Дискретш умови стійкості за ляпуновим та імпульсні системи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 517.938;517.911.7;517.929.21

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дискретш умови стійкості за ляпуновим та імпульсні системи

01.01.02 -- диференціальні рівняння

Шарко Юлія Володимирівна

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор ЛЯШКО Сергій Іванович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри обчислювальної математики

Офіційні опоненти: ляпунов диференціальний імпульсний

доктор фізико-математичних наук, професор Парасюк Ігор Остапович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь

кандидат фізико-математичних наук Бурилко Олександр Андрійович, Інститут математики НАН України, науковий співробітник

Захист відбудеться 23 червня 2011 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ - 22, проспект Академіка Глушкова, 4Е, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в Науковій бібліотеці імені М.Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01601, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано " 18" травня 2011 р

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Тема дисертаційної роботи пов'язана із задачами, які виникають при дослідженні якісної поведінки розв'язків систем диференціальних рівнянь.

Як добре відомо, для системи звичайних диференціальних рівнянь найбільшу складність викликає дослідження розв'язків в околі точок спокою та поведінка розв'язків на інваріантних множинах. Це одна із ключових тем, яка протягом багатьох років привертає увагу дослідників. Без перебільшення можна сказати, що цій темі присвячено багато тисяч робіт. Серед них чільне місце займають дослідження по теорії стійкості за Ляпуновим. Ми зосередимо увагу на другому методі, який використовує спеціальну функцію (функцію Ляпунова ) для якісного опису поведінки розв'язків рівнянь в околі положення рівноваги. Основна складність цього вельми плідного підходу полягає в тому, що для конкретної системи дуже важко побудувати функцію Ляпунова. Є декілька монографій, не кажучи про велику кількість статей, де для конкретних систем будуються функції Ляпунова. Разом з тим, універсального методу побудови функції Ляпунова не існує, якщо він взагалі може існувати. І тому актуальною залишається задача вивчення розв'язків систем диференціальних рівнянь в дусі другого методу Ляпунова.

За останні десятиліття бурхливо розвивається теорія диференціальних рівнянь з імпульсною дією. Рівняння такого типу використовують для опису реальних фізичних процесів, які миттєво змінюють свою поведінку. За останні роки потік робіт в цій царині диференціальних рівнянь тільки зростає, як і зростає число застосувань рівнянь з імпульсною дією в конкретних питаннях практики. Це свідчить про актуальність цього напрямку.

Як добре відомо, що для деяких питань науки і техніки методів теорії диференціальних рівнянь недостатньо. Це в першу чергу пов'язано з тим, що фазовий простір може бути відмінний від областей евклідового простору. Наприклад, нерідко фазовим простором виступає диференційовний многовид. Тому природним узагальненням автономної системи диференціальних рівнянь є векторне поле на гладкому многовиді. За останні сто років в математиці сформувався цілий напрям, який носить назву "векторні поля поля на многовидах". Разом з тим, виникає природне питання, що розуміти під імпульсною системою диференціальних рівнянь на гладких многовидах ? На скільки відомо автору остаточної відповіді на це питання поки що немає.

Таким чином, ми окреслили три напрямки в теорії диференціальних рівнянь. Саме дослідженням в цих трьох напрямках присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри обчислювальної математики факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Робота виконана у відповідності з завданнями підрозділу "Теорії сингулярного оптимального керування системи з розподіленими параметрами" держбюджетної теми 06БФ015-04 (номер державної реєстрації 010Ш002479).

Метою дисертації є:

встановлення нових умов стійкості за Ляпуновим автономної системи диференціальних рівнянь,

вивчення поведінки розв'язків градієнтної систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією,

дослідження розривних векторних полів на гладких многовидах.

Об'єктом і предметом дослідження є:

стійкість за Ляпуновим автономної системи диференціальних рівнянь,

градієнтні системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією,

псевдозамкнені інтегральних траєкторії розривних векторних полів на гладких многовидах.

