Дослідження апроксимативних характеристик класів функцій багатьох змінних

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дослідження апроксимативних характеристик класів функцій багатьох змінних

01.01.01 -- математичний аналіз

Янченко Сергій Якович

Київ -- 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук

РОМАНЮК Анатолій Сергійович,

Інститут математики НАН України,

старший науковий співробітник,

завідувач відділу теорії функцій.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ВАКАРЧУК Сергій Борисович,

Дніпропетровський університет економіки і права імені Альфреда Нобеля,

професор кафедри економічної кібернетики та математичних методів в економіці;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ПОПОВ Петро Аркадійович,

Київський національний університет технологій і дизайну,

доцент кафедри вищої математики.

Загальна характеристика роботи

Робота присвячена дослідженню апроксимативних характеристик деяких класів функцій, визначених на . Зокрема, вивчається наближення класів та цілими функціями експоненціального типу з відповідними спектрами у просторі .

Актуальність теми. Для наближення функцій, заданих на , , природним апаратом наближення є цілі функції експоненціального типу. Основи сучасної теорії наближення цілими функціями закладено у роботах С. Н. Бернштейна. Саме йому належить ідея побудови теорії наближення функцій, заданих на дійсній осі, яка містить у собі й теорію наближення періодичних функцій. Ця ідея виявилась дуже корисною для обох теорій - -- упродовж багатьох десятиріч вони успішно розвиваються і взаємно доповнюють одна одну. Результати досліджень, пов'язаних з наближенням функцій, заданих на дійсній осі, відображені у працях Н. І. Ахієзера, І. І. Ібрагімова, О. І. Степанця, О. П. Тімана, Paul L. Butzer, Rolf J. Hessel та інших. Паралельно, проте менш інтенсивно, розвивалася теорія наближення функцій і у просторі . Відповідні результати у цьому напрямі наведено, зокрема, в книгах С. М. Нікольського та Х. Трібеля. Крім цього, дослідженням наближень функцій однієї та багатьох змінних займалася велика кількість дослідників, серед них: О. В. Бєсов, C. Б. Вакарчук, І. І. Ібрагімов, Л. Д. Кудрявцев, П. І. Лізоркін, Ф. Г. Насібов, С. М. Нікольський, О. І. Степанець, В. М. Тіхоміров.

Починаючи з 60-х років минулого століття важливе місце в теорії наближення посідає напрям, пов'язаний з дослідженням апроксимативних характеристик класів функцій багатьох змінних. Завдяки роботам К. І. Бабенка, в яких вивчалися найкращі наближення періодичних функцій багатьох змінних з класів Соболєва і , було встановлено, що для оптимального наближення функцій з цих класів слід використовувати тригонометричні поліноми, "номери" гармонік яких знаходяться у так званих гіперболічних хрестах. Згодом наближенням функцій багатьох змінних з класів Соболєва , а також Нікольського-Бєсова за допомогою тригонометричних поліномів зі спектром у гіперболічних хрестах займалися К. I. Бабенко, Є. С. Белінський, Е. М. Галєєв, Н. С. Нiкольська, В. М. Темляков, А. С. Романюк та інші. Тому на сьогоднішній день є підстави стверджувати, що у багатьох важливих напрямах теорія наближення відомих класів періодичних функцій багатьох змінних вже носить завершений характер, хоч, безумовно, тут ще залишилися важливі задачі, які потребують свого розв'язання.

Паралельно, але в меншій мірі, проводилися дослідження наближення аналогічних класів функцій, що задані на . Причому, в залежності від того, яким чином задаються класи функцій, для їх наближення використовувалися цілі функції з відповідним спектром. Так, наближенням класів функцій багатьох змінних за допомогою цілих функцій зі спектром у східчастому гіперболічному хресті присвятили свої дослідження Я. С. Бугров, Дінь Зунг, Г.Г. Магаріл-Ільяєв, В. М. Тіхоміров, Chen Dirong, Hans-Jurgen Schmeisser, Liu Yongping, Sun Yongsheng, Tino Ullrich, Wang Heping, Winfried Sickel та інші. Зазначимо також, що у роботах П. І. Лізоркіна, Г. Г. Магаріл-Ільяєва, В. М. Тіхомірова, O. І. Степанця, А. Л. Шидліча досліджувалися питання наближення функцій, заданих на цілими функціями зі спектром в областях, відмінних від східчастого гіперболічного хреста.

