Малі коливання зчленованих гіростатів

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ В.І. ВЕРНАДСЬКОГО

МАЛІ КОЛИВАННЯ ЗЧЛЕНОВАНИХ ГІРОСТАТІВ

01.01.02 - Диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

БАТИР ЕЛЬДАР ІБРАІМОВИЧ

Сімферополь - 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу в Таврійському національному університеті імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, м. Сімферополь.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, Заслужений діяч науки і техніки Україні, Копачевський Микола Дмитрович, Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського, м. Сімферополь, завідувач кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Барняк Михайло Якимович, Інститут математики НАН України, м. Київ, провідний співробітник відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем;

доктор фізико-математичних наук, професор Кононов Юрій Микитович, Донецький національний університет, м. Донецьк, професор кафедри прикладної механіки і комп'ютерних технологій.

Захист відбудеться « 21 » листопада 2011 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 52.051.10 при Таврійському національному університеті імені В.І. Вернадського за адресою: індекс 95007, м. Сімферополь, проспект академіка Вернадського, 4.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського за адресою: індекс 95007, м. Сімферополь, проспект академіка Вернадського, 4.

Автореферат розісланий « 18 » жовтня 2011 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради К.В. Божонок/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження задач динаміки тіл із порожнинами, повністю або частково заповненими рідиною, привертає увагу як вітчизняних, так і зарубіжних учених. Ця увага обумовлена не тільки практичними потребами, а й теоретичним змістом проблем, що виникають у цьому напрямі. Звичайно, для детального опису широкого кола фізичних явищ, які пов'язані з динамікою тіл з порожнинами, повністю або частково заповненими рідиною, треба виходити з досить повних математичних моделей, які, як правило, виявляються певною мірою складними, нелінійними і багатопараметричними. Проте, у низці випадків якісне первинне уявлення про коло явищ, що вивчається, можна отримати і на основі простих лінійних моделей, що піддаються аналітичному дослідженню. У цьому випадку дуже характерні і задачі про малі коливання зчленованих гіростатів. Навіть у рамках лінійних моделей їх математичні постановки своєрідні та призводять до нестандартних початково-крайових задач. Це визначає поряд із нетривіальними фізичними наслідками і самостійний математичний інтерес до цих проблем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася у рамках держбюджетних тем та планованих досліджень кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського «Математичний аналіз і його застосування» (1997-2000 рр., 2006-2010 рр.), «Операторні методи в лінійній гідродинаміці та суміжні питання теорії оператор-функцій» (1996-2000 рр., номер державної реєстрації 0198U005792), «Операторні методи в початково-крайових, спектральних і екстремальних задачах» (2008-2010 рр., номер державної реєстрації 0106U001753). Тема кандидатської дисертації затверджена на засіданні Вченої ради Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського (протокол №3 від 25.03.1998 р.)

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є вивчення нового класу задач гідромеханіки і диференціальних рівнянь у частинних похідних, зокрема, дослідження питань розв'язності відповідних початково-крайових і абстрактних задач, вивчення властивостей спектру, питань повноти і базисності системи кореневих (власних і приєднаних) елементів. Безпосереднім завданням даної роботи є дослідження початково-крайової і відповідної спектральної проблеми про малі рухи зчленованих тіл із порожнинами, які повністю заповнені ідеальною або в'язкою рідиною.

Об'єкт дослідження. Рівняння, що описують малі рухи гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів.

Предмет дослідження. Малі коливання системи зчленованих гіростатів, які заповнені ідеальною або в'язкою рідиною.

Методи дослідження. У даній роботі при дослідженні малих коливань зчленованих гіростатів систематично застосовуються методи функціонального аналізу і теорії операторів у гільбертових просторах. Зокрема, методи теорії диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі і теорії рівнянь у частинних похідних, методи теорії стискаючих півгруп операторів, методи спектральної теорії операторних пучків (оператор-функцій, залежних від спектрального параметра), теорії лінійних операторів, самоспряжених у просторі з індефінітною метрикою.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Розроблено підхід, який оснований на використанні теорії операторних матриць, що діють у гільбертовому просторі, і який дозволяє перейти від вихідної початково- крайової задачі для гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів до рівносильної задачі Коші для диференціально-операторного рівняння в певному гільбертовому просторі.

2. Уперше вивчені початково-крайова і спектральна задачі про малі рухи зчленованих тіл із порожнинами, які повністю заповнені ідеальною рідиною. Отримано умови, за якими існують розв'язки на довільному відрізку часу відповідних початково-крайових задач. Описані властивості нормальних коливань. Відома теорема М.Є. Жуковського про рух твердого тіла з ідеальною рідиною перенесена на випадок руху системи зчленованих гіростатів.

