Про системи підпросторів гільбертового простору

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.98

ПРО СИСТЕМИ ПІДПРОСТОРІВ ГІЛЬБЕРТОВОГО ПРОСТОРУ

01.01.01 -- математичний аналіз

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Грушевой Роман Васильович

Київ 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України, професор САМОЙЛЕНКО ЮРІЙ СТЕФАНОВИЧ, Інститут математики НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, КОЧУБЕЙ АНАТОЛІЙ НАУМОВИЧ, Інститут математики НАН України, завідувач відділу нелінійного аналізу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент ПРОСКУРІН ДАНИЛО ПАВЛОВИЧ, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, доцент кафедри дослідження операцій.

Захист відбудеться 01.02.2011 р. О 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенівська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 31.12.2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тематики.

Спектральна теорема про розклад самоспряженого оператора у прямий інтеграл найпростіших є однією з найважливіших теорем функціонального аналізу. У випадку двох самоспряжених операторів аналогічну теорему одержати дуже важко, а задача класифікації пари обмежених самоспряжених операторів з точністю до унітарної еквівалентності є еталоном складності в теорії *-зображень (*-дикою задачею). Але для наборів самоспряжених операторів, що задовольняють деякі співвідношення, можна отримати спектральні теореми (Дж. фон Нейман, М.Г. Крейн, П. Халмош, Ч. Девіс, Ю.М. Березанський, І.М. Гельфанд, М.А. Наймарк, Ю.С. Cамойленко, В.Л. Островський, В.С. Шульман та ін.). Зокрема, в середині минулого сторіччя було отримано теорему про опис з точністю до унітарної еквівалентності пари ортопроекторів (Ч. Девіс, П. Халмош, Т. Като та ін.). Для n?3 ортопроекторів задача їх класифікації з точністю до унітарної еквівалентності є надзвичайно складною.

Разом з тим глибокі результати були одержані в другій половині ХХ сторіччя із опису систем підпросторів лінійного простору (Ш. Бреннер, І.М. Гельфанд, В.О. Пономарьов, Л.А. Назарова, А.В. Ройтер та ін.). Системам підпросторів у гільбертових просторах (наборам ортопроекторів) також присвячено численні дослідження І.М. Гельфанда, П. Філмора, М. Еномото, Я. Вататані, Ю. Накамури та багатьох інших. У різних задачах функціонального аналізу виникають додаткові умови на системи підпросторів гільбертових просторів, що дає можливість отримати опис незвідних систем підпросторів з точністю до унітарної еквіваленості. Зокрема, при розв'язанні узагальненої проблеми Г. Вейля виникає умова, що лінійна комбінація ортопроекторів дорівнює скалярному оператору (ортоскалярні системи підпросторів). Такі системи підпросторів досліджуються в роботах С.А. Кругляка, А.В. Ройтера, Ю.С. Самойленка, В.Л. Островського, В.І. Рабановича, С.В. Поповича та ін. При вивченні зображень алгебр Темперлі-Ліба виникають системи підпросторів гільбертового простору з фіксованими кутами між парами (конфігурації підпросторів). Такі системи є предметом дослідження в недавніх роботах київський математиків: М.О. Власенко, Н.Д. Попової, Ю.С. Самойленка, О.В. Стрільця та ін.

Таким чином, дослідження систем підпросторів гільбертового простору з додатковими умовами на підпростори є актуальною, важливою та корисною задачею функціонального аналізу.

У дисертаційній роботі описуються класи систем підпросторів гільбертового простору з умовою на розмірності підпросторів, досліджуються ортоскалярні системи зі спеціальними характерами, а також досліджуються системи підпросторів зі встановленим частковим порядком на них, що мають алгебраїчне походження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі функціонального аналізу у відповідності до загального плану дослідження в рамках науково-дослідної роботи “Методи функціонального аналізу в задачах математичної фізики”.

Номер державної реєстрації 0106U000091.

Мета і завдання дослідження. Об'єкт дослідження: системи підпросторів гільбертового простору.