Основними результатами дисертації є : 1.1. Нові дискретні умови стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим для системи диференціальних рівнянь.

1.3. Достатні умови, за яких у градієнтної системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією в області з існують псевдозамкнені траєкторії.

1.3. Необхідні та достатні умови, за яких у градієнтної системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією в області з псевдозамкнені траєкторії є стійкими та асимптотично стійкими за Ляпуновим.

Достатні умови існування у векторних полів з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах псевдозамкнених траєкторій.

Необхідні та достатні умови для стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим псевдозамкнених траєкторій у векторних полів з гладкою та неперрвною імпульсною дією на гладких многовидах.

Наукова новизна одержаних результатів.

Всі результати, що отримані в дисертації є новими i основні з них є такі:

Знайдено нові дискретні умови стійкості за Ляпуновим для автономної системи диференціальних рівнянь;

Встановлено достатню умову за якою у градієнтної системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією в області з Rn існують псевдозамкнені траєкторії;

Доведено необхідну та достатню умову за якою у градієнтної системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією в області з Rn псевдозамкнені траєкторії будуть стійкими та асимптотично стійкими за Ляпуновим;

Запропоновано новий об'єкт - векторне поле з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладкому многовиді;

* Знайдено достатні умови, які гарантують існування та стійкість псевдозамкнених траєкторій у векторних полів з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Отримані в дисертації наукові результати можуть бути використані як в математичних дослідженнях, так і в фізиці, біології тощо, де виникають динамічні системи.

Особистий внесок здобувача. Науковому керівникові належать постановки задач, обговорення можливих шляхів їх розв'язання. Всі основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

семінарах відділу диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України; керівник семінару - академік НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор, директор інституту А.М.Самойленко.

семінарах кафедри обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка; керівник семінару -- член-кореспондент НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор, зав. кафедри С.І. Ляшко.

-- семінарах відділу топології Інституту математики НАН України; керівник семінару - член-кореспондент НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор, зав. відділом В.В.Шарко

міжнародній конференції "Bogolyubov Readings 2007"(Zhitomir-Kiev, August 19 - September 2,2007р.)

мiжнароднiй конференції "Нєлінійний аналіз i його застосування" (м. Київ, 2-4 квітня 2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 8 роботах, з них 4-у фахових виданнях з переліку, що затверджений ВАК України, 4-у тезах доповідей на конференціях.

Структура дисертації. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 42 найменувань (на 6 сторінках). Повний обсяг роботи становить 126 сторінок.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові Ляшку Сергію Івановичу за постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі.

Також щиро вдячна співробітникам Інституту математики НАН України, які зробили низку зауважень і порад під час моїх доповідей на семінарах та при написанні дисертації.

Основний зміст роботи

У вступі висвітлюється загальна картина досліджень, споріднених з проведеними в дисертації, обґрунтовується актуальність роботи, формулюється мета досліджень та дається перелік основних результатів, отриманих в дисертації.

В першому розділі дисертаційної роботи було зроблено попередній огляд літератури та викладено основні принципи, результати та ідеї, які лежать в основі результатів, отриманих в дисертації. Розглянуті формулювання означень, теорем та тверджень, які є важливими для розуміння наступних розділів і використовуються для доведення результатів дисертації.

У другому розділі дисертаційної роботи для системи диференціальних рівнянь:

(1)

…

у якої початок координат є ізольованим положенням рівноваги запропоновані нові (дискретні) умови стійкості за Ляпуновим. Сенс цього підходу полягає в тому, що ми використовуємо інформацію про поведінку нашої системи диференціальних рівнянь тільки на деяких регулярних гіперповерхнях , які обмежують початок координат і до нього збігаються.

Вказані гіперповерхні можна будувати за допомогою певного класу функцій (функцій з умовою L).

