Гауссова кривина i многовиди Фреше

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гауссова кривина i многовиди Фреше

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертація присвячена двом головним темам. Перша тема - це узагальнення теореми Сарда на випадок многовидів Фреше. Як відомо, теорема Сарда стверджує, що для гладкого (класу відображення між скінченновимірними многовидами міра образу критичної множини дорівнює нулеві. Разом з тим для нескінченновимірних просторів теорема Сарда може не виконуватись. Купка побудував приклад гладкого відображення між гільбертовими многовидами, для якого теорема Сарда не виконується.

На початку 60-х років Смейл прийшов до висновку, що багато ідей з диференціальної топології може бути використано для вивчення диференціальних рівнянь з частинними похідними. Зокрема, він показав, як узагальнити теорему Сарда для банахових многовидів.

Теорема Смейла. Нехай f:M>N - це -відображення Фредгольма (класу ⁾ між Банаховими многовидами М і N з q > піах (index f, 0). Тоді множина критичних значень f належить першій категорії в N.

Необхідні умови фредгольмовості для f випливає з прикладу Купки. Теорема Смейла узагальнювалась в багатьох роботах, але ці узагальнення не виходили з класу банахових многовидів. Питання про справедливість теореми Смейла для многовидів Фреше залишалося відкритим. Справа в тому, що у банаховому просторі є лише одна норма, а простір Фреше має зліченну кількість норм і це призводить до серйозних ускладнень. Наприклад, для банахових просторів виконується теорема про неявну функцію, а для просторів Фреше вона не є справедлива. Аналогом теореми про неявну функцію для просторів Фреше є дуже відома теорема Неша-Мозера, яка широко використовується в сучасній диференціальній геометрії.

В дисертації підхід Смейла, пов'язаний з теоремою Сарда, узагальнюється на деякий клас гладких відображень між многовидами Фреше.

Друга тема, якій присвячена дисертація - це гауссова кривина поверхонь. А саме: вивчається проблема Каждана-Уорнера та поведінка гауссової кривини графіків гармонічних функцій.

Так, проблема Каждана-Уорнера полягає в наступному: чи можна для фіксованої гладкої функції K(х) на поверхні M² побудувати ріманову метрику на M², для якої гауссова кривина співпадає з K(х)? Ця проблема була повністю розвзязана для компактних поверхонь без краю. Випадок поверхонь з краєм залишався відкритим. Слід зауважити, що теореми для замкнутих поверхонь і поверхонь з краєм, як правило, відрізняються. Прикладом може бути теорема Гаусса-Бонне про значення інтегралу від гауссової кривини повехні.У дисертації розв'язується проблема Каждана-Уорнера для гладкої поверхні з краєм.В математичній літературі небагато робіт, присвячених топологічним властивостям функції гауссової кривини гладкої поверхні без краю. Це пов'язано, в першу чергу, з тією обставиною, що топологічні властивості функцій на гладких поверхнях почали досліджувати не так давно. У дисертації вивчаються деякі топологічні властивості функції гауссової кривини поверхонь, які є графіками гармонічних функцій на площині.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі топології Інституту математики НАН України згідно із загальним планом досліджень в рамках науково-дослідної теми №1-9-06 «Топологія многовидів та їх відображень». Номер державної реєстрації 0106U000658.

Мета i завдання дослідження. Метою роботи є встановлення аналогу теореми Сарда для многовидів Фреше та дослідження поведінки функції гауссової кривини для гладких поверхонь.

Об'єктом дослідження є оператори Ліпшиця-Фредгольма; MC^k-відображення; двовимірні поверхні з краєм; гауссова кривина; поверні графіків гармонічних функцій.

Предметом дослідження:

- властивості MC^k-відображень Ліпшиця-Фредгольма;

властивості МС^к-відображень між просторами Фреше;

існування ріманової поверхні з краєм із заданою функцією гауссової кривини;

топологічні характеристики функції гауссової кривини поверхні графіка гармонічної функції.

Основні задачі дослідження:

встановлення умов, за яких простір операторів Ліпшиця-Фредгольма буде відкритим в просторі глобальних Ліпшицевих відображень;

доведення теореми Сарда для МС^к-відображень між просторами Фреше;

реалізація функції гауссової кривини для ріманової поверхні з краєм;

вивчення простору гармонічних поліномів із заданою функцією гаусової кривини їх графіка.

