Оцінювання в моделях з цензурованими даними та похибками вимірювання
Властивості адаптованих оцінок в нелінійних моделях регресії. Вплив похибки вимірювання та цензурування на властивості оцінки параметрів у моделі прискореного часу загибелі. Адаптація оціночних функцій до присутності похибки вимірювання та цензурування.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 13.08.2015 |
| Размер файла | 196,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Оцінювання в моделях з цензурованими даними та похибками вимірювання
01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика
Усольцева Олена Сергіївна
Київ - 2011
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук, професор КУКУШ Олександр Георгійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичного аналізу
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор ІВАНОВ Олександр Володимирович, Київський Політехнічний Інститут, професор кафедри математичного аналізу та теорії ймовірності
кандидат фізико-математичних наук АРЯСОВА Ольга Вікторівна, Інститут геофізики ім. Суботіна НАН України, науковий співробітник
Захист відбудеться 26 вересня 2011 року о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ - 22, проспект Академіка Глушкова, 4-Е, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01601, м. Київ, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розіслано 29 липня 2011 року
Вчений секретар спеціалізованої Вченої ради Моклячук М.П.
Загальна характеристика роботи
Актуальність теми. Дисертаційна робота Усольцевої О.С. присвячена конзистентному оцінюванню у статистичних моделях, поширених при аналізі виживання, а також у нелінійних структурних моделях регресії з похибками вимірювання, в яких форма розподілу прихованої змінної є невідомою. Зокрема, в роботі вивчається модель прискореного життя, розповсюджена при обробці біомедичної інформації. Для такої моделі характерна наявність випадкового цензурування, завдяки чому замість тривалості життя інколи фіксується значення цензора та індикатор цензурування. Замість значень регресора, який впливає на тривалість життя, спостерігаються сурогатні дані, а саме, регресор спостерігається з адитивною випадковою похибкою. Фактично, це є інструментальна похибка вимірювання. Наявна чисельна література, присвячена моделям прискореного життя, в яких відсутня похибка вимірювання і регресор спостерігається точно. Робіт, в яких у подібних моделях наявна похибка вимірювання, відомо значно менше. Зокрема, у докторській дисертації німецького професора Т. Августіна запропоновані оцінки параметрів регресії в таких моделях, і властивості таких оцінок проілюстровані на змодельованих прикладах та реальних даних. Проте у роботах Т. Августіна відсутнє математичне доведення конзистентності таких оцінок, тому запропоновані ним оцінки носять емпіричний характер. Також у роботі О.С. Усольцевої розглянуто структурну модель регресії з похибками вимірювання, при цьому залежна змінна лінійна за параметрами регресії. Сюди входять лінійна модель, поліноміальна модель, модель з експонентами тощо. Вивчається виправлена оцінка максимальної вірогідності, яка не використовує інформації про форму розподілу регресора. Таку оцінку називають оцінкою Corrected Score (CS) і застосовують в економетриці. Відомо, що вона є конзистентною та асимптотично нормальною. Для поліноміальної регресії ця оцінка вивчалась, зокрема, в роботах Ч. - Л. Ченга, Г. Шнеєвайса, О. Кукуша, С. Шкляра, А. Маленка. Невідомо, наскільки ефективною є така оцінка. В той же час у статтях Г. Шнеєвайса, О. Кукуша, С. Шкляра, А. Маленка доведено, що у подібних моделях оцінка квазі-максимальної вірогідності є асимптотично ефективною в широкому класі оцінок. Проте оцінка квазі-максимальної вірогідності спирається на інформацію про форму розподілу прихованої змінної і тому не є робастною в цьому сенсі; оцінка CS не залежить від форми цього розподілу і тому є більш гнучкою.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми №06БФ038-03 кафедри теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка "Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем" (номер державної реєстрації 0106U005864), яка входить до комплексної наукової програми "Математичні проблеми природознавства та економіки".
