Нелокальні та крайові задачі для рівняння теплопровідності у металургії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Харківський національний університет радіоелектроніки

УДК 517.946.9

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Нелокальні та крайові задачі для рівняння теплопровідності у металургії

Кобильська Олена Борисівна

Харків - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі інформатики і вищої математики Кременчуцького національного університету імені Михайла Остроградського Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Ляшенко Віктор Павлович, Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, професор кафедри інформатики і вищої математики.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Савула Ярема Григорович, Львівський національний університет ім. І. Франка, декан факультету прикладної математики та інформатики,

- доктор технічних наук, професор Стрельнікова Олена Олександрівна, Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, провідний науковий співробітник.

Захист відбудеться "6" грудня 2011 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К.64.052.07 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна 14.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна 14.

Автореферат розісланий "2" листопада 2011 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради І.В. Гребеннік.

Аннотация

Кобыльская Е.Б. Нелокальные и краевые задачи для уравнения теплопроводности в металлургии. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Харьковский национальный университет радиоэлектроники. Харьков, 2011.

В данной работе уточнены существующие и построены новые математические модели тепловых процессов в металлургии в виде нелинейных краевых и нелокальных задач для уравнения теплопроводности, а также задач с движущейся по заданному закону границей. Рассмотрены математические модели тепловых процессов в движущейся изотропной среде с периодически и постоянно действующими источниками тепла. Доказаны теоремы существования единственного решения нелокальных задач, разностной задачи с движущейся по заданному закону границей, получена оценка точности решения разностной задачи.

В частности, построена математическая модель температурного распределения в движущейся, с постоянной или переменной скоростью через зону нагрева среде, с постоянно действующим внутренним источником тепла. В качестве математической модели выбрана краевая задача для уравнения теплопроводности с нелинейными граничными условиями. Эта модель учитывает перераспределение температуры за счет теплопроводности и потерь тепла с поверхности за счет излучения. Рассмотрены частные случаи данной модели, в виде более простых задач и получены аналитические решения. Для решения нелинейной задачи построена консервативная разностная схема и исследован вопрос устойчивости предложенной разностной схемы. На основе решения упрощенной задачи определены параметры управления температурным полем во время переходного процесса. Используя решения нелинейной задачи, определены более точные значения параметра управления. Построены графики температурных распределений для разных изотропных сред.

Построена математическая модель, которая описывает температурное распределение среды, движущейся через зону нагрева с постоянной или переменной скоростью, с периодически действующим внутренним источником тепла, зависящим от температуры, пространственной координаты и времени. Определены параметры управления температурным полем с периодически действующим внутренним источником тепла.

В виде краевой задачи для уравнения теплопроводности с движущейся по заданному закону границей построена математическая модель температурного поля стержня цилиндрической формы, переменной длинны, который разогревается внутренним постоянно действующим источником тепла. Скорость перемещения границы известная непрерывная функция, зависящая от времени. Решена прямая и обратная задача. Исследован вопрос существования решения разностной задачи для задачи с движущейся границей.

Построена математическая модель температурного распределения в полом тонкостенном цилиндре, ось вращения которого расположена перпендикулярно оси движения источника тепла и вращающегося, вокруг своей оси, с постоянной угловой скоростью. Эта модель описывает тепловой процесс в валковом калибре цилиндрической формы во время пластической деформации или термической обработки проволоки, когда тепловой поток ортогонален оси вращения.

Разработан поход к решению нелинейных краевых задач, предложенных в моделях, в основе которого переход к средней интегральной температуре, квазилинеаризация, конечно-разностные методы. Такой подход позволяет учитывать особенности функций источников тепла, физические свойства и геометрические параметры среды.

Рассмотрена математическая модель теплового процесса в движущейся среде в виде нелокальной задачи с интегральным условием. Показано, что в отличие от краевых задач, нелокальные с большей точностью отражают технологический процесс нагрева и температурное распределение, как на границах, так и внутри области. Нелокальные задачи позволяют определять основные параметры управления температурными полями.

Показана возможность и рамки применения интегрального условия для нахождения решения обратных задач и определения основных параметров управления температурным полем. Такие задачи представлены в виде нелокальных обратных задач, где, как дополнительное, выступает интегральное условие, а неизвестной, кроме температуры, является функция источника тепла.

В рамках предложенных математических моделей сформулированы и доказаны теоремы существования единственного решения нелокальных задач для уравнения теплопроводности, в случае, когда на части области задано краевое условие I-го, II-го или III-го рода, а вместо второго краевого условия введено интегральное условие.

Проведены численные расчеты температурных распределений. Найдены параметры управления температурным полем для разных сред и разных условий теплообмена поверхности нагреваемой среды с окружающей средой. Проведен сравнительный анализ температур, полученных экспериментально, и расчетных значений полученных из решений нелокальных и нелинейных задач, которые описывают построенные модели. Построены графики температурных распределений и распределений значений параметров.

