. У підрозділі 4.1 даного розділу розглянуте рівняння Ейлера-Лагранжа для K-екстремалей основного варіаційного функціонала в .

Теорема 4.1.1 Нехай f із класу W¹K₂ (z) . Якщо функціонал (6) має сильний K-екстремум в точці y(?)?, то (y)=0. Якщо існує лагранжіан м.в., то остання рівність рівносильна узагальненому рівнянню Ейлера-Лагранжа.

Розв'язки рівняння Ейлера-Лагранжа назвемо K-екстремалями.

Остання теорема узагальнена на випадок сильного K-екстремуму функціонала Ейлера-Лагранжа від n змінних.

Досліджена також зворотна задача про гладкість рішень узагальненого рівняння Ейлера-Лагранжа (7). У класичному випадку C¹, як відомо, виконання варіаційного рівняння всюди за певних умов спричиняє повторну неперервну диференційовність y(?). Поставимо аналогічне питання в просторі Соболєва : чи буде розв'язок варіаційного рівняння (7) належати класу ? Виявляється, що це не так.

Далі в підрозділі 4.2. отримано аналог класичної необхідної умови Лежандра для K-екстремуму варіаційних функціоналів однієї і багатьох змінних.

Теорема 4.2.1 Нехай, в умовах теоремі 4.1.1, f із класу W²K ₂ (z) , y(?)-K-екстремаль функціонала (6) у . Якщо функціонал Ейлера-Лагранжа (6) має сильний K-мінімум в точці y(?), то K-екстремаль y(?) майже всюди на [a;b] задовольняє необхідну умову Лежандра.

За допомогою необхідної умови невід'ємності квадратичних форм у добутку n гільбертових просторів теорему 4.2.1 для сильного K-екстремуму узагальнено на випадок функціонала Ейлера-Лагранжа від n змінних (8).

У підрозділі 4.3 отриманий аналог класичної достатньої умови Лежандра-Якобі для K-екстремуму варіаційних функціоналів однієї і багатьох змінних. Далі символ «» означає додатну визначеність квадратичної форми.

Теорема 4.3.4 Нехай, в умовах теоремі 4.1.1, f із класу W²K₂(z) , y(?)-K-екстремаль функціонала (6) у . Якщо на K-екстремалі y(?): 1) виконано посилена умову Лежандра; 2) виконано умову Якобі, то Ф має сильний К-мінімум у y(?).

За допомогою достатньої умови додатної означеності квадратичних форм у добутку n гільбертових просторів теорему 4.3.4 для сильного K-екстремуму узагальнено на випадок функціонала Ейлера-Лагранжа від n змінних (8).

Відзначимо зв'язок умов існування сильного K-екстремуму, слабкого K-екстремуму і локального екстремуму основного варіаційного функціонала в . Із зауваження 2.1.24 та прикладу 2.1.22 легко випливає зв'язок достатніх умов та необхідних умов сильного K-екстремуму в і локального екстремуму в С¹.

Нарешті, у підрозділі 4.6 узагальнено приклад 3.1.12 K-екстремуму варіаційного функціонала, який не є локальним, на випадок функціонала Ейлера-Лагранжа від n функцій зі значеннями в гільбертовому просторі.

У розділі 5 досліджено основний варіаційний функціонал в просторі Соболєва над напівядерним ЛОП, розглянуті деякі застосування. У підрозділі 5.1 даного розділу введене поняття напівядерного ЛОП.

Означення 5.1.4 Віддільний повний локально опуклий простір E назвемо напівядерним, якщо в ньому існує визначальна система напівнорм, що породжені напівскалярними добутками.

Розглянуті K-аналітичні властивості функціонала Ейлера-Лагранжа у випадку простору Соболєва над напів'ядерним ЛОП. У підрозділі 5.2 на випадок відображень зі значеннями в напів'ядерному ЛОП перенесені достатні і необхідні умови K-екстремуму основного варіаційного функціонала, отримані в розділі 4.

У підрозділі 5.3 розглянуто застосування отриманих раніше результатів для векторнозначних функцій до варіаційного функціонала від скалярної функції з параметром, отримано варіаційне рівняння Ейлера-Лагранжа для цього випадку.

Нарешті, у підрозділі 5.4 розглянуто застосування до обчислення K-екстремумів для узагальнень деяких відомих варіаційних функціоналів у .

Приклад 5.4.1 «Соболєвська косинус-норма».