Предмет дослідження: опис з точністю до унітарної еквівалентності систем підпросторів гільбертового простору з додатковими умовами, а саме: ортоскалярності, одновимірності підпросторів, симетричності, часткового порядку тощо.

Метою роботи є отримання опису систем одновимірних підпросторів гільбертового простору; опис можливих параметрів в ортоскалярних системах з цілочисельними характерами; доведення теореми про унітаризацію лінійних зображень частково впорядкованих множин скінченного типу; дослідження характерів, з якими унітаризується кожне нерозкладне зображення частково впорядкованих множин скінченного типу.

Основними завданнями дослідження є: дослідити існування незвідних простих конфігурацій підпросторів гільбертового простору, зокрема описати всі незвідні симетричні системи підпросторів; дослідити множини параметрів ? таких, що оператор ?I є сумою невід'ємних операторів з цілочисельними спектрами; описати множини характерів, з якими незвідні зображення примітивних частково впорядкованих множин скінченного типу унітаризуються та дослідити, чи можливо унітаризувати будь-які лінійні нерозкладні зображення частково впорядкованих множин скінченного типу.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Отримано опис незвідних симетричних систем одновимірних підпросторів гільбертового простору з точністю до унітарної еквівалентності.

2. Знайдено критерій існування незвідних простих конфігурацій одновимірних підпросторів гільбертового простору.

3. Описано множини параметрів ? таких, що оператор ?I можна подати у вигляді суми невід'ємних операторів з цілочисельними спектрами. Коли в сумі операторів не менше, ніж 4, або лише 2, то множини описані повністю, множина описана для параметрів таких, що граф є діаграмою Динкіна, розширеною діаграмою Динкіна або містить розширену діаграму Динкіна в якості підграфа і не містить інших розширених діаграм Динкіна.

4. Описано множину характерів для кожного незвідного зображення всіх примітивних частково впорядкованих множин скінченного типу, з якими унітаризується це зображення.

5. Наведено список невироджених частково впорядкованих множин скінченного типу та описано всі їх невироджені зображення.

6. Доведено теорему про унітаризацію всіх нерозкладних зображень частково впорядкованих множин скінченного типу.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані при подальшому вивченні систем підпросторів гільбертового простору, при дослідженні зображень *-алгебр, породжених ортопроекторами та при розв'язанні інших задач функціонального аналізу та теорії зображень.

Методи дослідження. В дисертації використовуються методи спектральної теорії операторів, теорії зображень *-алгебр в гільбертових просторах, відповідні функтори Кокстера в системах підпросторів.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження, постановка задач належать науковому керівникові проф. Ю.С. Самойленку. Доведення всіх результатів дисертації проведено автором самостійно. В спільній роботі [4] дисертанту належить включена в дисертацію теорема про унітаризацію нерозкладних зображень примітивних частково впорядкованих множин скінченного типу та опис характерів для кожного незвідного зображення всіх примітивних частково впорядокованих множин (чвм) скінченного типу, з якими унітаризується це зображення. В роботі [5] дисертантом доведено включену в дисертаційну роботу теорему про опис невироджених частково впорядкованих множин та опис їхніх невироджених лінійних зображень, а також теорему про унітаризацію всіх нерозкладних зображень частково впорядкованих множин скінченного типу. В спільній роботі [3] дисертантом отримано опис всіх незвідних симетричних систем одновимірних підпросторів з точністю до унітарної еквівалентності та критерій існування конфігурацій одновимірних підпросторів гільбертовго простору з одним кутом. Всі результати, що ввійшли до основних результатів дисертації, доведено дисертантом самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації неодноразово доповідалися та обговорювалися на семінарі “Алгебраїчні проблеми функціонального аналізу” (Інститут математики НАН України, Київ; керівник семінару -- член-кореспондент НАН України доктор ф.-м. наук Ю.С. Самойленко), а також на семінарі “Seminar on Functional Analysis and Applications” (Instituto Superior Tecnico, Universidade Tecnica de Lisboa, Portugal; Chairm. -- prof. Frank-Olme Speck) та на таких конференціях і школах: гільбертовий підпростір множина зображення

* The 22-th International Conference on Operator Theory, West University Timisoara, Romania, July 3-8, 2008.

