Вивчення будови груп за властивостями підгруп, близьких до нормальних
Аналіз властивостей періодичних локально розв’язних FC-груп, в яких умова переставності є транзитивна. Дослідження структури черніковських PST-підгруп. Розгляд характеристик елементів пронормальних класів. Вивчення силовських і холловських теорем.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 14.08.2015 |
| Размер файла | 56,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
22
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
УДК. 512.544
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико - математичних наук
ВИВЧЕННЯ БУДОВИ ГРУП ЗА ВЛАСТИВОСТЯМИ ПІДГРУП, БЛИЗЬКИХ ДО НОРМАЛЬНИХ
01.01.06 - алгебра і теорія чисел
ТУРБАЙ Надія Анатоліївна
Київ - 2009
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі геометрії і алгебри Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара.
Науковий керівникдоктор фізико-математичних наук, професор КУРДАЧЕНКО Леонід Андрійович, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, завідувач кафедри геометрії і алгебри, м. Дніпропетровськ.
Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор ЛИМАН Федір Миколайович, Сумський державний педагогічний університет імені А.С. Макаренка, завідувач кафедри математики, м. Суми;
доктор фізико-математичних наук, професор СЕМКО Микола Миколайович, Національний університет державної податкової служби України, завідувач кафедри вищої математики, м. Київ.
Захист відбудеться „15” червня 2009 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.
Автореферат розісланий „ 8 ” травня 2009 року.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої радиВ. В. Плахотник
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Однією з найвагоміших частин теорії нескінченних груп було і залишається вивчення групи за властивостями її важливих природних систем підгруп. Цей напрям досліджень виник спочатку в теорії скінченних груп.
Першим кроком у цьому напрямі стала класична стаття Р. Дедекінда Dedekind R. Ьber Gruppen deren sammtliche Teiler Normalteiler sind // Math. Annalen. - 1897. - Vol. 48. - Р. 548-561., в якій розглянуті скінченні групи, всі підгрупи яких нормальні. Наступними були роботи Г. Міллера, Х. Морено Miller G.A., Moreno H. Non - abelian groups in which every subgroup is abelian //Trans. Amer. Math. Soc. - 1903.-Vol. 4. - Р. 389-404. та О.Ю. Шмідта Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Матем. сб. - 1924. - Т.31. - С. 366-372., Шмидт О.Ю. Группы, имеющие только один класс неинвариантных подгрупп // Матем. сб. - 1926. - Т.33. - С. 161-172., Шмидт О.Ю. Группы с двумя классами неинвариантных подгрупп // Труды Семинара по теории групп. - 1938. - С. 7-26., які заклали фундамент цього напрямку. Збагативши теорію скінченних груп істотними результатами, цей напрямок природно поширився і на нескінченні групи.
Основна заслуга в цьому належить видатним алгебраїстам, таким як С.М. Черніков, Р. Бер та Ф. Холл.
При цьому виникло багато важливих понять сучасної теорії груп, такі як, наприклад, поняття субнормальних та нормальних систем підгруп, локальних та резидуальних систем, були виділені цікаві і важливі системи підгруп та окреслені різноманітні підходи до вивчення нескінченних груп. Більш докладно див. монографію С.М. Чернікова Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. - Москва: НАУКА, 1980. - 384с. та оглядові статті Черников С.Н. Исследование групп с заданными свойствами подгрупп // Украинский математический журнал. - 1969. - Т.21. - С. 193-209., Черников С.Н. О группах с ограничениями для подгрупп // Группы с ограничениями для подгрупп. - Киев: НАУКОВА ДУМКА, 1971. - С. 17-39., Зайцев Д.И., Каргаполов М.И., Чарин В.С. Бесконечные группы с заданными свойствами подгрупп // Укр. матем. журнал. - 1972. - Т. 24, № 5. - С. 618-633., Чарин В.С., Зайцев Д.И. Группы с условиями конечности и другими ограничениями для подгрупп // Укр. матем. журнал. - 1988. - Т. 40, № 3. - С. 277-287., Казарин Л.С., Курдаченко Л.А. Условия конечности и факторизации в бесконечных группах // Успехи математических наук. - 1992. - Т. 47, № 3. - С. 75-114. , Артемович О.Д., Курдаченко Л.А. Групи, багаті X - підгрупами // Вісник Львівського ун - ту. Сер. мех. - мат. - 2003. - №61. - С. 218-237..
Вивчення груп із заданими властивостями системи підгруп можна розглядати в такому аспекті. Виділяючи якусь властивість (або якісь властивості) системи підгруп у групах деякого відомого типу, можна виділити як об'єкт дослідження довільні групи, в яких система підгруп має вказану властивість.
На цьому шляху або одержимо деяку характеризацію груп початкового виду за допомогою властивостей системи підгруп, або з'являються нові види груп із вказаними властивостями системи підгруп.
Як відомо, великий вплив на будову груп має система її нормальних підгруп і підгруп, у тому чи іншому розумінні близьких до нормальних. Такими важливими природними системами підгруп є системи субнормальних підгруп; майже нормальних підгруп; підгруп, що мають скінченний індекс у своєму нормальному замиканні; підгруп, скінченних над своїм ядром і т.ін.
Природним узагальненням нормальних підгруп є й переставні підгрупи, тобто підгрупи переставні з будь - якою іншою підгрупою. Вивчення властивостей таких підгруп почалося досить давно і виявилося досить плідним.