Материалы диссертационной работы использованы при разработке технологических процессов и технологического оборудования на научно-производственной фирме "Карма" и государственном предприятии "Инженерный центр твердых сплавов" "Светкермет" Министерства промышленной политики Украины, о чем свидетельствуют соответствующие акты внедрения.

Ключевые слова: математическая модель, краевая задача, нелокальная задача, разностная схема, уравнение теплопроводности сходимость, устойчивость разностной схемы.

Анотація

Кобильська О.Б. Нелокальні та крайові задачі для рівняння теплопровідності у металургії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2011.

У даній роботі уточнені існуючі та побудовані нові математичні моделі теплових процесів у металургії у вигляді нелінійних крайових та нелокальних задач для рівняння теплопровідності, а також задачі з рухомою за заданим законом межею. Розглядаються математичні моделі теплових процесів, що відбуваються у рухомому ізотропному середовищі з періодично та постійно діючими джерелами тепла. Побудована математична модель теплового процесу у рухомому середовищі у вигляді нелокальної задачі з інтегральною умовою. Показано, що на відміну від крайових задач, розв'язки нелокальних задач найбільш точно віддзеркалюють технологічний процес нагрівання та відображають температурний розподіл як на границях, так і усередині області. Показана можливість та межі застосування інтегральної умови для знаходження розв'язку обернених задач та визначення основних параметрів керування температурним полем. Запропоновано метод пошуку параметру керування температурним полем. Доведені теореми про існування єдиного розв'язку нелокальних задач, різницевої задачі з рухомою за заданим законом межею, лема про оцінку розв'язку різницевої задачі. Проведені чисельні розрахунки температурних розподілів. Знайдено параметри керування температурним полем для різних матеріалів середовища і різних умов теплообміну поверхні циліндра.

Ключові слова: математична модель, крайова задача, нелокальна задача, різницева схема, рівняння теплопровідності.

Abstract

Kobilskaya E.B. Nonlocal and boundary problems for heat conductivity equation in metallurgy. - Manuscript.

The thesis for the scientific degree of candidate of physical-mathematical Science by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. Kharkov National University of Radio Electronics, Kharkov, 2011.

In the thesis the new mathematical models of temperature field for the mobile isotropic environment with periodically and constantly operating heat sources are built. Existing mathematical models, such as nonlinear boundary and nonlocal problems for the heat conductivity equation and also the problems with a moving boundary are specified.

The mathematical model of the thermal process in the mobile environment in the form of a nonlocal problem with integral condition was built. It is shown that in contrast to the boundary value problems, the solutions of nonlocal problems more accurately show the process of heating and temperature distribution both at the borders and within the region. The possibility and the limits of the integral condition for finding the solution of inverse problems and determining the main parameters of control the temperature field is shown. The method of search of parameter of control the temperature field is offered.

Existence theorems for nonlocal problems of the heat conductivity equation are proved. Search method of temperature field control parameters with integral condition instead of the boundary one is offered. Numerical investigation of temperature distributions are carried out. The parameters of control for the temperature field for different materials and different environmentalconditions of heat exchange surface of the cylinder are obtained.

Keywords: mathematical model, boundary value problem, nonlocal problem, difference scheme, the heat conductivity equation.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Велика кількість технологічних процесів у металургії відбуваються при підвищених температурах, де нагріванню піддається рухомий об'єкт. При дослідженні теплових процесів у зоні нагрівання рухомих об'єктів часто, під час натурних експериментів, неможливо контролювати температуру. Це трапляється, коли об'єкт, що нагрівається, має малі геометричні розміри, наприклад, тонкий дріт, або коли нагрівання відбувається у середовищі, недосяжному для встановлення датчиків температури. В останні 20-30 років широке застосування на практиці знаходять нові високошвидкісні способи термічної обробки металів і сплавів, у яких використовується циклічна імпульсна дія температури. Тут контролювати температурний розподіл можна за допомогою математичної моделі, використовуючи розв'язки обернених задач. Такі моделі дозволяють враховувати особливості технологічного процесу нагрівання, способи підведення тепла до рухомого об'єкту та умови теплообміну з навколишнім середовищем. У якості математичних моделей, що описують технологічні процеси нагрівання, розглядаються крайові та нелокальні задачі для рівняння теплопровідності. Нелокальні задачі більш точно відображають фізичні процеси, зокрема теплові. При застосуванні у математичних моделях нелокальних задач виникає проблема дослідження існування єдиного розв'язку такої задачі. Особлива увага у роботі приділяється нелокальним задачам, задачам із інтегральною умовою та рухомою за відомим законом межею.