3. Уперше вивчено задачу про малі коливання зчленованих гіростатів з порожнинами, які повністю заповнені в'язкою рідиною. Отримано умови, за якими існують сильні за часом розв'язки відповідних початково-крайових задач. Отримано твердження про структуру спектру, встановлено асимптотичну формулу для гілки власних значень. Отримано твердження про повноту і базисність системи кореневих елементів у просторі Понтрягіна для випадку системи з трьох гіростатів; аналогічні результати справедливі для системи з маятників (гіростатів) і простору Понтрягіна П2n.

4. Уперше вивчено задачу про малі рухи і нормальні коливання частково дисипативної гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів. Доведено теорему про існування сильного розв'язку початково-крайової задачі. Встановлено асимптотичну поведінку для гілки власних значень. Отримано твердження про повноту і базисність системи кореневих елементів у просторі Понтрягіна П6 для випадку системи з трьох гіростатів; аналогічні результати встановлено для відповідної плоскої (двовимірної) проблеми в просторі П3.

Практичне значення отриманих результатів. Для систем із зчленованих гіростатів доведено теореми про існування та єдиність розв'язків початково-крайових задач, досліджено питання повноти та базисності системи кореневих (власних і приєднаних) елементів, вивчено характеристики частот коливань і декрементів загасання таких систем.

Особистий внесок здобувача є достатнім. Постановки і загальний план дослідження задач, розглянутих у дисертації, запропоновані науковим керівником здобувача Копачевським М.Д., доведення усіх тверджень належать здобувачу. У працях, написаних у співавторстві, здобувачеві належать практичні висновки щодо аналізованої проблеми.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації, доповідалися на наступних конференціях:

· XXVII-XXIX, XXXVII-XXXIX наукові конференції професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського (Сімферополь, Україна, квітень 1999-2001, 2009-2011 рр.);

· X-XII, XIX-XXI Кримські осінні математичні школи-симпозіуми: КРОМШ-1999, КРОМШ-2000, КРОМШ-2001, КРОМШ-2008, КРОМШ-2009, КРОМШ-2010 (Ласпі, Крим, Україна, вересень, 1999-2001, 2008-2010 рр.);

· Український математичний конгрес-2001 (Київ, Україна, 22-26 вересня 2001 р.)

· II Міжнародна конференція студентів і молодих учених із диференціальних рівнянь та їх застосувань імені Я.Б. Лопатинського (Донецьк, Україна, 11-14 листопада 2008 р.);

· Міжнародна конференція «Сучасні проблеми математики і додатків», присвячена 70-річчю акад. В.А. Садовничому (Москва, Росія, 30 березня-2 квітня 2009 р.);

Результати також доповідалися на семінарах кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського (під керівництвом проф. М.Д. Копачевського, м.Сімферополь, Україна, 1999-2001 рр., 2008-2011 рр.); на семінарі кафедри прикладної математики та інформатики Південноукраїнського національного університету імені К.Д. Ушинського (під керівництвом проф. В.М. Пивоварчика м. Одеса, Україна, березень 2010 р.); об'єднаному семінарі відділів нелінійного аналізу, рівнянь з частинними похідними та рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (під керівництвом проф. О.А. Ковалевського, проф. В.П. Бурського, проф. А.Є. Шишкова, проф. А.Ф. Тедеєва, Донецьк, квітень, 2010 р.); семінарі відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України (під керівництвом акад. І.О. Луковського, Київ, квітень, 2010 р.).

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та двох додатків. Повний обсяг роботи - 180 сторінок, у тому числі основного тексту 151 сторінка. Список використаної літератури налічує 106 позицій.

Публікації. Результати дисертації відображено в 10 наукових публікаціях, 6 з яких належать до переліку фахових наукових видань, 1 публікація в журналі «Известия вузов» (Північно-Кавказький регіон, Росія) 3 публікації у збірниках тез конференцій.

гіростат твердий тіло шарнір

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі сформульовано основні задачі дослідження; розкрито актуальність проблеми, мету і суть дослідження; проведено огляд отриманих результатів; виділено положення, що виносяться на захист.

У розділі 1 наводиться коротка історична довідка стосовно кола питань, що мають відношення до теми роботи. Наведено огляд літератури з теми дисертації і сформульовано основні результати, досягнуті в цьому напрямі.

Размещено на http://www.allbest.ru/

У розділі 2 вивчаються початково-крайова і спектральна задачі про малі рухи зчленованих тіл з порожнинами, які повністю заповнені ідеальною рідиною. Отримано умови, за яких існують розв'язки на довільному відрізку часу відповідних початково-крайових задач. Описано властивості нормальних коливань. Відома теорема М.Є. Жуковського про рух твердого тіла з ідеальною рідиною перенесена на випадок руху системи зчленованих гіростатів. Розділ складається з трьох підрозділів.

