Спектральна теорія узагальнених якобієвих ермітових матриць

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.984.4 + 512.643.8

СПЕКТРАЛЬНА ТЕОРІЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ ЯКОБІЄВИХ ЕРМІТОВИХ МАТРИЦЬ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ІВАСЮК Іван Ярославович

Київ 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Березанський Юрій Макарович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Кошманенко Володимир Дмитрович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу математичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук Загороднюк Сергій Михайлович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, доцент кафедри вищої математики і інформатики.

Захист відбудеться "15" червня 2010р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий "12" травня 2010р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Спектральна теорія операторів, переживши бурхливий період розвитку, стала незамінною ланкою сучасного функціонального аналізу як потужний апарат розв'язування задач математичної фізики та квантової механіки. З іншого боку, нескінченні якобієві матриці і оператори, породжені ними, відіграють важливу роль як інструмент дослідження багатьох питань математичного аналізу, алгебри та теорії механічних коливань. Тому розвиток та поглиблення спектральної теорії якобієвих матриць є одним із актуальних напрямків сучасної математики.

Теорія якобієвих матриць бере свій початок з класичних матриць Якобі. Безпосередньо теорія класичних якобієвих матриць, розвиток якої тісно пов'язаний із застосуванням до класичної проблеми моментів та нескінченних неперервних дробів, міститься у працях Н.І. Ахієзера та М.Г. Крейна. Також проблемами спектральної теорії класичних якобієвих матриць займалися Т. Карлеман, Дж.А. Шохат, Дж.Д. Тамаркін, М.А. Наймарк, А. Воук, Ф. Аткінсон, Ю.М. Березанський, Дж. Тешл і багато інших математиків.

В останні роки з'явилися роботи, пов'язані з неермітовими якобієвими матрицями та блочними матрицями Якобі. Так, С.М. Загороднюк розглядає матриці типу класичних якобієвих з комплекснозначними елементами на центральній діагоналі. М.І. Гехтман і О.А. Калюжний розглядали комутуючі ермітові якобієві матриці. М.С. Дерев'ягін і В. Деркач досліджують спектральні властивості трьохдіагональних блочних ермітових матриць типу Якобі. У серії робіт 2005--2006 років Ю.М. Березанський та М.Є. Дудкін вивчають спектральну теорію трьохдіагональних блочних якобієвих унітарних та нормальних матриць, які є півнескінченними. Варто сказати, що останні матриці пов'язані з комплексною проблемою моментів.

Широкий клас сучасних робіт пов'язаний із застосуванням якобієвих матриць. Зокрема, деякі класи нелінійних диференціально-різницевих рівнянь -- такі, як ланцюжок Тоди, потік Шура -- розв'язуються з використанням методу оберненої спектральної задачі для певних якобієвих матриць. Це детально відображено у працях Ю.М. Березанського, М.І. Гехтмана, Н.В. Жернакова, Л.Б. Голінського, О.А. Мохонька та інших математиків. Інше важливе застосування спектральної теорії матриць Якобі стосується її використання для вивчення проблеми моментів. Крім добре відомих досліджень в цьому напрямку М.Г. Крейна, Н.І. Ахієзера та інших математиків, опублікованих в середині минулого століття, дещо пізніше було отримано ряд нових результатів.

Актуальність дослідження узагальнених в тому чи іншому сенсі якобієвих матриць також підкреслюється їх появою в багатьох сучасних роботах, опублікованих у період з 2002 по 2009 роки, таких математиків, як Б. Саймон, Ф. Ґестезі, М.Дж. Кантеро, Л. Морал, Л. Веласкес, Е. Цекановський, Ю. Арлінський, Ю. Ксю та інших, що працюють в області теорії ортогональних поліномів, спектральній теорії операторів та математичній фізиці.

Дисертаційна робота якраз і присвячена побудові та розвитку спектральної теорії для узагальнених у певному сенсі якобієвих матриць. У дисертації розглядаються трьохдіагональні блочні ермітові матриці типу Якобі вигляду

які ми називаємо узагальненими якобієвими ермітовими матрицями. Варто зауважити, що вони мають структуру, схожу на структуру трьохдіагональних блочних якобієвих нормальних матриць, введених Ю.М. Березанським та М.Є. Дудкіним. Але оскільки матриці (1) є ермітовими, то їх спектральна теорія, як виявляється, істотно відрізняється від відповідної теорії, побудованої згаданими вище математиками. Зокрема, має місце неоднозначність при пошуку узагальнених власних функцій (так званих поліномів першого роду), які відповідають матрицям (1). Вона пов'язана з необоротністю матричних елементів на бічних діагоналях та усувається спеціальним чином. Це призводить до того, що спектральна міра, яка виникає при розкладі за узагальненими власними функціями оператора, породженого узагальненою якобієвою ермітовою матрицею, є операторнозначною та має представлення у вигляді матриці нескінченного порядку. Зауважимо, що така ситуація, яка, власне, і породжує основні складності при дослідженні, не характерна для класичних якобієвих матриць та для трьохдіагональних блочних якобієвих унітарних та нормальних матриць, у яких спектральна міра є скалярнозначною.