Перші результати стосовно властивостей переставних підгруп у скінченних групах були одержані О. Оре Ore O. On the application of structure theory to groups // Bull. Amer. Math. Soc.- 1938. - Vol. 44. - P. 801-806., Ore O. Structures and group theory I // Duke Math. J. - 1937. - Vol. 3. - Р. 149-173.; пізніше деякі їх аналоги для нескінченних груп здобув С. Стоунхевер Stonehewer S.E. Permutable subgroups of infinite groups // Math. Z. - 1972. - Vol. 125. - Р. 1-16.. Будова скінченних та локально скінченних груп, усі підгрупи яких є переставними, була описана К. Івасавою Iwasawa K. Ьber die endlichen Gruppen und die Verbдndte ihrer Untergruppen // J. Fac. Sci. Imp. Univ. Tokyo. Sect. I.4. - 1941. - Р. 171 - 199., Iwasawa K. On the structure of infinite M - groups // Jap. J. Math. - 1943. - Vol. 18. - P. 708-728. .
Дослідження різноманітних властивостей переставних підгруп і далі виконувались різними авторами з різною інтенсивністю ( див., наприклад, книгу Schmidt R. Subgroups lattices of groups. - Berlin: Walter de Gruyter, 1994. - 572p. [Розділ 2, 5, 6], а також статті Ti Yen. Permutable pronormal subgroups // Proc. Amer. Math. Soc.- 1972. - Vol. 34. - P. 340-342., Curcio M., Lennox J., Rhemtulla A., Wiegold J. Groups with many permutable subgroups // J. Austral. Math. Soc., Series A. - 1990. - Vol. 48. - P. 397-401., Deskins W.E. On quasinormal subgroups of finite groups // Math. Zeitschrift. - 1963. - Vol. 82. - P. 125-132., Stonehewer S.E. Modular subgroups of infinite groups // Simposia Math. - 1976. - Vol. 17. - Р. 207-214., Schmidt R. Gruppen mit modularen Untergruppenverband // Archiv Math. - 1986. - Vol. 46. - P. 118-124. та ін.).
Порівняно недавно в межах теорії скінченних груп почалося вивчення з різних точок зору та характеризація груп, близьких у тому чи іншому розумінні до груп, в яких властивість «бути переставною підгрупою» є транзитивною.
Такі групи були названі РТ - групами. Звернемо увагу на те, що в загальному випадку властивість «бути переставною підгрупою», як і властивість «бути нормальною підгрупою», не є транзитивною.
У теорії скінченних груп вивчення РТ - груп було розпочате ще Д. Цахером. У роботі Zacher G. I gruppi risolubili finite in cui i sottogruppi di composizione coincidono con i sottogruppi quasi - normali // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. - 1964. - Vol. 37, № 8. - Р. 150-154. ним були описані скінченні розв'язні РТ - групи. Порівняно недавно у роботі Дж. Байдлемана, Б. Бревстера та Д. Робінcона Beidleman J.C., Brewster B., Robinson D.J.S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups // Journal Algebra. - 1999. - Vol. 222. - Р. 400-412. було наведене нове доведення теореми Цахера та одержані характеризації скінченних розв'язних РТ - груп.
Наведені у цій статті характеризації дозволяють подивитися на властивість переставності з різноманітних точок зору та виявити її звязки з іншими властивостями, зокрема з пронормальністю. У роботі Robinson D.J.S. The structure of finite groups in which permutability is a transitive relation // Journal Austral. Math. Soc. - 2001. - Vol.70. - P. 143-159. Д. Робінсон навів опис нерозв'язних скінченних РТ - груп.
Властивість «бути переставною підгрупою» не є властивістю тільки скінченних груп. Це можна побачити з самого її означення, яке формулюється для довільних груп і тому має загальний характер. Той факт, що прогрес при вивченні властивостей переставних підгруп був досягнутий у межах теорії скінченних груп, пояснюється лише тим, що теорія скінченних груп є набагато більш розвинена.
Дійсно, якщо поглянути на доведення багатьох результатів, то можна побачити, що вони суттєво використовують фундаментальні теореми теорії скінченних груп. Тому першим питанням при розширенні цих результатів на нескінченні групи є питання про класи нескінченних груп, в яких такі розширення стануть можливими.
Природним тут є розгляд класів груп, у тому чи іншому розумінні близьких до скінченних. Такими класами є періодичні FC - групи ( групи зі скінченними класами спряжених елементів ), групи з черніковськими класами спряжених елементів, гіперскінченні групи, групи з черніковськими силовськими підгрупами і т.ін.
Вивченню періодичних локально розв'язних FC - груп, в яких умова переставності є транзитивна, присвячена значна частина цієї дисертаційної роботи. Вибір класу періодичних FC - груп зумовлений тією обставиною, що він має досить розвинуту силовську структуру і за багатьма аспектами близький до класу скінченних груп.
Тому природно почати вивчення нескінченних РТ -груп і їх характеристик саме в цьому класі. На першому кроці було зроблено повний опис періодичних локально розв'язних FC - груп, в яких властивість переставності є транзитивною.
Наступним природним питанням є таке
Чи є дійсними відомі характеристики скінченних РТ - груп для нескінченних РТ - груп?
Тому далі було цікаво розширити на клас періодичних локально розв'язних FC - груп, важливі характеристики скінченних розв'язних РТ - груп, які були здобуті в роботі Beidleman J.C., Brewster B., Robinson D.J.S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups // Journal Algebra. - 1999. - Vol. 222. - Р. 400-412. .
