Інтегральні множини диференціальних рівнянь та їх стійкість

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 517.928

ІНТЕГРАЛЬНІ МНОЖИНИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ

РІВНЯНЬ ТА ЇХ СТІЙКІСТЬ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Фекета Петро Володимирович

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені

Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

Перестюк Микола Олексійович

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Ткаченко Віктор Іванович

Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань

доктор фізико-математичних наук, професор

Черевко Ігор Михайлович

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, декан факультету прикладної математики

Захист відбудеться 18 квітня 2011 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, просп.. Академіка Глукова, 4 Е, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 14 березня 2011 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У багатьох задачах фізики, техніки, біології, економіки часто доводиться вивчати процеси, що описуються звичайними диференціальними рівняннями, які в процесі еволюції піддаються короткочасним збуренням. При математичному описі таких процесів тривалістю збурень зручно знехтувати, вважаючи, що вони мають характер миттєвого імпульсу (поштовху, удару). Це в свою чергу приводить до необхідності вивчення систем диференціальних рівнянь, розв'язки яких скачкоподібно змінюються, тобто систем з імпульсними збуреннями.

Теорія систем диференціальних рівнянь, що піддаються імпульсним збуренням, а також систем, в певному сенсі подібних до них, тобто систем з розривними правими частинами, з переключеннями та ін., інтенсивно розвивається. Це пов'язано перш за все із запитами інноваційної техніки, де імпульсні системи автоматичного регулювання, імпульсні обчислювальні системи знайшли помітне місце і бурхливо розвиваються, поширюючи коло своїх застосувань в різних за фізичною природою та функціональному призначенню технічних задачах.

Найбільш цілісно та систематично теорія диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями викладена в монографіях вчених Київської школи нелінійної механіки. В них достатньо повно досліджено системи диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями, показано, що класична теорія першого методу Ляпунова природним чином переноситься на ці системи. Крім цього, в монографіях розглянуто питання існування та досліджуються властивості інтегральних множин диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням, вивчено один важливий клас розривних майже періодичних систем, розв'язано задачу оптимального керування в системах з імпульсними збуреннями.

В даній роботі досліджуються системи диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями, визначені в прямому добутку m-мірного тора Tm та n-мірного евклідового простору Rn. Такі системи виникають при дослідженні коливань в системах з багатьма ступенями вільності, що піддаються імпульсним збуренням. Прикладом такої системи може слугувати система маятникового типу, кінетична енергія якої різко змінюється при проходженні фазовою точкою певних положень. Важливість вивчення систем, заданих в TmЧRn, зумовлена тим, що інваріантний тороїдальний многовид динамічної системи в топологічному добутку TmЧRn є центральним об'єктом теорії багаточастотних коливань.

Наявність таких торів є необхідною умовою існування багаточастотних коливань, що описуються розривними квазіперіодичними розв'язками динамічних систем. Найбільш повно теорія багаточастотних коливань викладена в роботах А. М. Самойленка. В них досліджено умови існування інваріантних тороїдальних многовидів лінійних систем в TmЧRn, теорія збурень таких многовидів для нелінійних систем, властивості гладкості та стійкості цих многовидів, поведінка траєкторій в малому їх околі, дослідження сепаратрисних многовидів у випадку експоненціальної дихотомії тороїдального многовиду.

Перші глибокі дослідження про інваріантні тороїдальниі многовиди систем нелінійної механіки були отримані М. М. Боголюбовим та М. М. Криловим в процесі обґрунтування асимптотичних методів нелінійної механіки. Лише пізніше ідеї, які були наведені в цих роботах, знайшли всебічний розвиток в дослідженнях Ю. А. Митропольського та вилилися в метод інтегральних многовидів нелінійної механіки. Вони виявили сильний вплив на характер наступних розробок теорії збурень тороїдальних многовидів та привели до глибоких результатів А. М. Самойленка, В. Л. Кулика, О. А. Бойчука, С. І. Трофімчука, В. І. Ткаченка, І. М. Черевка та інших.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у рамках досліджень кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка: тема № 01БФ038-03 "Розробка якісних та аналітичних методів дослідження та асимптотичного інтегрування нелінійних систем" (номер держреєстрації 0104U003264), тема № 08ДФ038-02 "Дослідження існування тороїдальних множин та гамільтонових атракторів нелінійних систем" (номер держреєстрації 0108U007060), тема № 06БФ038-01 "Якісні та аналітичні методи дослідження і моделювання нелінійних систем та фізико-механічних полів" (номер держреєстрації 0106V005863).

