Стійкість і стабілізація стохастичних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Стійкість і стабілізація стохастичних динамічних систем випадкової

структури із зовнішніми

марковськими перемиканнями

Лукашів Тарас Олегович

Чернівці - 2010

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

стійкість динамічний асимптотичний квадратичний

Актуальність теми. У ХХ і початку ХХІ століття ряд видатних вчених-математиків - А. Ейнштейн, М. Смолуховський, М. М. Боголюбов, Н. Вінер, Дж. фон Нейман, Дж. Хейл, А. М. Колмогоров, М. М. Смірнов, К. Іто, М. Нісіо, Й. І. Гіхман, А. В. Скороход, В. С. Королюк, І. М. Кова-ленко - розглядали й розглядають моделі, які описуються диференціальними, диференціально-різницевими, диференціально-функціональними рівняннями з післядією, параметри яких є випадковими функціями часу. Це було зумовлено насамперед потребою розширення класу досліджуваних рівнянь для більш точного опису реальних процесів.

Розвиток засобів автоматики й обчислювальної техніки був стимулом для розробки методів математичного опису й дослідження імпульсних систем керування. Оскільки однією з основних умов фізичної реалізації процесу є його стійкість, вивчення стохастичних моделей призвело до необхідності створення відповідного напряму в теорії руху - стохастичної теорії стійкості. Аналіз стійкості розв'язків стохастичних динамічних систем набув бурхливого розвитку в другій половині ХХ - на початку ХХІ ст.

Водночас збільшились вимоги щодо точності різного роду технічних пристроїв, наближеного отримання результатів. У зв'язку з цим з'явилась необхідність враховувати в математичних моделях, що вивчаються, не тільки адитивні перешкоди, які спотворюють корисний сигнал, але й шуми, котрі спотворюють розрахункові параметри системи. Щоб зробити висновок про якість функціонування технічного пристрою, у багатьох випадках доводиться досліджувати поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь при наявності постійно діючих випадкових збурень.

Важливою є проблема стабілізації, наприклад у теорії руху.

Найважливішим питанням є можливість дії на плин різного роду процесів, котре диктується потребами науково-технічного прогресу. Випадкові збурення можуть призвести до розриву траєкторії динамічної системи, тому врахування цієї обставини при дослідженні стабілізації цієї системи надзвичайно важливе. Отже, проблема розробки методів аналізу поведінки стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями є актуальною. Саме цій проблемі присвячені дослідження автора дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках:

1. Науково-дослідної теми “Стійкість та стабілізація керовних стохастичних диференціально-функціональних систем з імпульсними марковськими збуреннями і параметрами” (номер державного реєстру 0107U001247).

2. Науково-дослідної теми “Математичні моделі стохастичних динамічних систем з марковськими та напівмарковськими збуреннями” (номер державного реєстру 0110U000192).

Мета і завдання досліджень - застосування другого методу Ляпунова для дослідження стійкості стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями; встановлення необхідних і достатніх умов експоненціальної стійкості в середньому квадратичному лінійних динамічних систем випадкової структури; синтез оптимального керування стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями.

Об'єктом дослідженя є стохастичні дифузійні динамічні системи випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями.

Предмет дослідженя - задача Коші для дифузійних рівнянь із марковськими параметрами та перемиканнями.

Методи дослідження: стохастичний аналіз (теорія випадкових процесів, теорія ймовірностей), теорія стійкості (метод функціоналів Ляпунова-Красовського), теорія операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі теоретичні результати є новими чи істотно розвивають і узагальнюють відомі результати інших дослідників стохастичних диференціальних рівнянь.

До наукових результатів слід віднести:

1) дослідження стійкості за ймовірністю в цілому, асимптотичної стохастичної стійкості, асимптотичної стійкості в середньому квадратичному в цілому для стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями;

2) дослідження стійкості за першим наближенням стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями;

3) встановлення необхідних і достатніх умов експоненціальної стійкості в середньому квадратичному лінійних динамічних систем випадкової структури;

4) розв'язання проблеми стабілізації стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями;

5) синтез оптимального керування стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями.