Мета і завдання дослідження. Метою роботи є побудова і дослідження властивостей адаптованих оцінок в нелінійних моделях регресії. Для досягнення цієї мети поставлено такі завдання:
· дослідити умови козистентності виправленої оцінки у семіпараметричному та непараметричному випадках.
· дослідити оптимальність виправленої оцінки у двовимірній моделі регресії за умови присутності похибки вимірювання;
· вивчити вплив похибки вимірювання та цензурування на властивості оцінки параметрів у моделі прискореного часу загибелі. Вивчення залежності асимптотичної ефективності оцінки від введеного параметра, що корегує оціночну функцію;
· дослідження можливості адаптації оціночних функцій до присутності похибки вимірювання та цензурування.
Об'єктом дослідження є оцінки невідомих параметрів у моделі прискореного часу загибелі та двовимірній регресійній моделі за наявності похибок вимірювання.
Предметом дослідження є асимптотичні властивості оцінок невідомих параметрів у моделі прискореного часу загибелі та двовимірній регресійній моделі за наявності похибок вимірювання.
Методика дослідження.
У роботі використовуються результати і методи теорії ймовірностей та
математичного аналізу, а також теорії оціночних функцій як розділу математичної статистики.
Наукова новизна одержаних результатів.
Усі отримані результати є новими. Основні з них є такі:
· доведено строгу конзистентність адаптованої оцінки параметрів регресії в моделі прискореного життя за наявності цензурування та похибок вимірювання. При цьому форма розподілу цензора невідома;
· доведено строгу конзистентність адаптованої оцінки параметрів регресії в моделі прискореного життя за наявності цензурування та похибок вимірювання при параметричному заданні розподілу цензора, коли такі заважаючі параметри невідомі;
· доведено оптимальність оцінки CS у структурній моделі регресії з похибками вимірювання, при цьому залежна змінна лінійна за параметрами регресії. Оптимальність отримано в класі умовно незміщених оціночних функцій, коли істинна залежність відгука від регресора близька до виродженої;
· у квадратичній моделі з похибками вимірювання побудовано покращену оцінку CS, яка за певних умов має меншу асимптотичну коваріаційну матрицю, ніж CS оцінка.
Практичне значення одержаних результатів.
Хоча результати і носять теоретичний характер, вони можуть застосовуватись при обробці біомедичної інформації, у практичних задачах економетрики тощо.
Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримані самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував три роботи в фахових виданнях, дві з яких разом з науковим керівником професором Кукушем О.Г., в яких Кукушу О.Г. належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Одна робота опублікована автором самостійно.
Апробація результатів. Результати доповідались та обговорювались на міжнародних конференціях та наукових семінарах:
· Четверта міжнародна конференція "Applied Statistics" (Румунія, Бухарест, 2008 р.);
· Міжнародна конференція "Probability and Statistics with Applications", (Угорщина, Дебрецен, 2009 р.);
· Міжнародна конференція "Stochastic analysis and random dynamics" (Львів, 2009 р.);
· Сьомий міжнародний ISAAC конгрес (Великобританія, Лондон, 2009 р.)
· Міжнародна конференція "10th Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics" (Литва, Вільнюс, 2010 р.);
· Міжнародна конференція "Mathematics and life sciences: possibilities, interlacements and limits" (Україна, Київ, 2010 р.);
· Міжнародна конференція " Modern Stochastics: Theory and Applications II" (Україна, Київ, 2010 р.);
· семінар з математичної статистики під керівництвом проф. О.Г. Кукуша та Р.Є. Майбороди механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2009 р.);
· семінар кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей КНУУ "КПІ" під керівництвом проф. В.В. Булдигіна (м. Київ, 2009 р.);
· семінар з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2010 р.);
· семінар з теорії випадкових процесів при Інституті математики НАН України (м. Київ, 2010 р.).
Публікації. За результатами дисертації опубліковано три статті у фахових виданнях ([1] - [3]), сім тез доповідей на конференціях ([4] - [10]).