Мета і завдання дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є встановлення достатніх умов існування та асимптотичної стійкості інваріантних множин імпульсних систем, визначених в прямому добутку тора і евклідового простору.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є система диференціальних рівнянь, визначена в прямому добутку m-мірного тора Tm та n-мірного евклідового простору Rn, з імпульсним збуренням.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є інтегральні множини диференціальних рівнянь, умови їх існування та стійкості.

Методи дослідження. Методи дослідження базуються на методах інтегральних многовидів нелінійної механіки та методі функції Гріна - Самойленка задачі про інваріантні тори.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними новими науковими результатами, що виносяться на захист, є такі:

встановлено достатні умови існування інваріантних множин лінійних розширень динамічних систем на торі, які піддаються імпульсним збуренням в момент потрапляння зображуючої точки в задану підмножину фазового простору та виокремлено класи систем, для яких умови існування інваріантних множин виконуються;

введено поняття грубої функції Гріна - Самойленка задачі про інваріантні тори імпульсних систем і обґрунтовано ітераційний метод побудови інваріантних множин нелінійних систем;

встановлено достатні умови існування та асимптотичної стійкості інтегральних множин лінійного розширення неавтономної системи на торі з імпульсними збуреннями у фіксовані моменти часу;

доведено для досить широкого класу систем, що для асимптотичної стійкості інваріантних множин достатньо виконання певних умов лише на щ-граничній множині розв'язків цt(ц), а не на всьому торі Tm.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Одержані результати узагальнюють та доповнюють відповідні дослідження в теорії диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями.

Запропоновані теореми можуть бути використані при розв'язуванні задач фізики, техніки, біології, економіки, які зводяться до дослідження якісної поведінки розв'язків систем диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями.

Особистий внесок здобувача. Всі основні наукові результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. Визначення загального плану досліджень та постановка задачі належать науковому керівнику академіку НАН України М. О. Перестюку. В роботах [1,2,4,5,8,9] співавторам належить постановка задачі та обговорення одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на семінарі з диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники - академік НАН України А. М. Самойленко та академік НАН України М. О. Перестюк), на конференціях:

Конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача, м. Львів, 25-27 травня 2009 р.

Тринадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, м. Київ, 13-15 травня, 2010 р.

Conference on Differential and Difference Equations and Applications, Rajecke Teplice, Slovak Republic, June 21-25, 2010.

Міжнародна літня математична школа пам'яті В. А. Плотнікова, м. Одеса, 9-14 серпня, 2010 р.

Bulgarian-Turkish-Ukrainian Scientific Conference "MathematicalAnalysis, Differential Equations and their Applications", Sunny Beach, Bulgaria, September 15-20, 2010.

Публікації. Основні результати роботи викладено у 5 статтях [1,2,3,4,5], опублікованих у виданнях, що внесені до переліку наукових фахових видань України та у 5 матеріалах конференцій [6,7,8,9,10].

Структура дисертації. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 130 сторінок машинописного тексту, список використаних джерел, що містить 105 найменувань, займає 13 сторінок.

Автор висловлює щиру вдячність науковому керівнику академіку НАН України Миколі Олексійовичу Перестюку за постановку задач, постійну увагу до роботи, всебічну підтримку та допомогу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основними об'єктами дослідження дисертаційної роботи є системи диференціальних рівнянь, визначені в прямому добутку m-мірного тора Tm та n-мірного евклідового простору Rn, з імпульсними збуреннями та без них.

Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. В першому розділі "Огляд літератури за темою дисертації" розглянуто загальну теорію імпульсних систем диференціальних рівнянь, описано основні відомості з теорії багаточастотних коливань, окреслено коло питань, які залишилися невирішеними та визначено місце результатів дисертаційної роботи у розв'язанні відкритих проблем.

В другому розділі "Інваріантні многовиди лінійних розширень динамічної системи на торі з імпульсними збуреннями", який складається з підрозділів 2.1-2.4 розглядається головним чином система

dц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(ц),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =A(ц)x+f(ц), ц ? Г,	(1)
?x|ц Ѓё Г=B(ц)x+g(ц),

де x Ѓё Rn, ц Ѓё Tm, A(ц) і B(ц) - неперервні 2р-періодичні по кожній компоненті цj, j=1,..,m матриці, a(ц) - неперервна 2р-періодична по кожній компоненті цj, j=1,..,m функція і задовольняє умову Ліпшиця по ц, f(ц) і g(ц) - неперервні функції, 2р-періодичні по кожній компоненті цj, j=1,..,m, матриця (E+B(ц)) - невироджена, для будь-якого ц Ѓё Tm. Вважатимемо, що множина Г є підмножиною тора Tm, а саме многовидом розмірності m?1, який визначається рівнянням Ц(ц)=0, де Ц(ц) - неперервна скалярна 2р-періодична по цj, j=1,..,m функція.

Позначимо через цt(ц) розв'язок першого рівняння системи (1), який задовольняє початкову умову ц0(ц)=ц, а через t=ti(ц) - розв'язки рівняння

dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =A(цt(ц))x, t ? ti(ц)	(2)
?x|t = ti(ц)=B(цti(ц)(ц))x,

тобто моменти часу імпульсного збурення в системі (1).

Позначимо через ?фt(ц) - матрицант однорідної системи диференціальних рівнянь з імпульсною дією

dц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(ц),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =A(ц)x, ц ? Г,
?x|ц Ѓё Г=B(ц)x,

залежної від ц Ѓё Tm як від параметра.

Нехай C(ц) - неперервна по ц Ѓё Tm матриця. Покладемо

G(0,ф,ц)=?ф0(ц)C(цф(ц)), ф ? 0, ?ф0(ц)(C(цф(ц))?E), ф > 0

і назвемо G(0,ф,ц) функцією Гріна - Самойленка системи рівнянь

якщо тільки

	? ?	+? ??	||G(0,ф,ц)||dф ? K < ?.

Визначимо функцію G(t,ф,ц) наступним чином

G(t,ф,ц)=?фt(ц)C(цф(ц)), t ? ф, ?фt(ц)(C(цф(ц))?E), t < ф.

В підрозділі 2.1, за допомогою поняття функції Гріна - Самойленка задачі про інваріантні тори імпульсних систем, визначається вигляд інваріантної множини системи (1) та слабко нелінійної системи, коли функції

f=f(ц,x), g=g(ц,x)

задовольняють умову Ліпшиця по x

||f(ц,x?)?f(ц,x")||+||g(ц,x?)?g(ц,x")|| ? N||x??x"||

для всіх x?, x" Ѓё Rn.

Теорема 1. Якщо функція G(t,ф,ц) задовольняє нерівність

||G(t,ф,ц)|| ? Ke?г|t?ф|	(3)

для всіх t,ф Ѓё R, ц Ѓё Tm і деяких K ? 1 і г > 0, а для моментів часу ti(ц) виконується нерівність

ti+1(ц)?ti(ц) ? и

для всіх i Ѓё Z, ц Ѓё Tm і деякого и > 0, тоді для достатньо малої сталої Ліпшиця N, система (1) має інваріантну тороїдальну множину

x=u(ц), u(ц+2 р)=u(ц).

В підрозділі 2.2 виокремлено деякі класи систем диференціальних рівнянь, для яких функція G(t,ф,ц) задовольняє оцінку (3), а система рівнянь має інваріантну тороїдальну множину.