У підрозділі 2.1 дається математична постановка просторової (тривимірної) задачі про малі рухи і нормальні коливання системи послідовно з'єднаних між собою гіростатів. Перше тіло закріплено в нерухомій точці за допомогою сферичного (тривимірного) шарніра, а решта тіл за допомогою таких же шарнірів послідовно з'єднані з попереднім і наступним тілом. Кожне тіло має порожнину, яка повністю заповнена однорідною ідеальною нестисливою рідиною. Передбачається, що в шарнірі сила тертя пропорційна різниці кутових швидкостей примикаючих гіростатів і , причому коефіцієнт пропорційності , .

Наведена система рівнянь, що описує малі рухи такої гідромеханічної системи.

У цьому завданні шуканими є соленоідальні векторні поля швидкостей , поля тисків , кутові швидкості і кутові переміщення гіростатів , .

У підрозділі 2.2 шляхом проектування рівнянь руху отриманої початково-крайової задачі на виділені ортогональні підпростори здійснено перехід до диференціально-операторного рівняння другого порядку в скінченновимірному просторі :

(1)

де - шукана функція змінної зі значеннями в просторі з нормою .

Тут , і - це операторні матриці розміру . Квадратична форма операторної матриці дає подвоєну кінетичну енергію системи; квадратична форма операторної матриці - подвоєну потенційну енергію системи відхилених від положення рівноваги зчленованих гіростатів, відлічувану від стану спокою; операторна матриця пов'язана з дисипацією енергії в шарнірах системи. Матриця допускає зображення у вигляді суми матриці, яка пов'язана із рухом власне твердих зчленованих тіл, і матриці (приєднаної матриці інерції), яка пов'язана із рухом ідеальної рідини в порожнинах цих тіл, причому кожна із цих матриць є додатно визначеним самоспряженим оператором (теорема 2.2.3). Матриця невід'ємна і має -мірне ядро. Матриця є додатно визначеним оператором. Доведено, що якщо поле зовнішніх додаткових масових сил потенційне, то система зчленованих гіростатів з порожнинами, які цілком заповнені ідеальними рідинами, рухається під дією зовнішніх сил так само, як рухається під дією цього зовнішнього поля сил система зчленованих твердих тіл зі зміненою матрицею інерції (теорема 2.2.4, узагальнена теорема Жуковського). При цьому, квадратична форма приєднаної матриці інерції виражається через так звані узагальнені потенціали Жуковського, які залежать від геометричних характеристик порожнин, що містять рідини, і від способу з'єднання гіростатів.

Рівняння (1) наводиться до диференціально-операторного рівняння першого порядку в просторі :

(2)

де оператор акретівен. Цей факт дозволяє встановити властивість однозначної розв'язаності задачі Коші (2) і довести теорему про розв'язність на довільному відрізку часу вихідної початково-крайової задачі для будь-якого числа зчленованих гіростатів (теорема 2.2.10).

Підрозділ 2.3 присвячений вивченню задачі про нормальні коливання (рішення, що залежать від згідно із законом ) гідромеханічної системи, що описана в підрозділі 2.1. Вважаючи, що на систему зчленованих гіростатів не діє додаткове поле зовнішніх сил, тобто (вільні рухи системи) і

, , , , (3)

приходимо до еквівалентних спектральних задач:

(4)

(5)

(6)

- на основі декількох виниклих еволюційних рівнянь.

У пункті 2.3.2 вивчаються найпростіші властивості спектру та системи кореневих елементів задач (4) і (5). Зокрема, задача про нормальні коливання гіростатів має власних значень (з урахуванням їх кратностей); спектр розташований у правій замкнутій півплощині ; власні значення розташовані симетрично відносно дійсної осі; система кореневих (власних і приєднаних) елементів цій задачі утворює базис у просторі .

У пункті 2.3.3 подальше дослідження проблеми нормальних коливань системи зчленованих гіростатів засновано на використанні теорії лінійних операторів, самоспряжених у просторі з індефінітною метрикою. Виявляється, що для системи із зчленованих гіростатів задача (6) є задачею на власні значення для -самоспряженого оператора в скінченновимірному просторі з індефінітною метрикою П2n=, яка визначається оператором

(7)

де і - одиничні оператори у відповідних просторах.

Доведено (теорема 2.3.2), що спектр задачі (4) (або (5)) про нормальні коливання системи зчленованих гіростатів може мати за наявності тертя в шарнірах і не більше недійсних (комплексно спряжених) власних значень. Решта власних значень дійсні (невід'ємні) і мають такі властивості: є -кратним власним значенням і йому не відповідають приєднані елементи, решта власних значень додатні і їм також не відповідають приєднані елементи. При досить великому терті в шарнірах всі власні значення задачі (4) дійсні (і невід'ємні), а власні елементи спектральної задачі (6) утворюють -ортогональний базис у просторі П2n, причому власні значення, що відповідають елементам цього базису, позитивні.