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел, який містить 105 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 135 сторінки, з них список використаних джерел займає 11 сторінок.
Основний зміст роботи
У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету й задачі дослідження, підкреслено наукову новизну та окреслено можливі практичні застосування отриманих результатів.
Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями.
У другому розділі наведено необхідні означення та теореми з теорії оціночних функцій, розглянуто порівняння оцінок, їх асимптотичні властивості. Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи.
У другому розділі наведено необхідні означення та теореми з теорії оціночних функцій, розглянуто порівняння оцінок, їх асимптотичні властивості.
У першій частині цього розділу наведено означення теорії оціночних функцій, що стосуються матеріалу дисертації.
Означення 2.1 Нехай задано вибірку , , із значеннями в . Розподіл елементів вибірки залежить від вектора параметрів , який ми оцінюємо. Будемо називати функцію , , що приймає значення в , елементарною оціночною функцією.
Означення 2.2 Нехай задано вибірку , , з випадкових однаково розподілених векторів, розподіл яких залежить від вектора параметрів .
Будемо називати оцінкою вектора параметрів , що породжена елементарною оціночною функцією , , випадковий вектор , розподілений в , для якого
з імовірністю 1 при всіх .
Тут ми позначили через параметричну множину, якій належать можливі значення невідомого векторного параметра.
Означення 2.3
Нехай задано вибірку , , з випадкових однаково розподілених векторів, розподіл яких залежить від вектора параметрів .
Будемо називати оціночне рівняння
незміщеним, якщо
E
У другій частині розділу наведено означення та властивості оцінок МВ (максимальної вірогідності) та КМВ (квазі-максимальної вірогідності).
похибка вимірювання цензурування модель
Означення 2.6 Оцінка КМВ невідомого вектора параметрів за заданою вибіркою спостережень визначається як вимірний корінь рівняння (в сенсі означення 2.2)
де функції середнього та дисперсії визначаються наступним чином: =E, .
У дисертації вивчається випадок цензурованих даних. Цензурування тривалості життя описується наступною схемою: Спостерігаються та замість спостереження тривалості життя , , де - додатні випадкові величини. Тут - незалежні випадкові величини (додатні), причому та незалежні між собою.
Використовується подана нище лема 2.1 про оціночні функції за наявності похибок вимірювання. Наявність похибок вимірювання означає те, що замість випадкових векторів зі значеннями в спостерігаються сурогатні дані
Вектори , , є незалежними та однаково розподіленими, причому їх компоненти , , , є сукупно незалежними. Похибки вимірювання мають нульові середні значення. Вимагається існування експоненційних моментів , тобто :
E
нехай - це кореляційна матриця вектора .
Лема 2.1 Augustin T. Survival Analysis under Measurement Error . Universitat Munchen: Habilitations-Schrift., 2002. Нехай цензори незалежні та однаково розподілені, причому для всіх додатних чисел . Тоді для кожної невід'ємної борелевої функції маємо наступну рівність:
E
У третій частині цього розділу наведено оцінку Каплана-Меєра функції виживання цензора.
Ця оцінка будується за спостереженнями , , . Для цього позначимо , . Введемо також позначення .
Означення 2.7 Кажуть, що функція
(1)
є оцінкою Каплана-Меєра функції виживання цензора .
Наведемо теорему про властивості оцінки Каплана-Меєра .
Теорема 2.3 Foldes A., Rejto L. Strong uniform consistency for nonparametric survival curve estimators from randomly censored data. The Annals of Statistics - 1981. - Vol. 9 (1) - P. 122-129. Нехай виконуються наступні дві умови.
1. Функція розподілу тривалості життя та функція виживання цензора є неперервними.
2. Позначимо функцію виживання випадкової величини через .
Нехай для числа виконується нерівність при деякому фіксованому .
Тоді має місце співвідношення м. н.