* International Summer School on Operator Algebras and Applications (OAA-2009), Instituto Superior Tecnico, Univercnica de Lisboa, Portugal, June 15-19, 2009.

* Український математичний конгрес -- 2009 (до 100-річчя від дня народження Миколи М. Боголюбова), Київ, Інститут математики НАН України, 27-29 серпня 2009.

* XХI международная Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2010), Крым, Ласпи, 17-30 сентября, 2010.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 5 роботах, з яких 4 -- статті у фахових виданнях [1, 2, 3, 4] і один препринт, опублікований в гетеборзькому університеті [5], та 3 -- тези доповідей на наукових конференціях [6, 7, 8].

Структура й об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 57 найменувань, та двох додатків. Загальний об'єм дисертації складає 132 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У першому розділі роботи дано ряд означень, зроблено огляд тематики та наведено техніку дослідження систем підпросторів, що застосовується в дисертаційному дослідженні. Зокрема, в підрозділі 1.1 дано означення системи підпросторів гільбертового простору, унітарної еквівалентності двох систем підпросторів та незвідності системи підпросторів.

Пари підпросторів вивчені та описані в роботах Ч. Девіса (1958р), П. Халмоша (1969р.) і багатьох інших авторів, а задача опису всіх незвідних n-ок підпросторів з точністю до унітарної еквівалентності стає вже надзвичайно складною при n?3.

В підрозділі 1.2 наведено кілька типів додаткових умов на системи підпросторів, при яких вивчення таких систем вже є розв'язною задачею і при : умова на набори кутів між кожною парою підпросторів в системі (системи з фіксованими наборами кутів між кожною парою підпросторів називаються конфігураціями підпросторів) та умова ортоскалярності для систем підпросторів (, де -- ортопроектори на підпростори системи). Такі системи досліджуються в розділах 2, 3 та 4 дисертаційної роботи.

В підрозділі 1.3 дано основні означення, які стосуються -алгебр, заданих твірними та визначальними співвідношеннями, а також вказано на зв'язок між зображеннями -алгебр:

(тут -- простий неорієнтовний граф, а ) та

(тут ), що породжені самоспряженими ідемпотентами, в гільбертовому просторі із системами підпросторів гільбертового простору. Умови існування зображень класу таких -алгебр досліджуються в розділі 3.

У підрозділі 1.4 наведено конструкцію функторів Кокстера в категорії -ок підпросторів гільбертових просторів та в її підкатегорії ортоскалярних -ок підпросторів. Ці функтори є одним з основних інструментів досліджень в розділах 3 та 4.

У другому розділі розглянуто системи одновимірних підпросторів гільбертового простору . У підрозділі 2.1 наведемо умови унітарної еквівалентності та незвідності таких систем в термінах матриць Грама, що відповідають системам підпросторів.

Матриця Грама (тут -- скалярний добуток в ), що відповідає системі підпросторів однозначно визначається системою, де -- довільний набір одиничних векторів.

У роботі доведено наступні твердження:

Твердження 2.1.1 Системи одновимірних підпросторів та є унітарно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли існує унітарний оператор такий, що , де та -- матриці Грама систем одиничних векторів та відповідно.

Твердження 2.1.2 Система одновимірних підпросторів незвідна тоді і тільки тоді, коли матриця Грама -- нерозкладна.

Таким чином, показано, що вивчення незвідних систем одновимірних підпросторів з точністю до унітарної еквівалентності -- це вивчення всіх нерозкладних ермітових невід'ємно визначених матриць з одиницями на діагоналі з точністю до діагонального унітарного оператора.

Кожна система одновимірних підпросторів є простою конфігурацією підпросторів. В підрозділі 2.2 досліджено конфігурації одновимірних підпросторів.