Наприкінці другого розділу було розглянуто властивість пронормальності і її зв'язки з властивістю переставності підгруп. Нагадаємо, що підгрупа H групи G називається пронормальною в G, якщо для кожного елемента g G підгрупи H, Hg - спряжені в < H, Hg >.
Нехай p - просте число. Будемо казати, що група G належить класу Pp , якщо G задовольняє такі дві умови:
(i) кожна силовська p - підгрупа G - модулярна;
(ii) якщо P - силовська p - підгрупа групи G, то кожна нормальна підгрупа P - пронормальна в G.
У роботі Beidleman J.C., Brewster B., Robinson D.J.S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups // Journal Algebra. - 1999. - Vol. 222. - Р. 400-412. [Теорема A і Теорема D] було доведено, що скінченна розв'язна група G є PT - групою тоді і тільки тоді, коли G Pp для всіх p (G). У зв'язку з цим цікаво розглянути нескінченні групи з класу Pp. Ми розглянемо тут не тільки клас Pp , але й таке його розширення.
Нехай p - просте число. Будемо казати, що група G належить класу Pp* , якщо G задовольняє такі дві умови:
(i) кожна силовська p - підгрупа G - модулярна;
(ii) якщо P - силовська p - підгрупа групи G, то кожна скінченна нормальна підгрупа P - пронормальна в G.
Таким чином, було одержано розширення результату вище згаданої роботи на клас періодичних локально розв'язних FC - груп.
Достатньо широким узагальненням звичайної переставності є S - переставність (S - квазинормальність). У третьому розділі роботи розпочато вивчення деяких важливих властивостей S - переставності в нескінченних періодичних FC - групах. теорема черніковський холловський
Нехай G - періодична група і - підмножина (G). Згідно з O. Keгелем Kegel O.H. Sylow - Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen // Math. Z. - 1962. - Vol. 78. - P. 205-221. , підгрупу H групи G будемо називати - переставною (або - квазінормальною) в G, якщо для кожного p і кожної силовської p - підгрупи S групи G має місце така рівність HS = SH. Підгрупа H групи G називається S - переставною ( або S - квазінормальною) в G, якщо H - - переставна для = (G).
Як вже зазначалося, S - квазінормальність є досить широким узагальненням звичайної квазінормальності. О. Кегель показав, що будь-яка S - переставна підгрупа скінченної групи є субнормальною. Звідси випливає, що скінченна група тоді і тільки тоді нільпотентна, коли будь-яка її підгрупа S - переставна.
Цей результат засвідчує, що S - переставні підгрупи істотно впливають на будову скінченної групи.
У теорії скінченних груп цей вплив вивчався багатьма авторами з різних точок зору. Щодо нескінченних груп, то досі S - переставні підгрупи в них не вивчались. Це зумовлено такими обставинами.
По-перше, саме означення показує, що S - переставні підгрупи доцільно вивчати тільки в періодичних групах.
По-друге, вивчення S - переставних підгруп може бути ефективне лише за умови існування в групі розвинутої силовської структури.
Одним з таких класів нескінченних груп є періодичні FC - групи ( локально нормальні групи). На цей клас груп розширені всі основні результати теорії скінченних груп, зокрема, для нього мають місце аналоги силовських і холловських теорем.
Група G називається PST - групою, якщо S - переставність є транзитивним відношенням у G, тобто з того факту, що H - S - переставна в G і K - S - переставна в H, завжди випливає, що K буде S - переставною підгрупою в G. Із самого означення випливає, що будь-яка S - переставна підгрупа PST - групи сама буде PST - групою, зокрема, такою буде будь-яка нормальна підгрупа G.
Будова скінченних розв'язних PST - груп була досліджена в роботі Р.К. Аграваля Agrawal R.K. Finite groups whose subnormal subgroups permute with all Sylow subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1975. - Vol. 47, № 1. - Р. 77-83.. Різні важливі властивості скінченних розв'язних PST - груп були одержані в таких цікавих роботах іспанських математиків Alejandre V.J., Ballester - Bolinches A., Pedraza - Aguilera M.C. Finite soluble groups with permutable subnormal subgroups // Journal Algebra. - 2001. - Vol. 240. - P. 705-722., Ballester - Bolinches A., Esteban - Romero R. Sylow permutable subnormal subgroups of finite groups // Bull. Austral Math. Soc. - 2001. - Vol. 64, № 3. - P. 479-486., Ballester - Bolinches A., Esteban - Romero R. Sylow permutable subgroups of finite groups // Journal Algebra. - 2002. - Vol. 251. - Р. 727-738.. В цій дисертаційній роботі розпочато вивчення нескінченних PST - груп. А саме, головний результат роботи Agrawal R.K. Finite groups whose subnormal subgroups permute with all Sylow subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1975. - Vol. 47, № 1. - Р. 77-83. розширений у ній на клас нескінченних періодичних локально розв'язних FC - груп.
Природним завершенням розділу є одержання умов для періодичних локально розв'язних FC - груп, за яких з того факту, що S - переставність є транзитивною властивістю групи, випливає що «звичайна» переставність буде також транзитивною властивістю в цій групі.
Як ми вже згадували, означення S - переставності показує, що вивчення S - переставності підгруп доцільне тільки в класі періодичних груп. Більш того, це вивчення може бути ефективним тільки для періодичних груп, які мають розвинуту силовську структуру. Одним з таких класів є клас періодичних CC - груп.