Викладене вище і аналіз відповідної літератури, пов'язаної з дисертацією, демонструють актуальність обраної теми досліджень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках державної бюджетної дослідницької наукової теми № 06БФ038-03 "Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем" (номер державної реєстрації 0101U002472), що виконується на механіко-математичному факультеті Київського Національного університету імені Тараса Шевченка, з підрозділом "Загальна теорія формозберігаючих наближень", який розробляється на кафедрі математичного аналізу. Вказана тема входить до комплексного тематичного плану науково-дослідних робіт "Математичні проблеми природознавства та економіки" (номер державної реєстрації 0106U005864).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є побудова спектральної теорії узагальнених якобієвих ермітових матриць з необоротними елементами на бічних діагоналях і розвиток спектральної теорії трьохдіагональних блочних матриць типу Якобі.

Завдання дослідження полягають у:

1) розв'язку прямої та оберненої спектральної задачі для узагальнених якобієвих ермітових матриць;

2) встановленні відповідності між рекурсією Сеґьо для ортогональних поліномів на одиничному колі та рівняннями на пошук поліномів першого роду, що відповідають трьохдіагональним блочним якобієвим унітарним та нормальним матрицям;

3) дослідженні узагальненого на гільбертове оснащення поняття самоспряженості, тобто так званої узагальненої самоспряженості, та вивченні узагальненої самоспряженості класичних та узагальнених якобієвих ермітових матриць. якобієвий ермітовий матриця поліном

Об'єктом дослідження є трьохдіагональні блочні матриці Якобі.

Предметом дослідження є спектральні властивості операторів, породжених узагальненими в тому чи іншому сенсі якобієвими матрицями, у відповідних просторах та їх гільбертових оснащеннях, які природно введені за характером дії цих матриць.

Основним методом дослідження є розклад за узагальненими власними функціями згідно з проекційною спектральною теоремою

про оператори, породжені узагальненими в тому чи іншому сенсі якобієвими матрицями.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну дисертації, виносяться на захист та отримані вперше, є такі:

1) вперше розглянуто трьохдіагональні блочні якобієві ермітові матриці з рівномірно зростаючими розмірами блоків та досліджена самоспряженість операторів, породжених ними;

2) розв'язана пряма та обернена спектральна задача для таких узагальнених якобієвих ермітових матриць;

3) встановлено необхідні та достатні умови, які гарантують те, що матричнозначна міра є спектральною мірою узагальненої якобієвої ермітової матриці;

4) показано, що рекурсія Сеґьо є не що інше, як модифікація системи рівнянь для знаходження поліномів першого роду для трьохдіагональної блочної якобієвої унітарної матриці, яка є частковим випадком відповідної системи рівнянь для трьохдіагональної блочної якобієвої нормальної матриці;

5) узагальнено відомі та отримано нові достатні та необхідні умови узагальненої самоспряженості операторів та їх лінійних збурень, які діють в гільбертових оснащеннях.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати мають теоретичний характер. В той же час, вони можуть бути використані у спеціальних курсах, для дослідження нелінійних еволюційних рівнянь, питань, пов'язаних з неперервними дробами і проблемою моментів, та у теорії ортогональних поліномів.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації отримано автором самостійно. При цьому варто зауважити, що визначення загального напрямку дослідження належить науковому керівнику Ю.М. Березанському.

За результатами дисертації опубліковано п'ять робіт. У статті [2] Ю.М. Березанському належить визначення завдання, а О.А. Мохоньку та дисертанту -- розв'язання. А саме, О.А. Мохоньком доведена необхідність в теоремі 4.1.3. Інші чотири роботи виконані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на таких міжнародних та всеукраїнських конференціях і наукових семінарах:

1. International conference "Modern Analysis and Applications" (MAA 2007) dedicated to the centenary of Mark Krein, Odessa, Ukraine, April 9--14, 2007;

2. Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15--17 травня, 2008р., Київ;

3. IV Всеукраїнська наукова конференція "Нелінійні проблеми аналізу", 10--12 вересня, 2008р., Івано-Франківськ;

4. International scientific conference "Infinite Dimensional Analysis and Topology", May 27 -- June 1, 2009,Ivano-Frankivsk, Ukraine;

5. Український математичний конгрес -- 2009 (до 100-річчя від дня народження Миколи М. Боголюбова), 27--29 серпня, 2009р., Київ;

