Асимптотичні зображення розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку з нелінійностями, що є у деякому сенсі близькими до степеневих

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені І.І. МЕЧНИКОВА

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації га здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з нелінійностями, що є у деякому сенсі близькими до степеневих

Білозерова Марія Олександрівна

Одеса - 2009

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського національного університету імені І.І. Мечникова.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

ЄВТУХОВ В'ячеслав Михайлович,

Одеський національний університет імені І.І.Мечникова, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: академік АН Грузії, доктор фізико-математичних наук, професор

КІГУРАДЗЕ Іван Таріелович,

Інститут математики імені А. Размадзе,

завідувач відділенням диференціальних рівнянь;

Кандидат фізико-математичних наук

ШИНКАРЕНКО Володимир Миколайович

Одеський державний економічний університет,

доцент кафедри математичних методів аналізу економіки.

Захист відбудеться 4 грудня 2009 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К41.051.05 при Одеському національному університеті імені І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2, ауд. 73.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного університету імені І.І. Мечникова (65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24).

Автореферат розісланий 03.11.2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кореновський А.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом особливо актуальною задачею якісної теорії диференціальних рівнянь стало вивчення істотно нелінійних диференціальних рівнянь. Серед робіт у цій галузі, що стосуються встановлення асимптотичних зображень розв'язків, найбільшу частину складають дослідження рівнянь зі степеневими нелінійностями. Один з важливих напрямів таких досліджень породжено розглядом відомого рівняння Емдена-Фаулера, частинні випадки якого застосовуються у ядерній фізиці, газовій динаміці, механіці рідин та релятивістській механіці. Асимптотичну поведінку розв'язків цього рівняння детально описано у монографіях Р. Белмана та Дж. Сансоне.

Якісне дослідження узагальненого рівняння Емдена-Фаулера

y''=p(t)|y|уsign y,

де функція p:[0;+?)>R сумовна на кожному скінченому відрізку, було розпочато з роботи Ф.В. Аткінсона. У вказаній роботі отримано ознаку коливності всіх правильних розв'язків даного рівняння для p(t)?0 та у>1. Методи дослідження асимптотичної поведінки монотонних розв'язків цього рівняння було розроблено у роботах І.Т. Кігурадзе, Т. А. Чантурія,

Ш. Белогорца, J.S.W. Wong, О.В. Костіна, В.М. Євтухова та інших авторів, до того ж, ці дослідження охоплювали випадок у<1.

Теорія, яку було розроблено при дослідженні узагальненого рівняння Емдена-Фаулера, отримала у майбутньому широкий розвиток. Для рівнянь типу Емдена-Фаулера більш високих порядків, а також для рівнянь загального виду n-го порядку було встановлено тонкі ознаки коливності розв'язків, доведено загальні теореми про класифікацію рівнянь за осциляційними властивостями їх розв'язків. Було знайдено умови наявності або відсутності у нелінійних рівнянь сингулярних, правильних, коливних та монотонних розв'язків різних типів, у тому числі дано оцінки правильних розв'язків в околі нескінченності, вказано асимптотичні формули для розв'язків достатньо широкого класу нелінійних рівнянь. Тут особливо треба відмітити результати, які містяться у відомій монографії І.Т. Кігурадзе та Т.А. Чантурія, а також у роботах О.В. Костіна та В.М. Євтухова.

Відомо багато практичних застосувань узагальненого рівняння Емдена-Фаулера. Але у більшості випадків наявність степеневої нелінійності стала наслідком розгляду ідеалізованих моделей деяких реальних процесів. Сучасна обчислювальна техніка дозволяє розглядати більш точні математичні моделі. У зв'язку з цим зріс інтерес до рівнянь з нелінійностями, що відрізняються від степеневих. Вивченню асимптотичної поведінки розв'язків таких рівнянь присвячено велику кількість робіт, в яких отримані лише двобічні асимптотичні оцінки розв'язків.

