Асимптотика розв'язків та інтегральні многовиди одного класу диференціальних рівнянь

Дослідження асимптотики розв'язків систем диференціальних рівнянь, які є лінійним розширенням динамічної системи на торі. Умови існування асимптотично стійких інваріантних тороїдальних множини для лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь.

Рубрика Математика
Вид автореферат
Язык украинский
Дата добавления 14.08.2015
Размер файла 67,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Асимптотика розв'язків та інтегральні многовиди одного класу диференціальних рівнянь

01.01.02 - диференціальні рівняння

Балога Світлана Іванівна

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь та математичної фізики Ужгородського національного університету.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, академік НАН України Перестюк Микола Олексійович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Ткаченко Віктор Іванович Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань

кандидат фізико-математичних наук, доцент Данілов Володимир Якович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри загальної математики

Захист відбудеться " 28 " грудня 2009 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, просп. Академіка Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою:

01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий " 24 " листопада 2009 року.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Станжицький О.М.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Диференціальні рівняння часто використовуються для математичного моделювання різноманітних явищ та процесів в природознавстві та техніці, біології та медицині, економіці, соціології тощо. Добре відомо, що такі рівняння є складним об'єктом для дослідження і тому значний інтерес становить вивчення властивостей розв'язків лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь та розробка нових методів їх побудови.

Дисертація присвячена дослідженню асимптотики розв'язкiв систем диференцiальних рiвнянь, які є лінійним розширенням динамічної системи на торі, а також встановленню умов існування асимптотично стійких інваріантних тороїдальних множин одного класу лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь.

Теорія розширень динамічних систем на торі описує процеси, що носять коливний характер. Спочатку теорія коливань складалася в рамках небесної механіки. При цьому математичними моделями досліджуваних нею процесів були лінійні диференціальні рівняння. В подальшому потреби електро- і радіотехніки, дослідження задач фізики, техніки, біології і т.д. сприяли швидкому розвитку нового напрямку і його виділенню в окрему теорію математичної фізики - теорію нелінійних коливань. Фундаментальний вклад в розв'язання проблем нелінійної теорії внесли М.М. Крилов і М.М. Боголюбов.

Починаючи з 60-х років минулого століття, в теорії коливань відбувся різкий поворот в напрямку вивчення коливних процесів, що характеризуються "майже точним" їх повторенням через "майже один і той" проміжок часу. Такі процеси описуються квазіперіодичними функціями і називаються квазіперіодичними коливаннями.

Однак, квазіперіодичні коливання представляють собою досить складний і нестійкий до збурень об'єкт досліджень. Ця обставина примусила шукати більш грубий об'єкт, ніж квазіперіодичний розв'язок. Виявилось, що "носієм" квазіперіодичних коливань є тор, саме його "замітає" квазіперіодична функція. Тому вивчення умов існування інваріантних торів у коливних систем є досить актуальним. Уже тор є грубим об'єктом, малі збурення правих частин системи його не руйнують.

Запропонований А.М. Самойленком новий підхід до теорії збурення інваріантних тороїдальних многовидів динамічних систем, що пов'язаний з використанням функції Гріна лінеаризованої задачі, дав поштовх до нових досліджень інваріантних торів. Глибокі і систематичні дослідження розширень динамічних систем на торі проведені в роботах представників вітчизняної математичної школи А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, О.А. Бойчука, В.І. Ткаченка, В.М. Кулика та інших.

Ефективним методом дослідження питання існування функцій Гріна - Самойленка виявився метод знакозмінних функцій Ляпунова, які розглядаються у вигляді квадратичних форм. Цей напрямок глибоко розвинутий в роботах Ю.А. Митропольського, А.М. Самойленка та В.М. Кулика.

Слід відмітити, що в теорії багаточастотних коливань виникає ряд питань, пов'язаних з дослідженням інваріантних торів автономних систем диференціальних рівнянь. Одним з важливих питань є збереження інваріантних торів при малих збуреннях, а також поведінка розв'язків систем на самих торах і в їх околі. Поряд з глибокими дослідженнями в даному напрямку існує ряд проблем, які і сьогодні не вдається повністю розв'язати.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота пов'язана з тематикою досліджень кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики математичного факультету Ужгородського національного університету, тема №650 "Зображення скінченних груп над комутативними кільцями та їх застосування. Конструктивні методи дослідження задач теорії диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь" (номер держреєстрації 0107У001184) та кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, тема № 01БФ038-03 "Розробка якісних та аналітичних методів дослідження та асимптотичного інтегрування нелінійних систем" (номер держреєстрації 0104U003264).