Розглянемо функціонал

(y'²(x)?cos y'(x)+y(x))dx, (11)

який ми назвемо «соболєвською косинус-нормою». Показано, що функціонал (11) не має

локального (і, тим більше, абсолютного) мінімуму в 0?, але має K-мінімум в нулі.

Приклад 5.4.2 «Гармонічний косинус-осцилятор».

Розглянемо функціонал

(y'²(x)?cos y'(x)-y(x))dx, (13)

який ми назвемо «гармонічним косинус-осцилятором». Показано, що (13) не має локального (і, тим більше, абсолютного) мінімуму в 0 для будь-якого T >0, але при T<р має K-мінімум в нулі.

Нарешті, розглянуто узагальнення прикладів 5.4.1-5.4.2 на широкий клас псевдоквадратичних інтегрантів («соболєвська квазінорма» і «квазігармонічний осцилятор», приклад 5.4.3), а також узагальнення цих прикладів на випадок функцій зі значеннями в гільбертовому просторі.

Основні результати та висновки

У дисертації побудована, в основних рисах, загальна теорія компактних екстремумів варіаційних функціоналів у гільбертових просторах Соболєва. Дисертантом отримано наступні основні результати.

1. Отримано умови додатної означеності, K- додатної означеності, а також невід'ємності операторних матриць і квадратичних форм у добутку n гільбертових просторів. На цій базі доведені, у термінах, відповідно, гессіанів і K-гессіанів, необхідні умови і достатні умови як локального, так і компактного екстремуму функціонала від n змінних у гільбертовому просторі.

2. Введено клас K ₂ (z) псевдоквадратичних по відображень. Показано, що псевдоквадратичність інтегранта гарантує коректну визначеність функціонала Ейлера-Лагранжа. Введено класи WK ₂ (z) , W¹K ₂ (z) , W²K ₂ (z) вейєрштрасівських псевдоквадратичних відображень. Показано, що приналежність інтегранта відповідному вейєрштрасівському класу гарантує K-неперервність, K-диференційовність і повторну K-диференційовність варіаційного функціонала в просторі Соболєва . Показано на прикладах, що K-аналітичні властивості слабкіші класичних. Отримано прості достатні умови приналежності інтегранта вейєрштрасівським класам, проведене їх порівняння з класичними умовами на ріст інтегранта. Розглянуто конкретні приклади.

3. Уточнено умови й отримано у випадку n змінних рівняння Ейлера-Лагранжа для сильного K-екстремуму варіаційного функціонала. Досліджено питання про гладкість K-екстремалей.

4. Доведено аналоги класичних необхідної умови Лежандра і достатньої умови Лежандра-Якобі екстремуму варіаційного функціонала в у випадку сильного K-екстремуму в гільбертовому просторі Соболєва . Отримані результати узагальнені на випадок функціонала Ейлера-Лагранжа від n змінних. На випадок n змінних узагальнена також достатня умова сильного K-екстремуму у термінах гессіана інтегранта.

5. Введено клас напів'ядерних ЛОП. На випадок простору Соболєва над напів'ядерним ЛОП узагальнено отримані в розділі 2 теореми про коректну визначеність і K-аналітичні властивості основного варіаційного функціонала, а також отримані в розділі. 3 необхідні умови і достатні умови K-екстремуму основного варіаційного функціонала.

6. Як застосування, отримано варіаційне рівняння Ейлера-Лагранжа варіаційного функціонала від скалярної функції з параметром. Ще одним застосуванням є обчислення нелокальних K-екстремумів «соболєвської косинус-норми» та « гармонічного косинус-осцилятора» в просторі Соболєва як у скалярному, так і в гільбертовому випадку, а також узагальнення цих прикладів на широкий клас псевдоквадратичних інтегрантів.

операторний матриця екстремум функціонал

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Божонок Е.В. Достаточные условия экстремума интегральных функционалов в произведении ядерных пространств / Е.В. Божонок // Динамические системы (межвед. науч. сб.). - Симферополь: ТНУ, 2005. - Вып.19. - С.100-117.

2. Божонок Е.В. Достаточные и необходимые условия экстремума функционалов в ядерных локально выпуклых пространствах в случае многих переменных / Е.В. Божонок // Ученые записки ТНУ, серия Математика. Механика. Информатика и кибернетика. - 2005. - № 1. - С. 3-26.