Методи дослгдження. У дисертаційній роботі для розв'язання сформульованих задач використовуються методи теорії нескінченно-вимірних многовидів, диференціальної геометрії і топології та комплексного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи, що виносяться на захист, є новими і полягають у такому:

доведено, що множина ізоморфізмів між двома просторами Фреше, на одному з яких задана стандартна метрика, є відкритою в просторі глобальних Ліпшицевих відображень між цими просторами;

введено поняття операторів Фредгольма-Ліпшиця для просторів Фреше та показано, що простір усіх таких операторів є відкритим в просторі глобальних Ліпшицевих відображень. Крім того, доведено, що функція індексу є неперервною;

з'ясовано будову прообразів для МС^к-відображень;

доведено, що відображення Ліпшиця-Фредгольма між просторами Фреше зі стандартною метрикою є локально замкненим;

введено поняття МС^к-відображення Фредгольма-Ліпшиця для обмежених многовидів Фреше і доведено теорему Сарда для таких відображень. Тобто показано, що множина регулярних значень МС^к-відображення Фредгольма-Ліпшиця є залишковою в образі;

показано, що будь-яка гладка функція на компактному, зв'язному, орієнтованому 2-вимірному многовиді з гладкою межею може бути представлена як гауссова кривина ріманової метрики;

побудовано приклад топологічно нееквівалентних спряжених гармонічних функцій, графіки яких мають однакову гауссову кривину;

доведено, що фундаментальна група простору гармонічних многочленів степеня п (п > 2), що мають однакову гауссову кривину, не є тривіальною.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони, а також методика їх отримання, можуть бути використані при подальшому вивченні властивостей просторів Фреше та в геометричному аналізі.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження і постановка задач належать науковому керівнику - члену-кореспонденту НАН України, доктору фізико-математичних наук, професору В.В. Шарко. Усі результати, які містяться в работі, отримано автором самостійно. Усі роботи автора по темі дисертації опубліковано без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

семінарах відділу топології Інституту математики НАН України; керівник семінару - член-кореспондент НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор, зав. відділом топології В.В. Шарко;

семінарах кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка; керівник семінару - доктор фіз.-мат. наук, професор, зав. кафедри геометрії В.В. Кириченко;

семінарі кафедри геометрії Одеського національного університету імені І.І. Мечнікова; керівник семінару - доктор фіз.-мат. наук, професор, зав. кафедри геометрії С.Г. Лейко;

Українському математичному конгресі - 2009 (до 100-річчя від дня народження М.М. Боголюбова), (Київ, серпень 2009);

VII Міжнародній конференції «Геометрія в Одесі - 2010» (Одеса, травень 2010);

- Міжнародній конференції «Mathematics and life sciences: possibilities, interlacements and limits» (Київ, серпень 2010).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в трьох статтях [1 - 3] у наукових фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України, а також у тезах доповідей двох міжнародних наукових конференцій [4, 5].

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що налічує 75 найменування (на 8 сторінках). Повний обсяг роботи складає 116 сторінок друкованого тексту. Для її оформлення використано видавничу LATEX.

Основний зміст дисертації

оператор гауссовий кривина многовид

У вступі висвітлюється загальна картина досліджень, споріднених з проведеними в дисертацій, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та завдання дослідження, коротко викладено зміст основної частини роботи та окреслена наукова новизна одержаних результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи доведено теорему Сарда в сенсі многовидів Фреше для MC^k-відображень.

Перший підрозділ присвячений дослідженню основних засад теорії просторів Фреше, наводиться власна термінологія.

У другому підрозділі визначаються MC^к-відображення і доводиться, що множина ізоморфізмів між двома просторами Фреше, на одному з яких задана стандартна метрика, є відкритою в просторі глобальних Ліпшицевих відображень між цими просторами.

Наведемо деякі необхідні відомості.

Нехай (X, d) - метричний простір. Позначимо через відкриту кулю з центром в x і радіусом r, де - її замикання. Якщо X - метризований топологічний векторний простір, то покладемо для . Враховуючи те, що є лінійне відображення між векторними просторами, будемо писати L.x замість L(x).

Означення 1.10. Нехай (E, d) та (F, g) - два простори Фреше, . Визначимо множину всіх лінійних Неперервних r-Ліпшицевих відображень, тобто відображень таких, що



Твердження 1.4. Нехай (E, d) і (F, g) - простори Фреше і g - стандартна метрика. Множина ізоморфізмів з E на F (Iso (E, F)) є відкрита в відносно топології індукованої метрики (2).

У третьому підрозділі увага зосереджена на питанні існування розв'язків звичайної системи диференціальних рівнянь для MC^к-відображень, використовуються факти з літератури.

У четвертому підрозділі дано визначення для обмеженого многовида Фреше, введено поняття обмеженого векторного розшарування, обмеженого дотичного розшарування і -відображення між обмеженими многовидами Фреше.