У роботах В.М. Євтухова та Л.О. Кирилової розроблено методику встановлення асимптотичних зображень монотонних розв'язків диференціального рівняння

y''=б0p(t)ц(y),

де б0 {-1;1}, ц- функція, у деякому сенсі близька до степеневої. Для цього рівняння було введено достатньо широкий клас розв'язків, отримано необхідні й достатні умови існування та асимптотичні зображення при t^щ (щ ?+?), розв'язків з цього класу. Природним узагальненням рівнянь такого виду є рівняння, що містять у правій частині ще й похідну невідомої функції. Саме такі рівняння розглядаються у дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках теми “Дослідження асимптотичної поведінки розв'язків диференціальних рівнянь якісними і аналітичними методами” (номер державної реєстрації 0109U003665), яка виконується на кафедрі диференціальних рівнянь Інституту математики, економіки та механіки Одеського національного університету імені І.І. Мечникова.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методів, що дозволяють встановлювати асимптотичні зображення при t^щ (щ ?+?) для розв'язків нового класу диференціальних рівнянь з нелінійностями у деякому сенсі близькими до степеневих.

Об'єкт дослідження - диференціальне рівняння виду

y''=б0p(t)ц0(y) ц1(y'), (1)

у якому б0{-1;1}, p:[a,щ[>]0,+?[ - неперервна функція, цi: ДYi>]0,+?[ - строго монотонні, двічі неперервно диференційовні функції, що при iє{0,1} задовольняють умови

lim(zцi'(z)) / ( цi(z)) = уi , lim sup (zцi''(z)) / ( цi'(z)) <+?, Yi{0,± ?};

z>Yi z>Yi

zДYi zДYi

ДYi =[yi0,Yi[, або ДYi =]Yi, yi0],

уiR, причому у0+у1?1.

З умов на функції цi(z) видно, що кожна з них є правильно мінливою функцією порядку уi при z>Yi (zДYi).

Предмет дослідження - асимптотичні зображення при t^щ різних типів розв'язків диференціального рівняння (1) та їх похідних першого порядку, необхідні і достатні умови існування таких розв'язків.

Методи дослідження. В роботі використовуються методи теорії диференціальних рівнянь, класичного аналізу, лінійної алгебри, асимптотичні методи, сучасні результати теорії звичайних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, є наступні:

Для виділеного класу Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків рівняння (1) розроблено методику дослідження асимптотичної поведінки при t^щ кожного з можливих типів таких розв'язків.

При л0R\{0;1} встановлено неявні асимптотичні зображення при t^щ для Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків рівняння (1) та їх похідних першого порядку, отримано необхідні й достатні умови існування таких розв'язків. При деяких додаткових обмеженнях на функції та ці результати поширено на особливі випадки л0{0;1;±?}.

Отримано явні асимптотичні зображення при t^щ для всіх Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків рівняння (1) та їх похідних першого порядку у випадках коли функції цi (i=0,1) належать до достатньо широких класів правильно мінливих функцій.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати та розроблена методика можуть бути використані при дослідженні асимптотичних властивостей розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь асимптотично близьких до рівнянь виду (1), рівнянь більш високих порядків з аналогічного виду нелінійностями. Можливе застосування результатів даної дисертації при дослідженні конкретних нелінійних диференціальних рівнянь, що виникають на практиці, зокрема, в теорії плазми продуктів згоряння.

Особистий внесок здобувача. Дослідження, представлені у дисертації є результатом самостійної роботи автора. У сумісних роботах [4,15] Білозеровій М.О. належать формулювання теорем та доведення основних результатів, науковому керівнику Євтухову В.М. належить постановка задачі та вибір напрямку дослідження.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на міжнародних наукових конференціях: «Шості Боголюбовські читання» (Чернівці, 2003 р.); "Интегральные уравнения и их применения" (Одеса, 2005 р.); "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 2005 р.); "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування" (Ужгород, 2006 г.); "Дифференциальные уравнения и топология" (Москва, 2008 р.); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2004 р.); восьмій Кримській Міжнародній математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, 2006 р.); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2007 р.); дев'ятій Кримській Міжнародній математичній школі "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, 2008 р.), а також на семінарах кафедри диференціальних рівнянь Одеського національного університету імені І.І.Мечникова та на науковому семінарі факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені

Ю. Федьковича.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 14 наукових роботах, з них статті [1 - 4] в фахових виданнях з переліку ВАК України, [5 - 15] - матеріали та тези наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 83 найменування. Повний обсяг роботи становить 111 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ дисертації присвячений огляду першоджерел за темою роботи, що стосуються досліджень асимптотичних властивостей розв'язків істотно нелінійних диференціальних рівнянь другого та вищих порядків, диференціальних рівнянь з нелінійностями у деякому сенсі близькими до степеневих. У цьому розділі також визначено напрямки досліджень дисертаційної роботи та викладено її основний зміст.