Таким чином, в підрозділі 2.3 встановлено, що властивості спектру задачі (4) про нормальні коливання системи із зчленованих гіростатів істотно залежать від величини тертя в шарнірах: а) якщо це тертя відсутнє, то всі власні значення розташовані на уявній осі, тобто нормальні коливання є незгасаючими; б) якщо це тертя помірне, то існує не більш недійсних власних значень, і їм відповідають згасаючі коливальні режими; інші власні значення дійсні, і їм відповідають аперіодично згасаючі нормальні рухи; в) якщо тертя в шарнірах досить велике, то власні значення задачі розташовані на невід'ємній півосі, причому власних значень дають аперіодично згасаючі режими нормальних коливань досліджуваної гідромеханічної системи.

Розділ 3 присвячений вивченню задачі про малі коливання зчленованих гіростатів із порожнинами, які повністю заповнені в'язкою рідиною. У цьому розділі розглядається задача про малі коливання системи з трьох зчленованих гіростатів, тобто .

У підрозділі 3.1. дана математична постановка задачі про малі коливання зчленованих гіростатів із порожнинами, які повністю заповнені в'язкою рідиною.

У підрозділі 3.2., із використанням методу проектування рівнянь руху рідини на виділені ортогональні підпростори, розглянута початково-крайова задача приведена до диференціально-операторного рівняння першого порядку в гільбертовому просторі :

(8)

,

а також до тривіальної проблеми

. (9)

Тут і - це операторні матриці. Операторна матриця є обмеженим і додатно визначеним оператором в просторі . Деякі елементи операторної матриці пов'язані з дисипацією енергії в гідросистемі: вони обумовлені дією в'язких сил у порожнинах і дією сил тертя в шарнірах. Операторна матриця є максимальним акретівним оператором, що діє в просторі . Ці властивості операторних коефіцієнтів у рівнянні (9) дозволяють довести теорему про існування і єдиність сильного розв'язку фінальної задачі Коші (9), а потім і теорему про існування сильного розв'язку вихідної початково-крайової задачі про малі коливання зчленованих гіростатів з порожнинами, які повністю заповнені в'язкою рідиною.

У підрозділі 3.3 розглянуто задачу про нормальні рухи досліджуваної гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів, тобто розглядаються такі рішення однорідної задачі (9), які залежать від часу згідно з законом .

У пункті 3.3.1 досліджувана спектральна проблема приводиться до задачі

(10)

на власні значення для компактного -самоспряженого оператора в просторі Л.С. Понтрягіна П6 з канонічним скалярним добутком .

У пункті 3.3.2 описано властивості рішень спектральної задачі. Зокрема, спектр вихідної задачі може бути лише дискретним із граничною точкою на нескінченності; спектр розташований у правій замкнутій півплощині; власні значення розташовані симетрично щодо дійсної осі. Власні значення вихідної спектральної задачі мають асимптотичну поведінку

. (11)

У пункті 3.3.3 загальний підсумок застосування індефінітного підходу до задачі про нормальні рухи для системи з трьох гіростатів підводить до наступного твердження про повноту і базисність системи кореневих елементів у просторі Понтрягіна П6 (теорема 3.3.7). Для рішень задачі (10) справедливі наступні твердження:

1. Простір П6 розбивається в -ортогональну суму двох підпросторів: П6=П+[+]П-, dim П-12, інваріантних для оператора , тобто П±П±.

2. У підпросторі П+ існує -ортонормований базис П+, складений з власних елементів задачі (10), що відповідають додатним власним значенням , тобто

,

.

3. Власним і приєднаним елементам із підпростору П- відповідають не більше 6 пар недійсних власних значень , , причому , .

4. Вся сукупність власних і приєднаних (кореневих) елементів задачі (10) утворює майже -ортонормований базис у просторі Понтрягіна П6 = .

5. Якщо в'язкість рідин у гіростатах і тертя в шарнірах досить велике, то задача (10) має лише (дискретний) додатний спектр і не має приєднаних елементів; власні елементи , що відповідають власним значенням цього спектру, утворюють -ортогональний базис у всьому просторі П6 = = П+, а підпростір П- в цьому випадку тривіальний: П-={0}.

На основі результатів, отриманих в п. 3.3.2 та 3.3.3, сформульовано фізичні висновки, які пов'язані з властивостями рішень задачі про нормальні коливання системи зчленованих гіростатів, що містять порожнини, які заповнені в'язкою рідиною:

1. Власному значенню відповідає новий стан рівноваги гідромеханічної системи, отриманий з вихідного стану шляхом повороту гіростата з номером на довільний кут .