Констатуючи істотний внесок цих науковців у розвиток досліджуваної проблеми, варто зазначити, що на сьогодні ще залишається низка важливих питань, які чекають свого розв'язання. Це в першу чергу стосується дослідження деяких апроксимативних характеристик добре відомих класів Нікольського-Бєсова , , а також їх узагальнень . Аналіз літератури свідчить про те, що в останнє десятиліття ведуться досить інтенсивні дослідження згаданих класів функцій та їх узагальнень в роботах китайських, німецьких, в'єтнамських та казахських математиків. Серед них відзначимо: Д. Б. Базарханова, Дінь Зунга, Jiang Yanjie, Liu Yongping, Xu Guiqiao, Wang Heping, Winfried Sickel.

Таким чином, з огляду на сказане вище, актуальним є дослідження питань, пов'язаних з наближенням функцій з класів , , а також їх узагальнень за допомогою цілих функцій зі спектром у відповідних областях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту математики НАН України згідно з науково-дослідною темою: «Теорія наближень в лінійних просторах», номер державної реєстрації 0106 U 000406.

Мета і завдання дослідження.

Метою дослідження дисертаційної роботи є поширення відомих результатів щодо найкращого наближення цілими функціями з носієм перетворення Фур'є у східчастому гіперболічному хресті функцій класів i розглянутих відповідно Т. І. Амановим та С. М. Нікольським, на класи i , які визначаються функцією типу мішаного модуля неперервності порядку деякого спеціального вигляду; а також знаходження порядкових оцінок наближення класів i цілими функціями, з носієм перетворення Фур'є на множинах певної структури. Крім цього, метою даної роботи є поширення результатів стосовно найкращого наближення класів i періодичних функцій багатьох змінних, розглянутих О. В. Бєсовим і С.М. Нікольським, на ці ж класи функцій, які визначені на .

Об'єктом дослідження є функціональні класи , , і, зокрема, , , .

Предметом дослідження є деякi апроксимативні характеристики наведених вище класів функцій багатьох змінних. Зокрема, досліджуються величини найкращого наближення цілими функціями зі спектром у певних областях, також досліджується наближення цілими функціями зі спектром спеціального вигляду.

Завдання дослідження:

1. Встановити декомпозиційне представлення для норми функцій з просторів .

2. Знайти точні за порядком оцінки найкращих наближень класів у просторі цілими функціями зі спектром у східчастому гіперболічному хресті .

3. Встановити точні за порядком оцінки найкращого наближення класів цілими функціями зі спектром у кубічній області.

4. Дослідити поведінку наближень класів , за допомогою цілих функцій зі спектром спеціального вигляду у просторі , при певних співвідношеннях між параметрами та порівняти одержані результати з відомими результатами для найкращих наближень цих же класів функцій цілими функціями зі спектром у східчастому гіперболічному хресті.

Методи дослідження. При розв'язанні поставлених задач у дисертаційній роботі використовуються загальні методи теорії функцій у поєднанні з методами, які були розроблені у роботах В. М. Темлякова, А. С. Романюка, Н. Н. Пустовойтова, Sun Yongsheng, Wang Heping, та інших.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи, що виносяться на захист, є новими і полягають у такому:

1. Доведено теорему про декомпозиційне представлення норми функцій з просторів .

2. Одержано точні за порядком оцінки найкращих наближень класів цілими функціями експоненціального типу зі спектром у східчастому гіперболічному хресті.

3. Встановлено точні за порядком оцінки наближення класів цілими функціями експоненціального типу зі спектром у кубічній області.