З метою отримання єдиного підходу для дослідження розв'язків, похідні яких прямують до нуля та до нескінченності, вводиться наступний клас розв'язків рівняння (1).

Розв'язок y(t) рівняння (1) називається Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язком, якщо

y(i):[t0,щ[>ДYi, lim y(i)(t)=Yi (i=0,1), lim((y'(t))2)/(y''(t)y'(t))= л0.

t^щ t^щ

Введемо наступні позначення:

рщ(t)= t, при щ=+?; рщ(t)=1, при щ<+?;

л0i=л0 при i=0, л0i=1 при i=1,

I(t)=p(ф)|рщ(ф)|dф,

Aщ= a, якщо p(ф)|рщ(ф)| dф =+?, Aщ= щ, якщо p(ф)|рщ(ф)| dф <+?,

иi(z)= цi(z)|z|-уi, (i{0,1}).

В другому розділі дисертації розглядаються Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язки у неособливих випадках л0R\{0;1}. Основним результатом цього розділу є наступна теорема.

Теорема 2.1. Для існування у рівняння (1) Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків, де л0R\{0;1} необхідно, а якщо л0?у1-1 або л0(у0+у1-1)>0, то й достатньо виконання умов

lim (рщ(t)I'(t)) / (I(t)) =(у0+у1-1)/(1- л0),

t^щ

б0 л0y00>0, b [a,щ[: б0y10(1- у0-у1)I(t)>0 при t [b,щ[,

Yi=±?, якщо б0y10л0i>0,

Yi=0, якщо б0y10л0i<0 (i=0,1).

Більш того, при t^щ для кожного такого розв'язку мають місце асимптотичні зображення

(|y'(t)|-у0 y'(t)) / (ц1(y'(t))и0(y(t))) = б0 |л0/(1- л0)| -у0 (1- у0-у1)I(t)[1+o(1)],

(y'(t))/(y(t)) = (л0 [1+o(1)]) / ((л0-1) рщ(t)).

Відзначимо, що при (у1-1)(у0+у1-1)<0 дана теорема не дає результатів стосовно існування Pщ(Y0,Y1,у1-1)-розв'язків рівняння (1). У цьому випадку існування таких розв'язків при у1R\{1,2} вдалося довести лише при деяких додаткових умовах на функції ц0, ц1 та функцію p. Але, на відміну від відповідних результатів для випадку ц1(z)?1, виконання цих умов нескладно перевіряється для конкретних функції. Крім того, вдається отримати більш точні асимптотичні зображення для розв'язків такого типу та їх похідних. Даний результат сформульовано у теоремі 2.2 дисертації.

У теоремі 2.1 асимптотичні зображення Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків рівняння (1) та їх похідних отримано у неявному вигляді. Отримання явних формул потребує знаходження оберненої до функції двох змінних, що не завжди зручно з огляду на достатньо загальний вид функцій ц0 та ц1. Наявність додаткових обмежень на одну з цих функцій дозволяє покращити ситуацію. Розглянемо детальніше ці обмеження.

Будемо говорити, що функція цi(z), де i{0,1} задовольняє умову Si, якщо для будь-якої неперервно диференційовної функції L: ДYi >]0;+?[ такої, що

lim (zL'(z))/(L(z))=0,

z>Yi

zДYi

має місце співвідношення

иi(zL(z))= иi(z)(1+o(1)) при z>Yi (z ДYi ).

Умову Si очевидно задовольняють функції цi(z), для яких иi(z) мають скінченну границю при z>Yi, а також функції виду |z|уi |ln|z||мi, |z|уi |ln|ln|z|||мi та багато інших. Однак, з огляду на довільність функції L, така умова може виявитися складною для перевірки. Тому у деяких випадках доцільно користуватися трохи іншими умовами, наприклад, виду

lim (z ln |z| иi'(z)) / (иi(z)) =const,

z>Yi

zДYi

які є достатніми для того, щоб функція цi(z) задовольняла умову Si.

Якщо для деякого i{0,1} функція цi(z) задовольняє умову Si, вдається отримати асимптотичні зображення при t^щ для (|y(k)(t)|1-уi)/(цk(y(k)(t)|)), де k=1, якщо i=0 та k=0, якщо i=1. Ці результати сформульовано у теоремах 2.3 та 2.4 дисертації.