Отримано критерій існування незвідної конфігурації одновимірних підпросторів гільбертового простору, пов'язаної з графом в якій всі кути рівні ():

Нехай матриця відрізняється від матриці суміжності графа тим, що та для ребер , викинувши які з графа отримуємо дерево. Позначимо . Тоді це число не залежить від вибору ребер , без яких граф стане деревом і виконується така теорема.

Теорема 2.2.1 Для пари існує незвідна конфігурація одновимірних підпросторів, що відповідає їй тоді і тільки тоді, коли .

В підрозділі 2.3 отримано опис всіх, з точністю до унітарної еквівалентності, незвідних симетричних систем підпросторів гільбертового простору, тобто таких одновимірних систем, для яких набори ортопроекторів та унітарно еквівалентні для всіх .

Теорема 2.3.1 Симетричні системи одновимірних підпросторів з точністю до унітарної еквівалентності такі:

* : не існує незвідних ненульових симетричних систем;

* -- незвідні нееквівалентні симетричні системи з точністю до унітарної еквівалентності та , де -- простір розмірності , , а набори векторів та визначаються матрицями Грама

та

відповідно;

* : існує одна незвідна система підпросторів в просторі розмірності : , , а набір векторів визначається матрицею Грама і одна незвідна система -- в просторі розмірності : , , а набір векторів задається матрицею Грама ;

* : існує єдина незвідна система , де -- простір розмірності , , а набір векторів задається матрицею Грама ;

* : єдина незвідна симетрична система з точністю до унітарної еквівалентності -- .

В третьому розділі роботи досліджуються системи вже неодновимірних підпросторів гільбертового простору. Вони досліджуються за допомогою матриці Грама системи підпросторів.

Нехай -- система (не обов'язково одновимірних) підпросторів гільбертового простору . Для кожного з підпросторів , , позначимо через ізометричне вкладення підпростору в і визначимо оператор

позначимо

Твердження 3.1.1. Оператор задовольняє умови:

* , ;

* , ;

* ;

З іншого боку кожен невід'ємний оператор з одиничними блоками на діагоналі визначає систему підпросторів гільбертового простору.

Твердження 3.1.2. Невід'ємний оператор , з одиничними блоками по діагоналі та ядром , визначає систему підпросторів гільбертового простору , де .

Якщо системи підпросторів та унітарно еквівалентні, то два оператори та ,що будуються за цими системами, задовольняють умову

і навпаки, кожні два оператори, що задовольняють умови твердження 3.1.1. та пов'язані між собою вказаним вище співвідношенням визначають унітарно еквівалентні системи підпросторів та .

Означення 3.1.1. Оператор , який задовольняє умови твердження 3.1.1. і визначає систему підпросторів гільбертового простору , називатимемо матрицею Грама системи підпросторів і позначатимемо .

Властивості систем підпросторів, зокрема ортоскалярність та симетричність, можна переформулювати у термінах їхніх матриць Грама:

Твердження 3.1.4. Система є ортоскалярною з характером тоді і тільки тоді, коли

ортопроектор.

Твердження 3.1.5. Система підпросторів буде симетричною тоді і тільки тоді, коли при довільній одночасній перестановці рядків і стовпців матриці Грама цієї системи отримаємо матрицю Грама цієї ж системи.

У підрозділі 3.2 за допомогою матриці Грама системи підпросторів гільбертового простору вивчаються властивості функторів Кокстера, зокрема дія функторів Кокстера на кутах між парами підпросторів ортоскалярної системи . Позначимо через множину кутів між -им та -им підпросторами в системі .

Теорема 3.2.1. Нехай -- ортоскалярна система підпросторів, і ортопроектори на відповідні підпростори задовольняють рівність

з умовою . Тоді множина кутів між -им та -им підпросторами в системі підпросторів, отриманій з початкової шляхом застосування функтора Кокстера

Ця теорема дає можливість вивчати ортоскалярні конфігурації підпросторів, що отримуються за допомогою функторів Кокстера з одновимірних.