Групи з черніковськими спряженими класами або СС - групи були вперше розглянуті Я. Д. Половицьким Polovicky Ya. D. Groups with extremal classes of conjugate elements // Sibir. Math. J. - 1964. - Vol. 5. - P. 891-895. як розширення класу FC - груп. Клас СС - груп має розвинуту силовську теорію Alcazar J., Otal J. Sylow subgroup of group with Chernikov conjuagacy classes // J. Algebra. - 1987. - Vol. 110. - P. 507-513., Otal J., Peтa M. Characterizations of the conjuagacy of Sylow p - subgroups of CC - groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1989. - Vol. 106. - P. 605-609., Otal J., Peтa M. Sylow theory of CC - groups // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. - 1991. - Vol. 85. - P. 105-118. , тому природним кроком далі є дослідження S - переставних підгруп саме в класі періодичних СС - груп.
Отже, наступний розділ дисертації присвячений дослідженню структури черніковських PST - груп і структури PST - груп, які належать до класу СС - груп.
У цій дисертації одержано ряд характеристик р - переставних та S - переставних підгруп у класі періодичних СC - груп, а також зроблено повний опис періодичних локально розв'язних СС - груп, в яких властивість S - переставності є транзитивною.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями кафедри геометрії і алгебри Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара, які ведуться за науково - дослідною темою: «Узагальнено розв'язні групи з умовами скінченності та модулі над ними», № 0105U000357.
Мета і задачі дослідження. Метою цієї роботи є вивчення властивостей і характеристик переставних підгруп та S - переставних підгруп у важливих природних класах нескінченних груп, таких як FC - групи та СС - групи.
Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи та результати теорії скінченних груп, груп з умовами скінченності, методи та результати силовської теорії в локально скінченних групах, зокрема силовської теорії FC - груп та CC - груп.
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано такі нові теоретичні результати:
отримано опис періодичних локально розв'язних груп, в яких властивість переставності є транзитивною;
отримано опис періодичних локально розв'язних груп, в яких властивість S - переставності є транзитивною;
отримано розширення на клас періодичних локально розв'язних FC - груп важливих характеристик скінченних розв'язних РТ - груп, зокрема, отримані необхідні і достатні умови належності періодичних локально розв'язних FC - груп до класу РТ - груп;
вивчено зв'язки між властивостями переставності та пронормальності в класі періодичних локально розв'язних FC - груп;
основний результат роботи Agrawal R.K. Finite groups whose subnormal subgroups permute with all Sylow subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1975. - Vol. 47, № 1. - Р. 77-83. розширений на клас нескінченних періодичних локально розв'язних FC - груп;
для періодичних локально розв'язних FC - груп отримано умови, за яких з того факту, що S - переставність є транзитивною властивістю групи, випливає, що «звичайна» переставність буде також транзитивною властивістю в цій групі;
отримано ряд характеристик S - переставних підгруп у класі періодичних СС - груп;
отримано повний опис періодичних локально розв'язних СС - груп, в яких властивість S - переставності є транзитивна.
Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Запропонована в роботі методика може бути застосована при дослідженні будови групи за системами її нормальних підгруп та підгруп, у тому чи іншому розумінні близьких до нормальних, зокрема переставних та S - переставних підгруп.
Результати дисертації можуть бути використані в теоретико - групових дослідженнях, що проводяться в інституті математики НАН України, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка та Львівському національному університеті імені Івана Франка.
Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. Результати спільних статей викладені у підрозділах 3.1., 4.1. та 4.2., де співавторами в першому випадку виступають Курдаченко Л.А. , а у другому - J. M. Muсoz - Escolano, J. Otal.
В обох випадках вказаний співавтор сформулював узагальнену постановку задачі та намітив напрямки доведення. Конкретна реалізація була вже виконана автором дисертаційної роботи. Стаття [43] в «Доповідях НАН України» є коротким варіантом статей [44, 45, 46, 47], результати в ній наведені без доведень.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:
- V Міжнародній науковій конференції студентів, аспірантів та молодих учених « Ломоносов - 2006 » ( м. Севастополь, 2006 р. )
- VI Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Кам'янець-Подольський, 2007 р.)
- XІІ Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (м. Київ, 2008 р.)
- Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 100-річчю з дня народження професора О.Г. Куроша (м. Москва, 2008р.)
Результати дисертації доповідались на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка.
Публікації. Основні результати дисертації викладено в 6 наукових статтях, 5 з яких опубліковані в журналах, що входять до переліку наукових фахових видань ВАК України, та в 5 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях. Список публікацій наведено наприкінці автореферату.
Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох основних розділів, висновків та списку використаних джерел. Список використаних джерел обсягом 7 сторінок складається зі 74 найменувань. Повний обсяг дисертації становить 120 сторінок друкованого тексту.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, викладено основні результати дослідження.
У першому розділі наведено означення основних понять та формулювання відомих результатів, які використовуються в дисертаційній роботі.
Другий розділ дисертаційної роботи присвячений вивченню періодичних локально розв'язних FC - груп, в яких умова переставності є транзитивна.
Періодичні FC - групи можна охарактеризувати як групи, в яких кожна скінченна множина елементів породжує скінченну нормальну підгрупу.
Періодичні FC - групи є одним з небагатьох класів нескінченних груп, на які можуть бути розширені більшість базових результатів теорії скінченних груп. Тому, як вже згадувалось раніше, буде природним почати розгляд властивостей, структури і характеристик нескінченних РТ - груп та їх узагальнень саме в цьому класі.
Нагадаємо, що підгрупа H групи G називається переставною або квазінормальною, якщо вона переставна з кожною підгрупою, тобто HK = KH для кожної підгрупи K групи G.