2. Всі інші нормальні рухи гідромеханічної системи (їх зліченна множина) є згасаючими, оскільки будь-яке власне значення має і тому амплітуди власних елементів змінюються з часом згідно із законом . Таким чином, будь-який нормальний рух системи є асимптотично стійким.

3. Нормальних рухів, що осцилюють із часом, тобто залежних від часу згідно із законом , у досліджуваній задачі не більше скінченого їх числа, точніше, комплексно самоспряжених пар власних значень і відповідно осцилюючих нормальних режимів коливань не більше 6 для трьох зчленованих гіростатів.

4. Якщо в'язкість рідин у гіростатах і тертя в шарнірах досить велике, то задача про нормальні коливання має лише аперіодично згасаючі (не осцилюючі) нормальні рухи гідромеханічної системи. Відповідні декременти загасання , при , мають асимптотичну поведінку (11), тобто близьке до декрементів загасання системи з трьох нерухомих гіростатів з порожнинами, які повністю заповнені в'язкою рідиною.

У кінці розділу 3 зазначено, що аналогічні результати справедливі для системи з маятників і простору Понтрягіна П2n.

У розділі 4 розглянуто задачу про малі рухи і нормальні коливання частково дисипативної гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів. Вивчений проміжний варіант, коли в системі зчленованих гіростатів не всі порожнини заповнені в'язкою рідиною, але хоча б одна містить в'язку і хоча б одна ідеальну рідині; аналогічний варіант розглянуто і відносно до тертя в шарнірах: хоча б в одному з них тертя є і хоча б в одному тертя не враховується.

Оскільки кількість усіх можливих варіантів для частково дисипативної системи із зчленованих гіростатів рівна , то тут розглянуто лише два з них для і дано загальний рецепт, як досліджувати задачу в тому чи іншому варіанті. Крім того, в останньому підрозділі цього розділу наведено майже без доказів результати дослідження плоскої (двовимірної) проблеми для системи гіростатів, зчленованих за допомогою циліндричних шарнірів.

У підрозділі 4.1 досліджено першу проблему, коли перше і третє тіло містять порожнини, які заповнені в'язкою рідиною, друге - ідеальною рідиною, а тертя не у всіх шарнірах присутнє, тобто , причому для деяких буде .

Пункт 4.1.1 присвячений математичній постановці початково-крайової задачі розглянутої гідромеханічної системи.

У пункті 4.1.2 шляхом проектування рівнянь руху на виділені ортогональні підпростори здійснено перехід до задачі Коші для диференціального рівняння в певному гільбертовому просторі:

(12)

(з новим сенсом операторів в порівнянні із завданням (8)),

а також до тривіальної проблеми

. (13)

У пункті 4.1.3 досліджується отримана задача (12)-(13). Задача (12)-(13) має в точності той самий вид (8)-(9), до якого в главі 3 була приведена досліджувана проблема у разі, коли у всіх порожнинах були в'язкі рідини. Тут, проте, відмінність від (8)-(9) полягає в тому, що гільбертовий простір, у якому досліджується задача (12)-(13), є простором з відповідною нормою. При цьому загальні властивості операторних коефіцієнтів у рівнянні (12) ті самі, що і в рівнянні (8). Для цієї нової задачі встановлена теорема про існування та єдиність сильного розв'язку на відрізку вихідної початково-крайової задачі досліджуваної гідромеханічної системи.

У пункті 4.1.4 вивчається спектральна задача, що відповідає початково-крайовій задачі, описаній в пункті 4.1.1. Досліджувана спектральна проблема наводиться до задачі

, , (14)

на власні значення для компактного -самоспряженого оператора , який діє в просторі . Простір з індефінітною метрикою

,

перетворюється, як і в главі 3, у простір Понтрягіна П6.

Наведемо властивості рішень досліджуваної спектральної задачі:

1. Спектр задачі є дискретним і розташований у правій замкнутій півплощині симетрично відносно дійсної осі.

2. Задача має не більше 6 пар комплексно самоспряжених власних значень, а також тих дійсних (додатних) власних значень, яким, окрім власних, відповідають також приєднані елементи.

3. Асимптотична поведінка гілки додатних власних значень :

. (15)

4. Простір П6 розбивається в -ортогональную суму двох підпросторів, П6=П+[+]П-, dim П-12, інваріантних для оператора ; у підпросторі П+ існує -ортонормований базис П+, складений з власних елементів задачі (14), що відповідають додатним власним значенням , , ; вся сукупність власних і приєднаних (кореневих) елементів задачі (14) утворює майже -ортонормований базис у просторі Понтрягіна П6 = ; якщо задача (14) не має недійсних власних значень і приєднаних елементів, то власні елементи цієї задачі утворюють -ортогональний базис у всьому просторі П6 = .