Диференційовна функція така, що0 задовольняє умові L , якщо:

існує послідовність її регулярних значень , яка збігається до 0 і множина має компоненту зв'язності , яка є гладкою гіперповерхнею, що обмежує початок координат;

діаметри гіперповерхонь, які обмежують початок координат прямують до 0, коли і прямує до нескінченності.

Справедливе

Твердження 2.1. Нехай в околі початку координат О задана диференційовна функція така, що0. Припустимо, що початок координат є ізольованою компонентою зв'язності поверхні рівня. Тоді функція задовольняє умову L.

Наступне твердження є дискретним аналогом теореми про стійкість за Ляпуновим.

Теорема 2.2. Нехай в в околі початку координатевклідового простору вимірності n задана автономна система звичайних диференціальних рівнянь (2.1), у якої початок координат є ізольованим положенням рівноваги.

Припустимо, що в околі G існує послідовність гіперповерхонь (і = 1, 2,...), які обмежують початок координат, вкладені одна в одну, збігаються до початку координат і . Позначимо через одиничне нормальне векторне поле, яке задане на і направлене в в внутрішність многовидів . Якщо в усіх точках значення функції S(x)

(*)

буде додатним, тоді положенням рівноваги системи (2.1) є стійким за Ляпуновим.

Терема 2.2 не гарантує асимптотичної стійкості за Ляпуновим.

Для з'ясування асимптотичної асимптотичної стійкості за Ляпуновим початку координат можна використати наступну теорему:

Теорема 2.3 Нехай в околі початку координат евклідового простору вимірності п задана автономна система звичайних диференціальних рівнянь (2.1), у якої початок координат є ізольованим положенням рівноваги. Припустимо, що в околі О існує послідовність гіперповерхонь , які обмежують початок координат, вкладені одна в одну, збігаються до початку координат і є різними. Нехай. Позначимо через одиничне нормальне векторне поле, яке задане на і направлене у внутрішність многовидів . Якщо в усіх точках значення функції S(x)

(*)

буде додатним, то положенням рівноваги системи (2. 1) є стійким за Ляпуновим, але не асимптотично стійким за Ляпуновим.

Таким чином, з теореми 2.2 випливає, що сукупність гіперповерхонь , які фігурують в умові теореми 2.2 для системи диференціальних рівнянь (2.1) повинні бути гомеоморфними між собою, в випадку коли початок координат системи (2.1) є асимптотично стійким за Ляпуновим. Зрозуміло, що ця умова є необхідною, але не достатньою.

У третьому розділі дисертаційної роботи розглядаються динамічні системи з імнульсною дією. Використовуючи два скалярні добутки в , в області G з можна задати дві градієнтні системи диференціальних рівнянь для однієї функції . Використовуючи ці градієнтні системи диференціальних рівнянь можна побудувати систему диференціальних рівнянь з імпульсною дією (розривну динамічну систему з "биттям"). Серед інтегральних кривих цієї розривної динамічної системи з "биттям"можуть існувати так звані псевдозамкнені орбіт. Основна увага в третьому розділі дисертації зосереджена саме на дослідженні псевдозамкнених орбіт. Дослідження якісної поведінки інтегральних кривих цієї розривної динамічної системи з "биттям"приводить до двох наслідків:

а) Топологічний інваріант (ейлерова характеристика) гіперповерхонь функції F(x) дає критерій існування у розривної динамічної системи з "биттям"псевдозамкнених орбіт. Тобто має місцетвердження

Твердження 3.1 Нехай в задана система (3.1). Якщо ейлерова характеристика для компоненти зв'язності гіперповерхні МРі, то існує або в , або в псевдозамкнена фазова крива. Множина всіх псевдозамкнених фазових кривих утворює компактну підмножину в або .

Ь) Умови стійкості ( асимптотичної стійкості) за Ляпуновим нерухомої точки відповідного дифеоморфізму, являються необхідними та достатніми для того, щоб псевдозамкнена орбіта розривної динамічної системи з "биттям"була стійкою (асимптотично стійкою) за Ляпуновим.