Група G називається PT - групою, якщо для неї властивість «бути переставною підгрупою» транзитивна. Іншими словами, якщо H - переставна підгрупа в G і K - переставна підгрупа в H, то K - переставна підгрупа в G.
Першим результатом роботи є наступна структурна теорема, яка поширює на періодичні FC - групи теорему Д. Цахера, що згадувалася вище.
Нехай G - група. Перетин всіх її нормальних підгруп Н, що визначають локально нільпотентні фактор - групи G/H, будемо називати локально нільпотентним резидуалом групи G.
2.19 Теорема Нехай G - періодична локально розв'язна PT - група і L - її локально нільпотентний резидуал. Якщо G - FC - група, то G задовольняє такі умови:
(i) G = L ? D,
де D - гіперцентральна підгрупа, всі підгрупи якої переставні;
(ii) 2 (L) і кожна силовська р - підгрупа L скінченна та є силовською р - підгрупою всієї групи G для будь-якого р (L);
(iii) будь-яка підгрупа L буде G - інваріантною.
Навпаки, якщо G - періодична FC - група, яка задовольняє умови (i) - (iii), то G є PT - група.
Отже, ця теорема дає нам повний опис періодичних локально розв'язних FC - груп, в яких умова переставності є транзитивна.
Нехай p - просте число. Будемо говорити, що група G належить класу Xp, якщо G задовольняє таку умову:
Для будь-якої силовської р - підгрупи P групи G кожна її підгрупа буде переставною в NG(P).
У роботі Beidleman J.C., Brewster B., Robinson D.J.S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups // Journal Algebra. - 1999. - Vol. 222. - Р. 400-412. для скінченних розв'язних груп були з'ясовані зв'язки цього класу груп з класом РТ - груп. Наступна теорема поширює теорему А вказаної роботи на періодичні FC - групи.
2.33 Теорема Нехай G - періодична локально розв'язна FC - група. Включення G Xp має місце для всіх простих чисел р тоді і тільки тоді, коли G - PТ - група.
Зауважимо один важливий наслідок.
Нехай p - просте число. Будемо говорити, що група G належить класу Cp, якщо вона задовольняє таку умову:
Якщо P - силовська р - підгрупа G, то кожна підгрупа P нормальна в NG(P).
2.34 Наслідок Нехай G - періодична локально розв'язна FC - група. Включення G Cp має місце для всіх простих чисел р тоді і тоді, коли G - Т - група з дедекіндовою силовською 2 - підгрупою.
Далі розглянемо зв'язки між властивостями переставності та пронормальності в нескінченних періодичних FC - групах. Зокрема, розширимо основний результат роботи Beidleman J.C., Brewster B., Robinson D.J.S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups // Journal Algebra. - 1999. - Vol. 222. - Р. 400-412. [ Теорема A і Теорема D] на клас нескінченних періодичних локально розв'язних FC - груп.
Нехай p - просте число. Будемо говорити, що група G належить класу Pp, якщо G задовольняє такі дві умови:
(i) кожна силовська р - підгрупа G - модулярна;
(ii) якщо P - силовська р - підгрупа G, тоді кожна нормальна підгрупа P пронормальна в G.
Нагадаємо, що підгрупа Н групи G називається пронормальною в G, якщо для кожного g G підгрупи Н, Hg спряжені в < H, Hg >.
Група G називається модулярною, якщо гратка її всіх підгруп буде модулярною, тобто для всіх підгруп X, Y, Z групи G таких, що X Z має місце рівність < X, Y > Z = < X, Y Z >.
За теоремою Івасави Schmidt R. Subgroups lattices of groups. - Berlin: Walter de Gruyter, 1994. - 572p. теорема 2.4.14 локально скінченна p - група, p - просте число, буде модулярною тоді і тільки тоді, коли будь-яка її підгрупа переставна в G.
У статті Beidleman J.C., Brewster B., Robinson D.J.S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups // Journal Algebra. - 1999. - Vol. 222. - Р. 400-412. [ Теорема A і Теорема D] , було доведено, що скінченна розв'язна група G буде РТ - групою тоді і тільки тоді, коли G Pp для всіх p (G). Тому природно виникає питання і про нескінченні групи з класу Pp.
У цій дисертаційній роботі був розглянутий не тільки клас Pp, але й таке його розширення.
Нехай p - просте число. Будемо говорити, що група G належить класу Pp*, якщо G задовольняє такі дві умови :
(i) кожна силовська р - підгрупа G є модулярною;
(ii) якщо P - силовська р - підгрупа G, то кожна скінченна нормальна підгрупа P пронормальна в G.
2.46 Теорема Нехай G - періодична локально розв'язна FC - група. Включення G Pp* має місце для всіх простих чисел р тоді і тільки тоді, коли G - PТ - група.
2.47 Наслідок Нехай G - періодична локально розв'язна FC - група. Якщо G Pp для всіх простих чисел р, то G - PТ - група.
Таким чином, ми одержали один з основних результатів.
2.48 Наслідок Нехай G - періодична локально розв'язна FC - група. Тоді наступні твердження еквівалентні:
(i) G є РТ - група;
(іі) якщо р - просте число і P - силовська р - підгрупа G, то кожна підгрупа P переставна в NG(P);
(iіi) якщо р - просте число і P - силовська р - підгрупа G, то Р - модулярна, і кожна нормальна підгрупа P пронормальна в G для всіх р.