3. Орлов И.В. Пространства K-непрерывных линейных операторов и функционалов / И.В. Орлов, Е.В. Божонок // Динамические системы (межвед. науч. сб.). - Симферополь: ТНУ, 2006. - Вып. 20. - С. 123-132.

4. Орлов И.В. Условия существования, K-непрерывности и K-дифференцируемости функционала Эйлера-Лагранжа в пространстве Соболева / И.В. Орлов, Е.В. Божонок // Ученые записки ТНУ, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика». - 2006. - № 2. - С. 63-78.

5. Божонок Е.В. Условия Лежандра и Якоби для экстремумов вариационных функционалов в пространстве Соболева / Е.В. Божонок, И.В. Орлов // Комплексний аналіз і течії з вільними границями / Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2006. -Т. 3, № 4. - С. 282-293.

6. Божонок К.В. Умови Лежандра-Якобі для компактних екстремумів інтегральних функціоналів / К.В. Божонок, І.В. Орлов // Доповіді НАН України. - 2006. - № 11. - С. 11-15.

7. Bozhonok E.V. On solutions to «almost everywhere»- Euler-Lagrange equation in Sobolev space / E.V. Bozhonok // Methods of Functional Analysis and Topology. - Kyiv: Institute of Mathematics, Ukrainian National Academy of Sciences, 2007. - Vol. 13, no 3. - P. 262-266.

8. Божонок Е.В. Пример K-непрерывного, разрывного вариационного функционала в пространстве Соболева / Е.В. Божонок // Динамические системы (межвед. науч. сб.). - Симферополь: ТНУ, 2007. - Вып. 22. - С. 140-144.

9. Божонок Е.В. Критерий Сильвестра для операторных матриц и его приложения / Е.В. Божонок , И.В. Орлов // Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвящённая столетию академика С.М. Никольского (Москва, Россия, 23-29 мая 2005 г.): Тезисы докладов. - М.: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2005. - С. 61.

10. Bozhonok E. Compact extrema of integral functionals: a case of several variables / E.V. Bozhonok // Conference «Analysis and partial differential equations» in honor of Pr. Bogdan Bojarski (June 18-24, 2006 Mathematical Research and Conference Centre, Bedlewo, Poland): Book of abstracts. - 2006. - P. 13.

11. Божонок Е.В. Компактные экстремумы вариационных функционалов в пространстве Соболева / Е.В. Божонок // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённая памяти И.Г.Петровского (1901-1973) (Москва, Россия, 21-26 мая 2007 г.): Тезисы докладов. - М.: Московский гос. университет им. М.В. Ломоносова, 2007. - С. 49.

12. Bozhonok E. Some existence conditions of compact extrema for variation functionals in Sobolev space / E.V. Bozhonok // International Conference «Modern Analysis and Applications (MAA 2007)» dedicated to the centenary of Mark Krein (Odessa, Ukraine, April 9-14, 2007): Book of abstracts. -2007. - P. 27-28.

13. Божонок Е.В. Компактные экстремумы вариационных функционалов в пространстве Соболева / Е.В. Божонок // Друга Міжнародна конференція молодих вчених з диференціальних рівнянь та їх застосувань імені Я.Б. Лопатиського (Україна, Донецьк, 11-14 листопада, 2008): Тези доповідей. - 2008. - С. 43-44.

Анотація

Божонок К.В. Компактні екстремуми та компактно-аналітичні властивості основного варіаційного функціонала в просторі Соболєва . - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут прикладної математики і механіки, Донецьк, 2008.

Дисертація присвячена побудові, в основних рисах, загальної теорії компактних екстремумів, а також опису компактно-аналітичних властивостей основного варіаційного функціонала в просторах Соболєва над гільбертовим і напівядерним просторами.

Доведено теореми про коректну визначеність, K-неперервність, K-диференційовність і повторну K-диференційовність варіаційного функціонала в просторі Соболєва над гільбертовим простором.

Розглянуто рівняння Ейлера-Лагранжа для K-екстремалей основного варіаційного функціонала в . Доведена необхідна умова Лежандра і достатня умова Лежандра-Якобі для K-екстремуму основного варіаційного функціонала у у випадку як однієї, так і багатьох змінних. Узагальнено на випадок багатьох змінних достатня умова K-екстремуму у термінах гессіана підінтегральної функції.

На випадок простору Соболєва над напів'ядерним ЛОП узагальнено отримані теореми про коректну визначеність і K-аналітичні властивості, а також умови існування K-екстремуму основного варіаційного функціонала. Як застосування, отримано варіаційне рівняння Ейлера-Лагранжа варіаційного функціонала від скалярної функції з параметром. Розглянуто широкий клас варіаційних функціоналів в , що мають нелокальні K-екстремуми.