А саме, справедлива теорема

Теорема 3.1. Нехай в задана система (3.1). Припустимо, що - псевдозамкнена фазова крива системи (3.1), яка перетинає множину МРі в точці х. Розглядаємо дифеоморфізм

Для того, щоб псевдозамкнена фазова крива була стійкою за Ляпуновим (асимптотично стійкою за Ляпуновим) необхідно і достатньо, щоб нерухома точка х дифеоморфізму була стійка за Ляпуновим ( асимптотично стійка за Ляпуновим ).

У четвертому розділі дисертаційної роботи розглянуто клас динамічних систем з імпульсною дією на многовидах.

А саме:

запропоновано означення векторного поля з гладкою імпульсною дією на многовидах як четвірки ,Х, де:

і - замкнені гладкі підмноговиди ковимірності 1 (взагалі кажучи незв'язні) такі, що ;

- дифеоморфізм;

X - гладке векторне поле на Мп, яке трансверсальне до підмно-говиду , і у якого точки спокою не належать підмноговиду .

Чітко сформульовано поняття інтегральної кривої такого векторного поля, а саме:

інтегральною кривою векторного поля з гладкою імпульсною дією, яка проходить через точку називається таке гладке відображення , де - інтервал, до якого належить 0 і такий, що і . Якщо, при інтегральна крива продовжується до значення параметру b і , тоді вона розривається, тобто точка відображається в точку і далі рухається по інтегральній кривій, що проходить через точку .

Означені псевдозамкнені траєкторії і-поверху гладкого векторного поля з імпульсною дією як підклас розривних траєкторій. А саме:

псевдозамкненими траєкторіями і-поверху називаються такі траєкторії, які після першої "зустрічі"з підмноговидом і після застосування дифеоморфізму рухаються по точкам підмноговиду

які вони вже "проходили".

Використовуючи гладкі компактні многовидом з особливостями вимірності n визначено векторне поле з неперервною імпульсною дією на гладкому компактному многовиді без краю як четвірки ,де:

- замкнений гладкий підмноговид ковимірності 1 (взагалі кажучи незв'язний);

компактний гладкий підмноговид з особливостями корозмірності 1 (взагалі кажучи незв'язний), такий що

;

c) - неперервне відображення;

і) X - гладке векторне поле, яке задане на М", трансверсальне до підмноговиду і таке, що на підмноговиді з особливостями воно перетворюється в 0 тільки в його сингулярних точках.

Інтегральною кривою векторного поля з неперервною імпульсною дією,яка проходить через точку називається таке гладке відображення , де (а, b) - інтервал, до якого належить 0, і так, що і В випадку, коли інтегральна крива продовжується до значення параметра b і , тоді вона зазнає розриву, тобто точка відображається в точку .

і далі або рухається по інтегральній кривій, що проходить через точку , якщо точка не є особливою точкою векторного поля X, або закінчується в цій точці у випадку, коли точка є особливістю підмноговиду .

Псевдозамкненими траєкторіями і-поверху градієнтного векторного поля з неперервною імпульсною дією називаються такі траєкторії, які після першої "зустрічі"з підмноговидом і після застосування неперервного відображення зразу або через деякий час рухаються по точкам підмноговиду



які вони вже "проходили".

За допомогою гладких функцій на диференційовних многовидах, побудовані градієнтні векторні поля та описані відображення, які виникають між поверхнями рівня цих функцій.

Далі побудовано градієнтні векторні поля з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах та описано якісну поведінку інтегральних кривих цих полів.

Доведено достатню умову існування у векторного поля псевдозамкненої траєкторії.

Твердження 4.3. Нехай на гладкому замкненому многовиді М" побудоване градієнтне векторне поле з гладкою імпульсною дією , за допомогою ріманових метрик і та гладкої функції зі скінченною кількістю критичних значень. Якщо ейлерова характеристика для деякої компоненти зв'язності то серед розривних траєкторії і-поверху завжди існує псевдозамкнена траєкторія. Перетин множини псевдо-замкнених траєкторій і-поверху, з підмноговидом Mp є компактна підмножина в Mp.