Методи розв'язання лінійних, нелінійних крайових та нелокальних задач для рівняння теплопровідності розглядаються у роботах багатьох учених, зокрема таких як А.М. Тихонов, А.А. Самарський, А.А. Березовський, Ю.М. Коляно, Г.І. Марчук, Ю.А. Митропольський, Я.С. Підстригач, В.В. Скопецький, А.П. Слесаренко, О.В. Ликов, А.В. Біцадзе, Л.С. Пулькіна, Ж. Ліонс, Р. Рихтмайер, Д. Андерсен, Я.Г. Савула, О.О. Стрельнікова та інші. Але у своїй більшості ці роботи носять загальнонауковий характер.

Основною науковою проблемою, що розглядається у роботі, є уточнення існуючих та побудова нових математичних моделей теплових процесів у рухомих середовищах, розв'язання нелокальних та крайових задач для рівняння теплопровідності, а також доведення теорем існування єдиного розв'язку нелокальних та різницевих задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у рамках тематичного плану університету згідно плану науково-дослідних робіт кафедри інформатики і вищої математики у межах держбюджетного наукового договору 12Д ВВК, №870 від 29.12.2006, номер держреєстрації 0106U002060 "Розвиток теорії руйнування композитних матеріалів потужними джерелами енергії". У даній роботі здобувач брала участь як виконавець. Їй належить частина розділу, у якому розробляються методи розв'язання нелокальних та крайових задач для рівняння теплопровідності та проводяться чисельні розрахунки.

Матеріали дисертації лягли в основу практичних рекомендацій під час розробки технологічного обладнання та технологічних процесів виробництва дроту у Державному інженерному центрі твердих сплавів "Світкермет" Міністерства промислової політики України та науково-виробничій фірмі "Карма".

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка нових та уточнення існуючих математичних моделей температурних розподілів у рухомому середовищі у вигляді крайових та нелокальних задач для рівняння теплопровідності, розв'язки яких використовуються під час керування температурними полями.

Для досягнення поставленої мети необхідно було розв'язати такі задачі:

1. З метою уточнення та розробки нових математичних моделей запропонувати нелокальні та крайові задачі для рівняння теплопровідності рухомого середовища з внутрішніми та зовнішніми періодично та постійно діючими джерелами тепла;

2. Cформулювати нові математичні моделі теплових процесів, що протікають у рухомому середовищі у вигляді нелокальних задач та задач з рухомою межею;

3. Довести теореми існування єдиного розв'язку нелокальних задач та диференціально-різницевої задачі із рухомою межею;

4. Враховуючи особливості запропонованих математичних моделей, удосконалити методи розв'язання крайових та нелокальних задач;

5. Провести чисельні експерименти та побудувати температурні розподіли для конкретних технологічних умов термічної та електропластичної обробки дроту із застосуванням ПЕОМ та провести аналіз отриманих результатів;

6. Визначити параметри керування температурним полем.

Об'єктом дослідження є теплові процеси, що відбуваються у рухомих середовищах.

Предметом дослідження є математичні моделі та методи аналізу теплових процесів у металургії.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі були використані методи розв'язання та дослідження нелокальних та крайових задач математичної фізики, теорії інтегральних та диференціальних рівнянь, чисельні методи, зокрема скінченно-різницеві схеми.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Одержали подальший розвиток існуючі математичні моделі теплових процесів, який полягає в урахуванні особливостей функцій джерел тепла у нелокальних та нелінійних крайових задачах для рівняння теплопровідності, що дозволило знайти параметри керування температурними полями.

2. Уперше побудовано математичну модель температурного поля рухомого циліндра, довжина якого є змінною величиною, у вигляді крайової задачі для рівняння теплопровідності з рухомою за заданим законом межею, яка дозволила керувати температурним полем під час процесу пластичної деформації.

3. Уперше сформульовані та доведені теореми існування єдиного розв'язку нелокальних крайових задач для рівняння теплопровідності, у яких на границі області задана крайова умова I-го, II-го або III-го роду, а замість другої умови задана інтегральна умова. Доведена теорема існування єдиного розв'язку різницевої задачі для рівняння теплопровідності з рухомою межею.

4. Уперше розроблено метод використання інтегральної умови для знаходження параметрів керування температурним полем, що дозволяє розширити можливості використання нелокальних задач для теоретичних та практичних досліджень теплових процесів.

5. Отримав подальший розвиток чисельно-аналітичний метод розв'язання нелінійних крайових задач, що застосовується у побудованих математичних моделях, в основі якого лежить квазилінеаризація, скінченно-різницеві методи та який враховує особливості функцій джерел тепла, що дозволяє поширити розроблений метод на відповідний клас задач.