Ключові слова: варіаційний функціонал, простір Соболєва, компактний екстремум, компактно-аналітичні властивості, рівняння Ейлера-Лагранжа, необхідна умова Лежандра, достатня умова Лежандра-Якобі.

Аннотация

Божонок Е.В. Компактные экстремумы и компактно-аналитические свойства основного вариационного функционала в пространстве Соболева . - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики, Донецк, 2008.

Диссертация посвящена построению, в основных чертах, общей теории компактных экстремумов, а также описанию компактно-аналитических свойств основного вариационного функционала.

Получены как необходимые, так и достаточные условия локальных и компактных экстремумов (K-экстремумов) произвольных функционалов от n гильбертовых переменных на базе условий положительной, K-положительной определенности и неотрицательности операторных матриц в произведении n гильбертовых пространств.

Доказаны теоремы о корректной определенности, компактной непрерывности (K-непрерывности), компактной дифференцируемости (K-дифференцируемости) и повторной компактной дифференцируемости (повторной K-дифференцируемости) основного вариационного функционала в пространстве Соболева над гильбертовым пространством. Показано, что соответствующие компактно-аналитические свойства гарантируются принадлежностью интегранта подходящему вейерштрассовскому классу WK ₂ (z) , W¹K ₂ (z) , W²K ₂ (z) .

Рассмотрено уравнение Эйлера-Лагранжа для K-экстремалей основного вариационного функционала в . Исследована также обратная задача о гладкости решений обобщенного уравнения Эйлера-Лагранжа. Доказаны необходимое условие Лежандра и достаточное условие Лежандра-Якоби для K-экстремума основного вариационного функционала в над гильбертовым пространством в случаях как одной, так и многих переменных. Обобщено на случай многих переменных достаточное условие K-экстремума вариационного функционала в в терминах гессиана подынтегральной функции. Наконец, описан пример K-экстремума вариационного функционала от n гильбертовых переменных, который не является экстремумом.

На случай пространства Соболева над введенным в диссертации обширным классом полуядерных ЛВП обобщены полученные теоремы о корректной определенности и K-аналитических свойствах основного вариационного функционала, а также полученные необходимые условия и достаточные условия K-экстремума основного вариационного функционала. В качестве приложения получено вариационное уравнение Эйлера-Лагранжа вариационного функционала от скалярной функции с параметром. Еще одним приложением является вычисление нелокальных K-экстремумов «соболевской косинус-нормы» и «гармонического косинус-осциллятора» как в скалярном, так и в гильбертовом случае, а также обобщение этих примеров на широкий класс псевдоквадратичных интегрантов.

Ключевые слова: вариационный функционал, пространство Соболева, компактный экстремум, компактно-аналитические свойства, уравнение Эйлера-Лагранжа, необходимое условие Лежандра, достаточное условие Лежандра-Якоби.

Abstract

Bozhonok E.V. Compact extremum and compact analytical properties of basic variational functional in Sobolev space . - Manuscript.

The dissertations for obtaining scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.02 - differential equations. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Donetsk, 2008.

Thesis is devoted to the construction, on the whole, of the general theory of compact extremums (K-extremums) and also to the description of compact-analytical (K-analytical) properties of the basic variational functional in Sobolev space over Hilbert space and seminuclear space.

The theorems on well-posedness, compact continuity, compact differentiability and twice compact differentiability of the variational functional in Sobolev space over Hilbert space are proved.

The Euler-Lagrange equation for K-extremal of the basic variational functional in is considered. Legendre necessary condition and Legendre-Jacobi sufficient condition for K-extremum of the variational functional in both in the cases of one and several variables are proved. The sufficient condition of K-extremum in the terms of Hessian of integrand function is generalized in the case of several variables.

The theorems on well-posedness and K-analytical properties and also K-extremum existence conditions of basic variational functional are generalized to the case of Sobolev space over seminuclear LCS. As application, Euler-Lagrange variational equation for variational functional of scalar function with parameter is obtained. The extensive classes of the examples of nonlocal K-extremums of variational functionals are considered.

Key words: variational functional, Sobolev space, compact extremum, compact-analytical properties, Euler-Lagrange equation, Legendre necessary condition, Legendre-Jacobi sufficient condition.. Размещено на Allbest.ru