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають як теоретичний, так і практичний характер. Результати дисертації можуть бути використані для дослідження стабілізації руху різних об'єктів у неоднорідних середовищах, систем автоматичного регулювання, фізичних, біологічних, економічних процесів тощо.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних працях [1; 2] професору В. К. Ясинському належать постановка задачі та обговорення одержаних результатів; доцентом І. В. Юрченком запропоновано деякі модельні задачі.

У праці [3] професору В. К. Ясинському належать постановка задачі, визначення загальних схем дослідження та обговорення одержаних теоретичних результатів; Ясинським Є. В. запропоновано в деяких детермінованих задачах ввести марковські перемикання.

У праці [4] професору В. К. Ясинському належать постановка задачі, визначення загальних схем дослідження та обговорення одержаних теоретичних результатів; доцентом Ясинською Л. І. запропонована модельна задача із введенням вінерового процесу і внутрішніх марковських перемикань.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на наукових семінарах кафедри математичної і прикладної статистики (м. Чернівці, 2004-2010 рр.), на міському семінарі «Стійкість, стабілізація та оптимізація стохастичних динамічних систем» (м. Чернівці, 2005-2010 рр.) а також на конференціях: Х міжнародна науково-технічна конференція «Системний аналіз та інформаційні технології» (20-24 травня 2008 р., м. Київ, Україна); Конференція «Сучасні проблеми теорії ймовір-ностей та суміжні питання» на честь 90-річчя з дня народження Й. І. Гіхмана (Україна, м. Умань, 24-26 травня 2008 р.); IV Всеукраїнська наукова конференція «Нелінійні проблеми аналізу» (Україна, м. Івано-Франківськ, 10-12 вересня 2008 р.); Дев'ята Кримська Міжнародна Математична Школа MFL-2008 «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Україна, м. Алушта, 15-20 вересня 2008 р.); Міжнародна конференція «Problems of decision making under uncertainties PDMU_2008» (Україна, м. Новий світ, 22-27 вересня 2008 р.); Міжнародна конференція «Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2009)» (Україна, смт. Східниця, 27-30 квітня 2009 р.); Міжнародна конференція «Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2009)». (Україна, м. Кам'янець-Подільський, 5-9 жовтня 2009 р.); Міжнародна науково-практична конференція «Современные направления теоретических и прикладных исследований `2010» (15-26 березня 2010 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 6 статтях, з яких 6 - у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, а також у 8 тезах конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатка. Загальний обсяг дисертації - 182 сторінки, список використаних джерел займає 11 сторінок (100 посилань).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, вказується мета і задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація одержаних результатів.

Перший розділ містить історичний огляд результатів відомих математиків, що пов'язані з теорією стійкості та стабілізації розв'язків детермінованих і стохастичних диференціальних рівнянь, подається огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи. Наводиться короткий огляд результатів дисертації.

Основні результати дисертації викладені в розділах 2-4.

У підрозділі 2.1 наведена постановка задачі стійкості стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями, введено означення функції Ляпунова, стійкості за ймовірністю, асимптотичної стійкості за ймовірністю, асимптотичної стохастичної стійкості, -стійкості (при ), асимптотичної -стійкості (при ), експоненціальної -стійкості при деякому , а також означення дискретного оператора Ляпунова.

Нехай - ймовірнісний базис; - марковський процес із значеннями в метричному просторі з перехідною ймовірністю ; - ланцюг Маркова із значеннями в метричному просторі з перехідною ймовірністю на -ому кроці .

Розглянемо рівняння збуреного руху, яке будемо трактувати як динамічну систему випадкової структури за І. Я. Кацом

, (1)

із зовнішніми марковськими перемиканнями

(2)

і початковими умовами

. (3)

Припустимо, що задано:

) вимірні за сукупністю змінних відображення за третім аргументом і за четвертим аргументом задоволь-няють умову Ліпшиця рівномірно за всіма іншими аргументами

(4)

для , , і умову

(5)

ii) - одновимірний стандартний вінерів процес.