В підрозділі 2.3 розглянуто систему диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями (1) в припущенні, що функції ai(ц) > 0 для всіх i=1,..,m, ц Ѓё Tm, а множина Г задана наступним чином

Г = {ц Ѓё Tm: <b,ц> = 0 (mod 2р)},	(4)
b=(b1,..,bm) Ѓё Qm.

Теорема 2. Нехай задано систему диференціальних рівнянь з імпульсною дієї (1) і множину Г співвідношенням (4). Якщоai(ц) > 0, bi > 0, i=1,..,m, ц Ѓё Tm, тоді відстань між двома послідовними моментами імпульсної дії допускає оцінку

ti+1(ц)?ti(ц) ? и > 0,

де

и = 2р

Размещено на http://www.allbest.ru/

||b|| , cos( ^ b,Q   ) > ||q||

Размещено на http://www.allbest.ru/

||Q|| , 2р ||q||

Размещено на http://www.allbest.ru/

?b,Q? , cos( ^ b,Q   ) ? ||q||

Размещено на http://www.allbest.ru/

||Q|| ,
qi= min ц Ѓё Tm  ai(ц), Qi= max ц Ѓё Tm  ai(ц),
q=(q1,q2,..,qm), Q=(Q1,Q2,..,Qm).

В підрозділі 2.4 введено поняття грубої функції Гріна - Самойленка задачі про інваріантні тори імпульсних систем та обґрунтовано ітераційний метод побудови інваріантних множин нелінійної системи диференціальних рівнянь вигляду

d ц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(ц,x),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =A(ц)x+f(ц), ц Ѓё Tm\Г,
?x|ц Ѓё Г=B(ц)x+g(ц).

В третьому розділі "Інваріантні многовиди одного класу систем диференціальних рівнянь" розглянуто системи диференціальних рівнянь, визначені в прямому добутку m-мірного тора Tm та n-мірного евклідового простору Rn, у випадку, коли елементи систем володіють певними властивостями лише на щ-граничній множині ? траекторій цt(ц), ц Ѓё Tm.

В підрозділі 3.1 розглянуто систему без імпульсних збурень

dц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(ц)+a1(ц,x),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =A(ц)x+F(ц,x),

де ц Ѓё Tm , a(ц) Ѓё C1(Tm), a1(ц,x) Ѓё CLip(x)(1,0)(ц Ѓё Tm,x Ѓё ЇJh), A(ц) Ѓё C1(Tm), F(ц,x) Ѓё C(1,2)(Tm,ЇJh), ЇJh={x Ѓё Rn, ||x|| ? h, h > 0}.

Записавши цю систему у вигляді

dц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(ц)+a1(ц,x),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =A(ц)x+B(ц,x)x+f(ц),

де

f(ц)=F(ц,0),

a

B(ц,x)= 1 ? ? 0   ?F(ц,фx)

Размещено на http://www.allbest.ru/

?(фx) dф,

доведено теорему.

Теорема 3. Нехай система (5) така, що матриця A(ц) на множині ? є сталою

A(ц)|ц Ѓё ?= ~ A

і дійсні частини всіх власних значень сталої матриці ~A є від'ємними

Reлj( ~ A   ) < 0, j=1,2,...,n.

Тоді існують сталі b0 > 0, m > 0, е > 0 і достатньо малі сталі Ліпшиця L і ~L такі, що для будь-якої матриці F(ц,x) Ѓё Cц,x(1,2)(ц Ѓё Tm,x Ѓё ЇJh) такої, що

max ц Ѓё Tm   ||F(ц,0))|| ? m,
max ц Ѓё Tm,x Ѓё ЇJh   ||B(ц,x))|| ? b0

і для будь-яких x^?,x^" Ѓё ЇJ_h

||B(ц,x?)?B(ц,x")|| ? L||x??x"||,

де

B(ц,x)= 1 ? ? 0   ?F(ц,фx)

Размещено на http://www.allbest.ru/

?(фx) dф,

для будь-якої функції a(ц) Ѓё C1(Tm) і для будь-якої функції a1(ц,x) Ѓё CLip(x)(1,0)(ц Ѓё Tm,x Ѓё ЇJh) такої, що

max ц Ѓё Tm, x Ѓё ЇJh   ||a1(ц,x)|| ? е,
||a1(ц,x?)?a1(ц,x")|| ? ~ L   ||x??x"||,

система (5) має асимптотично стійкий інваріантний тороїдальний многовид.