6. Науковий семінар кафедри математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка "Сучасний аналіз" (керівники: проф. Ю.Г. Кондратьєв, проф. І.О. Шевчук), 16 вересня 2009р., Київ;

7. Науковий семінар відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівники -- академік НАН України, професор Ю.М. Березанський, член-кореспондент НАН України, професор М.Л. Горбачук, член-кореспондент НАН України, професор Ю.С. Самойленко), 13 січня 2010р., Київ.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в фахових виданнях у п'яти статтях [1-5]. Чотири статті опубліковано в журналі, що внесений до переліку фахових видань, затвердженого ВАК України, і одна робота -- в іноземному фаховому виданні. Результати дисертаційної роботи додатково відображені у матеріалах конференцій [6-10].

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 139 сторінок. Список використаних джерел містить 107 найменувань.

Основний зміст дисертації

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету та завдання дослідження, наукову новизну, практичне значення отриманих результатів та описано структуру роботи.

Перший розділ містить огляд літератури, пов'язаної із тематикою дисертації та спорідненими питаннями.

Другий розділ присвячений гільбертовому оснащенню просторів та узагальненню питання самоспряженості на цей об'єкт.

У підрозділі 2.1 коротко викладено конструкцію гільбертового оснащення довільного гільбертового простору позитивними і негативними просторами і вигляду

(2)

та унітарних операторів , де I=YY, а -- це замикання за неперервністю в сенсі дії з в спряженого оператора до оператора вкладення в

У підрозділі 2.2 нагадуємо та досліджуємо поняття узагальненої самоспряженості. А саме, нехай -- деякий лінійний оператор, що діє з позитивного в негативний простір оснащення (2), з областю визначення D(A), щільною в , та областю значень R(A). Спряжений оператор в сенсі гільбертового оснащення визначають наступним чином. Нехай таке, що функціонал , визначений на D(A), є неперервним в , а отже, допускає представлення Такі ш утворюють область визначення D(A⁺) оператора A⁺ і .

Оператор називають узагальнено самоспряженим, якщо A=A⁺, та істотно узагальнено самоспряженим, якщо де -- замикання оператора A.

Твердження 2.2.2. Оператор є узагальнено самоспряженим (ермітовим) тоді і тільки тоді, коли оператор є самоспряженим (ермітовим) в

У підрозділі 2.3 досліджується зв'язок між узагальненою та класичною самоспряженістю. Встановлено достатні умови узагальненої самоспряженості для оператора, самоспряженого у просторі У пункті 2.3.1 досліджено узагальнену самоспряженість оператора диференціювання. А саме, розглядаємо оснащення

де -- простір із вагою p такою, що

(3)

та оператор з областю визначення .

Лема 2.3.1. Нехай p задовольняє (3). Оператор з областю визначення самоспряжений тоді і тільки тоді, коли

(4)

Теорема 2.3.4. Нехай p задовольняє умови (3). Оператор з областю визначення є узагальнено істотно самоспряженим тоді і тільки тоді, якщо p задовольняє (4).

Третій розділ присвячений спектральній теорії класичних якобієвих матриць та пов'язаними з нею питаннями.

У підрозділі 3.1 розглядається поняття класичної якобієвої матриці, яка є матрицею вигляду

(5)

де . Позначимо через J оператор у просторі квадратично сумовних послідовностей , породжений J.

У підрозділі 3.2, який присвячено дослідженню питання самоспряженості оператора J, отримано такий результат.

Теорема 3.2.4. Нехай , починаючи з деякого n, і Тоді оператор несамоспряжений.

Підрозділ 3.3 повторює розв'язок прямої та оберненої спектральної задачі для класичних якобієвих матриць.

У підрозділі 3.4 досліджується питання узагальненої самоспряженості операторів, породжених класичними якобієвими матрицями. Розглянемо гільбертове оснащення простору вигляду

(6)

де позначає простір типу з вагою Нехай тепер -- оператор, породжений матрицею (5), який розуміємо як відображення з в оснащення (6).

Теорема 3.4.2. Для будь-якої якобієвої матриці J вигляду (5) існує така вага , що оператор є узагальнено-самоспряженим.

Четвертий розділ присвячено викладу необхідних відомих та отриманих нових результатів, що стосуються теорії трьохдіагональних блочних якобієвих унітарних та нормальних матриць.