При додаткових обмеженнях на обидві функції ц0 та ц1 вдається отримати явні асимптотичні формули при t^щ для Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків (л0R\{0;1}) та їх похідних. А саме, справедлива наступна теорема.

Теорема 2.5. Нехай функції ц0 та ц1 задовольняють умови S0 та S1 відповідно. Тоді при t^щ для кожного Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язку (л0R\{0;1}) мають місце асимптотичні зображення

y(t)= [1+o(1)],

y'(t)= (л0 [1+o(1)]) / ((л0-1) рщ(t)).

Результати, отримані у другому розділі, проілюстровано на прикладі рівняння

y''=Atг|y|у0exp(м0)|y'|у1|ln|y'|| м1,

де AR\{0}, у0, у1, м0, м1R, у0+у1?1. Дане рівняння є рівнянням (1), у якому б0=sign A, p(t)=Atг, ц0(z)= |z|у0exp(м0v|ln|z|), ц1(z)=|z|у1|ln|z||м1. Це рівняння розглядалося при t]0,+?[. Тут функція ц1 задовольняє умову S1, але, при м0?0, функція ц0 не задовольняє умову S0. Тому, взагалі кажучи, теорему 2.5 застосовувати не можна. Але, в результаті застосування теореми 2.1 все ж таки вдається отримати при t^щ явні асимптотичні формули для всіх розв'язків, що розглядаються, та їх похідних, а також необхідні та достатні умови існування таких розв'язків. Ці результати відображено у наслідках 2.1 - 2.4 дисертації. Наведемо наслідок, що стосується випадку щ =+?.

Наслідок 2.1. Для існування у рівняння (2) P+?(Y0,Y1,л0)-розв'язків, де л0R\{0;1} необхідно, а якщо (г+2-у1)/( у0+г+1), ?у1-1 або (у1-1)(у0+у1-1)>0, то й достатньо виконання умов

л0=(г+2-у1)/( у0+г+1), г-у1?-2, у0+г+1?0.

Більш того, при t>+? для кожного P+?(Y0,Y1, (г+2-у1)/( у0+г+1))- розв'язку мають місце асимптотичні зображення

y(t)=D0[1+o(1)],

y'(t)=D0[1+o(1)],

де

D0=sign A.

В третьому розділі розглядаються особливі випадки . Для формулювання результатів цього розділу введемо наступні позначення:

I1(t)=p(ф) dф, Aщ1=a, якщо p(ф) dф =+?, Aщ1=щ, якщо p(ф) dф <+?.

В особливих випадках доводиться накладати на якусь з функцій цi умову Si навіть для доведення існування у рівняння (1) Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків (л0є{0,1,±?}). Якщо для деякого i{0,1} функція цi(z) задовольняє умову Si, для Pщ(Y0,Y1,1)-розв'язків вдається отримати асимптотичні зображення при t^щ для (|y(k)(t)|1-уi)/(цk(y(k)(t)|)), де k=1, якщо i=0 та k=0, якщо i=1. Ці результати сформульовано у наступних теоремах.

Теорема 3.1. Нехай функція ц1 задовольняє умову S1. Тоді для існування у рівняння (1) Pщ(Y0,Y1,1)- розв'язків необхідно, а якщо

у1R\{1,2}, або у1=2, у0>-1,

то й достатньо виконання умов

lim yi0|I1(t)|=Yi (i=0,1)

t^щ

lim (I1(t)J1'(t))/(p(t)J1(t))=1,

t^щ

б0y00>0, б0y10(1- у0-у1)I1(t)>0 при t [b,щ[.

Більш того, при t^щ для кожного такого розв'язку мають місце асимптотичні зображення

(|y(t)|y(t)) / (ц0(y(t)) = б0 |J1(t)|[1+o(1)],

(y'(t))/(y(t)) = (J1'(t) [1+o(1)]) / ((1-у1-у0) J1 (t)),

де

J1(t)= |I1(ф)|1-у1p у1(ф)dф,

Bщ1=b, якщо |I1(ф)| 1-у1pу1(ф)dф =+?,

Bщ1=щ, якщо |I1(ф)| 1-у1p у1(ф)dф <+?,

b (a,щ) обрано так, щоб |I1(t)|1/(1- у0-у1)sign y10ДY1 при t [b,щ[.