Мета i задачі дослідження. Метою даної роботи є дослідження асимптотики розв'язків систем диференціальних рівнянь, які є лінійним розширенням динамічної системи на торі, а також встановлення умов існування асимптотично стійких інваріантних тороїдальних множини для лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь.

Об'єкт дослідження - один клас диференціальних рівнянь, фазовим простором якого є добуток евклідового простору на -вимірний тор.

Предмет дослідження - вивчення питання існування і побудова асимптотики розв'язків та інтегральних множин одного класу систем диференціальних рівнянь.

Методи дослідження. В роботі використовуються методи якісної теорії диференціальних рівнянь, метод інтегральних многовидів та асимптотичні методи нелінійної механіки.

Наукова новизна отриманих результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, є:

· досліджено питання зведення одного класу лінійного розширення динамічної системи на торі до -діагонального вигляду;

· вивчено поведінку розв'язків -діагональної системи в просторі на нескінченності;

· встановлено достатні умови асимптотичної еквівалентності лінійних розширень динамічних систем на -вимірному торі, які є узагальненням теореми Левінсона;

· для лінійного розширення динамічної системи на торі та відповідної збуреної задачі доведено існування асимптотично стійкої інваріантної тороїдальної множини;

· досліджено умови існування асимптотично стійкого інваріантного тороїдального многовиду одного класу систем нелінійних диференціальних рівнянь.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота має в основному теоретичний характер. Отримані результати доповнюють існуючі результати з теорії розширень динамічної системи на торі і можуть бути використані для подальшого розвитку цієї теорії. Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості їх застосування до розв'язання прикладних задач науки і техніки, математичними моделями яких є системи даного типу.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації належать автору. Загальний план роботи та постановка задач визначені науковим керівником, обговорення результатів спільних праць належать всім авторам. В дисертацію включено та на захист виносяться лише результати, отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати і положення дисертації доповідалися й обговорювалися на наукових конференціях та семінарах:

· 59-ій підсумковій науковій конференції професорсько-викладацького складу Ужгородського національного університету (секція математичних наук) (м. Ужгород, 22 - 23 лютого 2005 р);

· Шостій міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Кам'янецьк-Подільський, 1 - 7 липня 2007 р.);

· Дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 15 - 17 травня 2008 р.);

· Міжнародній науковій конференції ”Боголюбовські читання, 2008” (м. Мелітополь, 16 - 21 червня 2008 р.);

· засіданнях наукового семінару кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики Ужгородського національного університету (м. Ужгород, 2002 - 2009 рр.).

· засіданнях наукового семінару кафедри комп'ютерних систем та мереж Ужгородського національного університету (м. Ужгород, 2004 - 2009 рр.);

· засіданні наукового семінару кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 14 травня 2009 р.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 8 праць. Серед них - 5 статей, із яких [2] - [5] у провідних фахових періодичних наукових журналах з переліку, затвердженого ВАК України, та 3 праці у збірниках тез Міжнародних наукових конференцій [6] - [8].

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, загальних висновків і списку використаних літературних джерел, який налічує 113 найменувань. Повний обсяг роботи викладено на 134 сторінках.

Основний зміст

У вступі обґрунтовується актуальність теми, визначено мету та методи дослідження, висвітлено наукову новизну.

Перший розділ містить огляд літератури та аналіз суті проблеми, вивченню яких присвячена дисертаційна робота.

В другому розділі дисертації розглядаються лінійні розширення динамічної системи на -вимірному торі

, (1)

в якій , вектор-функція і матрична функція - неперервні -періодичні по кожній змінній , крім того вектор-функція - неперервно диференційовна по . Цей розділ присвячений дослідженню асимптотики розв'язків одного класу систем лінійних диференціальних рівнянь.

В підрозділі 2.1 розглядається питання діагоналізації змінної матриці на торі, доведено теорему існування для змінної матриці , неперервної, обмеженої матриці, яка приводить дану матрицю до діагонального вигляду. Сформулюємо цю теорему, попередньо ввівши поняття -граничної множини:

У третьому розділі розглядається питання існування асимптотично стійкої тороїдальної множини для лінійного розширення динамічної системи на торі та відповідної збуреної задачі, а також питання існування асимптотично стійкого інваріантного тороїдального многовиду для одного класу систем нелінійних диференціальних рівнянь.