У третьому розділі розглянуто семіпараметричний та непараметричний випадки моделі прискореного часу загибелі, отримано умови, за яких наведені оцінки є строго конзистентними.
Розділ складається з чотирьох підрозділів. Розглядається модель тривалості життя (Accelerated Failure Time Model) - модель AFT, - що використовується в аналізі виживання: , .
Тут записано експоненційну залежність додатних випадкових величин , що означають тривалості життя, від випадкового регресора .
Ми вважаємо, що випадкові величини , однаково розподілені з нульовим середнім і скінченним експоненційним моментом . У моделі AFT рівняння квазімаксимальної вірогідності після скорочення невипадкових множників набуває наступного вигляду:
(2)
де .
У першій частині розділу вивчається семіпараметричний випадок. Ми розглядаємо модель прискореного часу загибелі у припущенні, що цензор має розподіл Вейбула. Позначимо через функцію виживання цензора, що залежить від векторного параметра , , де - компактна множина. Ми оцінюємо вектор .
Позначимо через істинне значення параметра розподілу цензора. При фіксованому додатному числі визначимо оцінку за допомогою рівності
Функція - це вищеозначена оцінка Каплана-Меєра. Має місце наступна теорема для сімейства функцій виживання.
Теорема 1 Нехай виконуються дві наступні умови на функцію виживання цензора.
1. Існує зростаюча на неперервна функція така, що для всіх :
причому .
2. Існує зростаюча на функція така, що для всіх , : причому .
Тоді означена вище оцінка векторного параметра розподілу цензора задовільняє наступне співвідношення м. н.:
У другій частині розділу розглядається адаптація оцінки до похибок вимірювання. Розглянемо довільну модель з похибкою вимірювання. Припустимо, що існує незміщене оціночне рівняння в структурній регресійній моделі, де розподіл відгука залежить від векторного регресора , :
Нехай тепер ми спостерігаємо , , замість випадкового регресора . Похибки утворюють послідовність центрованих однаково розподілених випадкових величин. Припустимо також, що ми можемо знайти функцію таку, що виконується рівність м. н.
E Звідси
EE
Цю рівність забезпечує умова незалежності похибки вимірювання . Оцінка невідомого параметра визначається як розв'зок рівняння
Тут - задана параметрична множина в евклідовому просторі, розмірність якого дорівнює розмірності області значень
Основною складністю цього методу є знаходження функції , яку будемо називати виправленою оціночною функцією.
Теорема 3.2 Augustin T. Survival Analysis under Measurement Error. Universitat Munchen: Habilitations-Schrift., 2002. . Розглядаємо оціночне рівняння (2), де фігурують приховані регресори . Ми спостерігаємо сурогатні дані . Тоді наступне оціночне рівняння
, (3)
відповідає виправленій оціночній функції, що визначена вище, для оціночної функції (2), де E , E, .
Тут використовується лема 2.1.
У третій частині розділу вивчається оціночне рівнянння (3).
Означення 3.2.
Будемо означати оцінку вектора , що породжена оціночною функцією , як випадковий вектор , який є розв'язком рівняння при тих , при яких він існує. Для тих з простору елементарних подій, для яких розв'язку не існує, покладаємо .
Теорема 3.3 Виконуються два наступні твердження:
а) з імовірністю 1, починаючи з деякого випадкового номера , існує розв'язок оціночного рівняння (3); існує також послідовність , що задовольняє означення 3.2;
б) оцінка вектора параметрів є строго конзистентною (тобто для кожної послідовності, що задовільняє означення 3.2, ).
Четверта частина розділу присвячена випадку невідомого розподілу цензора в моделі AFT. Наведемо лему, на яку спирається доведення основної теореми третього розділу.