Введено поняття стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуно-вим псевдозамкнених траєкторій у градієнтних систем із гладкою імпульсною дією, та знайдено критерій такої стійкості.

Теорема 4.1. Нехай на гладкому замкненому многовиді М" задане градієнтне векторне поле з гладкою імпульсною дією , яке побудоване за допомогою ріманових метрик р і а та гладкої функції зі скінченною кількістю критичних значень. Припустимо, що - псевдозамкнена траєкторія і-поверху поля, яка перетинає підмноговид МРі+1 в точці x.

для того, щоб була стійкою за Ляпуновим (асимптотично стійкою за Ляпуновим)необхідно і достатньо, шоб нерухома точка x дифеоморфізму

була стійкою за Ляпуновим (асимптотично стійкою за Ляпуновим)

Знайдено умови існування та стійкості (асимптотичної стійкості) за Ляпуновим псевдозамкнених траєкторій у градієнтних систем з неперервною імпульсною дією.

Теорема 4.2. Нехай на гладкому замкненому многовиді Мп за допомогою ріманових метрик р і а та гладкої функції з скінченною кількістю критичних точок побудовано градієнтне векторне поле з неперервною імпульсною дією. Припустимо, що

ейлерова характеристика для деякої компоненти зв'язності регулярної гіперповехні ;

для критичних точок , функції g, які належать виконується умова , де і , (j =1,…,t);

для тієї компоненти зв'язності , до якої належить М|q знайдеться є > 0 таке, що на ріманові метрики і співпадають,

тоді серед розривних траєкторії і-поверху поля завжди існує псевдозамкнена траєкторія.

Теорема 4.3. Нехай на гладкому замкненому многовиді Мп за допомогою ріманових метрик і і гладкої функції з скінченною кількістю критичних точок побудовано градієнтне векторне поле з неперервною імпульсною дією

. Припустимо, що - псевдозамкнена траєкторія і-поверху поля , яка перетинає множину в точці у. Припустимо, що точка у є нерухомою притягуючою точкою для дифеомрфізму

Для того, щоб була стійкою за Ляпуновим (асимптотично стійкою за Ляпуновим), необхідно і достатньо, щоб нерухома точка у дифео-морфізму була стійка за Ляпуновим ( асимптотично стійкою за Ляпуновим ).

Висновки

Дисертація присвячена квантуванню другого методу Ляпунова, та дослідженню диференціальних рівняннянь з імпульсною дією.

В дисертаційній роботі отримано низку результатів, присвячених встановленню умов стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим

Знайдено нові умови стійкості за Ляпуновим для автономної системи диференціальних рівнянь, яка задана в околі початку координат n-вимірного евклідового простору.

Розглядаються диференціальні рівняння з імпульсною дією в замкненій області евклідового простору О . Використовуючи два скалярні добутки в , в області G з побудовано градієнтну систему диференціальних рівнянь для однієї функції . За допомогою градієнтної системи побудовано систему диференціальних рівнянь з імпульсною дією (розривна динамічна система з "биттям"). Серед інтегральних кривих цієї розривної динамічної системи з "биттям"можуть існувати так звані псевдозамкнені орбіт. а) Топологічний інваріант (ейлерова характеристика) гіперповерхонь функції дає критерій існування у розривної динамічної системи з "биттям"псевдозамкнених орбіт. L) Умови стійкості ( асимптотичної стійкості) за Ляпуновим нерухомої точки відповідного дифеоморфізму, являються необхідними та достатніми для того, щоб псевдозамкнена орбіта розривної динамічної системи з "биттям"була стійкою (асимптотично стійкою) за Ляпуновим.