Обмежений многовид Фреше є многовидом Фреше, спроектованим на простори Фреше з метриками Фреше. Ці метрики називають стандартними (див. (1)), а транзитивні функції - Ліпшицевими в цілому і -відображеннями. У цьому випадку многовид назвемо обмеженим многовидом Фреше.

Узгодженою метрикою на многовиді Фреше M називають метрику d на M таку, що існує підатлас Фреше на M такий, що кожна карта,, дорівнює метриці Фреше .

Припустимо, що М - обмежений многовид Фреше. Цілком природно можна визначити обмежене векторне розшарування Фреше над М - це векторне розшарування Фреше, у якого весь простір є обмеженим многовидом Фреше. Дотичне розшарування ТМ є дотичним векторним розшаруванням Фреше над М, у якого координати транзитивної функцій є тільки дотичними ТР до координат транзитивних функцій Р для М.

Відображення є МС^к-відображенням обмежених многовидів Фреше, для кожної точки та її образу існують локальні карти та такі, що , а відображення є МС^к-відображенням просторів Фреше. Таке відображення називається , якщо воно є МС^к-відображенням для всіх к > 0. Для МС^к-відображення обмежених многовидів Фреше індуковане дотичним відображенням їх дотичного розшарування, яке містить шар над в шарі над і є лінійним для кожного шару. Локальне представлення дотичного відображення ТР є дотичним локальним представленням для Р.

Похідна Р відносно f є лінійним відображенням

індукована ТР на дотичному просторі.

У роботі було доведено, що многовид Фреше, який зберігає узгоджену метрику є обмеженим. Таким чином, вимагатимемо від многовидів збереження узгодженої метрики, оскільки будемо розглядати лише обмежені многовиди.

У п'ятому підрозділі ми вводимо основні поняття, пов'язані з відображеннями Ліпшиця-Фредгольма між обмеженими многовидами Фреше.

Означення 1.17. Нехай та - простори Фреше і g - стандартна метрика. Відображення називається оператором Ліпшиця-Фредгольма, якщо задовольняє такі умови:

образ є замкненим;

'розмірність ядра є скінченною;

корозмірність образу є скінченною.

Позначимо через множину всіх операторів Ліпшиця-Фредгольма з Е в F. Для визначимо індекс оператора

Ind = dim ker - codim Img .

У наступній теоремі ми доводимо, що множина усіх операторів Ліпшиця-Фредгольма є відкритою у просторі глобальних Ліпшицьових відображень, в топології, заданої деякою метрикою; а також доводимо, що функція, яка задає кожному операторові свій індекс є неперервною.

Теорема 1.23. Множина LF (E, F) є відкритою в L_dg(E, F) відносно топології, яка визначається метрикою (2). Більше того, функція

є неперервною на LF (E, F), тобто є сталою на зв'язних компонентах LF (E, F).

Означення 1.18. Нехай M та N - обмежені многовиди Фреше з узгодженими метриками d_M та d_N, спроектовані на простори Фреше E та F зі стандартними метриками. Відображення Ліпшиця-Фредгольма є MC¹ - відображенням

таким, що для кожного похідна

є оператором Ліпшиця-Фредгольма. Індекс відображення f визначається як індекс D P(x), для деякого , і позначатимемо Ind f. Оскільки f є MC¹ - відображенням і M-зв'язний, то за Теоремою 1.23 дане означення не залежить від вибору x.

Шостий підрозділ присвячено доведенню теорема Сарда для MC^k-відображень. Розгдянемо деякі допоміжні результати.

Нехай M та N - замкнені многовиди Фреше з узгодженими метриками та , спроектовані на простори Фреше E та F зі стандартними метриками. Нехай - деяке MC¹-відображення.

Точку називають регулярною точкою f, якщо

сюр'єктивне, у іншому випадку точку x називають критичною. Образ критичної точки відображення f називають критичним значенням, а його доповнення - регулярними значеннями.

Відмітимо, що не лежить в образі f, то y є регулярним значенням.

Позначимо множину критичних точок відображення f - через , а множину регулярних значень через R(f) (або ). Для визначимо

Крім того, якщо множина є відкритою, то .

Теорема 1.24. Нехай - MC^k-відображення . Нехай та D f(u_o) має замкнений образ F₁ із замкненим топологічним доповненням F₂ і ядром E₂ із замкненим топологічним доповненням E₁. Тоді існує дві відкриті множини

і MC^k-дифеоморфізм такий, що

для всіх , де є MC^k - відображенням.