Третій розділ дисертаційної роботи присвячений розгляду властивостей S - переставності в нескінченних періодичних FC - групах.
Нагадаємо означення. Нехай G - періодична група і - підмножина (G). Підгрупу H групи G будемо називати - переставною ( або - квазінормальною) в G, якщо для кожного p і кожної силовської p - підгрупи S групи G має місце наступна рівність HS = SH. Підгрупа H групи G називається S - переставною ( або S - квазінормальною) в G, якщо H - - переставна для = (G).
Група G називається PST - групою, якщо S - переставність є транзитивним відношенням в G, тобто з того факту, що H - S - переставна в G і K - S - переставна в H, завжди випливає, що K буде S - переставною підгрупою в G.
S - переставність є досить широким узагальненням звичайної переставності. У теорії скінченних груп властивість S - переставності вивчалася багатьма авторами з різних точок зору. Щодо нескінченних груп, то досі S - переставні підгрупи в них не вивчались.
У цій роботі було встановлено ряд властивостей S - переставності в нескінченних періодичних FC - групах, за допомогою яких, головний результат роботи Agrawal R.K. Finite groups whose subnormal subgroups permute with all Sylow subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1975. - Vol. 47, № 1. - Р. 77-83. був розширений на клас нескінченних періодичних локально розв'язних FC - груп. Таким чином, був зроблений опис періодичних локально розв'язних груп, в яких властивість S - переставності є транзитивною.
3.28 Теорема Нехай G - періодична локально розв'язна PST - група і L - її локально нільпотентний резидуал. Якщо G - FC - група, то G задовольняє такі умови:
(i) G =L ? D, де D - гіперцентральна підгрупа;
(ii) 2 (L) і кожна силовська р - підгрупа L скінченна і є силовською р - підгрупою всієї групи G для будь-якого р (L);
(iii) підгрупа L - абелева;
(iv) будь-яка підгрупа L є G - інваріантною.
Навпаки, якщо G - періодична FC - група, яка задовольняє умови (i) - (iv), то G - PST - група.
3.29 Наслідок Нехай G - періодична локально розв'язна PST - група. Якщо G - FC - група, то будь-яка підгрупа G буде PST - групою.
Природним завершення розділу стало здобуття умов для періодичних локально розв'язних FC - груп, за яких з того факту, що S - переставність є транзитивною властивістю групи, випливає, що «звичайна» переставність буде також транзитивною властивістю в цій групі.
3.36 Наслідок Нехай G - періодична локально розв'язна FC-група. Тоді наступні твердження еквівалентні:
(i) G - РТ- група;
(ii) якщо р - просте число і Р - силовська р - підгрупа в G, то кожна підгрупа Р - переставна в NG(P);
(iii) якщо р - просте число і Р - силовська р - підгрупа в G, то Р - модулярна і кожна нормальна підгрупа Р - пронормальна в G для всіх простих чисел р;
(iv) якщо р - просте число, то силовські р - підгрупи групи G - модулярні і для всіх р - підгруп Н і S із G, таких що Н? S, підгрупа Н є S - переставною в NG(S).
3.38. Наслідок Нехай G - періодична локально розв'язна FC -група. Група G буде РТ - групою тоді і тільки тоді, коли G - PST - група і всі силовські р - підгрупи групи G - модулярні для всіх простих чисел р.
Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню структури черніковських PST - груп і структури PST - груп, які належать до класу СС - груп.
Означення S - переставності показує, що вивчення S - переставності підгруп доцільне тільки в класі періодичних груп. Більш того, це вивчення може бути ефективним тільки для періодичних груп, які мають розвинуту силовську структуру.
Одним з таких класів є клас періодичних CC - груп. Нагадаємо деяке означення.
Нехай G - група і нехай S - G - інваріантна підмножина G. Тоді CG(S) - нормальна підгрупа групи G. Відповідну фактор-групу CocG(S) = G/CG(S) будемо називати коцентралізатором множини S в групі G. Відмітимо, що група G/CocG(S) ізоморфна деякій підгрупі групи Aut (<S>).
Нехай X - клас груп. Будемо говорити, що група G належить X - спряженому класу ( або G - XC - група ), якщо CocG (gG) X для кожного g G. Слід, якщо X = I - клас всіх тотожних груп, тоді клас IC - груп є саме класом A всіх абелевих груп.
Більш того, клас XC - груп є узагальненням класу абелевих груп асоційованих з заданим класом X.
Якщо X = C - клас всіх черніковських груп, тоді CC - групи - це групи з черніковськими спряженими класами або CC - групи.
Групи з черніковськими спряженими класами, або СС - групи були вперше розглянуті Я. Д. Половицьким Polovicky Ya. D. Groups with extremal classes of conjugate elements // Sibir. Math. J. - 1964. - Vol. 5. - P. 891-895. як розширення класу FC - груп. Клас СС - груп має розвинуту силовську теорію Alcazar J., Otal J. Sylow subgroup of group with Chernikov conjuagacy classes // J. Algebra. - 1987. - Vol. 110. - P. 507-513., Otal J., Peтa M. Characterizations of the conjuagacy of Sylow p - subgroups of CC - groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1989. - Vol. 106. - P. 605-609., Otal J., Peтa M. Sylow theory of CC - groups // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. - 1991. - Vol. 85. - P. 105-118. тому природним кроком далі є дослідження S - переставних підгруп саме в класі періодичних СС - груп.