4. Знайдено порядкові оцінки наближення класів цілими функціями зі спектром спеціального вигляду у просторі , при певних співвідношеннях між параметрами та . Встановлено, що у деяких випадках відповідні апроксимативні характеристики і оцінки найкращих наближень цілими функціями зі спектром у східчастому гіперболічному хресті мають різні порядки.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи та методика їх отримання можуть бути використані при подальшому вивченні питань наближення функцій багатьох змінних.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковому керівнику - доктору фіз.-мат. наук А. С. Романюку. Теорему 2.1 отримано спільно з С. А. Стасюком. Внесок співавторів є рівноцінним. Всі інші результати здобувач отримав самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на:

ѕ семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України; керівник семінару - доктор фіз.-мат. наук А. С. Романюк);

ѕ семінарі "сучасний аналіз" (механіко-математичний факультет Київського національного університету імені Тараса Шевченка; керівники семінару - професори Ю. Г. Кондратьєв та І. О. Шевчук);

ѕ семінарі з теорії функцій (механіко-математичний факультет Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара; керівники семінару - доктор фіз.- мат. наук, член-кореспондент НАН України В. П. Моторний, доктор фіз.-мат. наук, професор В. Ф. Бабенко);

ѕ Дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука, Київ, 15 - 17 травня 2008 року;

ѕ міжнародній науковій конференції «Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування» з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А. М. Самойленка, Мелітополь, 16 - 21 червня 2008 року;

ѕ міжнародній науковій конференції «Современные проблемы математики, механики и их приложений», Москва, 30 березня - 2 квітня 2009 року;

ѕ міжнародній науковій конференції «Аналітичні методи механіки та комплексного аналізу», Київ, 29 червня - 5 липня 2009 року;

ѕ міжнародній науковій конференції «Функціональні методи в теорії апроксимації та теорії операторів», с. Світязь, Волинь, Україна, 22 - 26 серпня 2009 року;

ѕ міжнародній конференції «Теория приближений», Санкт - Петербург, 6 - 8 травня 2010 року;

ѕ міжнародній конференції «Теорія наближень і її застосування», Дніпропетровськ, 14 - 17 червня 2010 року;

ѕ міжнародній конференція «Сучасні проблеми аналізу», присвяченій 70-й річниці кафедри математичного аналізу Чернівецького університету, Чернівці, 30 вересня - 3 жовтня 2010 року.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у дванадцяти наукових працях, з яких чотири є статтями у виданнях, що належать до переліку ВАК'у фахових наукових видань [1 - 4], а вісім опубліковано у матеріалах восьми міжнародних наукових конференцій [5 - 12].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 135 найменувань. Повний обсяг роботи складає 128 сторінок друкованого тексту.

Основний зміст дисертації

У першому розділі дисертаційної роботи проведено огляд літератури за темою дослідження. У підрозділі 1.1 подано основні відомості про цілі функції експоненціального типу. Наведено ряд співвідношень, які мають істотне значення в теорії наближення й використовуються для встановлення результатів дисертаційної роботи. Підрозділ 1.2 присвячено огляду досліджень класів Нікольського-Бєсова, а також їх узагальнень. У підрозділі 1.3 сформульовано результати з найкращого наближення класів функцій цілими функціями експоненціального типу з носієм перетворення Фур'є у східчастому гіперболічному хресті.

Нехай - d-вимірний евклідів простір з елементами і . , - простір вимірних функцій зі скінченною нормою

Нехай, далі, , і , , , . Задамо невід'ємний вектор і , де

Дамо означення просторів , які є узагальненням просторів . Для означимо кратну різницю го порядку, , з векторним кроком за допомогою формули

і покладемо

- мішаний модуль неперервності функції . Тут , (далі будемо писати ), і нерівність означає, що .

Нехай - функція типу мiшаного модуля неперервності порядку , тобто функція визначена на і вона задовольняє такі умови:

1) і , якщо ;

2) не спадає за кожною змiнною;

3) , ;

4) - неперервна на .

Будемо також вважати, що задовольняє умови та , що називаються умовами Барi-Стєчкiна, які полягають у такому.