--Дано означення векторного поля з гладкою імпульсною дією на многовиді. Означені псевдозамкнені траєкторії і-поверху гладкого векторного поля з імпульсною дією як деякий підклас розривних траєкторій. Використовуючи гладкі компактні мно-говидом з особливостями вимірності п визначено векторне поле з неперервною імпульсною дією на гладкому компактному многовиді без краю. Визначено псевдозамкнену траєкторію такого векторного поля.Побудовано градієнтні векторні поля з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах та описано якісну поведінку інтегральних кривих цих полів. Результати, подані в дисертації, можуть бути використані в подальших дослідженнях і знайти застосування в інших розділах науки і практики .

Список опублікованих робіт автора за темою дисертації

1. Шарко Ю.В.. Дискретні умови стійкості за Ляпуновим / Ю.Шарко // Збірник праць Інституту математики НАН України. - 2005. - Том. 2.№3 - С. 279-288.

Шарко Ю.В. Імпульсні градієнтні сисиеми / Ю.Шарко // Збірник праць Інституту математики НАН України. - 2006. - Том 3, № 3. - С.431-442.

Шарко Ю.В. Градієнтні векторні поля з імпульсною дією на мно-говидах / Ю.Шарко // Нелінійні коливання. - 2009. - Том 12, №1 - С.134-144.

Шарко Ю.В. Квантування функції Ляпунова / Ю.Шарко // Український математичний журнал.- 2010. - Том 62, №9 - С.1294-1296.

Sharko Yu. Іпірике gradient systems / Yu. Sharko // Тези доповідей Міжнародної конференції "Боголюбовські читання ". -Київ:Ін-т математики НАН України - 2007. - С. 104-107.

Sharko Yu. Quatization of the Lyapunov functions / Yu. Sharko// Тези доповідей міжнародної конференції Chaotic Modeling and Simulation - Crete, Greece, June 3-6, 2008 (P.75).

Sharko Yu. Gradient vector fields with impulse action on manifolds / Yu. Sharko// Тези доповідей міжнародної конференції Chaotic Modeling and Simulation - Crete, Greece, June 1-5, 2009.- (P.76- 77).

8. Sharko Yu. Vector fields with continues impulse action on manifolds /Yu. Sharko// Nonlinear Analysis and Applications - Kiev, April 2-4, 2009 (P.111-112).

Анотація

Шарко Ю.В. Дискретні умови стійкості за Ляпуновим та імпульсні системи. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2011.

Дисертація присвячена дослідженням якісної поведінки розв'язків систем диференціальних рівнянь. В ній отримана низка результатів, присвячених встановленню умов стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим. А саме, знайдено нові (дискретні) умови стійкості за Ляпуновим для автономної системи диференціальних рівнянь, яка задана в околі початку координат n-вимірного евклідового простору. Запропоновано деякий дискретний аналог теореми Ляпунова, а також представлена нова достатня умова, коли стійка за Ляпуновим система не є асимптотично стійкою за Ляпуновим. Сенс запропонованого підходу полягає в тому, що для з'ясування стійкості за Ляпуновим положення рівноваги авітономної системи диференціальних рівнянь ми використовуємо інформацію про поведінку правої частини нашої системи тільки на деяких регулярних гіперповерхнях (диференційовних підмноговидах ковимірності 1), які збігаються до початку координат.

Іншими словами, в такому підході знання поведінки розв'язків досліджуваної системи рівнянь не є необхідним.

Побудовано та вивчено градієнтні системи диференціальних рівнянь з імнульною дією в області євклідового простору.Описано поведінку траєкторій такої системи, знайдені достатні умови існування псевдозамкнених траекторій у таких систем. Крім того, необхідні та достатні умови для того, щоб псевдозамкнені траекторії були стійкими та асимптотично стійкими за Ляпуновим.

В теорії гладких динамічних систем (векторних полів) на диференційовних многовидах існують різноманітні методи, які дають можливість досліджувати ці системи (див. наприклад [10]). Разом з тим, неперервні динамічні системи ( неперервні потоки) на топологічних многовидах досліджено значно менше. Більш-менш повно вивчено неперервні потоки на поверхнях. Проте небагато досліджень, які стосуються гладких та неперервних динамічних систем з імпульсною дією на диференційовних многовидах.