У цій дисертації одержано ряд характеристик р - переставних та S - переставних підгруп у класі періодичних СC - груп, за допомогою яких зроблено опис періодичних локально розв'язних СС - груп, в яких властивість S - переставності є транзитивною.
Отже, основним результатом четвертого розділу є наступна теорема, яка показує нам структуру періодичних локально розв'язних СС - груп, в яких властивість S - переставності є транзитивною.
4.24 Теорема Нехай G - локально розв'язна періодична CC - група і нехай L - локально нільпотентний резидуал G. Якщо G буде PST - групою, то мають місце такі твердження:
(i) L - абелева;
(ii) 2 (L);
(iii) (L) (G/L) = ;
(iv) силовська p - підгрупа L є черніковською для кожного p(L);
(v) кожна підгрупа L є G - інваріантна.
Навпаки, якщо G - періодична CC - група, яка задовольняє умови (i) - (v), то G - PST - група.
Висновки
У дисертаційній роботі досліджуються локально розв'язні групи в яких властивість переставності або S - переставності є транзитивна (тобто РТ - та PST - групи).
У дисертації вперше одержано такі нові теоретичні результати. Отримано опис періодичних локально розв'язних груп, в яких властивість переставності є транзитивна.
Отримано опис періодичних локально розв'язних груп, в яких властивість S - переставності є транзитивна.
Було зроблене розширення на клас періодичних локально розв'язних FC - груп важливих характеристик скінченних розв'язних РТ - груп, які були наведені в роботі Beidleman J.C., Brewster B., Robinson D.J.S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups // Journal Algebra. - 1999. - Vol. 222. - Р. 400-412., зокрема отримані необхідні і достатні умови належності періодичних локально розв'язних FC - груп до класу РТ - груп.
Також з'ясовано зв'язок між властивостями переставності та пронормальності в класі періодичних локально розв'язних FC - груп.
Основний результат роботи Agrawal R.K. Finite groups whose subnormal subgroups permute with all Sylow subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. - 1975. - Vol. 47, № 1. - Р. 77-83. був розширений на клас нескінченних періодичних локально розв'язних FC - груп.
Для періодичних локально розв'язних FC - груп, отримано умови, за яких з того факту, що S - переставність є транзитивною властивістю групи, випливає, що «звичайна» переставність буде також транзитивною властивістю в цій групі.
Також було розглянуто властивості S - переставних підгруп у класі періодичних СС - груп.
Досліджено структуру черніковських PST - груп і структуру PST - груп, які належать до класу СС - груп.
Отримано ряд характеристик р - переставних та S - переставних підгруп у класі періодичних СC - груп, а також зроблено повний опис періодичних локально розв'язних СС - груп, в яких властивість S - переставності є транзитивна.
Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професорові Курдаченку Леонідові Андрійовичу за постійну увагу і підтримку в роботі.
ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Цыба Н.А. FC - группы, в которых условие переставляемости транзитивно // Вiсник Дніпропетровського університету. Maтематика. - 2006. - Вип.11. - С. 104-109.
2. Турбай Н.А. Характеризация FC - групп, в которых условие переставляемости транзитивно // Вiсник Дніпропетровського університету. Maтематика. - 2007. - Вип.12. - С. 143-149.
3. Turbay N. A. Pronormality and permutability in periodic FC - groups // Matematychni Studii. - 2008. - Vol. 29, № 2. - P. 132-138.
4. Курдаченко Л. А., Турбай Н. А. FC - групи, в яких умова S - переставності транзитивна // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2007. - Вип.4. - C. 43 - 47.
5. Курдаченко Л. А., Турбай Н. А. Характеризація FC - груп, в яких умова переставності є транзитивною // Доповіді НАН України. - 2008. - № 10. - С. 20 - 23.
6. Munoz-Escolano J.M., Otal J., Turbay N.A. Groups with Chernikov conjugacy classes in which Sylow permutability is a transitive relation // Pre-publicaciones del seminaro matematico garcia de galdeano Univ. de Zaragoza. - 2008. - № 18. - P. 1 - 10.
7. Турбай Н. А. FC - группы, в которых условие переставляемости транзитивно // V Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2006». - Севастополь, 2006. - С. 169 - 170.
8. Turbay N. A. Characterization of FC-groups in which permutability is a transitive relation // 6th International Algebraic Conference in Ukraine. - Kamyanets - Podilsky, 2007. - P. 206-207.
9. Turbay N. A. FC - groups in which S-permutability is a transitive relation // 6th International Algebraic Conference in Ukraine. - Kamyanets - Podilsky, 2007. - P. 207-208.
10. Turbay N. А. Pronormality and permutability in periodic FC - groups // XII Міжнародна наукова конференція ім. ак. М. Кравчука. - Київ, 2008. - С. 829.
11. Munoz-Escolano J.M., Otal J., Turbay N.A. On the structure of some infinite PST-groups // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша. - Москва, 2008. - С. 333-334.
АНОТАЦІЇ
Турбай Н. А. Вивчення будови груп за властивостями підгруп, близьких до нормальних. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, Дніпропетровськ, 2009.
Великий вплив на будову груп має система її нормальних підгруп і підгруп, у тому чи іншому розумінні близьких до нормальних. Природним узагальненням нормальних підгруп є переставні підгрупи. Тому значна частина цієї дисертаційної роботи присвячена вивченню періодичних локально розв'язних FC - груп, в яких умова переставності є транзитивна. Отримано ряд характеристик РТ - груп, а також вивчено структуру періодичних локально розв'язних FC - груп, в яких властивість переставності є транзитивна.