Означення 2.1. Випадковий процес назвемо сильним розв'язком задачі Коші (1), (3) із зовнішніми марковськими перемиканнями (2), якщо узгоджений з потоком -алгебр і при задовольняє стохастичне інтегральне рівняння

(6)

для всіх при цьому

(7)

для всіх і .

Зрозуміло, що визначені вище умови для і гарантують існування сильного розв'язку задачі (1)-(3) з точністю до стохастичної еквівалентності при довільних та заданих реалізаціях марковського процесу і ланцюга Маркова .

Означення 2.2. Дискретний оператор Ляпунова на послідовності вимірних скалярних функцій для СДР (1) з імпульсною дією (2) визначається співвідношенням

(8)

Підрозділ 2.2 містить загальні теореми про стійкість систем випадкової структури.

Теорема 2.1. Нехай

1) довжини інтервалів не перевищують , тобто

2) виконується умова Ліпшиця (4);

3) існують послідовності функцій Ляпунова і такі, що на підставі системи правильна нерівність

. (9)

Тоді система випадкової структури (1)-(3) асимптотично стохастично стійка в цілому.

Теорема 2.2. Нехай виконуються умови 1), 2) теореми 2.1, а на підставі системи (1)-(3) для послідовності функції Ляпунова має місце нерівність для і . Тоді система (1)-(3) стійка за ймовірністю в цілому.

Теорема 2.3. Нехай виконуються умови 1)-3) теореми 2.1, причому функції Ляпунова задовольняють нерівності

, (10)

(11)

при деяких , для всіх Тоді система (1)-(3) асимптотично стійка в середньому квадратичному у цілому.

Теорема 2.4. Нехай виконуються умови теореми 2.3 та існує таке число , що:

(12)

при всіх Тоді система СДР (1)-(3) експоненціально стійка в l.i.m. у цілому.

У підрозділі 2.3 наведено постановку задачі стійкості при постійно діючих збуреннях для стохастичних дифузійних динамічних систем із зовнішніми марковськими перемиканнями, введено дискретний оператор Ляпунова для системи першого наближення.

Нехай на ймовірнісному базисі , розглядається система стохастичних диференціальних рівнянь вигляду

(13)

із зовнішніми марковськими перемиканнями

(14)

і з початковими умовами

(15)

Тут відображення , вимірні за сукупністю змінних і задовольняють глобальну умову Ліпшиця (4) і умову рівномірної обмеженості ; - скалярні нормовані вінерові процеси.

Надалі досліджуватимемо тривіальний розв'язок (13)-(15) у ймовірнісному розумінні, тобто

(16)

Означення 2.8. Систему

 (17)

(18)

з початковими умовами (15) назвемо системою першого наближення для нелінійної системи (13)-(15).

При аналізі стійкості (13)-(15), використовуючи функцію Ляпунова для системи СДР (17), (18) і обчисливши дискретний оператор Ляпунова для (13)-(15), одержано достатні умови стійкості цієї системи в тому чи іншому ймовірнісному розумінні.

Підрозділ 2.4 присвячений вивченню питання стохастичної стійкості в цілому систем випадкової структури за першим наближенням.

Теорема 2.7. Нехай

1) ;

2) задовольняють умови Ліпшиця відповідно за третім і за четвертим аргументами, при всіх і рівномірної обмеженості за при всіх ;

3) марковський процес стохастично неперервний.

Якщо існує невід'ємна функція така, що

а) при ; (19)

б) при ; (20)

в) (21)

г) (22)

при всіх , тоді система (13)-(15) стійка за ймовірністю в цілому.

Оператори та задаються й обчислюються наступним чином:

,

де

,

.

Теорема 2.8. Нехай виконуються умови теореми 2.7 та існує таке число що при всіх і виконується нерівність

. (23)

Тоді система (13)-(15) асимптотично стійка за ймовірністю в цілому.

Розглянуто модельну задачу про достатні умови стійкості за ймовірністю в цілому, а також експоненціальної стійкості в l.i.m. електричної схеми з двома індуктивними котушками і двома опорами з джерелом електричного струму і одним ключем (з марковським ланцюгом з двома станами - ключ замкнений, - ключ розімкнений).