У підрозділі 4.1 досліджуються трьохдіагональні блочні якобієві унітарні матриці. У пункті 4.1.1 висвітлена пряма та обернена спектральна задача для вищезгаданих матриць , які діють у просторі

(7)

елементів зі скалярним добутком де ^T позначає операцію транспонування, та мають вигляд

(8)

Блоки a_n, b_n, c_n є такі, що

Решта елементів матриць a_n, b_n, c_n -- деякі комплексні числа, а всі інші елементи матриці J_U дорівнюють нулю. Матриці J_U та спряжена до неї діють наступним чином:

де символ ^* означає операцію спряження. Нехай dс(^.) -- борелева ймовірнісна міра на і -- простір квадратично інтегровних комплекснозначних функцій, визначених на . Припустимо, що носій цієї міри -- це нескінченна множина, і тому послідовність функцій 1; z, z^-1; z², z^-2; …; zⁿ, z^-n; … буде лінійно незалежною системою в Застосуємо до цієї сім'ї процедуру ортогоналізації Грамма--Шмідта. Отримуємо ортонормований базис в цьому просторі, що складається з поліномів вигляду:

(9)

де k_n;0>0, k_n;1>0. Відомо, що унітарний оператор множення на незалежну змінну z в просторі в ортонормованому базисі поліномів (9) має вигляд трьохдіагональної блочної якобієвої унітарної матриці , яка діє в просторі (7) та має вигляд (8) з коефіцієнтами, які визначені згідно з формулами

та виконуються такі рекурсивні співвідношення:

(10)

де P_n(z)=(P_n;0(z),P_n;1(z))^T. У пункті 4.1.2 встановлено відповідність між рекурсивним співвідношенням Сеґьо для нормованих монічних взаємоортогональних поліномів на одиничному колі та системою рівнянь (10). Так, розглянемо монічні ортогональні поліноми визначені в такий спосіб:

та відображення, відмічене подвійним символом ^*,n, що діє за правилом Для поліномів виконується рекурсія Сєґьо:

(11)

де -- коефіцієнти Верблунського. З теорії ортогональних поліномів на одиничному колі отримуємо, що рекурсії Сєґьо (11) еквівалентні такі рекурсивні формули:

(12)

(13)

де с_n=(1-|б_n|²)^1/2. Наступна теорема показує, що рекурсія Сеґьо (11) є не що інше, як модифікація системи рівнянь, що дозволяє відновити всі поліноми першого роду для трьохдіагональної блочної якобієвої унітарної матриці. Цей результат був сформульований Ю.М. Березанським та доведений дисертантом і О.А. Мохоньком.

Теорема 4.1.3. Система рівнянь (12), (13) та система (10) еквівалентні.

У підрозділі 4.2 коротко окреслено спектральну теорію трьохдіагональних блочних якобієвих нормальних матриць та отримано аналог рекурсії Сеґьо для відповідних поліномів першого роду.

П'ятий розділ містить основні результати роботи та присвячений спектральній теорії узагальнених якобієвих ермітових матриць.

У підрозділі 5.1 вводяться згадані вище матриці, які є трьохдіагональними блочними якобієвими ермітовими матрицями з рівномірно зростаючими розмірами блоків. Розглянемо комплексний гільбертів простір

(14)

що складається з послідовностей векторів зі скалярним добутком де Введемо в 1₂ природний базис такий, що

Розглянемо гільбертове оснащення простору 1₂ вигляду

(15)

де 1₂(p) -- це простір з такою ж, як і в 1₂ структурою, зі скалярним добутком та заданою вагою Припустимо, що . Тобто вкладення є квазіядерним. Розглянемо в просторі (14) ермітову матрицю з матричнозначними комплексними елементами наступної блочної якобієвої структури:

(16)

Матриці такого вигляду надалі називатимемо узагальненими якобієвими ермітовими матрицями. Для того, щоб матриця G була ермітовою, необхідно і достатньо, щоб (тут значок ^* означає операцію спряження до матриці). Матриця G діє на u в такий спосіб:

(17)

при цьому завжди припускатимемо, що a_-1=0, u_-1=0. Матриця G породжує оператор в просторі 1₂. А саме, розглянемо оператор G' на фінітних векторах з 1₂, який діє за формулою (17), тобто Оператор G' є ермітовим. Позначимо через замикання оператора G' в 1₂. Оператор G ермітів, проте не обов'язково самоспряжений.

У підрозділі 5.2 досліджується самоспряженість оператора Рівняння на пошук власних векторів G має вигляд

(18)

де -- нескінченний вектор (не обов'язково з 1₂), ц_-1(z)=0 та z -- деяке комплексне число.

Теорема 5.2.1. Оператор G самоспряжений тоді і тільки тоді, коли для будь-якого ненульового розв'язку системи (18) виконується рівність де

Теорема 5.2.2. Нехай матриця G така, що де ||^.||_k;l позначає норму матриці розміру (l+1)Ч(k+1) чи оператора з H_k в H_l, що відповідає їй. Тоді оператор G є самоспряженим.