Питання існування інваріантного тору системи диференціальних рівнянь тісно пов'язане з питанням існування функції Гріна - Самойленка системи. В третьому розділі дисертаційної роботи виокремлено один клас систем диференціальних рівнянь, для яких можна побудувати функцію Гріна - Самойленка та встановити умови існування інваріантного тороїдального многовиду.

В підрозділі 3.1 розглядається лінійне розширення динамічної системи на торі

, (13)

в якій , , - ліпшицева векторна функція на -вимірному торі , -періодична по кожній компоненті , і - відповідно матрична і векторна -періодичні по функції.

Розглядається випадок, коли матрична функція на -граничній множині першого рівняння системи (11) є сталою матрицею: для всіх . Це означає, що для всіх існує границя (2).

диференціальне рівняння асимптотика інтегральний

Висновки

Провідною ідеєю дисертаційної роботи є дослідження асимптотичної поведінки розв'язків лінійного розширення динамічної системи на торі та встановлення умов існування асимптотично стійких інваріантних многовидів одного класу диференціальних рівнянь.

Основні результати даної роботи такі:

· досліджено питання зведення одного класу лінійного розширення динамічної системи на торі до -діагонального вигляду;

· вивчено поведінку розв'язків -діагональної системи в просторі на нескінченності;

· встановлено достатні умови асимптотичної еквівалентності лінійних розширень динамічних систем на -вимірному торі, які є узагальненням теореми Левінсона;

· для лінійного розширення динамічної системи на торі та відповідної збуреної задачі доведено існування асимптотично стійкої інваріантної тороїдальної множини;

· досліджено умови існування асимптотично стійкого інваріантного тороїдального многовиду для одного класу систем нелінійних диференціальних рівнянь.

Отримані в дисертаційній роботі результати доповнюють відомі дослідження з теорії розширень динамічної системи на торі і можуть бути використані для подальшого розвитку цієї теорії та для розв'язання задач прикладного харектеру, математичними моделями яких є розширення динамічної системи на -вимірному торі.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Перестюк М.О. Зведення системи диференціальних рівнянь до -діагонального вигляду / М.О. Перестюк, С.І. Балога // Наук. вісн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. та інформ. - 2005. - Вип.10 - 11. - С.88 - 93.

2. Балога С.І. Про діагоналізацію змінної матриці / С.І. Балога // Наук. вісн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. та інформ. - 2007. - Вип.14 - 15. - С.4 - 8.

3. Балога С.І. Асимптотика розв'язків L-діагональних систем / С.І. Балога // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз. - мат. науки. - 2007. - №2. - С.43 - 46.

4. Балога С.І. Асимптотична еквівалентність систем диференціальних рівнянь / С.І. Балога // Вісник Київського ун-ту. Серія: математика та механіка. - 2008. - Вип. 19 - 20. - С.61 - 63.

5. Перестюк М.О. Існування інваріантного тора одного класу систем диференціальних рівнянь / М.О. Перестюк, С.І. Балога // Нелінійні коливання. - Т.11, №4. - 2008. - С.520 - 529.

6. Перестюк М.О. Асимптотично еквівалентні системи / М.О. Перестюк, С.І. Балога // Шоста міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, 1-7 липня, 2007 р.: матеріали конференції. - Київ, 2007. - С.147 - 148.

7. Балога С.І. Інваріантні множини одного класу лінійних розширень на торі / С.І. Балога, К.Ю. Мамса // Дванадцята міжнародна наукова конференція ім.М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р.: матеріали конференції. - Київ, 2008. - С.28.

8. Балога С.І. Тороїдальні многовиди одного класу лінійних розширень на торі / С.І. Балога, К.Ю. Мамса // ”Боголюбовські читання, 2008”: міжнародна наукова конференція, 16-21 червня 2008 р.: тези доповідей, Мелітополь, 2008. - С.15.

Анотація

Балога С.І. Асимптотика розв'язків та інтегральні многовиди одного класу диференціальних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних

наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню асимптотики розв'язків систем диференціальних рівнянь, які є лінійним розширенням динамічної системи на торі та встановленню умов існування асимптотично стійких інваріантних тороїдальних множин одного класу диференціальних рівнянь, фазовим простором якого є добуток евклідового простору на -вимірний тор .