Стосовно ж фізичних висновків, то вони схожі на загальні висновки розділу 3, що належать до випадку, коли всі рідини в'язкі і тертя у всіх шарнірах враховується. Відмінністю тут є лише те, що стану рівноваги системи відповідають не тільки повороти гіростатів на довільний кут, а й спільні рухи гіростатів, обумовлені наявністю тертя не у всіх шарнірах гідромеханічної системи (лема 4.1.6).

У підрозділі 4.2 досліджено другу проблему, коли перший і третій гіростат заповнені ідеальною рідиною, другий - в'язкою рідиною, а тертя не у всіх шарнірах присутнє. Дослідження другої проблеми проводиться за тією ж схемою, що і в підрозділі 4.1. З операторної точки зору початково-крайова і спектральна задачі другої проблеми нічим не відрізняються від відповідних задач першої проблеми. Відмінність полягає лише в гільбертових просторах, в яких диференціально-операторні рівняння досліджуються. Властивості рішень у другій проблемі подібні відповідним твердженням першої проблеми, описаної в підрозділі 4.1. Відзначимо лише, що тут (на відміну від (15)) має місце асимптотична формула

. (16)

У підрозділі 4.3 коротко обговорюються плоскі (двовимірні) задачі про коливання системи із зчленованих гіростатів.

У пункті 4.3.1 дана загальна постановка задачі. Зокрема, вважається, що гіростати мають малу протяжність у напрямку осі і сполучені між собою не сферичними, а циліндричними шарнірами, які розташовані в напрямку осі ; коливання гіростатів відбуваються в площині .

У пункті 4.3.2 розглядається система зчленованих гіростатів, які заповнені ідеальними рідинами. Задача досліджується на основі того ж підходу, викладеного раніше для випадку просторової задачі (глава 2). Для плоскої задачі зберігається теорема Жуковського, справедливим є твердження про існування та єдиність розв'язків на довільному відрізку часу початково-крайової задачі. Для задачі про нормальні коливання зберігаються багато загальних властивостей. Спектральна задача зводиться до задачі на власні значення для -самоспряженого оператора в скінченновимірному просторі з індефінітною метрикою П3 для випадку трьох гіростатів і Пn для випадку гіростатів.

У пункті 4.3.3 розглядається система зчленованих гіростатів, які заповнені в'язкими рідинами. У такій задачі, коли кожен гіростат заповнений в'язкою рідиною, застосуємо той же підхід, який в главі 3 був застосований для просторової задачі. Тому тут приходимо до аналогічних операторно-матричних рівнянь для початково-крайової і спектральної задач. Початково-крайова задача має сильний розв'язок на відрізку . Задача про нормальні коливання зводиться до спектральної задачі для компактного -самоспряженого оператора в просторі з індефінітною метрикою П3 (для випадку трьох гіростатів). Описано властивості нормальних коливань.

У пункті 4.3.4 вивчається плоска задача про малі коливання частково дисипативної системи із зчленованих гіростатів. Розглядається варіант, коли перший і третій гіростат заповнені в'язкою рідиною, а другий - ідеальною. Виконавши ті ж перетворення, які для просторової задачі описані в п.4.1, отримуємо, що для плоскої еволюційної задачі справедливий аналог теореми про існування та єдиність розв'язків на довільному відрізку часу ; спектральна задача має загальні властивості, що аналогічні випадку просторової задачі.

У додатку А наведено виведення лінеаризованих рівнянь руху зчленованих гіростатів.

У додатку Б наведено виведення лінеаризованих рівнянь руху нестисливої рідини досліджуваної гідромеханічної системи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У дисертації досліджено початково-крайові і спектральні задачі про малі рухи зчленованих тіл із порожнинами, які повністю заповнені ідеальною або в'язкою рідиною. Доведено теореми розв'язності відповідних початково-крайових задач, вивчено структури спектру, отримано твердження про повноту і базисність системи кореневих (власних і приєднаних) елементів. Зокрема:

1. Розроблено підхід, заснований на використанні теорії операторних матриць, що діють у гільбертовому просторі, і який дозволяє перейти від вихідної початково- крайової задачі для гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів до рівносильної задачі Коші для диференціально-операторного рівняння в певному гільбертовому просторі.

2. Вивчено початково-крайову і спектральну задачі про малі рухи зчленованих тіл із порожнинами, які повністю заповнені ідеальною рідиною. Доведено теорему про існування розв'язку відповідної початково-крайової задачі. Описано властивості нормальних коливань. Відома теорема М.Є. Жуковського про рух твердого тіла з ідеальною рідиною перенесена на випадок руху системи зчленованих гіростатів.