У підрозділі 5.3 розв'язується пряма спектральна задача для узагальнених якобієвих ермітових матриць. Пункт 5.3.1 присвячений розв'язанню цього питання у загальному випадку. Розглянемо рівняння (18) для дійсного z, тобто :

(19)

Має місце неоднозначність при розв'язку цього рівняння, тобто при відновленні узагальнених власних функцій. Вона пов'язана з необоротністю матричних елементів на бічних діагоналях матриці G та істотно впливає на побудову спектральної теорії. Для її побудови додатково припустимо, що:

1) матриця є такою, що для матриці існує обернена матриця (згідно з позначенням, матриця дорівнює матриці c_j без нульового стовпчика) розташування оборотного мінора в матриці може бути й іншим.;

2) нульовий елемент вектора є певна фіксована комплексна стала, тобто де ц_j;0 не залежить від л і ц_0;0= ц₀. Таким чином, зазначені вище ц_j;0 породжують нескінченний вектор "крайових" (чи початкових) умов ц._;0=(ц₀, ц_1;0, ц_2;0,…)^T.

Позначимо для будь-якого фіксованого через розв'язок рівняння (19) за цих припущень з крайовими умовами де д_j;б -- д-символ Кронекера. P_б;(j,k)(л) є поліномами з комплексними коефіцієнтами від дійсного л. Для будь-яких j=0,1,…, k=1,2,…,j виконується така формула:

(20)

Використовуючи рекурсивну формулу (20), можна визначити крок за кроком всі поліноми P_б;(j,k)(л) для всіх допустимих значень коефіцієнтів j,k при довільному фіксованому б. Для розв'язків ц_j(л) мають місце такі формули в векторному і координатному записах:

(21)

Теорема 5.3.1. Всі розв'язки рівняння (19) мають вигляд (21), де P_б;(j,k)(л) - це поліноми, які задаються рекурсивними формулами (20) з початковими умовами

Перейдемо до побудови відповідного розкладу за узагальненими власними функціями в оснащенні (15) оператора Оскільки в загальному випадку оператор G ермітів, то будуватимемо розклад для його самоспряженого розширення (в 1₂ чи з виходом у ширший простір). Нехай E(^.), взагалі кажучи, -- узагальнений розклад одиниці, що відповідає оператору G. Відомо, що

(22)

де dу(^.) -- невід'ємна скінченна міра з нескінченною множиною точок росту, визначена на борелевій у-алгебрі , Ц(^.) -- визначена у-майже скрізь операторнозначна функція, значеннями якої є оператори з 1₂(p) в 1₂(p^-1). Причому, Ц(^.) є позитивно визначеним ядром, тобто Для оператора G має місце представлення

(23)

та виконується рівність Парсеваля

Оператор Ц(^.) є матричним і його матриця є позитивно визначена, де . Позначимо через елемент матриці Ц_j,k(л) такий, що

Лема 5.3.1. Для будь-яких фіксованих елементи матриці мають таке представлення:

де l=0,…,j, m=0,…,k.

Побудуємо спектральну матричну міру У(^.) за формулою:

(24)

Введемо позначення де д_j -- вектор із такий, що Розглянемо простір фінітних векторів u(л)=(u₀(л), u₁(л), …)^T, (тут u_i(^.), i=0,1,…, -- комплекснозначна функція дійсної змінної) зіскалярним добутком

Визначимо тепер гільбертів простір як поповнення простору фінітних векторів по скалярному добутку та перетворення Фур'є за формулою

(25)

Отримуємо таку рівність Парсеваля:

(26)

Введемо, крім того, таке позначення:

Відмітимо, що вектори, елементами яких є поліноми, будемо називати "вектори поліномів".

Після цього приходимо до висновку, що виконуються співвідношення ортогональності:

(27)

та мають місце представлення:

(28)

(29)

Розв'язок прямої спектральної задачі відображає така теорема.

Теорема 5.3.2. Нехай згідно з представленнями (22) та (23) Ц(^.) і у(^.) є відповідно операторнозначна функція та міра, що відповідають матриці G. Побудуємо спектральну матрицю (міру) dУ(^.) за формулою (24). Тоді виконуються співвідношення ортогональності (27), а розклад за узагальненими власними векторами, що відповідає розкладу одиниці E(^.) (звичайному чи узагальненому) оператора G, записується за допомогою формул (25) та (26). Оператор G можна відновити за допомогою формул (28) та (29).

У пункті 5.3.2 уточнено загальні та отримано деякі нові результати, що стосуються прямої спектральної задачі для певного класу узагальнених якобієвих ермітових матриць, визначених далі. Розглянемо в просторі 1₂ матрицю G типу (16) з елементами вигляду:

(30)

a_j, b_j, c_j, j=0,1,…, є дійснозначними матрицями.