Практичне значення одержаних результатів. Розв'язки задач, що розглядаються у дисертації, доведені до конкретних рекомендацій для державного підприємства "Інженерний центр твердих сплавів" "Світкермет" Міністерства промислової політики України та науково виробничої фірми "Карма", про що свідчать акти про впровадження матеріалів дисертації.

Особистий внесок здобувача Усі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем особисто. У роботах, написаних у співавторстві, дисертантові належать такі результати:

- уточнені існуючі та побудовані нові математичні моделі температурного поля рухомого середовища з періодично та постійно діючими внутрішніми та зовнішніми джерелами тепла [2-8];

- у вигляді розв'язку оберненої задачі розроблено метод визначення основних параметрів керування температурним полем рухомого середовища із рухомою за заданим законом межею [3, 5, 6, 10, 14, 16, 18-20];

- сформульовані та доведені теореми існування розв'язків нелокальних задач [1];

- розроблено метод чисельно-аналітичного розв'язку задач, що описуютьcя отриманими математичними моделями[2-7];

- проведені чисельні експерименти та побудовані температурні розподіли.

Усі співавтори із задекларованим особистим внеском здобувача погодилися.

Апробація результатів дисертації Результати дисертаційної роботи доповідались на 21-ій науковій конференції та семінарах, зокрема на XVI Всеукраїнській науковій конференції "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (Львів, 2009 р.), 13-му Міжнародному молодіжному форумі "Радіоелектроніка і молодь у ХХІ ст." (Харків, 2009 р.), III-ій міжнародній конференції молодих учених "Комп'ютерні науки та інженерія" (CSE - 2009), (Львів, 2009р.), XIV Міжнародному симпозіумі "Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики" (МДОЗМФ - 2009, МДОЗМФ - 2011), (Харків - Херсон, 2009, 2011 р.), Науково-технічній конференції з міжнародною участю "Комп'ютерне моделювання в наукоємних технологіях" (Харків, 2010 р.), Міжнародному форумі молодих учених "Проблемы недропользования" (Санкт-Петербург, 2010, 2011 р.), Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки та математики" (Львів, 2008 р.), VIII міжнародній науково-технічній конференції "Наука образованию, производству, экономике" (Мінськ, 2010 р.), Всеукраїнських науково-технічних конференціях "Фізичні процеси та поля технічних і біологічних об'єктів" (Кременчук, 2008, 2009 р.), Міжнародній науково-технічній конференції "Прикладные задачи математики и механики" (Севастополь, 2010 р.), п'ятій міжнародній науково-практичній конференції "Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем" (Дніпропетровськ, 2007 р.), міжнародній конференції "Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем" (Київ 2009, 2011 р.), VIII Всеукраїнській науково-технічній конференції молодих учених і спеціалістів (Кременчук, 2010 р.), конференції молодих учених та спеціалістів "Сучасні проблеми машинобудування" (Харків, 2010 р.), Шостій Всеросійській конференції "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, МДТУ ім. М.Е. Баумана, 2011 р.), міжнародному семінарі "Чисельне моделювання методами дискретних особливостей в математичній фізиці" (Харків, Харківський національний університет імені В.М. Каразіна, 2011 р.), 51-ій міжнародній конференції "Актуальні проблеми міцності" (Національний науковий центр, "Харьківський фізико-технічний інститут" НАНУ, 2011 р.), міжнародній конференції "Сучасні проблеми математики і її застосування в природничих науках" (Харків, 2011 р.), Науково-технічній проблемній раді "Математичне та фізичне моделювання" (Харків, ІПМаш ім. А.М. Підгорного НАН України, 2011 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 29 наукових працях. З них 8 статей, серед яких 7 - статті у виданнях, затверджених ВАК України, 21 - тези доповідей на наукових конференціях.

Обсяг і структура роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 159 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 164 сторінки, робота містить 20 рисунків, 2 додатки, 1 таблицю.

2. Основний зміст роботи

У вступі, зміст якого відповідає першій частині автореферату, обґрунтовується актуальність теми дисертації, визначається мета та основні задачі дослідження, викладаються основні наукові результати роботи.

У першому розділі наведено стислий огляд публікацій за темою дисертації, сформульовані задачі дослідження, та обґрунтовується вибір напряму досліджень.

Основна увага приділяється дослідженню існуючих математичних моделей теплових процесів, у яких розглядаються крайові та нелокальні задачі для рівняння теплопровідності із періодично та постійно діючими джерелами тепла, задачі із рухомою межею та методи їх розв'язку. Показана доцільність залучення інтегральної умови для уточнення математичної моделі температурного поля рухомого середовища. Запропоновані нові та уточнені існуючі математичні моделі температурних розподілів рухомих осесиметричних середовищах з періодично та постійно діючими внутрішніми та зовнішніми джерелами тепла. Сформульовані нові математичні моделі свідчать про актуальність поставленої проблеми та необхідність подальших досліджень в області моделювання теплових процесів.