Відображення f між топологічними просторами називають локально замкненим, якщо для будь-якої точки x з області визначення f існує відкритий окіл U такий, що - замкнене відображення.

Лема 1.1. Нехай - відображення Фредгольма-Ліпшиця між просторами Фреше зі стандартною метрикою. Тоді f є локально замкненим.

Основним результатом цього розділу є наступна теорема.

Теорема 1.25 [Теорема Сарда]. Нехай M та N - обмежені многовиди Фреше з узгодженими метриками d_M та d_N, спроектовані на простори Фреше E та F зі стандартними метриками. Нехай - MC^k - відображення Ліпшиця-Фредгольма з к > max {Ind f, 0}. Тоді множина регулярних значень f є множиною другої категорії в N.

Другий розділ дисертації присвячений вивченню властивостей гауссової кривини для 2-вимірного многовиду з краєм.

У першому підрозділі цього розділу даємо необхідні відомості щодо многовидів з краєм, вводимо термінологію, яку використовуємо далі. Далі розглядаємо n-многовид з границею другого розрахункового хаусдорфового простору M, який є локально гомеоморфним замкненій частині простору , де

.

Множину називають границею Hⁿ в Rⁿ. А доповнення в Hⁿ (тобто Hⁿ \ ) називають внутрішністю Hⁿ і позначають через Int Hⁿ.

Відкрита підмножина разом з гомеоморфізмом називається узагальненою діаграмою M. Завдяки тому, що ми можемо знайти гладкі функції на незамкненій підмножині, поняття гладкої структури; гладкі відображення; орієнтація; диференційована форма і ріманова метрика визначаються так само, як і у випадку многовидів без краю.

Нехай M та N - многовиди з краєм, - гладке відображення. Визначимо образ f в відображенням

яке визначається з

Якщо - деяке гладке відображення, то функція

називається оберненим образом відображення g.

Для вивчення диференціальних форм на границі M ми розглянули питання про включення

та його образ

Границя многовиду відповідає метриці j*g, яка є канонічно індукованою з метрики g на M. Обмеження називається граничним значенням . Це обмеження не може бути ототожненим з елементом в . Це швидше кососиметричне відображення

У другому підрозділі ми вивчаємо об'єкти, пов'язані з многовидами з краєм. Дослідженню цієї проблематики присвячена робота Мілнора. Нагадаємо деякі результати, які були ним отримані.

Нехай М - компакт та дМ - незв'язне об'єднання відкритого та замкненого підмноговидів та , де є тріада гладких многовидів.

Означення 2.1. Нехай (М, М₀, М₁) і (М, М₁, М₂) - дві тріади гладких многовидів і - дифеоморфізм. Тоді

де многовид W = M + N - гладка сума M та N, i задається та .

Зауважимо, що Мілнор довів, що в даному випадку існує єдина гладка метрика на W.

Якщо і f₂ - гладкі відображення або дифеоморфізми, визначені відповідно на M і N і узгоджені на та , то можна отримати гладке відображення (чи дифеоморфізм) на , див.

Нехай M - зв'язний, орієнтований 2-вимірний многовид з гладкою границею. Заклеїмо кожну компоненту зв'язності 2-диском і позначимо отриману орієнтовну поверхню без краю через . Нехай будь-яка 2-форма на M, тоді існує гладке розширення на Відмітимо, що має місце обмеження на ; граничне значення задає обернений образ де j є канонічним вкладенням границі в M.

Для 2-форм на зв'язному, орієнтованому 2-вимірному многовиді з гладкою границею було отримані такі результати.

Твердження 2.2. Нехай - задана 2-форма на M. Тоді для будь-якого довільного ненульового дійсного числа існує розширення 2-форми на M таке, що

Наслідок 2.2. Для будь-якої 2-форми ш на М існує розширення таке, що

У наступних теоремах сформульовані результати, що стосуються реалізації форми кривини.

Теорема 2.6. Нехай М - компактний, зв'язний, орієнтований двовимірний многовид з гладкою границею. Тоді будь-яка 2-форма на М є формою кривини деякої ріманової метрики g на М.

Зауваження 2.1 На границі кривина 2-форми дорівнює нулю і, як зазначалося, значення границі заданої 2-форми обчислюється зворотньо .Проте метрика g на М, існування якої гарантується Теоремою 2.6, як його 2-кривину форма канонічно індукує метрику (звичайна функція відстані) на границі. Індукована метрика визначає геодезичну форму у явному вигляді. Геодезична форма є будь-якою 1-формою Ф на границі, яка задовольняє:

Нехай М та - компактні, зв'язні, орієнтовані, 2-вимірні многовиди з гладкою границею - гладка функція. У граничній точці функція f є гладкою, якщо існує карта точки р така, що гладкою в . Тобто це означає, щомає гладке розширення околу в . А функція f може бути продовжена в такий спосіб, щоб вона могла бути гладкою на .