Лема 3.1 Розглянемо борелеву за сукупністю змінних функцію . Розглядається оціночна функція
, де ми позначили через компактну параметричну множину, якій належать можливі значення невідомого векторного параметра. Нехай виконуються наступні умови:
1. м. н.; при всіх та
E;
2. Функція E неперервна за на ;
3. E, ;
4. - невироджена матриця, ;
5. , , , тоді і тільки тоді, коли . Нехай випадкові функції , задовольняють умови:
6. Для всіх : з ймовірністю 1 при , м. н;
7. м. н.
Тоді мають місце наступні твердження:
а) з iмовірністю 1, починаючи з деякого випадкового номера , існує розв'язок оціночного рівняння , ; існує також послідовність , що задовольняє означення 3.2;
б) оцінка вектора параметрів є строго конзистентною (тобто для кожної такої послідовності ).
Означення 3.3 Оцінкою вектора при невідомій функції розподілу цензора будемо називати випадковий вектор , який є розв'язком рівняння
(4)
, якщо він існує. Для тих з простору елементарних подій, при яких розв'язку (4) не існує, покладаємо .
Зауважимо, що рівняння (4) відрізняється від (3) наявністю в знаменнику оцінки Каплана-Меєра .
Зараз ми накладаємо наступні додаткові припущення:
A. Вектор параметрів регресії належить до відомої опуклої компактної множини . Істинне значення вектора параметрів є внутрішньою точкою . Кореляційна матриця випадкового вектора припускається невиродженою.
B. м. н., м. н., де , - невідомі сталі. З цього випливає, що обмежені деякою невипадковою сталою , що не залежить від невідомих параметрів регресії.
Теорема 3.4 При виконанні умов A, B оцінка , що задовольняє означення 3.3, є строго конзистентною оцінкою.
При доведенні теореми використовується властивість оцінки Каплана-Меєра з теореми 2.3.
У четвертому розділі розглядається регресійна модель з похибками вимірювання:
(5)
де , при та , усі вказані функції є борелевими; - регресійний параметр. Ми припускаємо, що випадкові величини , , є сукупно незалежними та E, E, , . Усі дисперсії вважаємо додатними. Ми припускаємо, що нам відомий параметр , тоді як параметри , та нам невідомі. Нехай , є н. о. р. реалізаціями розглянутої моделі. Ми спостерігаємо , та оцінюємо векторний параметр .
Вводиться клас лінійних за відгуком оціночних функцій, що є умовно незміщеними при відомому відгуку. Доведено оптимальність виправленої оцінки у поліноміальній регресії у сенсі мінімізації за Льовнером асимптотичної коваріаційної матриці оцінок у цьому класі. У випадках експоненційної та тригонометричної регресії виправлена оцінки не є оптимальною у вказаному сенсі. Також наведено оцінку, що не належить класу лінійних за відгуком оціночних функцій, які є умовно незміщеними при відомому відгуку; але ця оцінка має таку ж АКМ, що й оптимальна оцінка з цього класу.
У першій частині розділу розглянуто клас незміщених оціночних функцій, лінійних за . Доведено наступну лему.
Лема 4.1 Нехай належить класу оціночних функцій, лінійних за відгуком. Тоді АКМ оцінки не залежить від значення .
У другій частині розділу досліджено оптимальність оціночної функції у сенсі мінімізації асмптотичної коваріаційної матриці оцінки. Ми позначимо
Введемо оціночну функцію
де та борелеві функції, що набувають значення у . Ми припускаємо залежність функцій та від параметрів, що заважають. Вимагаємо виконання рівності
E E
де E. Доведено наступну теорему.
Теорема 4.1 Нехай є розв'язком оціночного рівняння
Тоді для довільної оцінки та її AKM виконується нерівність
(6)
де є АКМ оцінки . При цьому рівність (6) досягається лише при .
У третій частині розділу досліджено випадки експоненційної та тригонометричної моделі. Для побудови аналогічної оптимальної оцінки в цих моделях необхідно використовувати невідоме нам значення дисперсії . Тому ці оцінки ми будемо називати недосяжними.