3. Досліджено задачу про малі коливання зчленованих гіростатів із порожнинами, які повністю заповнені в'язкою рідиною. Доведено теорему про існування та єдиність сильного розв'язку. Отримано твердження про структуру спектру, встановлено асимптотичну формулу для гілки власних значень. Отримано твердження про повноту і базисність системи кореневих елементів у просторі Понтрягіна П6 для випадку системи з трьох гіростатів; аналогічні результати встановлено для системи з маятників (гіростатів) і простору Понтрягіна П2n.

4. Розглянуто клас задач про малі рухи і нормальні коливання частково дисипативної гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів. На прикладі двох проблем запропоновано загальний рецепт дослідження таких задач. Для цих проблем доведено теореми про існування сильних розв'язків початково-крайових задач; описано властивості спектру; встановлено асимптотичні формули для гілки власних значень; отримано твердження про повноту і базисність системи кореневих елементів у просторі Понтрягіна П6 для випадку системи з трьох гіростатів.

5. Розглянуто плоскі (двовимірні) задачі про коливання системи із зчленованих гіростатів, які заповнені ідеальною або в'язкою рідиною. Для плоских проблем застосовано ті ж підходи, які використовувалися при дослідженні відповідних просторових задач. Дано твердження про розв'язність вихідних початково - крайових задач; описано властивості нормальних коливань. Сформульовано твердження про повноту і базисність системи кореневих елементів у просторі Понтрягіна П3 для випадку системи з трьох гіростатів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Батыр Э.И. Малые движения и нормальные колебания двойного маятника с полостями, содержащими вязкую несжимаемую жидкость // Динамические системы. - Симферополь. - 2000. - Вып. 16. - С. 149-155.

2. Батыр Э.И. Малые движения двойного маятника с полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость. - //Ученые записки ТНУ. - Симферополь, 2001. - Том 14(53), №1 - С. 18-23.

3. Батыр Э.И. Малые движения системы последовательно сочлененных тел с полостями, содержащими вязкую несжимаемую жидкость // Динамические системы. - Симферополь. - 2001. - Вып. 17. - С. 120-125.

4. Батыр Э.И. Малые движения системы последовательно сочлененных тел с полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость. - Ученые записки ТНУ. - Симферополь, 2002. - Том 15(54), №2 - С. 5-10.

5. Батыр Э.И. Малые движения и нормальные колебания системы трех сочлененных тел с полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью./ Э.И. Батыр // Ученые Записки ТНУ. Серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика» -- Т. 23 (62), № 2. -- 2010. -- С. 19-38.

6. Батыр Э.И. Малые движения и нормальные колебания частично диссипативной гидромеханической системы из трех сочлененных гиростатов Э.И. Батыр, Н.Д. Копачевский // Динамические системы. - Симферополь. - 2010. - Вып. 28. - С. 21-32.

7. Батыр Э.И. Малые колебания тел с полостями, заполненными несжимаемой вязкой жидкостью / Э.И. Батыр, О.А. Дудик, Н.Д. Копачевский Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2009. Спецвыпуск: Актуальные проблемы математической гидродинамики. С.15-29.

8. Kopachevsky N.D., Pashkova Ju.S., Batyr E., Soldatov M.A., Tsvetkov D.A., Vronsky B.M., Yakovlev A.U. Application of an Operator Approach to Some Problems on Small Movements of Continuous Media / Украинский математический конгресс-2001. - Обчислювальна математика i математичнi проблеми механики. Тез. Мiжнародн. конф. з функционального анализу, 22-26 серпня 2001 р., Украiна, Киiв. - c. 24.

9. Батыр Э.И. Малые движения системы последовательно сочлененных тел с полостями, содержащими идеальную несжимаемую жидкость. жидкостями. - Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications Dedicated to Ya.B. Lopatinskii. Book of Abstracts. - Donetsk, 2008. - P. 41.

10. Батыр Э.И. Операторный подход к проблеме малых движений и нормальных колебаний тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью / Н.Д. Копачевский, Э.И. Батыр, О.А. Дудик // Материалы междунар. конф. ``Современные проблемы математики, механики и их приложений'', посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, 30 марта - 2 апреля 2009 г. - Москва: МГУ им. М.В. Ломоносова. - С. 120.

АНОТАЦІЯ

Батир Е.І. Малі коливання зчленованих гіростатів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. -- Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського, Сімферополь, 2011.

Дисертація присвячена дослідженню початково-крайових та спектральних задач про малі рухи системи гіростатів, які послідовно з'єднані один з іншим сферичними шарнірами. Кожен гіростат має порожнину, цілком заповнену ідеальною або в'язкою нестисливою рідиною.

Розглядається початково-крайова і спектральна задачі про малі рухи зчленованих тіл із порожнинами, які повністю заповнені ідеальною рідиною. Доведено теорему існування рішень задачі Коші; описано властивості нормальних коливань; відома теорема М.Є. Жуковського про рух твердого тіла з ідеальною рідиною перенесена на випадок руху n тіл.