Лема 2.1. Нехай f - гладка функція, визначена на М. Тоді існує продовження на таке, що для нього виконується умова знаку на .

умовою знаку ми назвемо наступне:

Теорема 2.8. Нехай М - компактний, зв'язний, орієнтований 2-вимірний многовид з гладкою границею. Тоді будь-яка гладка функція f є гаусовою кривиною в деякій рімановій метриці на М.

Зауваження 2.3. У функції f на границі не може бути визначена гауссова кривина, оскільки вимірність границі дорівнює 1. Проте, отримана метрика g індукує метрику (звичайна функція відстані) на границі. Індукована метрика визначає геодезичну криву явно на границі. Геодезична кривина границі є будь-якою гладкою функцією k на границі, яка задовольняє співвідношення

Третій розділ присвячений вивченню гауссової кривини обмежених

поверхонь в , які є графіками гармонічних функцій, тобто гармонічних поверхонь.

Лема 3.3. Гауссова кривина графіка гармонічної функції визначається на і обнуляється лише в ізольованих точках, які є виродженими критичними точками .

У третьому підрозділі ми побудовали гармонічні функції

які є нееквівалентними спряженими, але графіки яких мають однакову гауссову кривину.

У цьому розділі ми також досліджуємо гауссову кривину гармонічних поверхонь, що породжена гармонічними поліномами.

Позначимо через гаусову кривину графіка комплексного полінома Р:

Теорема 3.1. Нехай P(z) та Q(z) - комплексні поліноми, тоді тоді і тільки тоді, коли , де ,

З Теореми 3.1 та Леми 3.3. ми отримали такий результат.

Твердження 3.2. Фундаментальна група простору гармонічних поліномів степеня п (п > 2), графіки яких мають однакову гауссову кривину є нетривіальною.

Висновки

У дисертаційній роботі одержано такі основні результати:

Доведено, що множина ізоморфізмів між двома просторами Фреше, на одному з яких задана стандартна метрика, є відкритою в просторі глобальних Ліпшицьових відображень між цими просторами, в топології, заданій деякою метрикою.

Введено поняття операторів Фредгольма-Ліпшиця для просторів Фреше та показано, що простір усіх таких операторів є відкритим в просторі глобальних Ліпшицьових відображень, в топології, заданій деякою метрикою. Крім того, доведено, що функція, яка задає кожному операторові свій індекс є неперервною.

Введено поняття -відображення Фредгольма-Ліпшиця для обмежених многовидів Фреше і доведено теорему Сарда для таких відображень. Тобто показано, що множина регулярних значень -відображення Фредгольма-Ліпшиця з є залишковою в прообразі.

Показано, що будь-яка 2-форма на компактному, зв'язному, орієнтованому 2-многовиді з гладкою границею може бути реалізована як форма кривини деякої ріманової метрики. Крім того, індукована метрика на межі явно визначає геодезичну форму на межі.

Показано, що будь-яка гладка функція на компактному, зв'язному, орієнтованому 2-многовиді з гладкою границею може бути реалізована як гауссова кривина ріманової метрики.

Доведено, що фундаментальна група простору гармонічних поліномів степеня п (п > 2), графіки яких мають однакову гауссову кривину, не є тривіальною.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Eftekharinasab K. Curvature forms and curvature functions for 2-manifolds with boundary / K. Eftekharinasab // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2009. - Т.6, №2. - С. 484-488.

Eftekharinasab K. Sard's Theorem for mappings between frechet manifolds / K. Eftekharinasab // Укр. мат. журн. - 2010. - V. 62, №12. - P. 1634-1641.

Эфтехаринасаб К. О гауссовой кривизне гармонических функций / К. Эфтехаринасаб // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2010. - Т.7, №2. - С. 146-152.

Eftekharinasab K. Curvature forms and curvature functions for 2-manifolds with boundary / K. Eftekharinasab // Український математичний конгрес - 2009, Київ, 27-29 серпня 2009. - Київ, 2009.

5. Eftekharinasab K. Sard's Theorem for mappings between Frechet manifolds / K. Eftekharinasab // Гєомєтрія в Одєсі - 2010: VII Міжнародна конференція, Одеса, 24-29 травня 2010. - Одеса, 2010. - С. 78.

Размещено на Allbest.ru