S - переставність є досить широким узагальненням звичайної переставності. Тому наступним кроком було вивчення нескінченних PST - груп. А саме, отримано опис періодичних локально розв'язних груп, в яких властивість S - переставності є транзитивна. Також отримані умови для періодичних локально розв'язних FC - груп, за яких РSТ - група є, також, і РТ - групою. Проведене дослідження структури черніковських PST - груп і структури PST - груп, які належать до класу СС - груп, а також зроблений повний опис періодичних локально розв'язних СС - груп, в яких властивість S - переставності є транзитивна.
Ключові слова: переставні підгрупи, S - переставність, РТ - група, PST - група, FC - група, СС - група.
АННОТАЦИЯ
Турбай Н. А. Изучение строения групп по свойствам подгрупп, близких к нормальным. - Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара, Днепропетровск, 2009.
Большое влияние на строение группы оказывает система её нормальных подгрупп и подгрупп, в том или ином смысле близких к нормальным. Естественным обобщением нормальных подгрупп являются переставляемые подгруппы, т.е. подгруппы перестановочные с любой другой подгруппой данной группы.
Поэтому значительная часть данной диссертационной работы посвящена изучению периодических локально разрешимых FC - групп, у которых условие переставляемости является транзитивным. В работе сделано расширение на класс периодических локально разрешимых FC - групп важных характеристик конечных разрешимых РТ - групп, а также изучена структура периодических локально разрешимых FC - групп, в которых условие переставляемости является транзитивным. Установлены связи между свойствами переставляемости и пронормальности в классе периодических локально разрешимых FC - групп.
S - переставляемость является достаточно широким обобщением обычной переставляемости. Поэтому следующим шагом было изучение бесконечных PST - групп, т.е. групп, у которых свойство S - переставляемости является транзитивным. В работе получено ряд характеристик PST - групп в классе периодических локально разрешимых FC - групп. И, таким образом, сделано описание периодических локально разрешимых групп, у которых свойство S - переставляемости является транзитивным. Также получены условия для периодических локально разрешимых FC - групп, при которых из того факта, что S - переставляемость является транзитивным свойством группы, выплывает что «обычная» переставляемость будет также транзитивным свойством в этой группе.
Группы с черниковскими сопряженными классами 69или СС - группы были впервые рассмотрены Я. Д. Половицким как расширение класса FC - групп. Класс СС - групп имеет развитую силовскую теорию. В диссертации проведено исследование структуры черниковских PST - групп и структуры PST - групп, которые принадлежат классу СС - групп, а также получено полное описание периодических локально разрешимых СС - групп, в которых свойство S - переставляемости является транзитивным.
Ключевые слова: переставляемые подгруппы, S - переставляемость, РТ - группа, PST - группа, FC - группа, СС - группа.
ANNOTATION
Тurbay N. A. Studying of the structure of the groups by the property of subgroups near to normal. - Manuscript.
Thesis for obtaining the degree of Candidate sciences in physics and mathematics in specialty 01.01.06 - algebra and number theory. - National Oles Gonchar university of Dnipropetrovsk, Dnipropetrovsk, 2009.
Подобные документы
Вивчення властивостей підгрупи Фиттинга. Умова існування доповнень до окремих підгруп. Визначення нильпотентної довжини розв'язної групи. Доведення ізоморфності кінцевої нерозв'язної групи з нильпотентними додаваннями до непонадрозв'язних підгруп.
дипломная работа [198,6 K], добавлен 17.01.2011Поняття добутку формацій. Операції на класах груп, відображення множини. Однорідні, локальні, композиційні та порожні екрани. Формації з однорідним екраном. Побудова локальних формацій із заданими властивостями. Доведення теорем Подуфалова та Слепова.
курсовая работа [189,3 K], добавлен 26.12.2010Розгляд програми вивчення паралельності прямих у просторі. Аналіз викладення теми конструювання геометричних тіл та дослідження їхніх властивостей у шкільних підручниках геометрії. Методика навчання учнів теоретичного матеріалу та розв’язування завдань.
курсовая работа [699,1 K], добавлен 26.03.2014Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.
курсовая работа [87,8 K], добавлен 20.01.2011Класифікація кінцевих простих неабелевих груп. Одержання факторизацій конкретних простих неабелевих груп та простих груп лієвського типу малого лієвського рангу. Ізометрії, проективні перетворення. Структурні теореми, порядки симплектичних груп.
дипломная работа [263,0 K], добавлен 26.12.2010Вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач за їх допомогою. Застосування Теореми Менелая при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших).
дипломная работа [4,0 M], добавлен 12.08.2010Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Основна теорема про епіморфізм груп. Означення і властивості гомоморфного та ізоморфного відображення кілець, полів. Ізоморфізм циклічних груп. Поняття кільця, поля та їх основні властивості. Вправи на гомоморфізм та ізоморфізм груп, кілець і полів.
дипломная работа [859,1 K], добавлен 19.09.2012Розгляд теоретичних основ рівнянь з параметрами. Основні види даних рівнянь. Аналітичний та графічний методи розв’язування задач із використанням формул, властивостей функцій. Ознайомлення із системою розв’язування задач з параметрами для 9 класу.
курсовая работа [605,9 K], добавлен 29.04.2014Вивчення теоретичних положень про симетричні многочлени і їх властивості: загальне поняття і характеристика властивостей. Математичне вживання симетричних многочленів: розв'язування систем рівнянь, доведення тотожності, звільнення від ірраціональності.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 04.04.2011