У підрозділі 3.3 наводяться приклади класів систем підпросторів, які будуються за допомогою функторів із систем одновимірних підпросторів гільбертового простору.

За допомогою ортоскалярних систем підпросторів гільбертового простору в підрозділі 3.4 досліджується важливе питання при яких існує самоспряжених операторів в таких, що (), , і .

При цьому, якщо оператори розглядаються у скінченновимірному або у зліченновимірному просторі, то можна розглядати як такі, для яких існує незвідна ненульова ортоскалярна система підпросторів , де з характером , , за умови, що , і так далі, .

Кожному набору множин можна однозначно поставити у відповідність зірчаcтий граф з гілками, по вершин в кожній:

Далі шукану множину позначатимемо через .

Відповідь отримано таку:

* якщо -- діаграма Динкіна, то мають місце такі рівності:

* для евклідових графів отримано такий опис:

Перелік точок множини в явному вигляді отримати не вдалось. Але зазначимо, що множина є нескінченною і має єдину граничну точку .

Для графів , які містять один з евклідових графів як власний підграф, опис множин отримано для графів , що мають вигляд:

опис множини дає наступна теорема.

Теорема 3.4.1. Для виконується:

Для графів , що містять як власний підграф, множина описується таким чином.

Теорема 3.4.2. Нехай . Тоді

де

У четвертому розділі показано, що всі нерозкладні зображення частково впорядкованих множин скінченного типу унітаризуються.

Нехай -- скінченна множина та відношення часткового прорядку на ній, тобто частково впорядкована множина.

Кажуть, що лінійне зображення чвм можна унітаризувати з характером , якщо в просторі можна ввести скалярний добуток таким чином, що ортопроектори на підпростори () задовольнятимуть умову ортоскалярності з характером .

Унітаризація четвірок підпросторів у лінійному просторі (зображення частково впорядкованої множини ) досліджена в роботі Ю.П. Москальової, та Ю.С. Самойленка (2006р). В дисертаційній роботі, використовуючи функтори Кокстера, отримано доведення можливості унітаризації нерозкладних зображень примітивних чвм скінченного типу:

Теорема 4.5.1. Для кожного нерозкладного лінійного зображення довільної примітивної частково впорядкованої множини скінченного типу існує характер, з яким це зображення унітаризується.

Для опису всіх незвідних ортоскалярних зображень чвм скінченного типу було введено поняття невиродженості зображення.

Означення 4.7.1. Назвемо лінійне зображення чвм невиродженим, якщо воно нерозкладе і виконуються такі умови для всіх :

*

* ;

* для .

Відповідно будемо казати, що чвм є невиродженою, якщо вона має хоч одне невироджене зображення.

Наступна теорема дає повний опис всіх невироджених зображень чвм скінченного типу.

Теорема 4.7.1. Невиродженими частково впорядкованими множинами скінченного типу є чотири примітивні множини: (1,1,1), (1,2,2), (1,2.3), (1,2,4) та непримітивні множини, що зображаються такими діаграмами Хассе:

Крім того, в роботі наведено список всіх невироджених зображень відповідних чвм.

Використовуючи поняття стабільності системи підпросторів, було доведено можливість унітаризації всіх невироджених зображень невироджених чвм і, як наслідок, наступну теорему.

Теорема 4.7.2. Для кожного нерозкладного лінійного зображення довільної чвм скінченного типу знайдеться характер , з яким вона унітаризуються.

В додаток А винесено теорему, в якій для довільного нерозкладного зображення кожної примітивної частково впорядкованої множини скінченного типу описано множини характерів, з якими ці зображення можуть бути унітаризовані. А додаток В містить допоміжну лему, в якій описоно всі можливі підрозмірності точних невироджених зображень частково впорядкованої множини .