Усі результати, описані в розділі, опубліковані у роботах [2-8].

У другому розділі розглядаються побудовані у вигляді крайових задач математичні моделі процесів термічної обробки рухомого середовища з постійно та періодично діючими внутрішніми та зовнішніми джерелами тепла.

Формулюються та доводяться теореми існування єдиного розв'язку нелокальних задач для рівняння теплопровідності.

Наводяться результати чисельних експериментів.

У п.2.1 у вигляді крайової задачі для рівняння теплопровідності розглянута узагальнена математична модель температурного поля рухомого, зі змінною швидкістю , ізотропного середовища, що розігрівається в області постійно діючими внутрішніми джерелами тепла , що залежать від температури

, (1)

, (2)

, , (3)

, , (4)

де - теплофізичні характеристики середовища, коефіцієнт тепловіддачі з поверхні рухомого середовища, - ступінь чорноти та постійна Стефана - Больцмана, - радіус, - питомий опір та температурний коефіцієнт опору середовища, що розігрівається.

Для термічно тонкого середовища після застосування усереднення за радіусом

(5)

до рівняння (1), з урахуванням граничних умов (3), та при задача (1) - (4) у області спрощується та зводиться до такої:

, (6)

, (7)

, , (8)

де .

Розглянуто частинні спрощені випадки задачі (6) - (8), для яких отримано аналітичні розв'язки. У випадку квазістаціонарного температурного поля при , для , та умові розв'язок задачі має вигляд

.

Для, методом характеристик отримано розв'язок задачі у вигляді

.

Для ,, , розв'язок задачі знайдено різницевим методом.

У п. 2.2 розглянута математична модель температурного поля рухомого ізотропного осесиметричного середовища зі сталими теплофізичними характеристиками у вигляді нелінійної крайової задачі для нестаціонарного рівняння теплопровідності що розігрівається у області з границею періодично діючими внутрішніми джерелами тепла

 (9)

, (10)

, (11)

, , (12)

Функція є фінітною функцією, яка у випадку залежності джерел тепла від координати та часу має вигляд

, ,

,

.

математичний нелокальний температурний

Тут параметри визначають характер дії імпульсів.

Після усереднення (5) температури уздовж радіуса та врахування умови (12) задача (9) - (12) трансформується у наступну

,, (13)

, (14)

, (15)

де .

Після застосування методу Роте та введення в області рівномірної за часом сітки задача (13) - (15) зведена до системи диференціально-різницевих задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку.

У п. 2.3 розглядається задача визначення температурного поля у порожнистому тонкостінному циліндрі, що обертається навколо своєї осі із кутовою швидкістю , коли тепловий потік інтенсивністю ортогональний осі обертання

, ,,,

, , ,

, ,,

,

де ,

- радіуси зовнішньої і внутрішньої поверхонь циліндра. При знаходженні температурного розподілу застосована параболічна апроксимація та скінченно-різницевий метод.

Усі результати, що описані у розділі, опубліковані у роботах [2, 4, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19-24, 27, 29].

У третьому розділі розглядаються нелокальні задачі та задачі з рухомою за відомим законом межею.

У п. 3.1 розглядається математична модель, у якій у крайову задачу (1) - (4) замість однієї із крайових умов уводиться нелокальна інтегральна умова, що визначає баланс енергії зони нагрівання

(16)

Замінивши в задачі (1) - (4) другу із умов (4) інтегральною умовою (16), після заміни змінних та переходу до безрозмірних координат та параметрів, задача (1) - (4) з інтегральною умовою у області трансформується у нелокальну задачу, що має вигляд

, (17)

, (18)

,, (19)

,

Для задачі (17) - (19) має місце наступна теорема.

Теорема 1. Нехай у задачі (17) - (19) , , тоді існує єдиний розв'язок задачі (17) - (19).

У випадку, коли на одній із границь області відомий тепловий потік, маємо задачу

, (20)

, (21)

, . (22)

Теорема 2. Нехай у задачі (20) - (22) ,

Якщо виконується умова узгодження , і задача

, (23)

, (24)

, , (25)

має єдиний розв'язок , то задача (21) - (22) еквівалентна задачі (23) - (25) і також має єдиний розв'язок .

Якщо на одній частині границі області має місце теплообмін з навколишнім середовищем за законом Ньютона, а замість другої із крайових умов введена інтегральна умова, маємо задачу

, (26)

, (27)

, . (28)

Теорема 3. Нехай

Якщо виконується умова узгодження , та існує розв'язок задачі

, (29)

, (30)

, , (31)

то існує, і при тому єдиний, розв'язок задачі (26) - (28).