Розділ 3 присвячений дослідженню експоненціальної стійкості в середньому квадратичному лінійних динамічних систем випадкової структури з малими параметричними збуреннями.

У підрозділі 3.1 встановлено необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості в середньому квадратичному лінійних динамічних систем випадкової структури (ЛДСВС).

На ймовірнісному базисі розглядається ЛДСВС

(24)

з початковими умовами

; . (25)

Марковський процес визначається рівнянням

. (26)

Через позначимо простір симетричних неперервних обмежених матричних функцій з нормою

, (27)

де - скалярний добуток в .

Виділимо в просторі конус за означенням

.

При цьому конус буде тілесним, а множина складається з внутрішніх точок , причому тоді й тільки тоді, коли знайдеться така стала , що для і .

Для дифузійного марковського процесу визначимо інфінітезимальний оператор

,

де зсув і дифузія неперервні та обмежені за і мають неперервні обмежені похідні.

Якщо має дві неперервні обмежені похідні, тоді і можна визначити оператор, пов'язаний з оператором рівняння (24)

,

де «» - знак транспонування.

Визначимо також оператор,

де - фундаментальний розв'язок задачі (24), (25), , , а число завдяки однорідності процесу може бути вибране довільним.

Верхній індекс при означає умову, що .

Означення 3.3. Замкнений оператор з щільною областю визначення віднесемо:

- до класу , якщо і правильна нерівність

;

- до класу , якщо його резольвентна множина містить сектор при деякому і довільному

 при ;

- до класу , якщо .

Означення 3.4. Якщо оператор є генератором напівгрупи з класу , тоді оператор визначатимемо рівністю

.

Теорема 3.2. Тривіальний розв'язок ЛДСВС (24)-(26) експоненціально стійкий у l.i.m. тоді й тільки тоді, коли існують такі і , що

. (28)

Означення 3.5. Потенціалом напівгрупи назвемо оператор, який визначається з рівняння

, (29)

і будемо писати , якщо інтеграл у (29) збігається.

Мають місце наступні твердження.

Теорема 3.3. Тривіальний розв'язок ЛДСВС з марковськими параметрами (24), (25) експоненціально стійкий в l.i.m. тоді й тільки тоді, коли

. (30)

Теорема 3.4. Тривіальний розв'язок (24), (25) експоненціально стійкий в l.i.m. тоді й тільки тоді, коли існує таке , що

, (31)

де - одинична матриця з алгебри .

Підрозділ 3.2 присвячений встановленню необхідних і достатніх умов експоненціальної стійкості в середньому квадратичному ЛДСВС спеціального вигляду.

Розглянемо лінійну динамічну систему випадкової структури вигляду

, (32)

де - дійсне число; ; матриці з дійсними елементами розмірності ; - дифузійний марковський процес, що визначається скалярним рівнянням

. (33)

Визначимо наступні оператори:

;

;

;

, де .

Теорема 3.6. Тривіальний розв'язок ЛДСВС (32) з марковським параметром , що визначений ДР (33), експоненціально стійкий у l.i.m. при достатньо малих за модулем тоді й тільки тоді, коли

. (34)

У підрозділі 3.3 наведено метод знаходження необхідних і достатніх умов експоненціальної стійкості в середньому квадратичному ЛДСВС з малими параметричними дифузійними збуреннями.

В підрозділі 3.4 встановлено необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості в l.i.m. лінійного осцилятора при малих дифузійних збуреннях.

Розділ 4 присвячений питанню стабілізації стохастичних дифузійних динамічних систем із зовнішніми марковськими перемиканнями.

У підрозділі 4.1 сформульована постановка задачі про оптимальну стабілізацію динамічної системи випадкової структури із урахуванням зовнішніх марковських перемикань.

Нехай сильний розв'язок дифузійного стохастичного диференціального рівняння (ДСДР)

(35)

із зовнішніми марковськими перемиканнями

(36)

і з початковою умовою

(37)

де .

Тут вектор - відхилення дійсних значень координат регулюючої -вимірної величини від його незбуреного значення ; величина - -вимірна керуюча дія (керування).