Теорема 4.3 У нелінійній за регресором структурній моделі з похибками вимірювання
при , при , у недосяжної оптимальній оцінки та нової побудованої оцінки співпадають АКМ у випадку .
П'ятий розділ присвячено вивченню квадратичної регресійної моделі з похибками у вимірюванні
Розглядається питання про побудову конзистентної оцінки в цій моделі. У розділі наведено конструкцію оціночної функції у квадратичній моделі з похибками вимірювання - такої функції, для якої об'єм асимптотичного довірчого еліпсоїда є мінімальним (при великих обсягах вибірки).
У першій частині розділу вводиться re-corrected (тобто ще раз підправлена) оціночна функція
де та є розв'язками у вигляді поліноміальних функцій задач деконволюції
Тут - дійсний параметр; є достаньо малим. Ми будемо порівнювати АКМ та оцінок, породжених оціночними функціями та виправленою оціночною функцією. Має місце рівність , тому ми будемо порівнювати та .
У другій частині розділу доведено наступну теорему.
Теорема 5.1 Має місце нерівність , для майже всіх параметрів відносно міри Лебега в .
Сформулюємо наслідок з цієї теореми: якщо покласти , де - достатньо мале число, то об'єм асимптотично довірчого еліпсоїда для оцінки векторного параметра буде менший, ніж для оцінки , при великих обсягах вибірки.
Висновки
Дисертаційна робота присвячена вивченню асимптотичних властивостей оцінок в нелінійних моделях регресії з похибками вимірювання. Дисертація являє собою важливе і глибоке дослідження. Усі отримані результати є новими і детально доведеними. Основними результатами є наступні.
Доведено строгу конзистентність адаптованої оцінки параметрів регресії в моделі прискореного життя за наявності цензурування та похибок вимірювання. При цьому форма розподілу цензора невідома. Доведено строгу конзистентність адаптованої оцінки параметрів регресії в моделі прискореного життя за наявності цензурування та похибок вимірювання при параметричному заданні розподілу цензора, коли такі заважаючі параметри невідомі.
Доведено оптимальність виправленої оцінки (CS) у структурній моделі регресії з похибками вимірювання, при цьому залежна змінна лінійна за параметрами регресії. Оптимальність отримано в класі умовно незміщених оціночних функцій, коли істинна залежність відгука від регресора близька до виродженої.
Побудовано у квадратичній моделі з похибками вимірювання покращену оцінку CS, яка за певних умов має меншу асимптотичну коваріаційну матрицю, що відповідає за об'єм відповідного довірчого еліпсоїда оцінки, ніж CS оцінка.
Всі отримані в роботі результати мають теоретичне значення при вивчення адаптованих конзистентних оцінок в моделях з цензурованими даними та наявністю похибок вимірювання та мають практичне застосування в медицині, соціології, економетриці та інших областях науки, де мають місце моделі з цензурованими даними та похибками вимірювання.
Список опублікованих праць за темою дисертації
1. Usoltseva E. Optimality of CS estimator in nonlinear errors-in-variables model when non-intercept terms are small / E. Usoltseva, A. Kukush // Journal of Nu-merical and Applied Mathematics. - 2008 - Vol.1 (96) - P.139 - 148.
2. Usoltseva E. New functional estimator in quadratic errors-in-variables model / E. Usoltseva, A. Kukush // Theory of Stochastic Processes. - 2010. - Vol.16 (32), No.2 - P.126 - 131.
3. Усольцева О.С. Конзистентна оцінка в моделі тривалості життя з цензурованими спостереженнями за наявності похибок вимірювання / О.С. Усольцева // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. - 2010. - No.82 - С.156 - 162.
4. Usoltseva E. Accelerated Failure Time Model under measurement error / E. Usoltseva // Abstract of International Conference "Probability and Statistics with Applications". - Debrecen, Hungary, 2008. - P.55 - 56.