Причому задачі (26) - (28) та (29) - (31) еквівалентні між собою.

У п. 3.2 розглядається математична модель температурного поля області з рухомою за відомим законом межею

, (32)

, (33)

, , (34)

, , (35)

де .

Після переходу до усередненої за радіусом інтегральної температури та замінюючи похідну за часом різницевою похідною поставимо у відповідність задачі (32) - (35) наступну систему диференціально-різницевих задач для звичайного диференціального рівняння другого порядку відносно функції для ,

, (36)

, , (37)

,

у просторі з нормою має місце теорема.

Теорема 4. Нехай , , причому функції , - обмежені, де - const, тоді існує єдиний неперервний по розв'язок задачі (36) - (37) .

Задачу (32) - (35) зводимо до нелінійного інтегрального рівняння типу Гаммерштейна з ядром у вигляді функції Гріна

, (38)

де ,

.

Розв'язок рівняння (38) шукаємо методом ітерацій.

Результати, що описані у розділі, опубліковані у роботах [1, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 25, 28]

У четвертому розділі розглядаються обернені задачі для рівняння теплопровідності, визначаються параметри керування температурним полем, приводяться результати чисельних розрахунків. Побудовані графіки температурних розподілів. Зокрема розглянуті обернені задачі до задач (1) - (4), (9) - (12), (32) - (35).

Визначення основного параметра керування температурним полем - сили струму , проводиться шляхом розв'язання обернених задач до задач (1) - (4), (9) - (12), (32) - (35).

Описано метод застосування інтегральної умови для знаходження параметрів керування температурним полем.

Результати, що описані у розділі, опубліковані у роботах [3, 6, 18, 26].

Висновки

В дисертаційній роботі отримано вирішення наукової задачі дослідження теплових процесів у металургії шляхом розробки нових та уточнення існуючих математичних моделей теплових процесів, що відбуваються у рухомих об'єктах, у вигляді крайових та нелокальних задач для рівняння теплопровідності та розробки методів розв'язання цих задач.

1. У роботі проведено аналіз існуючих математичних моделей процесів нагрівання та термічної обробки виробів осесиметричної форми. Під час аналізу з'ясовано, що запропоновані раніше математичні моделі не достатньо повно та не зовсім адекватно описують теплові процеси, що протікають у рухомому середовищі, а це, у свою чергу, призводить до складних та досить витратних натурних експериментів, які проводяться для визначення параметрів керування температурними полями під час технологічних процесів та при проектуванні систем керування ними. Крім того:

у математичних моделях, що описують процеси термічної обробки при високій температурі, у більшості випадків не враховувалися втрати тепла з поверхні за рахунок випромінювання та нелінійний характер теплофізичних характеристик середовища, що призводило під час розрахунків до завищення значень температури;

математичні моделі, у яких розглядалася циклічна дія джерел тепла, носили описовий характер;

не були розглянуті математичні моделі, у яких зона нагрівання рухомого середовища була змінною величиною;

не представлено математичних моделей рухомих середовищ, у яких для опису температурних розподілів використовувалися нелокальні задачі. Не були досліджені умови існування єдиного розв'язку такої задачі.

Частина вище вказаних проблем розв'язана у даній дисертаційній роботі.

Зокрема, отримані такі теоретичні і практичні результати.

2. Одержали подальший розвиток існуючі математичні моделі теплових процесів у вигляді нелокальних та нелінійних крайових задач для рівняння теплопровідності, який полягає в урахуванні нелінійностей у крайових умовах та особливостей функцій джерел тепла.

3. Уперше, на основі розв'язку задачі для рівняння теплопровідності з рухомою межею, розроблена математична модель теплового процесу у рухомому середовищі.

4. У рамках запропонованих математичних моделей сформульовані та доведені теореми існування єдиного розв'язку нелокальних крайових задач для рівняння теплопровідності, коли на частині області задана крайова умова I-го, II-го або III-го роду, а замість другої із крайових умов уведена інтегральна умова, доведена теорема існування єдиного розв'язку різницевої задачі для рівняння теплопровідності з рухомою межею.

5. Уперше запропоновано метод використання інтегральної умови для знаходження параметрів керування температурним полем.

6. Розроблено підхід до розв'язку нелінійних крайових задач, запропонованих у моделях, в основі якого інтегральні перетворення, квазилінеаризація, скінченно-різницеві методи, і який враховує особливості функцій джерел тепла, фізичні властивості та геометричні розміри середовища.