Теорема 3.2. Нехай функція ц0 задовольняє умову S0. Тоді для існування у рівняння (1) Pщ(Y0,Y1,1)-розв'язків необхідно, а якщо у0R\{0}, у1R\{2}, або у1=2, у0>-1, то й достатньо виконання умов (3), (4) у сукупності з умовою

(I1(t)J2'(t))/(p(t)J2(t)) =1.

Більш того, при t^щ для кожного такого розв'язку мають місце асимптотичні зображення

(|y'(t)|-у0y'(t)) / (ц1(y'(t)) = б0 |1- у0-у1|у0 (1- у0-у1)J2(t)[1+o(1)],

(y'(t))/(y(t))=(J2'(t) [1+o(1)]) / ((1- у0-у1) J2'(t)) ,

де

J2(t)= и0(|I1(ф)|sign y00) |I1(ф)| p (ф) dф,

Bщ2=b, якщо и0(|I1(ф)|sign y00) |I1(ф)| p (ф) dф=+?,

Bщ2=щ, якщо и0(|I1(ф)|sign y00) |I1(ф)| p (ф) dф<+?,

b (a,щ) обрано так, щоб |I1(t)|1/(1- у0-у1)sign y00ДY0 при t [b,щ[.

Одним з найбільш складних для вивчення виявився випадок л0=0. Тут довелося спочатку накласти на функцію ц1 умову S1. Це пов'язано з тим, що у цьому випадку з апріорних властивостей таких розв'язків вдається отримати інформацію лише про їх похідні. Основний результат для цього випадку відображено у наступній теоремі.

Теорема 3.4. Нехай у1?1 та функція ц1 задовольняє умову S1. Тоді для існування у рівняння (1) Pщ(Y0,Y1,0)-розв'язків необхідно, а якщо існує скінченна, або нескінченна границя , то й достатньо виконання умов

=Y1, =Y0, ((J'(t))2)/(J''(t)J(t))=0,

б0y10(1 -у1)I1(t)>0, б0y00(1- у0-у1)I1(t)J(t)>0 при t [b,щ[.

Більш того, при t^щ для кожного такого розв'язку мають місце асимптотичні зображення

= (1- у0-у1)J (t)[1+o(1)], = [1+o(1)],

Де

J(t)= dф

Bщ=

b (a,щ) обрано так, щоб |I1(t)|1/(1 -у1)sign y10єДY1 при t [b,щ[.

При л0=±? для доведенні існування Pщ(Y0,Y1,±?)-розв'язків рівняння (1) доводиться накладати на функцію ц0 умову S0. Основний результат для цього випадку сформульовано у наступній теоремі.

Теорема 3.6. Для існування у рівняння (1) Pщ(Y0,Y1,±?)-розв'язків необхідно виконання умов

Y0= ±?, якщо щ=+?, Y0=0, якщо щ<+?, y00y10рщ(t)>0 при t [b,щ[.

Якщо до того ж функція ц0 задовольняє умову S0, то у сукупності з (5) умови

б0(1- у0-у1)I0(t)>0 при t [b,щ[,

lim y10|I0(t)| =Y1, lim(рщ(t)I0'(t))/(I0(t))=0

t^щ t^щ

є необхідними та достатніми умовами існування Pщ(Y0,Y1,±?)- розв'язків рівняння (1). Більш того, при t^щ для кожного такого розв'язку мають місце асимптотичні зображення

(y'(t)) / (ц1(y'(t))|y'(t)|у0) = б0(1- у0-у1)I0(t)[1+o(1)],

(y'(t))/(y(t)) = (1/(рщ(t)))[1+o(1)],

Де

I0(t)= и0(|рщ(ф)|sign y00) |рщ(ф)|у0p(ф) d ф,

A0щ=a, якщои0(|рщ(ф)|sign y00) |рщ(ф)|у0p(ф) d ф =+?,

A0щ=щ, якщои0(|рщ(ф)|sign y00) |рщ(ф)|у0p(ф) d ф <+?.

У випадку, коли обидві функції ц0 та ц1 задовольняють умови S0 та S1 відповідно, вдається отримати явні асимптотичні формули при t^щ для всіх Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків рівняння (1) та їх похідних, де л0{0;1;±?}. Дані результати сформульовано у теоремах 3.3, 3.5 та 3.7 дисертації.