В дисертації досліджено питання зведення одного класу лінійного розширення динамічної системи на торі до -діагонального вигляду та встановлено поведінку розв'язків -діагональної системи в просторі на нескінченності. Отримано достатні умови асимптотичної еквівалентності лінійного розширення динамічної системи на -вимірному торі, які є узагальненням теореми Левінсона.

Для лінійного розширення динамічної системи на торі та відповідної збуреної задачі доведено існування асимптотично стійкої інваріантної тороїдальної множини. Крім того, досліджено умови існування асимптотично стійкого інваріантного тороїдального многовиду одного класу систем нелінійних диференціальних рівнянь.

Ключові слова: -вимірний тор, -діагональна система, асимптотика розв'язків, асимптотична еквівалентність, інваріантні множини, інтегральні многовиди.

Аннотация

Балога С.И. Асимптотика решений и интегральные многообразия одного класса дифференциальных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2009.

Диссертационная работа посвящена исследованию асимптотического поведения решений линейного расширения динамической системы на торе и установлению условий существования асимптотически устойчивых инвариантных множеств одного класса дифференциальных уравнений, фазовым пространством которого является произведение евклидового пространства на -мерный тор .

Теория расширений динамической системы на -мерном торе - важный раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, который интенсивно развивается и имеет важное применение к различным задачам науки и техники. На сегодняшний день достаточно хорошо изучены расширения динамических систем на торе, но существует множество проблем, которые не удается полностью решить.

В работе рассматриваются результаты, которые дополняют известные результаты этой тематики.

Первый раздел диссертационной работы - обзор литературы и анализ сущности проблем, изучению которых посвящена работа.

Второй раздел посвящен исследованию асимптотики решений линейного расширения динамической системы уравнений на торе. Тут доказана теорема о диагонализации переменной матрицы на -мерном торе, исследован вопрос о приведения одного класса линейных расширений динамической системы на торе к -диагональному виду. Исследовано поведение решений -диагональной системы в пространстве на бесконечности. Установлены достаточные условия асимптотической эквивалентности линейных расширений динамических систем на -мерном торе, которые являются обобщением известной теоремы Левинсона.

Третий раздел диссертационной работы посвящен вопросу существования интегральных множеств одного класса дифференциальных уравнений. Выделен класс систем дифференциальных уравнений, для которых можно построить функцию Грина - Самойленка и установить условия существования асимптотически устойчивого инвариантного тороидального многообразия.

Теоретические разработки проиллюстрировано на простейших примерах расширений динамической системы на торе.

Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Они могут быть использованы для решения конкретных прикладных задач, математическими моделями которых являются расширения динамической системы на торе.

Ключевые слова: -мерный тор, -диагональная система, асимптотика решений, асимптотическая эквивалентность, инвариантные множества, интегральные многообразия.

Annotation

Baloga S.I. Assymptotic behavior of solutions and integral manifolds of one class of differential equations. - Manuscript.

Thesis for the degree of Candidate of science (Ph. D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02 - Differential equations. National Taras Shevchenko University of Kyiv, Kyiv, 2009.

Dissertation is devoted to investigation of the asymptotic form of solutions of differential equations that are linear extensions of dynamical system on torus and establish the existence conditions for asymptotically stable invariant toroidal sets of certain class of differential equations which phase space is a product of Euclidean space and m-dimensional torus .

The question of reduction of certain class of linear extension of dynamical system on torus to L-diagonal form are investigated and the behavior of solutions of L-diagonal system in space on infinity are established in dissertation. The sufficient conditions of asymptotic equivalence of linear extension of dynamical system on m-measurable torus which are a generalization of Levinson theorem are obtained.

Existence of asymptotically stable invariant toroidal set is proved for linear extension of dynamical system on torus and corresponding disturbed system. Moreover, the existence conditions of invariant toroidal manifold for certain class of nonlinear system are investigated.

Key words: -dimensional torus, L-diagonal system, asymptotic behavior of the solutions, asymptotical equivalence, invariant sets, integral manifolds.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.

    лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014

  • Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.

    контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010

  • Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.

    отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010

  • Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.

    контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016

  • Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.

    курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008

  • Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку, початкові і крайові умови. Метод сіток та представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді. Структура похибки розв'язку задачі, стійкість і коректність.

    курсовая работа [986,6 K], добавлен 22.08.2010

  • Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010

  • Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.

    курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019

  • Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.

    курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010

  • Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Теоретичне дослідження основних теорій інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 18.12.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.