Прямі та обернені задачі для стільтьєсівських струн

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Прямі та обернені задачі для стільтьєсівських струн

01.01.03 - математична фізика

Бойко Ольга Павлівна

Київ --- 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Південноукраїнському національному педагогічному університеті ім. К.Д. Ушинського.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

ПИВОВАРЧИК ВЯЧЕСЛАВ МИКОЛАЙОВИЧ,

Південноукраїнський національний педагогічний університет ім. К.Д. Ушинського,

завідувач кафедри прикладної математики та інформатики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

НИЖНИК ЛЕОНІД ПАВЛОВИЧ,

Інститут математики НАН України;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

ГРИНІВ РОСТИСЛАВ ОЛЕГОВИЧ,

Інститут прикладних проблем математики та механіки ім. Я.С. Підстригача.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Прямі та оберенені задачі, пов'язані з коливанням струни та їх численні узагальнення є предметом інтенсивного вивчення на протязі багатьох років та одним з актуальних розділів сучасної математичної фізики.

Починаючи з роботи М.Г. Крейна (1952), значна увага приділяється дослідженням коливань стільтьєсівських струн та відповідних обернених задач. Це пов'язано з широким застосуванням моделей, зокрема скінченновимірних, які описують коливання зосереджених мас, в механіці, теорії електричних ланцюгів тощо. Наприклад, в роботах А.Д. Мишкіса та його учнів (1991) було розглянуто задачу про коливання залізничного потягу.

Існує також взаємний зв'язок між дискретними задачами, пов'язаними з коливаннями стільтьєсівських струн, та їх узагальненнями і різницевими задачами, породженими диференціальними рівняннями другого порядку, зокрема рівнянням Штурма--Ліувілля на скінченному інтервалі.

Оскільки у всіх реальних фізичних явищах присутнє в'язке тертя (демпфування), яке пропорційне та протилежно спрямоване швидкості руху елемента маси, великий інтерес становлять задачі, в яких це явище враховується. Зокрема, М. Жален та К. Жан (1972, 1976), а також Т. Актосун, М. Клаус та К. ван дер Мее (1998) вивчали обернені задачі до задач про коливання гладких струн з розподіленим тертям на півосі та всій осі. Прямі задачі з розподіленим демпфуванням на скінченному інтервалі розглядалися, зокрема, у роботах П. Фрейташа (1998).

Останнім часом з'явилося багато публікацій по прямим та оберненим задачам на графах. Фізичне обгрунтування розгляду таких задач можна знайти в роботах П. Кучмента (2004) та П. Екснера (1989). Зокрема, з крайовими задачами на зірковому графі з двома ребрами пов'язана так звана задача відновлення за трьома спектрами, що була розглянута в роботах Ф. Гестезі та Б.Саймона (1999), Р.О. Гриніва та Я. В. Микитюка (2003), В.М. Пивоварчика (1999).

В той час, як в роботах Ф.Гестезі та Б.Саймона, В.М. Пивоварчика, Р.О. Гриніва та Я.В. Микитюка розглянуто крайові задачі, породжені рівнянням Штурма--Ліувілля, також важливим є розгляд трьохспектральних задач, породжених рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни. Більше того, трьохспектральні задачі пов'язані, як це встановлено в дисертації, з крайовою задачею для стільтьєсівської струни, демпфованої в проміжній точці.

Актуальними є також обернені задачі, пов'язані з зірковими графами з ребрами, де ребра є стільтьєсівськими струнами. Такі задачі є прямим узагальненням задачі відновлення за трьома спектрами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконувалась на кафедрi прикладної математики та інформатики Південноукраїнського державного педагогічного університету iм. К.Д.Ушинського. Дослiдження проводились в рамках науково-дослiдної роботи за наступними темами:

* ``Дослідження крайових та обернених задач, проблем керування лінійних та неліній-них рівнянь (номер держ. реєстрації 0106U000467);