Лема 5.3.3. Для будь-якого фіксованого і k=0,…,j вектор поліномів P._;(j,k)(л) для матриці G вигляду (16) з елементами (30) є лінійною комбінацією векторів з такої множини:

(31)

Ця лінійна комбінація складається з л^kд_j-k з додатним коефіцієнтом та всіх інших векторів з (31) з деякими дійсними коефіцієнтами.

Для спектральної міри У(^.), що відповідає матриці G з елементами (30), виконуються умови:

(32)

(33)

(34)

У підрозділі 5.4 розглядається обернена спектральна задача для узагальнених якобієвих ермітових матриць. А саме, досліджуються питання:

1. Чи можна відновити узагальнену якобієву ермітову матрицю за її спектральною мірою і за якою процедурою це можна зробити?

2. Якщо можна, то які умови необхідно накласти на міру, щоб вона була спектральною мірою деякої узагальненої якобієвої ермітової матриці?

У пункті 5.4.1 розглянуто обернену спектральну задачу для узагальнених якобієвих ермітових матриць G типу (16) з елементами (30). А саме, нехай задано довільну операторнозначну міру тобто є лінійним обмеженим оператором в Нехай ця міра така, що:

(i) У(^.) невід'ємна, тобто -- невід'ємний оператор;

(ii) виконуються умови (32), (33), (34), де ;

(iii) мають місце такі нерівності:

(35)

Розглянемо сукупність борелевих множин повної міри відносно У(^.), тобто Носій міри У(^.) визначимо як перетин усіх замкнених множин повної міри відносно У(^.). Припустимо, що в система (31) для будь-яких j,k таких, що складається з лінійно незалежних елементів.

Теорема 5.4.1. Нехай -- це задана операторнозначна міра. Вектори системи (31) лінійно незалежні в просторі для всіх допустимих значень j,k, тобто для j,k таких, що j=0,1,…, k=0,…,j, тоді і тільки тоді, якщо носій міри У(^.) містить нескінченну множину точок.

Застосуємо до системи (31) процедуру ортогоналізації Грамма--Шмідта в згідно з порядком

Відповідно до цієї процедури отримуємо певні вектори поліномів Q_j;k(л). Задамо елементи матриці формулами

(36)

де і, зокрема,

(37)

Наступна теорема є основною для оберненої спектральної задачі.

Теорема 5.4.7. Нехай -- це деяка невід'ємна операторнозначна міра, значеннями якої є обмежені оператори в Тоді dУ(л) є спектральною мірою (матрицею), яка відповідає деякій узагальненій якобієвій ермітовій матриці G типу (16) з коефіцієнтами вигляду (30), тоді і тільки тоді, коли виконуються умови:

1) мають місце співвідношення (32), (33), (34) і (35), тобто (ii) та (iii) виконуються;

2) довільна система векторів (31) є лінійно незалежною в або, що те ж саме, містить нескінченну множину точок.

Якщо виконуються умови 1) та 2), то елементи матриці G обчислюються за формулами (36) коректно, тобто всі коефіцієнти є такими, що узагальнена якобієва ермітова матриця G має вигляд (16) з елементами a_j, b_j, c_j, j=0,1,…, типу (30), які визначаються згідно з (37).

У пункті 5.4.2 обговорюються проблеми, пов'язані з розв'язуванням оберненої спектральної задачі у загальному випадку.

У підрозділі 5.5 досліджується узагальнена самоспряженість операторів, породжених узагальненими якобієвими ермітовими матрицями. Доведено аналоги результатів, отриманих у підрозділі 3.4.

У підрозділі 5.6 описано шляхи можливих застосувань спектральної теорії узагальнених якобієвих ермітових матриць для розв'язків певних узагальнень ланцюжків Тоди та проблеми моментів.

Аналог ланцюжка Тоди для узагальненої якобієвої ермітової матриці G (16) з елементами (30), що залежать від змінної t, має вигляд:

(38)

Доцільно розглянути задачу Коші для (38). Її розв'язування, мабуть, можливе за допомогою спектральної теорії узагальнених якобієвих ермітових матриць -- подібно до того, як це робилося у випадку звичайних ермітових або блочних унітарних та нормальних матриць.

Узагальнення проблеми моментів започатковується наступним чином. Нехай задана деяка послідовність дійснозначних нескінченних матриць Необхідно відшукати та вивчити умови, які гарантують існування представлення

де є спектральною мірою, яка відповідає деякій узагальненій якобієвій ермітовій матриці G типу (16) з коефіцієнтами вигляду (30).

Висновки

Дисертація присвячена спектральній теорії узагальнених якобієвих матриць та відповідним питанням. Отримано низку нових результатів:

1. Введено узагальнені якобієві ермітові матриці, оператори, породжені ними, та досліджено їх самоспряженість.