В підрозділі 3.2 розглянуто лінійну, збурену та нелінійну системи диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням. Зокрема розглядається система диференціальних рівнянь

dц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(ц),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =F(ц,x), ц ? Г,	(6)
?x|ц Ѓё Г=I(ц,x),

де ц Ѓё T^m, x Ѓё ЇJ_h, a(ц) Ѓё C_Lip(T^m), F(ц,x),I(ц,x) Ѓё C^(0,2)(T^m,ЇJ_h),

- J   h  ={x Ѓё Rn, ||x|| ? h, h > 0}.

Переписавши цю систему рівнянь у вигляді

dц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(ц),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =A0(ц)x+A1(ц,x)x+f(ц), ц ? Г,	(7)
?x|ц Ѓё Г=B0(ц)x+B1(ц,x)x+g(ц),

де

A(ц,x)= ? ? 1 0  ?F(ц,фx)

Размещено на http://www.allbest.ru/

?(фx) dф, B(ц,x)= ? ? 1 0  ?I(ц,фx)

Размещено на http://www.allbest.ru/

?(фx) dф,
A0(ц)=A(ц,0), A1(ц,x)=A(ц,x)?A(ц,0), B0(ц)=B(ц,0),
B1(ц,x)=B(ц,x)?B(ц,0), f(ц)=F(ц,0), g(ц)=I(ц,0),

доведено теорему.

Теорема 4. Нехай в системі (7) матриці A0(ц) і B0(ц) на множині ? сталі, тобто

A0(ц)|ц Ѓё ?= ~ A  ,
B0(ц)|ц Ѓё ?= ~ B   ,

рівномірно по t існує скінченна границя

lim ~T>?  i(t,t+ ~ T   )

Размещено на http://www.allbest.ru/

~ T =p	(8)

і виконується співвідношення

г+plnб < 0,

де

г = max j=1,..n  Reлj( ~ A   ),
б2 = max j=1,..n  лj((E+ ~ B   )T(E+ ~ B   )).

Тоді існують достатньо малі сталі a1 і b1 і достатньо малі сталі Ліпшиця LA і LB такі, що для будь-яких матриць F(ц,x), I(ц,x) Ѓё C(0,2)(Tm,ЇJh) таких, що

max ц Ѓё Tm,x Ѓё ЇJh  ||A1(ц,x)|| ? a1,
max ц Ѓё Tm,x Ѓё ЇJh  ||B1(ц,x)|| ? b1

і для будь-яких x?,x" Ѓё ЇJh

||A1(ц,x?)?A1(ц,x")|| ? LA||x??x"||,
||B1(ц,x?)?B1(ц,x")|| ? LB||x??x"||

система (6) має асимптотично стійкий інваріантний многовид.

В підрозділі 3.3 розглянуто частинні випадки системи (6) та модифікації умов теореми 4.

Важливим результатом третього розділу дисертаційної роботи є встановлення факту про те, що для асимптотичної стійкості інваріантних множин розглядуваних систем, достатньо виконання деяких умов для елементів систем лише на щ-граничній множині ?, а не на всьому торі Tm.

В четвертому розділі "Інтегральні множини лінійних розширень неавтономної системи на торі з імпульсним збуренням" розглянуто лінійне розширення неавтономної системи диференціальних рівнянь на m-мірному торі Tm з імпульсним збуренням у фіксовані моменти часу

dц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(t,ц),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =P(t,ц)x+f(t,ц), t\not = фi,	(9)
?x|t=фi=Bi(ц)x+Ii(ц),

де t Ѓё R, x Ѓё Rn, ц Ѓё Tm, a(t,ц), f(t,ц), P(t,ц) - неперервні по t відповідно векторні і матричні функції, неперервні і 2р-періодичні по цv, v=1,..,m, обмежені при всіх t Ѓё R, ц Ѓё Tm. Функція a(t,ц) задовольняє умову Ліпшиця по ц рівномірно відносно t Ѓё R. Функції Bi(ц) і Ii(ц) - рівномірно обмежені по i матриці і вектори, det(E+Bi(ц))\not = 0 для будь-якого ц Ѓё Tm. Послідовність моментів {фi} занумерована цілими числами так, що фi> ?? при i> ?? і фi> +? при i> +?.