Результати третього розділу проілюстровано на прикладі рівняння (2).

ВИСНОВКИ

асимптотичний диференціальний рівняння

Численні дослідження узагальненого рівняння Емдена-Фаулера стали основою для створення достатньо широкого напрямку у теорії звичайних диференціальних рівнянь, а також знайшли своє практичне застосування у багатьох галузях науки. Сучасні можливості техніки сприяють уточненню існуючих моделей реальних процесів. У зв'язку з цим зріс інтерес до рівнянь з нелінійностями, що відрізняються від степеневих, зокрема є правильно мінливими при прямуванні аргументу до особливої точки.

У даній дисертаційній роботі розглядається нелінійне диференціальне рівняння виду

y''=б0p(t)ц0(y) ц1(y'),

у якому б0{-1;1}, p:[a,щ[>]0,+?[ - неперервна функція, цi: ДYi>]0,+?[ (i=0,1) - строго монотонні, двічі неперервно диференційовні функції близькі до степеневих, а саме правильно мінливі в нулі, або на нескінченності. Введено достатньо широкий клас монотонних Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків цього рівняння. Розроблено методику дослідження асимптотичної поведінки при t^щ кожного з можливих типів таких розв'язків. У неособливих випадках л0R\{0;1} отримано неявні асимптотичні зображення при t^щ для Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків рівняння (1) та їх похідних першого порядку, необхідні та достатні умови існування таких розв'язків. При деяких додаткових обмеженнях на функції ц0 та ц1 ці результати поширено на особливі випадки л0{0;1;±?}. У роботі наведено явні асимптотичні зображення при t^щ для всіх Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків рівняння (1) та їх похідних першого порядку у випадках коли функції ц0 та ц1 належать до достатньо широких класів правильно мінливих функцій.

Отримані у дисертаційній роботі результати, а також розроблена методика можуть бути використані при дослідженні асимптотичних властивостей розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь асимптотично близьких до рівнянь виду (1), рівнянь більш високих порядків з аналогічного виду нелінійностями. Крім того, можливе застосування результатів даної дисертації при дослідженні конкретних нелінійних диференціальних рівнянь, що виникають на практиці, зокрема, в теорії плазми продуктів згоряння.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

Белозерова М. А. Асимптотические свойства одного класса решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / М. А. Белозерова // Математичні студії. - 2008. - Т. 29, № 1. - С. 52-62.

Білозерова М. О. Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з нелінійностями у деякому сенсі близькими до степеневих [текст] / М. О. Білозерова // Науковий вісник Чернівецького університету. - Чернівці : "Рута". - 2008. - Вип. 374. - С. 34-43.

Белозерова М. А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями близкими к степенным [текст] / М.А. Белозерова // Нелінійні коливання. - 2009. - Т. 12, № 1. - С. 3-15.

Евтухов В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / В. М. Евтухов, М. А. Белозерова // Укр. Мат. журнал. - 2008. - Т. 60, № 3. - С. 310-331.

Белозерова М. А. Об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / М. А. Белозерова // Шості Боголюбовські читання: Міжнародна конференція, 26-30 серпня 2003 р. : тези доповідей. - Київ, 2003. - С. 27.

Белозерова М.А. О решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / М.А. Белозерова // Міжнародна математична конференція ім. В. Я. Скоробогатька, 27 вересня-1 жовтня 2004 р. : тези доповідей. - Львів, 2004. - С. 31.

Белозерова М. А. О решениях существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / М. А. Белозерова // Интегральные уравнения и их применения: международная конференция, 29 июня-4 июля 2005 г. : тезисы докладов. - Одесса, 2005. - С. 9.

Білозерова М. О. О решениях существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / М.О. Білозерова // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я. С. Підстригача , 24-28 вересня 2005 р. : тези доповідей. - Львів, 2005. - С. 256.

Белозерова М. А. Асимптотическое поведение решений существено нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями в некотором смысле близкими к степенным [текст] / М. А. Белозерова // Метод функций Ляпунова и его приложения : Восьмая Крымская Международная математическая школа, 10-17 сентября 2006 г. : тезисы докладов. - Симферополь, 2006. - С. 23.