Припустимо, що вимірні за сукупністю змінних відображення задовольняють за третім і четвертим аргументами відповідно умову Ліпшиця рівномірно за всіма іншими аргументами і умову рівномірної обмеженості за .

Вважаємо, що керування будемо визначати за принципом повного оберненого зв'язку, тобто в будь-який фіксований момент часу можливе точне вимірювання реалізованого стану системи і одночасно тієї випадкової структури , в якій знаходиться система в даний момент часу .

Крім того, припускаємо виконання умови про неперервність за в області

, (42)

для кожного фіксованого і , .

Отже, наведені вище умови щодо відображень і гарантують існування сильного розв'язку задачі (35)-(37) згідно з означенням 2.1 з точністю до стохастичної еквівалентності при і заданих реалізаціях марковських ланцюгів і .

Таким чином, ДСДР (35)-(37), марковські процеси і і початкові умови (42) визначають при будь-якому керуванні -вимірний марковський процес в добутку просторів . При цьому характеризує стан системи в момент часу , а і структуру, в якій знаходиться система в цей же момент часу .

Зазначимо, що майже всі реалізації марковських процесів і є сталими, а перемикання відбуваються у випадкові моменти часу . Тому важливо припустити, що на кожному випадковому інтервалі часу рух буде відбуватися на підставі системи (35) при фіксованому значенні параметра . При цьому в момент перемикання системи (40) слід задати для нового стану системи (35) (структури) початкові умови. Як правило, початкові умови вибираються з вимог неперервного продовження траєкторії як розв'язок ДСДС (35)-(37).

Сформулюємо дві задачі про стабілізацію в припущенні, що геометричні обмеження на керування відсутні, тобо компоненти вектора можуть набувати як завгодно великих значень, за винятком .

Перша задача про стабілізацію. Для ДСДР (35) із заданими умовами стрибка фазового вектора і перемиканнями (36) необхідно побудувати таке керування , що задовольняє умову , щоб незбурений рух системи (35), (36) був асимптотично стійким за ймовірністю в цілому, тобто при будь-яких початкових умовах з області (42).

Зрозуміло, що в цій задачі існує нескінченна множина керувань. Тому єдине керування з точністю до стохастичної еквівалентності слід вибирати з вимоги найкращої якості перехідного процесу, яка виражається у вигляді умови знаходження мінімального значення функціонала

(43)

де - невід'ємна функція, що визначена в області (42) і , - символ умовного математичного сподівання, , яке реалізується в ДСДР (35) при ; - це відповідно траєкторія і керування системи (35), яке породжене заданим фіксованим керуванням .

Запропоновано (розроблено) алгоритм обчислення функціонала (43) при заданих :

А) знайти траєкторію з ДСДР (35) методом статистичного моделювання;

В) підставити , у функціонал (43);

С) методом статистичного моделювання обчислити значення функціонала (43);

D) проблема вибору функціонала , що визначає оцінку і якість процесу, як сильного розв'язку ДСДР (35), пов'язана з конкретними особливостями задачі і, очевидно, можна вказати наступні умови:

умови функціонала (43) повинні забезпечувати достатньо швидке в середньому згасання сильного розв'язку ДСДУ (35) з імовірністю одиниця; величина інтеграла повинна задовільно оцінювати комп'ютерний час, що витрачається на формування керування ; функціонал повинен бути таким, щоб розв'язок першої задачі стабілізації можна було одержати в конструктивній формі.

Друга задача про оптимальну стабілізацію. Знайти для системи ДСДР (35) і початкових даних (37) при зовнішніх марковських збуреннях (36), із заданою умовою стрибка фазового вектора траєкторії оптимальне керування , яке задовольняє вимоги:

1) тривіальний (незбурений) рух ДСДР (35) при асимптотично стійкий за ймовірністю в цілому;

2) ряд , складений з інтегралів (див. (43)), для є збіжним і при довільній початковій умові (37) виконується умова

, (45)

де мінімум слід шукати за всіма керуваннями, неперервними за та при кожному .

Означення 4.1. Керування , що задовольняє (45), назвемо оптимальним у розумінні оптимальної стабілізації сильного розв'язку ДСДУ (35)-(37).