В підрозділі 4.1, ввівши поняття функції Гріна - Самойленка G(t,s,ц) системи рівнянь

dц

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =a(t,ц),
dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =P(t,ц)x, t\not = фi,
?x|t=фi=Bi(ц)x,

виокремлено підклас системи рівнянь (9), для яких існує єдиний обмежений на всій дійсній осі розв'язок та встановлено достатні умови асимптотичної стійкості такого розв'язку.

В підрозділі 4.2 встановлено достатні умови існування та асимптотичної стійкості інтегральних множин системи рівнянь (9).

Теорема 5. Нехай в системі рівнянь (9) для моментів імпульсних збурень {фi} справедлива оцінка

фi+1?фi > и > 0

для будь-якого i Ѓё Z та існує функція Гріна - Самойленка G(t,s,ц). Тоді система рівнянь (9) має інтегральну множину

x=u(t,ц)= ? ? +? ??  G(t,s,ц)f(s,цs(t,ц))+

+ +? ? i=??  G(t,фi+0,ц)Ii(цфi(t,ц)),t Ѓё R, ц Ѓё Tm.

Теорема 6. Припустимо, що система рівнянь (9) задовольняє умовам Теореми 5. Нехай також матрицант ?st(ф,ц) системи рівнянь

dx

Размещено на http://www.allbest.ru/

dt =P(t,цt(ф,ц))x,
?x|t=фi=Bi(цфi(ф,ц))x,

задовольняє нерівності

||?st(ф,ц)|| ? Ke?г(t?s),

для будь-яких t ? s, ф, t, s Ѓё R, ц Ѓё Tm і деяких K ? 1, г > 0. Тоді система рівнянь (9) має інтегральну множину

x=u(t,ц)= ? ? t ??  G(t,s,ц)f(s,цs(t,ц))+
+ ? фi < t  G(t,фi+0,ц)Ii(цфi(t,ц)),t Ѓё R,ц Ѓё Tm

і ця множина є асимптотично стійкою.

ВИСНОВКИ

Центральним об'єктом дослідження дисертаційної роботи є імпульсна система диференціальних рівнянь, визначена в прямому добутку m-мірного тора Tm та n-мірного евклідового простору Rn. Основною метою є встановлення достатніх умов існування та асимптотичної стійкості інваріантних множин таких систем.

В дисертаційній роботі отримано наступні основні результати:

встановлено достатні умови існування інваріантних множин лінійних розширень динамічних систем на торі, які піддаються імпульсним збуренням в момент потрапляння зображуючої точки в задану підмножину фазового простору та виокремлено класи систем, для яких умови існування інваріантних множин виконуються;

введено поняття грубої функції Гріна - Самойленка задачі про інваріантні тори імпульсних систем і обґрунтовано ітераційний метод побудови інваріантних множин нелінійних систем;

встановлено достатні умови існування та асимптотичної стійкості інтегральних множин лінійного розширення неавтономної системи на торі з імпульсним збуренням у фіксовані моменти часу;

доведено для досить широкого класу систем, що для асимптотичної стійкості інваріантних множин достатньо виконання певних умов лише на щ-граничній множині розв'язків цt(ц), а не на всьому торі Tm.

Запропоновані теореми можуть бути використані при розв'язуванні задач фізики, техніки, біології, економіки, які зводяться до дослідження якісної поведінки розв'язків диференціальних рівнянь з імпульсними збуреннями.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Асроров Ф. А. Обмежені розв'язки лінійних неоднорідних систем з імпульсною дією / Ф. А. Асроров, П. В. Фекета // Науковий вісник Ужгородського університету. Сер.: математика і інформатика. "- 2010. "- . 20, 2. "- . 106-112.