7. Побудовані математичні моделі та розв'язки крайових та нелокальних задач були використані під час дослідження температурних процесів рухомих об'єктів, розрахунках оптимальних параметрів керування температурними полями, а також при проектуванні нового технологічного обладнання та систем керування на науково-виробничій фірмі "Карма" та державному підприємстві "Інженерний центр твердих сплавів" "Світкермет" Міністерства промислової політики України. Отримані у роботі результати, зокрема сформульовані та доведені теореми, представляють науковий інтерес і можуть бути використані для подальшої розробки загальної теорії крайових та нелокальних задач для рівнянь параболічного типу.

8. Достовірність отриманих у роботі результатів підтверджується тим, що вони не суперечать науковим результатам, отриманим раніше іншими ученими; доведеннями сформульованих у роботі відповідних теорем; достатнім обсягом обчислювальних експериментів та порівняння їх з натурними, застосуванням загальнонаукових і спеціальних методів досліджень, використанням значного обсягу даних натурних досліджень інших авторів, конкретною постановкою наукових завдань і адекватністю їх вирішення; узгодженістю аналітичних досліджень з експериментальними результатами, позитивними результатами апробації на наукових конференціях і рекомендаціями щодо впровадження результатів досліджень.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Ляшенко В.П. Дослідження нелокальної задачі з інтегральною умовою / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Вісник Київського університету, Серія "Фізико-математичні науки". - 2010.- №4. - С. 104-111.

2. Ляшенко В.П. Дослідження температурних розподілів рухомого середовища з імпульсними джерелами тепла / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Вісник Харківського національного університету, Серія "Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління". - 2010. - №890. - вип.13. - С. 115-120.

3. Ляшенко В.П. Задача типу Стефана для циліндричної області / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2010. - випуск 12. - С. 122-127.

4. Ляшенко В.П. Математична модель температурного поля рухомого ізотропного середовища / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Вісник Запорізького національного університету, Серія "Фізико-математичні науки". - 2008. - №1. - С. 130-135.

5. Ляшенко В.П. Моделювання однієї оберненої задачі Стефана / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Вісник Харківського національного університету. Серія "Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління". - 2009. - №847, випуск 11. - С. 206-212.

6. Ляшенко В.П. Розв'язання однієї оберненої задачі Стефана / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Вісник Львівського університету. Серія "Прикладна математика. Інформатика". - 2009. - вип. 15. - С. 251-257.

7. Ляшенко В.П. Розрахунок температурного поля тепловипловипромінюючого тонкостінного циліндра / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Вісник Київського університету. Серія "Фізико-математичні науки". - 2010. - №1. - С. 114-117.

8. Черненко В.П. Применение кубического сплайна при численном решении краевой задачи /В.П. Черненко, Е.Б. Кобыльская // Вісник КДПУ ім. М. Остроградського. Серія Інформаційні системи і моделювання. - 2008. - Вип.6(53). - С. 23-25.

9. Ляшенко В.П. Дискретизація однієї задачі Стефана / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики (МДОЗМФ - 2009): праці XIV Міжнародного симпозіуму, (Харків - Херсон, 2009 р.). - Харків, 2009. - C. 117-120.

10. Ляшенко В.П. Дослідження температурних розподілів рухомого середовища з імпульсними джерелами тепла / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Компьютерное моделирование в наукоемких технологиях: труды научно-технической конференции с международным участием, (Харьков, 18 - 21 мая, 2010 г.). - Харков: ХНУ имени В.Н. Каразина, 2010. - С. 222-224.

11. Кобильська О.Б. Дослідження нелокальної задачі для рівняння параболічного типу з інтегральною умовою / О.Б. Кобильська // Сучасні проблеми машинобудування: тези доповідей конференції молодих учених та спеціалістів, Харків, 8-11 листопада, 2010 р. - Харків: Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, 2010. - С. 32.

12. Кобильська О.Б. Дослідження температурних розподілів зі слабими імпульсними джерелами тепла / О.Б. Кобильська // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: матеріали XVI Всеукраїнської наукової конференції, (Львів, 8-9 жовтня, 2009 р.). - Львів: Львівський національний університет імені Івана Франка, 2009. - С. 103-104.

13. Кобильська О.Б. Математична модель температурного поля області з рухомими межами / О.Б. Кобильська // Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке: материалы 13-го Международного молодежного форума (Харьков, 30 марта - 1 апреля, 2009 г.) - Харків: ХНУРЕ, 2009. - Ч. 2. - С. 305.

14. Ляшенко В.П. Математична модель температурного поля рухомого ізотропного середовища / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Сучасні проблеми механіки та математики: зб. тез доповідей Міжнародної наукової конференції, Львів, 2008 р. - Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача, 2008. - Т.1. - С. 89-90.

15. Кобильська О.Б. Моделювання однієї оберненої задачі до задачі Стефана / О.Б. Кобильська // Комп'ютерні науки та інженерія: матеріали III міжнародної конференції молодих вчених CSE-2009 (14-16 травня, 2009 р.). - Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2009. - С. 223-225.