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню систем підпросторів гільбертового простору з різними додатковими умовами. В ній отримано такі основні результати:

1. Сформульовано критерій існування (?,?)-конфігурацій одновимірних підпросторів гільбертового простору. Зокрема, у випадку, коли ? -- повний граф, такі конфігурації існують для всіх ??(0,1) і серед них виділяються системи, для яких виконується умова симетрії. В роботі отримано опис всіх незвідних симетричних систем одновимірних підпросторів гільбертового простору з точністю до унітарної еквівалентності.

2. Досліджено, як змінюються одновимірні конфігурації підпросторів коли до них застосовуються функтори Кокстера, та описано множину параметрів ? таких, що оператор ?I можна представити у вигляді суми невід'ємних операторів з цілочисельними спектрами. Коли в сумі операторів не менше ніж 4, або лише 2, то множини описано повністю, а множини описано для параметрів таких, що граф є діаграмою Динкіна, розширеною діаграмою Динкіна, або містить розширену діаграму Динкіна в якості підграфа і не містить інших розширених діаграм Динкіна;

3. Доведено унітаризацію всіх нерозкладних зображень частково впорядкованих множин скінченного типу, при цьому описано невироджені частково впорядковані множини та їх невироджені лінійні зображення. А у випадку примітивних частково впорядкованих множин скінченного типу описано множини характерів, з якими унітаризується кожне нерозкладне зображення.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Грушевой Р. В. Коли сума самоспряжених операторів із заданим цілочисельним спектром є скалярним оператором / Р. В. Грушевой// Укр. мат. журн. 2008. Т.60, № 4. С. 470-- 477.

[2] Грушевой Р. В. Про унітаризацію нерозкладних зображень частково впорядкованих множин скінченного типу/ Р. В. Грушевой// Доповіді НАН України. 2009. №11. С. 17-- 20.

[3] Grushevoy R. V. Systems of one-dimensional subspaces of a Hilbert space / R. V. Grushevoy, Yu. S. Samoilenko// Methods Funct. Anal. Topology. 2010. V. 16, № 2. P. 131-- 139.

[4] Grushevoy R. On the unitarization of linear representations of primitive partially ordered sets / R. Grushevoy, K. Yusenko// Oper. Theory: Adv. and Appl. 2009. V. 190. P. 279-294.

[5] Grushevoy R. Unitarization of linear representations of non-primitive posets/ R. Grushevoy, K. Yusenko -- Gothenburg Sweden. Chalmers University of Technology and University of Gothenburg, 2010. 32 P. (Preprint / Department of Mathematical Sciences Chalmers University of Technology and University of Gothenburg; 2010-35)

[6] Yusenko K. A. Systems of -subspaces in Hilbert space that corresponded to primitive partially ordered sets of finite type / K. A. Yusenko, R. V. Grushevoy// 22nd International Conference on Operator Theory -- Timisoara, July 3-8, 2008. Abstracts:

http://atlas-conferences.com/cgi-bin/abstract/caxn-09

[7] Grushevoy R. V. On symmetric systems of subspaces of Hilbert space / R. V. Grushevoy, Yu. S. Samoilenko // „Український Математичний Конгрес -- 2009”. Київ, 2009. Режим доступу до тез доповідей: http://www.imath.kiev.ua/ congress2009/Abstracts/Grushevoy.pdf.

[8] Двадцать первая крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2010): сборник тезисов / гл. ред. Н. Д. Копачевский, И. В. Орлов. Симферопопль: изд-во КНЦ НАНУ, 2010. 67 c.

АНОТАЦІЯ

Грушевой Р.В. Про системи підпросторів гільбертового простору. -- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню систем підпросторів гільбертового простору. В ній досліджено класи систем одновимірних підпросторів гільбертового простору, зокрема, наведено повний опис з точністю до унітарної еквівалентності всіх незвідних симетричних систем одновимірних підпросторів. Для систем неодновимірних підпросторів гільбертового простору введено поняття матриці Грама системи підпросторів, за допомогою якої досліджено властивості функторів Кокстера та, як наслідок, системи підпросторів які отримуються із систем одновимірних підпросторів при дії на них функторами Кокстера. Досліджено системи підпросторів, що мають алгебраїчне походження -- системи, які одержуємо із лінійних зображень частково впорядкованих множин скінченного типу шляхом унітаризації. В роботі доведено, що всі нерозкладні зображення частково впорядкованих множин скінченного типу унітаризуються з яким-небудь характером, причому для примітивних частково впорядкованих множин описано множини всіх характерів, з якими унітаризується нерозкладне зображення частково впорядкованої множини.