Функція однієї змінної задовольняє умову , якщо майже зростає з деяким , тобто існує така незалежна від i стала , що

Функція задовольняє умову , , якщо майже спадає з деяким , тобто існує така незалежна від i стала , що

Вважатимемо, що задовольняє умови і , якщо задовольняє ці умови за кожною змінною при фіксованих . Стверджуючи це (також і для функції однієї змінної), будемо використовувати запис: .

Отже, для і функції типу мішаного модуля неперервності порядку покладемо

, де

якщо , та

Як вже відмічалося, простори є узагальненням просторів , тобто якщо , то простори і співпадають.

Коли , то будемо говорити, що функція належить класу , зберігаючи при цьому для класів ті ж самі позначення, що і для просторів .

У роботі також досліджуються простори . Дамо їх означення. Для та позначимо через кратну різницю

Означимо модуль k-го порядку функції , який будемо позначати , за допомогою такої формули:

Будемо говорити, що функція належить простору , , якщо

і

Відмітимо, що при цьому виконується співвідношення .

Під класом будемо розуміти множину функцій , для яких . Зауважимо, що у випадку простори та співпадають.

Означимо апроксимативні характеристики, які досліджуються у дисертаційній роботі.

Нехай - простір основних функцій Л. Шварца і - простір лінійних функціоналів над . Зауважимо, що елементами простору є узагальнені функції. Через будемо позначати перетворення Фур'є, а через - обернене перетворення Фур'є. Оскільки для кожного , існує природне неперервне вкладення в , то в цьому сенсі функції з ототожнюються з елементами з .

Для кожного вектора , розглянемо множину

де і .

Для позначимо , де . Множина породжує в так званий східчастий гіперболічний хрест і при цьому . функція змінна гіперболічний фур'є

Носієм функції будемо називати замикання множини точок, де вона не дорівнює нулю, й будемо позначати . Як звичайно, під спектром функції будемо розуміти носій її перетворення Фур'є.

Нехай, далі, , і покладемо

Множина є підпростором в , а її елементами є цілі функції експоненціального типу, з носієм їх перетворення Фур'є у східчастому гіперболічному хресті.

Величина

називається найкращим наближенням функції функціями із .

Для функціонального класу покладемо

Нехай - деяка множина. Позначимо через характеристичну функцію множини і для , покладемо

Розглянемо функцію

і введемо таке позначення:

Слід відзначити, що для , має місце співвідношення

Далі, розглянемо вектор і поставимо йому у відповідність вектор , а вектору вектор , де , якщо , i при . Крім цього, будемо розглядати множину , а також множину , яка визначається аналогічним чином, з заміною вектора сумування на .

Для множин аналогічно можна означити величини та , функції та і, відповідно, величини та .

Означимо ще одну апроксимативну характеристику, яка досліджується у роботі.

Для введемо таке позначення:

- множина цілих функцій з носієм їх перетворення Фур'є в області

Для функції будемо розглядати її найкраще наближення у просторі за допомогою функцій з множини . По аналогії з покладемо

Відповідно, для функціонального класу позначимо

Нехай - незалежна змінна в просторі перетворень Фур'є; - перетворення Фур'є функції .

Покладемо

Зауважимо, що - цілі функції, які належать , їх перетворення Фур'є зосереджене в області і співпадає там з .

Далі, для , розглянемо функцію

і позначимо

Відповідно для функціонального класу

Зауважимо, що при , також має місце співвідношення

Крім того, в роботі досліджується наближення цілими функціями зі спектром спеціального вигляду. Дамо означення відповідної апроксимативної характеристики. Нехай - множина, яка складається з векторів

Для , покладемо

В такий спосіб ми визначили цілу функцію , яка належить простору , з носієм її перетворення Фур'є на множині , тобто .

Далі, для розглянемо таку апроксимативну характеристику:

де позначає лебегову міру множини .

Якщо - клас функцій, то покладемо

У другому розділі знайдено порядкові оцінки найкращого наближення класів та у просторі цілими функціями зі спектром у східчастому гіпербо-лічному хресті та кубічній області.

Підрозділ 2.1 носить допоміжний характер. В ньому формулюються задачі дослідження, наводяться необхідні позначення та твердження.