Розглядається задача про малі коливання зчленованих гіростатів із порожнинами, які повністю заповнені в'язкою рідиною. Доведено теорему про існування сильного розв'язку початково-крайової задачі, описані властивості нормальних коливань.

Розглядається задача про малі рухи і нормальні коливання частково дисипативної гідромеханічної системи із зчленованих гіростатів. Доведено теорему про існування сильного розв'язку початково-крайової задачі.

Ключові слова: малі коливання, гіростат, початково-крайова задача, диференціально-операторне рівняння, задача Коші, гільбертовий простір, лінійний оператор, нормальні коливання, спектральна задача.

АННОТАЦИЯ

Батыр Э.И. Малые колебания сочлененных гиростатов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02. - дифференциальные уравнения. -- Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского, Симферополь, 2011.

Диссертация посвящена исследованию начально-краевых и спектральных задач о малых движениях системы гиростатов, последовательно сочлененных один с другим сферическими шарнирами. При этом верхний гиростат имеет неподвижную точку, а на всю систему действует однородное гравитационное поле «сверху вниз». Каждый гиростат имеет полость, целиком заполненную идеальной либо вязкой несжимаемой жидкостью. Рассматриваются варианты как при наличии трения в шарнирах, так и при его отсутствии.

Рассматривается начально-краевая и спектральная задачи о малых движениях сочлененных тел с полостями, полностью заполненными идеальной жидкостью. Доказана теорема существования решений задачи Коши; описаны свойства нормальных колебаний; известная теорема Н.Е. Жуковского о движении твердого тела с идеальной жидкостью перенесена на случай движения n тел.

Рассматривается задача о малых колебаниях сочлененных гиростатов с полостями, полностью заполненными вязкой жидкостью. Для этой задачи доказана теорема о существовании сильного решения начально-краевой задачи. Получены утверждения о структуре спектра, установлена асимптотическая формула для ветви собственных значений. Получены утверждения о полноте и базисности системы корневых элементов в пространстве Понтрягина П6 для случая системы из трех гиростатов; аналогичные результаты установлены для системы из n маятников и пространства Понтрягина П2n.

Рассматривается задача о малых движениях и нормальных колебаниях частично диссипативной гидромеханической системы из сочлененных гиростатов. Доказана теорема о существовании сильного решения начально-краевой задачи. Описаны свойства нормальных колебаний. Установлена асимптотическая формула для ветви собственных значений. Получены утверждения о полноте и базисности системы корневых элементов в пространстве Понтрягина П6 для случая системы из трех гиростатов.

Рассматриваются плоские (двумерные) задачи о колебаниях системы из сочлененных гиростатов, заполненными идеальной либо вязкой жидкостью. Для плоских проблем применяются те же подходы, которые использовались при исследовании соответствующих пространственных задач. Даны утверждения о разрешимости исходных начально-краевых задач; описаны свойства нормальных колебаний. Сформулированы утверждения о полноте и базисности системы корневых элементов в пространстве Понтрягина П3 для случая системы из трех гиростатов.

Ключевые слова: малые колебания, гиростат, начально-краевая задача, дифференциально-операторное уравнение, задача Коши, гильбертово пространство, линейный оператор, нормальные колебания, спектральная задача.

ABSTRACT

Batyr E.I. Small oscillations of articulated gyrostats. - Manuscript.

The thesis work for the scientific degree of a candidate of physico-mathematical sciences majoring in the specialty 01.01.02 - differential equations. -- Taurida National V.I.Vernadsky University, Simferopol, 2011.

The thesis work is devoted to the investigations of the initial-boundary value and spectral problems of the system of bodies' small movements, where bodies are gyrostats and they are connected into the system by means of consistent spherical linkage. The top gyrostat has fixed point. Each gyrostat has a cavity, wholly filled by an ideal or viscous incompressible fluid.

The initial-boundary value and spectral problems on small movements of the articulated bodies with the cavities filled with an ideal fluid were considered. The theorem of Cauchy problem solutions existence was formulated; the properties of normal oscillations are described; the known N.E. Zhukovsky's theorem about movement of solid body with ideal fluid is transferred to the case of n bodies' movement.

A problem of small oscillations of articulated gyrostats with a cavities fully filled with a viscous fluid was considered. For this problem the theorem on strong solution of the initial-boundary value problem was proved; the normal oscillations qualities were described.

A problem of small movements and normal oscillations of a partially dissipative hydromechanical system of articulated gyrostats was considered. The theorem on strong solution of the initial-boundary value problem was proved. The normal oscillations qualities were described.

Key words: small oscillations, gyrostat, initial-boundary value problem, differential-operator equation, Cauchy problem, Hilbert space, linear operator, normal oscillations, spectral problem.

Размещено на Allbest.ur