Ключові слова: системи підпросторів, набори ортопроекторів, зображення -алгебр, зображення частково впорядкованих множин.

АННОТАЦИЯ

Грушевой Р.В. О системах подпространств гильбертова пространства. -- Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Исследование систем подпространств конечномерного линейного пространства в середине прошлого столетия привело к важным и интересным результатам. В частности, задача поиска канонического вида линейного преобразования и задача отыскания канонического вида аддитивного соотношения есть частными случаями задачи о классификации четверок подпространств, которая была решена Л. А. Назаровой и И. М. Гельфандом, В. А. Пономаревым.

Диссертационная работа посвящена исследованию систем подпространств гильбертового пространства. В первой главе приведены необходимые определения, примеры, основные понятия и методы исследования.

Вторая глава посвящена изучению одномерных подпространств гильбертового пространства при помощи матрицы Грамма векторов, порождающих подпространства. В частности, приведен критерий существования неприводимых -конфигураций одномерных подпространств и дано полное описание с точностью до унитарной эквивалентности всех неприводимых симметричных систем одномерных подпространств.

В третьей главе изучаются системы неодномерных подпространств, которые получаются из систем одномерных подпространств при действии на них функторов Кокстера. При этом вводится понятие матрицы Грамма для системы подпространств и при ее помощи изучаются свойства функторов Кокстера и систем подпространств, которые получаются из известных при действии на них функторами Кокстера. В этой же главе, используя ортоскалярные системы ортопроекторов, описывается множество параметров , для которых оператор можно представить как сумму неотрицательных операторов с целочисленными спектрами.

Последняя глава диссертации касается вопроса унитаризации систем подпространств линейных пространств. Исследуется проблема о возможности задания скалярного произведения в линейном пространстве таким образом, чтобы система подпространств пространства была ортоскалярной системой подпространств в полученном гильбертовом пространстве с характером . В работе изучается этот вопрос для представлений частично упорядоченных множеств конечного типа. В ней доказано, что все неразложимые представления частично упорядоченных множеств конечного типа унитаризируются с некоторыми характерами, причем для примитивных частично упорядоченных множеств полностью описаны характеры, с которыми унитаризуется каждое неразложимое представление.

Ключевые слова: системы подпространств, наборы ортопроекторов, представления -алгебр, представления частично упорядоченных множеств.

SUMMARY

Grushevoy R. V. On systems of subspaces of a Hilbert space. -- Manuscript. The thesis is presented for the scientific degree of the candidate of physics and mathematics by speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. -- Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv 2010.

Investigations of -tuples of subspaces of linear space becomes a classical problem of linear algebra. Obtained results in this area have led to a solving of important mathematical problems.

The thesis devoted to studying of systems of subspaces of a Hilbert space. Existence of irreducible configurations of one-dimensional subspaces of a Hilbert space associated with simple non-oriented graph and one angle is investigated. All irreducible symmetric systems of one-dimensional subspaces up to unitary equivalence are described. Notion of Gram matrix for system of subspaces of a Hilbert space was proposed in the thesis. Using this notion some properties of a Coxeter functors and of systems of subspaces which obtained from one-dimensional ones using this functors are established.

The sets of parameters for which there exists decomposition of the operator into a sum of self-adjoint operators having their spectra in the sets using orthoscalar systems of subspaces are described.

In the thesis was proved that each indecomposable representation of poset of finite type could be unitarized with some weight and in case of primitive posets for each representation all appropriated for unitarization characters were described.

Key words: system of subspaces, sets of orthoprojections, representations of -algebras, representations of partially ordered sets.

Размещено на Allbest.ru