* ``Аналітичні та операторні методи в теорії пасивних лінійних систем, теорії керуван-ня та теорії функцій'' (затверджена рішенням Вченої ради ПДПУ ім. К.Д.Ушинського протокол №5 від 28.12.06);

* ``Диференціальні рівняння та системи на стандартних та нестандартних областях'' (номер держ. реєстрації 0109U000186);

* ``Прямі та обернені задачі на графах, в теорії лінійних неконсервативних систем та оптимальні задачі теорії керування'' (номер держ. реєстрації 0109U000182)

* У рамках спільного проекту МОН України та Фонду цивільних досліджень та роз-витку (США) UKM2-2811-OD-06, Direct and Inverse Problems for Differential Systems on Graphs.

Мета і завдання дослідження.

Об'єкт дослідження --- спектральні задачі, які описують малі поперечні коливання демпфованих та недемпфованих скінченновимірних систем.

Предмет дослідження -- розв'язання обернених задач знаходження параметрів стільтьєсівських струн за спектрами крайових задач.

Метою дисертаційної роботи є:

-- характеризація спектрів крайових задач, породжених рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни на скінченному інтервалі та на зірковому графі за умов присутності та відсутності в'язкого тертя;

-- побудова алгоритму відновлення параметрів стільтьєсівських струн за відомим спектром (спектрами) та деякими іншими параметрами;

-- з'ясування єдиності розв'язків таких обернених задач.

Методи дослідження. В роботі використовуються методи теорії функцій комплексної змінної, а саме: теорії неванлінівських функцій та функцій Ерміта--Білера. Також використовується теорія Стільтьєса розвинення функцій у ланцюговий дріб та деякі результати спектральної теорії квадратичних операторних в'язок.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати роботи є новими і полягають у такому:

* Описано спектр задачі, породженої рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни з закріпленим лівим кінцем та в'язким тертям на правому кінці. Отримано також роз-в'язок задачі з закріпленим правим кінцем та рухом з в'язким тертям першої від правого кінця маси. Доведено єдиність розв'язків вищезазначених задач. Для розглянутих струн запропоно-вано алгоритми відновлення параметрів.

* Розглянуто крайові задачі, породжені рекурентними співвідношеннями стільтьєсів-ської струни та двох її частин з умовами Діріхле на кінцях. Описано зв'язок між спектром за-дачі, породженої струною, та спектрами задач, породжених її частинами.

* Розв'язана так звана обернена задача за трьома спектрами. А саме, знайдено умови на три множини дійсних чисел, які є необхідними та достатніми для того, щоб ці множини були спектрами крайових задач, породжених стільтьєсівською струною та її двома частинами з умовами Діріхле на кінцях.

* Описано спектр крайової задачі, пов'язаної з малими поперечними коливаннями стільтьєсівської струни з закріпленими кінцями та в'язким тертям, прикладеним до проміжної точки. Запропоновано алгоритм знаходження множин параметрів відповідної задачі.

* Розглянута крайова задача, пов'язана з малими поперечними коливання зіркового графу з n ребрами, що є стільтьєсівськими струнами. Описано спектр такої задачі.

* Розв'язана обернена спектральна задача, породжена рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни на зірковому графі. Запропоновано алгоритм знаходження параметрів задачі за її спектром. Встановлено достатню умову єдиності розв'язку оберненої задачі.

Практичне значення отриманих результатів. Робота носить теоретиний характер. Її результати становлять інтерес для спеціалістів в області диференціальних рівнянь та математичної фізики і їх застосувань, наприклад в теорії електричних ланцюгів.