5. Kukush A. New corrected estimating function in quadratic errors-in-variab-les model / A. Kukush, E. Usoltseva // Abstract of International Conference "Sto-chastic analysis and random dynamics". - Lviv, Ukraine, 2009. - P.131 - 132.
6. Usoltseva E. Linear model in survival analysis / E. Usoltseva // Abstract of 4th International Conference "Applied Statistics". - Bucharest, Romania, 2008. - P. 33.
7. Usoltseva E. Consistent estimator in AFTM / E. Usoltseva // Abstract of International Conference "7th ISAAC Congress". - London, UK, 2008. - P.94 - 95.
8. Usoltseva E. Consistent estimator in Failure Time Model / E. Usoltseva // Abstract of 10th International Conference "IVC on Probability Theory and Mathematical Statistics". - Vilnius, Lithuania, 2010. - P.280.
9. Usoltseva E. S. Parametric and Nonparametric Estimators in AFTM under Measurement Error / E. S. Usoltseva // Abstract of International Conference "Mathematics and life sciences: possibilities, interlacements and limits". - Kiev, Ukraine, 2010. - P.100.
10. Usoltseva O. S. Nonparametric estimation in Survival Analysis / O. S. Usoltseva // Abstract of International Conference "Modern Stochastics: Theory and Applications II". - Kiev, Ukraine, 2010. - P.45.
Анотація
Усольцева О.С. Оцінювання в моделях з похибками вимірювання. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2011.
Дисертаційна робота Усольцевої О.С. присвячена конзистентному оцінюванню у статистичних моделях, поширених при аналізі виживання, а також у нелінійних структурних моделях регресії з похибками вимірювання, в яких форма розподілу прихованої змінної є невідомою.
В роботі вивчається модель прискореного життя, розповсюджена при обробці біомедичної інформації. Для такої моделі характерна наявність випадкового цензурування, завдяки чому замість тривалості життя інколи фіксується значення цензора та індикатор цензурування. Замість значень регресора, який впливає на тривалість життя, спостерігаються сурогатні дані, а саме, регресор спостерігається з адитивною випадковою похибкою.
Ключові слова: цензурування, оціночні рівняння, функція виживання, поліноіальна регресія, метод квазі-максимальної вірогідності, конзистентна оцінка, асимптотична коваріаційна матриця (АКМ), похибки у вимірюванні.
Аннотация
Усольцева Е.С. Оценивание в моделях с ошибками в переменных. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2011.
Диссертация Усольцевой Е.С. посвящена состоятельному оцениванию в статистических моделях, распространённых при анализе выживания, также в нелинейных структурных моделях регрессии с ошибками в измерениях, в которых вид распределения скрытой переменной считается неизвестным.
В работе изучается модель ускоренного времени жизни, распространённая при обработке биометрической информации. Для такой модели характерно наличие случайного цензурирования, благодаря чему вместо продолжительности жизни иногда фиксируется значение цензора и индикатора цензурирования. Вместо значений регрессора, который влияет на продолжительность жизни, имеются суррогатные данные, а именно, регрессор наблюдается с аддитивной ошибкой измерений. Исследована возможность адаптации оценочных функций в присутствии ошибок измерений и цензурирования одновременно.
Рассмотрен случай нелинейной структурной регрессионной модели с ошибками в измерениях. В классе линейных по отклику оценочных функций, которые являются несмещёнными при заданной скрытой переменной, поставлена задача поиска оптимальной оценочной функции в случае малых коэффициентах при степенях регрессии. В случае полиномиальной модели исправленная оценочная функция является оптимальной. В моделях с экспоненциальными и тригонометрическими полиномами доказано то, что оптимальная оценочная функция в рассматриваемом классе недостижима. Построена новая оценочная функция, которая имеет такую же АКМ, что и недостижимая оптимальная оценочная функция.