У підрозділі 2.2 доводиться так звана декомпозиційна теорема про зображення норми функцій з просторів , з використанням якої встановлено порядкові оцінки для найкращого наближення за допомогою цілих функцій зі спектром у східчастому гіперболічному хресті.

Теорема 2.1. Нехай - функція типу мішаного модуля неперервності порядку . Функція , , тоді й тільки тоді, коли

причому

де для .

Функція тоді й тільки тоді, коли

причому

Відзначимо, що при , простори співпадають з просторами і у цьому випадку з теореми 2.1 випливає відповідне твердження для просторів , яке одержали П. І. Лізоркін та С. М. Нікольський. Крім цього, для просторів періодичних функцій багатьох змінних, твердження, аналогічне до теореми 2.1, встановлено Sun Yongsheng i Wang Heping при , і Н. Н. Пустовойтовим -при .

У дисертаційній роботі розглядаються також класи , які визначаються функцією типу мішаного модуля неперервності порядку такого вигляду:

де - задана функція (однієї змінної) типу модуля неперервності порядку , яка задовольняє умови i .

У підрозділі 2.3 одержано точні за порядком оцінки величини при певних співвідношеннях між параметрами і .

Теорема 2.2. Нехай , де - функція однієї змінної типу модуля неперервності порядку . Тоді мають місце порядкові співвідношення

де .

Теорема 2.4. Нехай i задано , де з деяким . Тоді для мають місце порядкові співвідношення

Теорема 2.5. Нехай і , де . Тоді мають місце порядкові співвідношення

Наслідок 2.1. Нехай і . Тоді має місце співвідношення

Дана оцінка доповнює результати, отримані Wang Heping та Sun Yongsheng у роботі.

Якщо у теоремах 2.2, 2.4 та 2.5 покласти , то отримаємо нові результати і для класів .

У випадку, , тобто коли класи співпадають з класами , оцінки теорем 2.2, 2.4 встановлено Wang Heping та Sun Yongsheng у роботі².

Підрозділ 2.4 присвячено знаходженню точних за порядком оцінок наближення класів цілими функціями експоненціального типу з носієм їх перетворення Фур'є у кубічній області.

Теорема 2.6. Нехай . Тоді, якщо , то справедливі порядкові співвідношення

де .

Наслідок 2.5. Якщо i , то згідно з мають місце співвідношення

Третій розділ роботи присвячений дослідженню апроксимативної характеристики класів . У підрозділі 3.2 та підрозділі 3.3 знайдено точні за порядком оцінки величини при деяких співвідношеннях між параметрами p і q. Також встановлено оцінку зверху даної величини у випадку .

Теорема 3.1. Нехай . Тоді для справедливе порядкове співвідношення

де .

Порівнюючи результат теореми 3.1 з відповідним результатом наближення функцій з класів цілими функціями з носієм їх перетворення Фур'є у східчастому гіперболічному хресті - , можемо зробити такий висновок: якщо i , то величини i співпадають за порядком при .

Якщо ж , то при має місце співвідношення

Висновки

1. Доведено декомпозиційну теорему для зображення норми функцій з просторів .

2. Одержано точні за порядком оцінки величин та у випадках та , .

3. Встановлено точні за порядком оцінки наближення класів функцій багатьох змінних цілими функціями зі спектром у східчастому гіперболічному хресті.

4. Знайдено точні за порядком оцінки наближення класів цілими функціями експоненціального типу зі спектром у кубічній області.

5. Встановлено точні за порядком оцінки наближення функцій класів за допомогою цілих функцій, зі спектром спеціального вигляду. При цьому виявлено, що величини i у деяких випадках співпадають за порядком, проте є співвідношення між відповідними параметрами, при яких ці величини мають різні порядки.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Стасюк С. А. Найкраще наближення класів функцій багатьох змінних у просторі / С. А. Стасюк, С. Я. Янченко // Теорія наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2008. - T. 5, №1. - С. 367 - 384.

2. Янченко С. Я. Наближення класів функцій багатьох змінних у просторі / С. Я. Янченко // Укр. мат. журн. - 2010. - T. 62, №1. - С. 123 - 135.