Підрозділ 4.2 містить основну теорему про оптимальну стабілізацію стохастичної дифузійної динамічної системи випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями.

Теорема 4.1. Нехай для дифузійного стохастичного диференціального рівняння

, (46)

із зовнішніми марковськими перемиканнями

(47)

і початковими умовами

, (48)

за умови стрибка існують скалярна функція та -векторна функція в області

(49)

та виконуються умови:

1) функція додатно визначена за в області (49) і яка допускає нескінченно малу верхню й нескінченно велику нижню границі і таку, що послідовність функцій є функціоналом Ляпунова, де ;

2) послідовність -вимірних функцій-керувань є вимірними за всіма аргументами, де ;

3) послідовність функцій з критерію (43) за є додатно визначеною, тобто для , ;

4) послідовність інфінітезимальних операторів , обчисленних для , задовольняє умову для

;

5) величина досягає мінімуму , тобто

6) ряд є збіжним. Тоді керування здійснює стабілізацію розв'язку задачі (46)-(48). При цьому виконується рівність

У підрозділі 4.3 наведено алгоритм розв'язання задачі оптимальної стабілізації лінійних стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями. Розглянуто задачу про оптимальну стабілізацію матеріальної точки, яка рухається по горизонтальній прямій у випадковому середовищі, коли у випадкові моменти часу відбувається приєднання або відкидання маси.

У підрозділі 4.4 одержано достатні умови існування допустимого керування для лінійних стохастичних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями.

Підрозділ 4.5 присвячений розвитку методу малого параметра розв'язання задачі про оптимальну стабілізацію лінійних стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями. Розв'язана задача про оптимальну стабілізацію верхнього положення рівноваги маятника у лінійному наближенні за умови, що у випадкові моменти часу відбувається приєднання або відкидання маси.

Додаток містить програмний продукт, за допомогою якого знаходиться оптимальне керування системи випадкової структури методом малого параметра.

ВИСНОВКИ

За допомогою другого методу Ляпунова встановлено достатні умови стійкості розв'язків систем випадкової структури із зовнішніми марковськими збуреннями у наступних розуміннях: асимптотичної стохастичної стійкості в цілому, стійкості за ймовірністю, асимптотичної стійкості в середньому квадратичному в цілому, експоненціальної стійкості в l.i.m. у цілому, стійкість за першим наближенням, якщо збурювальна динамічна система випадкової структури нелінійна (що є суттєвою новизною в теорії динамічних систем). Встановлено, що при деяких умовах вихідної динамічної системи випадкової структури збурена стохастична система стійка в наступному сенсі: стійка за ймовірністю в цілому, асимптотично стійка за ймовірністю в цілому, експоненціально стійка в l.i.m. у цілому.

Встановлено необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості в середньому квадратичному лінійних динамічних систем випадкової структури, необхідні та достатні умови експоненціальної стійкості в середньому квадратичному лінійних динамічних систем випадкової структури спеціального вигляду, метод знаходження необхідних і достатніх умов експоненціальної стійкості в середньому квадратичному лінійних динамічних систем випадкової структури з малими параметричними дифузійними збуреннями.

Розв'язана задача про оптимальну стабілізацію дифузійної динамічної системи випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лукашив Т. О. Метод функций Ляпунова исследования устойчивости стохастических систем Ито случайной структуры с импульсными марковскими переключениями. I. Общие теоремы об устойчивости импульсных стохастических систем / Т. О. Лукашив, И. В. Юрченко, В. К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. - 2009.- № 2. - С. 135-145.

2. Лукашив Т. О. Метод функций Ляпунова исследования устойчивости стохастических систем Ито случайной структуры с импульсными марковскими переключениями. II. Устойчивость по первому приближению импульсных стохастических систем с марковскими параметрами / Т. О. Лукашив, И. В. Юрченко, В. К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. - 2009.- № 3. - С. 146-158.

3. Лукашив Т. О. Стабилизация стохастических динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Ч. 1. Устойчивость стохастических систем с марковскими параметрами / Т. О. Лукашив, В. К. Ясинский, Е. В. Ясинский // Проблемы управления и информатики. - 2009.- № 1. - С. 5-28.