Білозерова М. О. Асимптотична поведінка розв'язків суттєво нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку з нелінійностями у деякому сенсі близькими до степеневих [текст] / М. О. Білозерова // Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування : міжнародна конференція , 26-30 серпня 2006 р. : тези доповідей. -Ужгород, 2006. - С. 27.

Білозерова М. О. Асимптотика розв'язків суттєво нелінійних дифференціальних рівнянь [текст] / М. О. Білозерова // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька, 24-28 вересня 2007 р. : тези доповідей. - Львів, 2007. - С. 28.

Белозерова М. А. Асимптотические представления решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / М. А. Белозерова// Дифференциальные уравнения и топология: международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина, 17-22 июня 2008 г. : тезисы докладов. - Москва, 2008. - С. 97-98.

Белозерова М. А. Асимптотические свойства решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями близкими к степенным [текст] / М. А. Белозерова // Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування : міжнародна наукова конференція, 16-21 червня 2008 р. : тези доповідей. - Мелітополь, 2008. - С. 17.

Белозерова М. А. Асимптотические свойства решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями в некотором смысле близкими к степенным [текст] / М. А. Белозерова // Метод функций Ляпунова и его приложения: Девятая Крымская Международная математическая школа, 15-20 сентября 2008 г. : тезисы докладов. - Симферополь, 2008. - С. 24.

Евтухов В. М. Асимптотика решений одного класса существено нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / В. М. Евтухов, М. А. Белозерова// Диференціальні рівняння та їх застосування : міжнародна конференція, 6-9 червня 2005 р. : тези доповідей. - Київ, 2005. - С. 9.

АНОТАЦІЯ

Білозерова М.О. Асимптотичні зображення розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку з нелінійностями, що є у деякому сенсі близькими до степеневих. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Одеський національний університет імені І.І. Мечникова, Одеса, 2009.

В дисертаційній роботі об'єктом дослідження є диференціальне рівняння виду

y''=Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

б0p(t)ц0(y) ц1(y'),

у якому Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

б0{-1;1}, p:[a,щ[>]0,+?[ - неперервна функція, цi: ДYi>]0,+?[ (i=0,1) - строго монотонні, двічі неперервно диференційовні функції близькі до степеневих, а саме правильно мінливі в нулі, або на нескінченності.

Для даного рівняння розроблено методику дослідження асимптотичної поведінки при t^щ кожного з можливих типів введеного класу Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків; отримано необхідні та достатні умови їх існування, неявні асимптотичні зображення при t^щ таких розв'язків та їх похідних першого порядку; явні асимптотичні зображення при t^щ для всіх Pщ(Y0,Y1,л0)-розв'язків та їх похідних першого порядку у випадках коли функції ц0 та ц1 належать до достатньо широких класів правильно мінливих функцій.

Ключові слова: істотно нелінійні диференціальні рівняння, нелінійності, що близькі до нелінійностей типу Емдена-Фаулера, правильно мінливі функції, асимптотичні зображення розв'язків.

АННОТАЦИЯ

Белозерова М.А. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями в некотором смысле близкими к степенным. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Одесский национальный университет имени И.И. Мечникова, Одесса, 2009.

В диссертационной работе рассмотрено дифференциальное уравнение вида

y''=б0p(t)ц0(y) ц1(y'),

где б0{-1;1}, p:[a,щ[>]0,+?[ - непрерывная функция, цi: ДYi>]0,+?[ - строго монотонные, дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие при i{0,1} следующим условиям

lim(zцi'(z)) / ( цi(z)) = уi , lim sup (zцi''(z)) / ( цi'(z)) <+?, Yi{0,± ?};

z>Yi z>Yi

zДYi zДYi

ДYi =[yi0,Yi[, либо ДYi =]Yi, yi0],

уiR, причем у0+у1?1. В силу первого из этих условий каждая из функций является правильно меняющейся порядка уi при z>Yi (zДYi).