3. Янченко С. Я. Наближення класів функцій багатьох змінних цілими функціями спеціального вигляду / С. Я. Янченко // Укр. мат. журн. - 2010. - T. 62, №8. - С. 1124 - 1138.

4. Янченко С. Я. Наближення функцій з класів Бєсова цілими функціями у просторі / С. Я. Янченко // Теорія наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2010. - T. 7, №1. - С. 380 - 391.

5. Янченко С. Я. Найкраще наближення класів функцій багатьох змінних в просторі / С. Я. Янченко // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, Київ, 15-17 травня, 2008 р.: Матеріали конф. - К.: ТОВ "Задруга", 2008. - С. 877.

6. Янченко С. Я. Найкраще наближення класів функцій багатьох змінних в просторі / С. Я. Янченко // Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування", Мелітополь, 16-21 червня, 2008 р.: Тези доповідей. - К.: Інститут математики НАН України, 2008. - С. 132 - 133.

7. Янченко С. Я. Приближения классов функций многих переменных в пространстве / С. Я. Янченко // Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", Москва, 30 марта - 2 апреля, 2009 г.: Материалы конференции. - М.: Изд-во "Университетская книга", 2009. - С. 102.

8. Янченко С. Я. Наближення класів функцій багатьох змінних у просторі / С. Я. Янченко // International Conference "Analytic methods of mechanics and complex analysis" dedicated to N. A. Kilchevskii and V. A. Zmorovich on the occasion of their birthday centenary, Kiev, 29 June - 5 July, 2009: Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009. - P. 78.

9. Янченко С. Я. Наближення класів функцій багатьох змінних цілими функціями в росторі / С. Я. Янченко // Конференція "Функціональні методи в теорії апроксимації та теорії операторів ІІІ", присвячена пам'яті В. К. Дзядика (1919-1998), c. Світязь, Волинь, 22-26 серпня, 2009 р.: Тези доповідей. - К.: Інститут математики НАН України, 2009. - С. 109 - 110.

10. Янченко С. Я. Приближение функций многих переменных из классов целыми функциями / С. Я. Янченко // Междуна-родная конференция "Теория приближений", Санкт-Петербург, 6-8 мая, 2010 г., ММИ им. Л. Эйлера: Тезисы докл. - СПб.: ВВМ, 2010. - С. 115 - 117.

11. Янченко С. Я. Наближення функцій з класів Бєсова цілими функціями / С. Я. Янченко // International Conference "Approximation Theory and Applications", in memory of N. P. Korneichuk, Dnepropetrovsk, 14-17 June, 2010: Abstracts. -- Dnepropetrovsk, 2010. - P. 101 - 102.

12. Янченко С. Я. Наближення класів функцій багатьох змінних у просторі / С. Я. Янченко // Міжнародна конференція "Сучасні проблеми аналізу", Чернівці, 30 вересня - 3 жовтня, 2010 р.: Тези доповідей. - Чернівці: Книги - XXI, 2010. - С. 152 - 153.

Анотації

Янченко С.Я. Дослідження апроксимативних характеристик класів функцій багатьох змінних. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2011.

У дисертації проведено дослідження апроксимативних характеристик класів і їх узагальнень - , а також класів функцій, визначених на .

Одержано точні за порядком оцінки найкращих наближень за допомогою цілих функцій експоненціального типу з носієм їх перетворення Фур'є у східчастому гіперболічному хресті для класів та у кубічній області для класів у просторі , . Також встановлено порядкові оцінки наближення функцій класів за допомогою цілих функцій, з носієм їх перетворення Фур'є на множині спеціального вигляду. У процесі досліджень виявлено, що порядкові оцінки величин i у деяких випадках співпадають за порядком, проте існують співвідношення між відповідними параметрами, при яких ці апроксимативні характеристики мають різні порядки.

Ключові слова: найкраще наближення, ціла функція експоненціального типу, перетворення Фур'є, спектр функції, східчастий гіперболічний хрест.

Размещено на Allbest.ru