4. Лукашив Т. О. Стабилизация стохастических динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Ч. 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями / Т. О. Лукашив, Л. И. Ясинская, В. К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. - 2009. - № 2.- С. 14-29.

5. Лукашів Т. Достатні умови стабілізовності лінійних стохастичних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими перемиканнями / Т. Лукашів // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. праць. Вип. 485: Математика. - Чернівці: Рута, 2009.- С. 35-40.

6. Лукашів Т.О. Про експоненціальну стійкість в середньому квадратичному розв'язків лінійних динамічних систем випадкової структури з параметричними збуреннями / Т.О. Лукашів // Вiсник Київського унiверситету. Сер. фіз.-мат. науки.- Київ, 2010.- Вип.1.- С.106-113.

7. Лукашів Т. О. Про асимптотичну стохастичну стійкість в цілому системи випадкової структури з імпульсними марковськими перемиканнями / Т. О. Лукашів, В. К. Ясинський // Системний аналіз та інформаційні технології: матеріали Х міжнар. наук.-технічн. конф. (20-24 травня 2008 р., Київ, Україна). - Київ: НТУУ “КПІ”, 2008.- С. 101.

8. Лукашів Т. О. Стійкість за ймовірністю в цілому системи випадкової структури з імпульсними марковськими перемиканнями / Т. О. Лукашів, Л. І. Ясинська // Сучасні проблеми теорії ймовірностей та суміжні питання: конференція на честь 90-річчя з дня народження Й. І. Гіхмана (Україна, Умань, 24-26 травня 2008 р.). - Умань, 2008. - С.46-47.

9. Лукашів Т. О. Стабілізація розв'язку стохастичного диференціального рівняння дифузії з марковськими параметрами і перемиканнями / Т. О. Лукашів, Л. І. Ясинська, В. К. Ясинський // Нелінійні проблеми аналізу: матеріали IV Всеукраїнської наукової конференції (Україна, Івано-Франківськ, 10-12 вересня 2008 р.): тези доп. - Івано-Франківськ: Плай, 2008. - С. 55.

10. Лукашів Т. О. Асимптотична p-стійкість в цілому системи випадкової структури з імпульсними марковськими перемиканнями / Т. О. Лукашів, В. К. Ясинський // Девятая Крымская Международная Математическая школа MFL-2008 «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Украина, Крым, Алушта, 15-20 сентября 2008 г.): тезисы докл.- Симферополь, 2008.- С. 102.

11. Лукашів Т. О. Стабілізація імпульсних динамічних систем випадкової структури / Т. О. Лукашів, Л. І. Ясинська, В. К. Ясинський // Problems of decision making under uncertainties (PDMU_2008): міжнародна конференція (September 22-27, 2008, Crimea (Novy svit), Ukraine): аbstracts. - Crimea (Novy svit). - Новий світ (Крим), 2008.- С. 88-89.

12. Лукашів Т. О. Асимптотична стохастична стійкість в цілому систем випадкової структури з імпульсними марковськими перемиканнями / Т. О. Лукашів, В. К. Ясинський // Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2009): міжнародна конференція (April 27-30, 2009, Skhidnytsia, Ukraine): аbstracts. - Kyiv: KNU, 2009. - С. 125-126.

13. Лукашів Т. О. Стійкість в середньому квадратичному систем випадкової структури з імпульсними марковськими перемиканнями / Т. О. Лукашів, В. К. Ясинський // Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2009): міжнародна конференція (October 5-9, 2009, Kamyanets-Podilsky, Ukraine). - Кам'янець-Подільський, 2009. - С. 77-78.

14. Лукашів Т.О. Про експоненціальну стійкість в середньому квадратичному розв'язків лінійних динамічних систем випадкової структури з марковськими збуреннями / Т.О. Лукашів // Международная научно-практическая конференція «Современные направления теоретических и прикладных исследований `2010» (15-26 марта, 2010, Одесса, Украина): сб. науч. тр. Т. 34. - Одесса: Черноморье, 2010. - С. 20-22.

Размещено на Allbest.ru