2. Розв'язано пряму спектральну задачу для узагальнених якобієвих ермітових матриць. А саме, введено поліноми першого роду для цих матриць (узагальнені власні функції), досліджено їх структуру та побудовано розклад за ними.

3. Розв'язано обернену спектральну задачу для певного класу узагальнених якобієвих ермітових матриць. Зокрема, розроблено процедуру, за якою можна відновити елементи узагальненої якобієвої ермітової матриці за її спектральною мірою, та встановлено необхідні та достатні умови, які гарантують, що матрична міра є спектральною мірою для цієї матриці.

4. Доведено еквівалентність між рекурсивним співвідношенням Сеґьо для ортогональних поліномів на одиничному колі та системою рівнянь для підрахунку поліномів першого роду, що відповідають трьохдіагональним блочним якобієвим унітарним матрицям.

5. Отримано критерій узагальненої самоспряженості в сенсі гільбертового оснащення в термінах класичної самоспряженості у початковому просторі.

6. Досліджено питання узагальненої самоспряженості для лінійних збурень, оператора диференціювання та операторів, породжених класичними та узагальненими якобієвими матрицями у ваговому гільбертовому оснащенні.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Ivasiuk I.Ya. Generalized selfadjointness of differentiation operator on weight Hilbert space / Ivan Ya. Ivasiuk // Methods of Funct. Anal. and Topology. 2007. Vol. 13, № 4. P. 333--337.

2. Berezansky Yu.M. Recursion relation for orthogonal polynomials on the complex plane / Yu.M. Berezansky, I.Ya. Ivasiuk, O.A. Mokhonko // Methods of Funct. Anal. and Topology.2008. Vol. 14, № 2. P. 108--116.

3. Ivasiuk I.Ya. Direct spectral problem for the generalized Jacobi Hermitian matrices / I.Ya. Ivasiuk // Methods of Funct. Anal. and Topology. 2009. Vol. 15, № 1. P. 3--14.

4. Ivasiuk I.Ya. Generalized Selfadjoint Operators / Ivan Ya. Ivasiuk // Operator Theory: Advances and Applications.2009. Vol. 190. P. 329--334.

5. Ivasiuk I.Ya. Inverse spectral problem for some generalized Jacobi Hermitian matrices / I.Ya. Ivasiuk // Methods of Funct. Anal. and Topology. 2009. Vol. 15, № 4. P. 333--355.

6. Ivasiuk I. Generalized Selfadjoint Operators / Ivan Ivasiuk // Modern Analysis and Applications (MAA 2007): international conference dedicated to the centenary of Mark Krein, April 9--14 2007, Odessa, Ukraine: book of abstracts. Kyiv: Institute of Math., NAS of Ukraine, 2007. P. 64.

7. Івасюк І.Я. Теорія трьохдіагональних блочних якобієвих матриць та її зв'язок з рекурсією Сеге для ортогональних поліномів / І.Я. Івасюк // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука: міжнар. наук. конф., 15--17 трав. 2008р., Київ: матеріали конф. К.: ТОВ "Задруга", 2008. С. 626.

8. Івасюк І.Я. Спектральна теорія самоспряжених узагальнених якобієвих матриць / І.Я. Івасюк // Нелінійні проблеми аналізу: всеукраїнська наук. конф., 10--12 вер. 2008р., Івано-Франк.: тези доповідей. Івано-Франк.: Плай, 2008. С. 40.

9. Ivasiuk I. Generalized selfadjointness of operators generated by classical and generalized Jacobi Hermitian matrices / Ivan Ivasiuk // Infinite Dimensional Analysis and Topology: international scient. conf., May 27 -- June 1 2009, Ivano-Frank., Ukraine: abstracts. Ivano-Frank., 2009. P. 65--66.

10. Івасюк І. Обернена спектральна задача для узагальнених якобієвих ермітових матриць / Іван Івасюк // Український математичний конгрес -- 2009 (до 100-річчя від дня народження Миколи М. Боголюбова): міжнар. наук. конф., 27--29 серпня 2009р., Київ: тези доповідей. Режим доступу до тез: http://www.imath.kiev.ua/^~congress2009/Abstracts/Ivasyuk.pdf.

Анотація

Івасюк І.Я. Спектральна теорія узагальнених якобієвих ермітових матриць. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертація присвячена вивченню, розвитку та розробці спектральної теорії певних класів якобієвих матриць.