[2] Перестюк М. О. Інваріантні многовиди одного класу систем диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням / М. О. Перестюк, П. В. Фекета // Нелінійні коливання. "- 2010. "- . 11, 3. "- . 240-252.

[3] Фекета П. В. Інваріантні многовиди одного класу розривних динамічних систем / П. В. Фекета // Вісник Київського університету. Сер.: Математика. Механіка. "- 2010. "- . 23. "- . 24-28.

[4] Фекета П. В. Стійкість інваріантного многовида нелінійної імпульсної системи диференціальних рівнянь, визначеної в прямому добутку тора і евклідового простору / П. В. Фекета, О. М. Перестюк // Вісник Київського університету. Сер.: фізико-математичні науки. "- 2010. "- 2. "- . 73-78.

[5] Перестюк М. О. Існування інваріантного тора одного класу систем диференціальних рівнянь / М. О. Перестюк, П. В. Фекета // Науковий вісник Ужгородського університету. Сер.: математика і інформатика. "- 2009. "- . 18."- . 106-112.

[6] Фекета П. В. Стійкість інваріантного многовида одного класу систем диференціальних рівнянь з імпульсним збуренням / П. В. Фекета // Тринадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 13-15 травня, 2010 р., м. Київ: Матеріали конф. Т. 1. "- К.: НТУУ, 2010. "-. 406.

[7] Фекета П. В. Про стійкість інваріантних многовидів розширень динамічних систем / П. В. Фекета // Міжнародна літня математична школа пам'яті В. А. Плотнікова, 9-14 серпня, 2010 р., м. Одеса: тези доповідей. "- Одеса: Одеський національний університет, 2010. "- . 94.

[8] Perestyuk M. On asymptotic stability of invariant manifold of a certain class of systems of differential equations with impulsive perturbations / M. Perestyuk, P. Feketa // Conference on Differential and Difference Equations and Applications, June 21-25, 2010, Rajecke Teplice, Slovak Republic: Abstracts. "- Zilina: University of Zilina, 2010. "- P. 32-33.

[9] Perestyuk M. On existence and stability of invariant manifolds / M. Perestyuk, P. Feketa // Mathematical Analysis, Differential Equations and thir Applications, 15-20 September, 2010, Sunny Beach, Bulgaria: Abstacts of the Ukrainian-Turkish-Bulgarian Conference. "- Sofia: Bulgarian Academy of Sciences, 2010. "- P. 37-38.

[10] Фекета П. В. Існування асимптотично стійкого інваріантного тора одного класу систем диференціальних рівнянь / П. В. Фекета // Конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача, 25-27, травня 2009 р., м. Львів: тези доповідей. "- Львів: Інститут прикладних проблем математики і механіки імені Я. С. Підстригача, 2009. "- . 231-232.

 АНОТАЦІЯ

Фекета П. В. Інтегральні множини диференціальних рівнянь та їх стійкість. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 "- диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2011.

Дисертація присвячена встановленню достатніх умов існування та асимптотичної стійкості інваріантних множин системи диференціальних рівнянь, визначеної в прямому добутку m-мірного тора Tm та n-мірного евклідового простору Rn, яка піддається імпульсним збуренням в момент потрапляння точки з задану підмножину фазового простору. Розглянуто загальні питання теорії існування інваріантних множин лінійних та слабко нелінійних розширень динамічних систем на торі з імпульсним збуренням. Виділено окремі класи задач, для яких умови існування інваріантних множин виконуються.

Введено поняття грубої функції Гріна - Самойленка задачі про інваріантні тори імпульсних систем та обґрунтовано ітераційний метод побудови інваріантних множин нелінійної системи.

Досліджено як лінійні, так і нелінійні розширення динамічних систем на торі, елементи яких володіють певними властивостями лише на щ-граничній множині розв'язків цt(ц) та встановлено достатні умови існування асимптотично стійких інваріантних множин як для звичайних, так і для імпульсних систем.