16. Ляшенко В.П. Моделювання процесів електропластичної обробки рухомого ізотропного середовища / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Фізичні процеси та поля технічних і біологічних об'єктів: тези доповідей VIII Всеукраїнської науково-технічної конференції, Кременчук, 2009 р. - Кременчук: КДУ, 2009. - С. 233-235.

17. Ляшенко В.П. Моделювання температурного поля області з рухомою межею / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Фізичні процеси та поля технічних і біологічних об'єктів: зб. тез доповідей VII Всеукраїнська науково-технічна конференція, Кременчук, 2008 р. - Кременчук: КДПУ, 2008. - С. 16.

18. Кобильська О.Б. Розв'язання однієї оберненої задачі Стефана / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Прикладные задачи математики и механики: междунар. науч.-техн. конф.: тезисы докл., (13 - 17 сентября 2010 г.). - Севастополь, 2010. - С. 185-186.

19. Ляшенко В.П. Розрахунок температурного поля тепловипромінюючого полого циліндра / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем: п'ята міжнародна науково-практична конференція, 14-16 листопада, 2007р.: збірник тез доповідей. - Дніпропетровськ: Дніпропетровський національний університет, 2007. - С. 128.

20. Ляшенко В.П. Розрахунок температурного поля тонкостінного циліндра / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем: тези доповідей міжнародної конференції, 27-29 травня, 2009 р.: тези доповідей. - Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2009 - С. 226.

21. Ляшенко В.П. Температурне поле електроізольованого нерухомого дроту / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська // Фізичні процеси та поля технічних і біологічних об'єктів: тези доповідей VIII Всеукраїнської науково-технічної конференції, Кременчук, 2009 р. - Кременчук: КДУ, 2009. - С. 30-31.

22. Ляшенко В.П. Исследование влияния импульсного действия тока на температурное распределение в движущейся проволоке / В.П. Ляшенко, Е.Б. Кобыльская // Проблемы недропользования: сборник научных трудов международного форума-конкурса молодых ученых, (Санкт-Петербург, 2010 г.), Санкт-Петербургский горный университет имени Г.В. Плеханова, 2010. - С. 203-205.

23. Ляшенко В.П. Исследование влияния импульсного действия тока на температурное распределение в движущейся проволоке / В.П. Ляшенко, Е.Б. Кобыльская // Наука образованию, производству, экономике: материалы VIII международной научно-технической конференции. Минск: Министерство образования Республики Беларусь, Белорусский национальный технический университет, 2010. - Т. 1. - С. 383.

24. Ляшенко В.П. Моделирование температурного распределения в движущейся проволоке с импульсными источниками тепла / В.П. Ляшенко, Е.Б. Кобыльская //Необратимые процессы в природе и технике: труды шестой Всероссийской конференции. Москва: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - Ч. 2. - С. 14-16.

25. Кобильська О.Б. Дослідження нелокальної задачі з інтегральною умовою/ О.Б. Кобильська, В.П. Ляшенко, А.П. Слесаренко // Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики (МДОЗМФ-2011): праці XIV Міжнародного симпозіуму, (Харків - Херсон, 2011 р.). - Харків, 2011. - C. 117-120.

26. Кобильська О.Б. Про одну обернену задачу з інтегральною умовою / О.Б. Кобильська // Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем: тези доповідей міжнародної конференції, 25 - 27 травня, 2011 р.: тези доповідей. - Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2011 - С. 226.

27. Троицкий, О.А. Электропластическое волочение тонкой проволоки / О.А. Троицкий, В.И. Сташенко, В.Г. Рыжков, В.П. Ляшенко, Е.Б. Кобыльская // 51-ая Международная конференция "Актуальные проблемы прочности", май 2011 г.: тезисы докладов. - Харьков: Национальный научный центр "Харьковский физико-технический институт" НАНУ, 2011. - С. 360.

28. Ляшенко В.П. Про існування єдиного розв'язку нелокальної задачі для рівняння теплопровідності / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобильська //Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках, 17 - 22 апреля 2011 г.: тезисы докладов международной конференции. - Харьков: Под редакцией проф. Г.Н. Жолткевича. - Х.: Апостроф, 2011. - С. 201.

29. Lyashenko V. Research of temperature distribution of the mobile environment with pulse sources of heat /V. Lyashenko, L. Kobilskaya // VIII Всеукраїнської науково-технічної конференції молодих учених і спеціалістів "Електромеханічні та енергетичні системи, методи моделювання та оптимізації" (Кременчук, 8-9 квітня, 2010 р.), Кременчуцький державний університет імені Михайла Остроградського. - Кременчук: КДУ, 2009. - С. 57.

Размещено на Allbest.ru