В данной диссертации функция ц1 имеет достаточно общий вид, что создает трудности в исследовании, а также не позволяет прямо пользоваться методикой, разработанной для случаев, когда ц1?1, а также степенных ц0 и ц1.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты. Для выделенного класса Pщ(Y0,Y1,л0)-решений рассматриваемого уравнения разработана методика исследования асимптотического поведения при t^щ каждого из четырех возможных типов таких решений. Установлены неявные асимптотические формулы при t^щ для Pщ(Y0,Y1,л0)-решений, где л0R\{0;1; у1-1}, а при (у1-1)(у0+у1-1)>0 и для Pщ(Y0,Y1, у1-1)-решений (у1R\{1,2}) данного уравнения и их производных первого порядка. Кроме того, получены необходимые и достаточные условия существования таких решений. В случае (у1-1)(у0+у1-1)<0 существование Pщ(Y0,Y1, у1-1)-решений при у1R\{1,2} удалось доказать только при дополнительных условиях на функции ц0, ц1 и функцию p. Однако, в отличие от соответствующих результатов для случая ц1(z)?1, выполнение этих условий несложно проверяется для конкретных функций. При этом получены уточненные асимптотические представления решений и их производных.

В особых случаях л0{0;1;±?} приходится накладывать дополнительные условия на одну из функций ц0, ц1 как для получения даже неявных асимптотических представлений решений, так и для доказательства существования таких решений рассматриваемого уравнения. Будем говорить, что функция цi (i{0,1}) удовлетворяет условию Si, если для любой непрерывно дифференцируемой функции L: ДYi >]0;+?[ такой, что

lim (zL'(z))/(L(z))=0,

z>Yi

zДYi

имеет место соотношение

|zL(z)|-уiцi(zL(z))= |z|-уiцi (z)(1+o(1)) при z>Yi (z ДYi ).

Условию Si очевидно удовлетворяют функции цi, для которых функция

|z|-уiцi(z) имеет конечный предел при z>Yi, а также функции вида |z| уi |ln|z||мi, |z|уi |ln|ln|z|||мi и многие другие. Так как здесь L принадлежит достаточно широкому классу функций, данное условие может оказаться сложным для проверки. Поэтому в работе предлагается в некоторых случаях пользоваться несколько иными условиями, например, вида

lim (z ln |z| иi'(z)) / (иi(z)) =const,

z>Yi

zДYi

которые являются достаточными условиями того, что функция цi удовлетворяет условию Si. В случае, когда одна из функций цi (i{0,1}) удовлетворяет условию Si получены необходимые и достаточные условия существования Pщ(Y0,Y1,1)-решений рассматриваемого уравнения, а также установлены неявные асимптотические формулы при таких решений и их производных первого порядка. При удовлетворяющих S0 аналогичные результаты получены для Pщ(Y0,Y1,±?)-решений, а при у1R\{1,у0-1} и ц1 удовлетворяющих S1 - для Pщ(Y0,Y1,0)-решений.

В случае, когда функции ц0, ц1 удовлетворяют условиям S0, S1 соответственно, удалось получить явные асимптотические представления при t^щ всех Pщ(Y0,Y1,л0)-решений рассматриваемого уравнения и их производных первого порядка.

Ключевые слова: существенно нелинейные дифференциальные уравнения, нелинейности, близкие к нелинейностям типа Емдена-Фаулера, правильно меняющиеся функции, асимптотические представления решений.

ABSTRACT

Bilozerova M.O. Asymptotic representations of the solutions of the second order differential equations with nonlinearities in some sense near to the power type.- Manuscript.

The thesis for the degree of the Candidate of physical and mathematical sciences on speciality 01.01.02 - differential equations. - Odessa National University named after I.I. Mechnikov, Odessa, 2009.

The differential equation of the type

y''=б0p(t)ц0(y) ц1(y'),

where б0{-1;1}, p:[a,щ[>]0,+?[ is a continuous function, цi: ДYi>]0,+?[ (i=0,1) - are the monotonic, twice continuously differentiable functions in some sense near to the power type, videlicet those are regularly varying in zero or in the infinity, is considered in the thesis.

For the selected class of Pщ(Y0,Y1,л0)-solutions of this equation the methods of investigations of the asymptotic representations as t^щ are developed for all possible types of the selected class of Pщ(Y0,Y1,л0)-solutions; the necessary and sufficient conditions of their existence; the implicit asymptotic representations as t^щ of those solutions and their first derivatives and explicit asymptotic representations as t^щ of all Pщ(Y0,Y1,л0)-solutions and their first derivatives in cases, when ц0 and ц1 are in the rather wide classes of regularly varying functions, are obtained.

Key words: essential nonlinear differential equations, nonlinearities of more general kind of Emden-Fowler non-linearity type, regularly varying functions, asymptotic representations оf solutions.

Размещено на Allbest.ru