У дисертації введено певні трьохдіагональні блочні якобієві ермітові матриці з рівномірно зростаючими розмірами блоків, які є основним об'єктом дослідження. Для узагальнених в такому сенсі якобієвих ермітових матриць розв'язано пряму спектральну задачу та побудовано операторнозначну спектральну міру. Ця міра, як виявляється, має представлення у вигляді нескінченновимірної матриці. Для певного типу узагальнених якобієвих ермітових матриць розв'язано обернену спектральну задачу і знайдено необхідні та достатні умови, за яких деяка нескінченновимірна матричнозначна міра є спектральною мірою, що відповідає узагальненій якобієвій ермітовій матриці даного типу.

Разом з тим, вивчається спектральна теорія трьохдіагональних блочних якобієвих унітарних та нормальних матриць. Показано, що рекурсія Сеґьо є не що інше, як система рівнянь для визначення поліномів першого роду, які відповідають трьохдіагональним блочним якобієвим унітарним матрицям.

Крім того, досліджується узагальнене в сенсі гільбертового оснащення поняття самоспряженості та отримано низку результатів в цьому напрямку.

Ключові слова: узагальнена якобієва матриця, трьохдіагональна блочна якобієва матриця, спектральна теорія, пряма та обернена спектральна задача, рекурсія Сеґьо, гільбертове оснащення, узагальнена самоспряженість.

Аннотация

Ивасюк И.Я. Спектральная теория обобщенных якобиевых эрмитовых матриц. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертация посвящена исследованию, развитию и разработке спектральной теории некоторых классов якобиевых матриц.

В диссертации введены определенного типа трёхдиагональные блочные якобиевы эрмитовы матрицы с равномерно растущими размерами блоков, которые являются основными объектами исследования. Для обобщенныхв таком смысле якобиевых эрмитовых матриц решена прямая спектральная задача и построена операторнозначная спектральная мера. Эта мера, как оказывается, имеет представление в виде бесконечномерной матрицы. Для некоторого типа обобщенных якобиевых эрмитовых матриц решена обратная спектральная задача и найдены необходимые и достаточные условия, при которых некоторая бесконечномерная матричнозначная мера является спектральной мерой, которая соответствует обобщенной якобиевой эрмитовой матрице данного типа.

Также исследуется спектральная теория трёхдиагональных блочных якобиевых унитарных и нормальных матриц. Показано, что рекурсия Сегё есть не что иное, как система уравнений для поиска полиномов первого рода, которые соответствуют трёхдиагональным блочным якобиевым унитарным матрицам.

Кроме того, изучается обобщенное в смысле гильбертова оснащения понятие самосопряженности и получен ряд результатов в этом направлении.

Ключевые слова: обобщенная якобиева матрица, трёхдиагональная блочная якобиева матрица, спектральная теория, прямая и обратная спектральная задача, рекурсия Сегё, гильбертово оснащение, обобщенная самосопряженность.

Summary

Ivasiuk I.Ya. Spectral theory of generalized Jacobi Hermitian matrices. -- Manuscript.

The thesis for obtaining the candidate of physical and mathematical sciences degree on the speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. -- Institute of mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to investigation of spectral theory of Jacobi matrices of some types.

The introduction is dedicated to substantiation report of urgency of research issue, defining of goal and tasks of the investigation and its scientific novelty, describing of the structure of dissertation.

The first section deals with inspection of bibliography.

Construction of Hilbert space rigging is recalled and generalization of selfadjointness in sense of this rigging are considered in the second section.

In the third section we recall spectral theory of the classical Jacobi matrices and investigate selfadjointness and generalized selfadjointness of operators generated by these matrices.

The spectral theory of three-diagonal block Jacobi unitary and normal matrices is considered in the fourth section. In this section it is shown that Szegх recursion is some modification of system of equations, which is used for finding of polynomials of first order that correspond to the three-diagonal block Jacobi unitary matrix. This gives the possibility to generate this recursion on block Jacobi normal matrix.

The fifth section is devoted to main results of the dissertation. Here we introduce generalized Jacobi Hermitian matrices of view

and investigate spectral theory of such matrices. We consider selfadjointness and generalized selfadjointness of operators generated by the matrix G.

Direct spectral problem for generalized Jacobi Hermitian matrices is solved and respective spectral measure is constructed. In direct spectral problem main complication is connected with the irreversibility of matrices c_i. This form of G leads to the operator-valued spectral measure values of which are nonnegative operators on the space .

Also we solved inverse spectral problem for some class of matrices G and found necessary and sufficient conditions, which guarantee that operator valued measure is the spectral measure of generalized Jacobi Hermitian matrices of this class.

We also describe possible ways for application of the spectral theory constructed in this section to difference-differential nonlinear equations and matrix moment problem.

Key words: generalized Jacobi matrix, three-diagonal bloc Jacobi matrix, spectral theory, direct and inverse spectral problem, Szegх recursion, Hilbert space rigging, generalized selfadjointness.

Размещено на Allbest.ru