Встановлено достатні умови існування інтегральних множин лінійного розширення неавтономної системи на торі з імпульсними збуреннями у фіксовані моменти часу.

Ключові слова: імпульсне диференціальне рівняння, інваріантна множина, асимптотична стійкість, розширення динамічної системи на торі, функція Гріна - Самойленка.

АННОТАЦИЯ

Фекета П. В. Интегральные множества дифференциальных уравнений и их устойчивость. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата фізико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. "- Киевский национальный университет имени ТарасаШевченко, Киев, 2011.

Диссертация посвящена установлению достаточных условий существования и асимптотической устойчивости инвариантных множеств системы дифференциальных уравнений, определенной в прямом произведении m-мерного тора Tm и n-мерного евклидового пространства Rn, которая подвергается импульсным воздействиям в момент попадания изображающей точки в заданное подмножество фазового пространства. Рассмотрены общие вопросы теории существования инвариантных множеств линейных и слабо нелинейных расширений динамических систем на торе с импульсным воздействием. Выделены отдельные классы задач, для которых условия существования инвариантных множеств выполняются.

Введено понятие грубой функии Грина - Самойленко задачи про инвариантные торы импульсных систем и обосновано итерационный метод построения инвариантных множеств нелинейной системы.

Исследованы как линейные, так и нелинейные расширения динамических систем на торе, элементы которых владеют некоторыми свойствами лишь на щ-граничном множестве решений цt(ц) и установлены достаточные условия существования асимптотически устойчивых инвариантных множеств как для обычных, так и для импульсных систем.

Установлены достаточные условия существования интегральных множеств линейного расширения неавтономной системы на торе с импульсным воздействием в фиксированые моменты времени.

Ключевые слова: импульсное дифференциальное уравнение, инвариантное множество, ассимптотическая устойчивость, расширение динамической системы на торе, функция Грина - Самойленко.

ABSTRACT

рівняння диференціальний множина інваріантний

Feketa P. V. Integral sets of differential equations and their stability. - Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in the speciality 01.01.02 - Differential Equations. - Kyiv Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2011.

This thesis is concerned with establishment of the sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of invariant sets of system of differential equations defined in direct product of m-measurable torus Tm and n-measurable Euclidean space Rn that undergoes impulsive perturbations when the point intersects the predefined subset in the phase space. We considered general problems of the theory of existence and stability of invariant sets of linear and weakly nonlinear extensions of dynamical systems on torus that undergo impulsive perturbations. Some particular classes of systems that satisfy conditions for the existence of invariant sets have been distinguished. There were estimated the gap between the moments of impulsive action for one class of systems that has practical value.

The concept of rough Green - Samoilenko function of the invariant toruses problem has been introduced to justify the iterative method of the invariant sets constructing for nonlinear system of differential equations that undergoes impulsive perturbations.

Both linear and nonlinear extensions of dynamical systems defined on the torus, which elements have specific properties only in the щ-limit set of the trajectories цt(ц) have been considered. The sufficient conditions for the asymptotic stability of invariant sets of such system with and without impulsive perturbations were obtained. Moreover, we have shown that it is sufficient to demand some conditions only in the щ-limit set of the trajectories цt(ц), but not on the whole surface of the torus to guarantee the asymptotic stability of the invariant set. In particular, we have considered the system, which matrix coefficients are constant in the щ-limit set of the trajectories цt(ц). Sufficient conditions for the existence and asymptotic stability were obtained in terms of the eigenvalues of these constant matrices.

There were also obtained the sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of integral sets of linear extension of nonautonomous system defined in m-measurable torus Tm that undergoes impulsive perturbations at fixed moments of time. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution of such systems in particular case were established. In addition, a certain case of such system with constant coefficients was considered and sufficient conditions for the existence and asymptotic stability of the integral sets in terms of the eigenvalues of constant matrices were obtained.

Keywords: impulsive differential equation, invariant set, asymptotic stability, extension of dynamical system on torus, Green - Samoilenko function.

Размещено на Allbest.ru