Тому, проведено вивчення динамічних систем з імпульсною дією на многовидах. Дано строге означення динамічних систем з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах. Побудовано градієнтні динамічни системи з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах. Досліджено умови існування псевдоза-мкнених траекторій у таких систем. Встановлено необхідні та достатні умови стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим псевдоза-мкнених траекторій у градієнтних динамічних систем з гладкою та неперервною імпульсною дією на гладких многовидах.

Ключові слова: стійкість та асимптотична стійкість за Ляпуновим, градіентне векторне поле, гіперповерхні, нерухомі точки дифео-морфізмів імпульсна градіентна система, псевдозамкнена траекторія, гладкиий многовид.

Аннотация

Шарко Ю.В. Дискретные условия устойчивости по Ляпунову и импульсные системы. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - диференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2011.

Диссертация посвящена качественому исследованию поведения решений систем дифференциальных уравнений. В ней содержится ряд результатов, посвященных установлению условий устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову.

А именно, исследованы новые (дискретные) условия устойчивости по Ляпунову для автономной системы дифференциальных уравнений, заданой в окрестности начала координат n-мерного евклидового пространства.

Построены и изучены градиентные системы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в области евклидового пространства. Найдены условия существования псевдозамкнутых траекторий в таких систем. Доказаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы псевдозамкнутые траектории были устойчивыми и асимптотически устойчивыми по Ляпунову.

Проведено изучение динамических систем с импульсным воздействием на многообразиях. Дано строгое определение динамических систем с гладким и непрерывным импульсным воздействием на гладких многообразиях. Построены градиентные динамичные системы с

гладким и непрерывным импульсным воздействием на гладких многообразиях. Установлены условия существования псевдозамкнутые траекторий у таких систем. Доказаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы псевдозамкнутые траектории у градиентных динамических систем с гладким и непрерывным импульсным воздействием на гладких многообразиях были устойчивы и асимптотически устойчивы по Ляпунову.

Ключевые слова: устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову, градиентное векторное поле, гиперповерхность, неподвижные точки дифеоморфизмов, импульсная градиентная система, псевдозамкнутая траэктория, гладкое многообразие.

Annotation

Sarko Yu.V. Discrete conditions of Lyapunov stability and impulsive systems. - Manuscript. The thesis for receiving the scientific degree of candidate of sciences in physics and mathematics, specialty 01.01.02 -differential equations.- TARAS SHEVCHENKO NATIONAL UNIVERSITY of Kyiv, Kyiv, 2011.

The dissertation is devoted to the topics related to the qualitative investigations of the behavior of solutions of systems of differential equations.

In the dissertation it was obtained the series of results on the establishment of conditions of Lyapunov and asymptotic stability. Namely, to explore the new (discrete) condition of Lyapunov stability for autonomous systems of differential equations in a neighbourhood of the zero of a n-dimensional Euclidean space.

It was constructed and studied gradient systems of differential equations with impulsive action in a domain of Euclidean space and was found the conditions for the existence of pseudoclosed trajectories in such systems. Furthermore, it was proved the necessary and sufficient conditions when the pseudoclosed trajectories will be stable in the sense of Lyapunov and asymptotically stability.

It was studied the dynamical systems with impulsive action on manifolds. The strict definition of dynamical systems with smooth and continuous impulsive action on smooth manifolds was given. The gradient dynamical systems were constructed with smooth and continuous impulsive action on smooth manifolds. It was investigated the conditions for the existence of pseudoclosed trajectories at such systems. It was proved the necessary and sufficient conditions when the gradient dynamic systems with smooth and continuous impulsive action on smooth manifolds will have the Lyapunov and asymptotically stable pseudoclosed trajectories.

Keywords: Lyapunov and asymptotic stability, gradient vector field, hypersurfaces, fix points of diffeomorphism, impulsive gradient system, pseudoclosed curve, smooth manifold.

Размещено на Allbest.ru