В диссертации предложен метод оценивания параметров квадратичной регрессии с ошибками в измерениях. Предложена оценка неизвестного векторного параметра, которая является робастной в следующем смысле: эта оценка состоятельна при нарушении нормальности регрессора. Построена робастная оценка, которая более эффективна, чем исправленная оценка. Это означает, что новой оценке отвечает меньший объём доверительного эллипсоида для оцениваемого векторного параметра, чем для исправленной оценки.
Ключевые слова: цензурирование, оценочные уравнения, функция выживания, полиномиальная регрессия, метод квази-масимальной вероятности, состоятельная оценка, асимптотическая ковариационная матрица (АКМ), ошибки в измерениях.
Abstract
Usoltseva O. S. Estimation in models with measurement errors. - Manuscript.
The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2011.
The thesis of Usoltseva O. S. is devoted to consistent estimation in statistical models, common in the survival analysis, as well as in structural nonlinear regression models with measurement error with unknown form of distribution.
In particular, the accelerated failure time model is stydied. This model is widely used in the processing of biometrical data. The model is characterized by the presence of random censoring, so instead of lifetimes the values of censor can be observed, together with the censorship indicator. The regressors are observed with additive random errors.
Key words: Censoring, estimating equations, survival function, polinomial regression, Quasilikelihhod, consistent estimator, asymptotic covariance matrix (ACM), measurement errors.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особливості статистичних методів оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. Класифікація помилок вимірювання. Математичне сподівання випадкової величини. Дисперсія як характеристика однорідності вимірювання. Метод виключення грубих помилок.
контрольная работа [145,5 K], добавлен 18.12.2010Поняття економетричної моделі та етапи її побудови. Сутність та характерні властивості коефіцієнта множинної кореляції. Оцінка значущості множинної регресії. Визначення довірчих інтервалів для функції регресії та її параметрів. Метод найменших квадратів.
курсовая работа [214,6 K], добавлен 24.05.2013Оцінювання параметрів розподілів. Незміщені, спроможні оцінки. Методи знаходження оцінок: емпіричні оцінки, метод максимальної правдоподібності. Означення емпіричної функції розподілу, емпіричні значення параметрів. Задача перевірки статистичних гіпотез.
контрольная работа [57,2 K], добавлен 12.08.2010Використання наближення функцій для практичних розрахунків, методи інтерполювання многочленом Лагранжа та Ньютона. Означення ермітових сплайнів з експоненціальними ланками та знаходження аналітичних виразів їх параметрів. Обчислення похибки наближення.
курсовая работа [687,3 K], добавлен 28.01.2011Модуль неперервності (першого порядку), приклади та властивості. Необхідна і достатня умова рівномірної неперервності. Класи функцій, що визначаються першими модулями неперервності. Властивості і означення модуля неперервності. Аналіз класів функцій.
курсовая работа [396,9 K], добавлен 22.01.2013Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Джерела неточностей у процесі обчислень. Види наближених значень. Абсолютні та граничні похибки. Поняття значущої цифри. Зв'язок числа вірних знаків наближеного числа з його відносною помилкою. Правила округлення чисел. Оцінка відносної похибки функції.
презентация [72,0 K], добавлен 06.02.2014Визначення метричного простору. Границя функції у точці. Властивості границь дійсних функцій. Властивості компактних множин. Розв’язок системи лiнiйних рівнянь. Теорема про існування i єдність розв’язку диференціального рівняння. Нумерація формул.
методичка [461,1 K], добавлен 25.04.2014Теорія формацій алгебраїчних систем. Основні визначення, позначення й використовувані результати. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр. Формаційні властивості нильпотентних алгебр. Класи абелевих алгебр і їхні властивості.
дипломная работа [179,2 K], добавлен 20.01.2011Класичний метод оцінювання розподілу вибірки, незміщені та спроможні оцінки, емпірична функція розподілу. Моделювання неперервних величин і критерій Смірнова. Сучасні методи прямокутних внесків, зменшення невизначеності та апріорно-емпіричних функцій.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 12.08.2010