пробація результатів. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на семінарах:

1. Міський семінар з функціонального аналізу та його застосувань (м.Одеса), керівник професор Д.З.Аров;

2. Київський міський семінар з функціонального аналізу (м. Київ, Інститут математи-ки НАН України), керівники: академік Ю.М.Бе резанський, член-кор. М.Л. Горбачук, член-кор. Ю.С. Самойленко;

3. Семінар кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського (м. Сімферополь), керівник проф. М.Д. Копачевський;

а також на міжнародних та всеукраїнських математичних конференціях: стільтьєсівська струна рекурентний

1. Всеукраїнський науково-методичний семінар ''Інформаційні технології в навчальному процесі`` (Одеса, 2007);

2. Кримська осіння математична школа-симпозіум зі спектральних та еволюційних задач ''KROMSH-2007`` (Севастополь, 2007);

3. ХІІ Міжнародна наукова конференція, присвячена пам'яті акад. М. П. Кравчука (Київ, 2008);

4. Міжнародна конференція ''Геометрія в Одесі -- 2008`` (Одеса, 2008);

5. ІІ Міжнародна наукова конференція, присвячена 80-річчю Я. С. Підстригача ''Сучасні проблеми механіки та математики`` (Львів, 2008);

6. Кримська осіння математична школа-симпозіум зі спектральних та еволюційних задач ''KROMSH-2008`` (Севастополь, 2008).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в чотирьох статтях [1-4] у фахових наукових виданнях, а також у тезах доповідей міжнародних наукових конференцій [5-7].

Особистий внесок здобувача. Всі представлені в дисертації результати отримано автором особисто. В трьох працях, що написані в співавторстві, постановка задач та наукове керівництво належить В.М. Пивоварчику.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація загальним обсягом 108 сторінок складається з вступу, чотирьох розділів, які поділяються на підрозділи, висновків та списку використаних джерел, що містить 69 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

В першому розділі зроблено огляд літератури за темою дисертації. Також в цьому розділі наведено необхідні в дисертації означення, опис побудови різницевих задач, пов'язаних з рухом стільтьєсівської струни з умовами демпфування; викладено способи побудови розв'язків початково-крайової задачі та задач з умовами Діріхле та Неймана на кінцях. Цей розділ має, здебільшого, реферативний характер

В підрозділі 1.1 зроблено огляд літератури. Підрозділ 1.2 присвячений постановці початково-крайової задачі про демпфовані коливання стільтьєсівської струни, яка має скінченну кількість зосереджених мас.

В цьому ж підрозділі показано існування та єдиність розв'язку початково-крайової задачі та можливість виразу розв'язку через лінійну комбінацію власних та приєднаних векторів відповідної крайової задачі. Це дає можливість в наступних розділах зосередитися на крайових задачах.

У підрозділі 1.3 розглянуто крайові задачі для недемпфованої стільтьєсівської струни.

(1)

Перша з умовами Діріхле на обох кінцях:

(2)

а друга з умовою Діріхле на одному кінці та умовою Неймана на другому:

(3)

Тут спектральний параметр, амплітудний вектор. Розглянуто відомі рекурентні співвідношення, які описують розв'язки цих задач.

У підрозділі 1.4 встановлено зв'язок між характеристичними многочленами задач (1), (2) та (1), (3).

В підрозділі 1.5 наведено означення класу неванліннівських функцій, многочленів Ерміта--Білера та узагальнених многочленів Ерміта--Білера.

Розділ 2 присвячений задачам про коливання демпфованих стільтьєсівських струн.

У підрозділі 2.1 розглядається задача коливань стільтьєсівської струни (1) з умовою Діріхле на лівому кінці та з демпфованим масивним правим кінцем:

(4)

Далі, в цьому підрозділі доведена теорема.

Tеорема 2.1. Власні значення задачі (1), (4) задовольняють умови:

* для ;

* для не суто уявних , крім того кратності симетрично розташованих власних значень співпадають.

В цьому ж підрозділі доведено, що умови попередньої теореми є не тільки необхідними, але й достатніми, а саме, має місце наступний результат

Tеорема 2.3. Нехай задані число та множина комплексних чисел , які задовольняють умови:

* для ;

* для не суто уявних , а кратності симетрично розташованих чисел співпадають.

Тоді існує єдиний набір додатних чисел , єдиний набір додатних чисел , таких, що , та єдине число , які породжують задачу (1), (4) на інтервалі довжини , спектром якої є набір .

Також тут запропоновано метод знаходження параметрів , та за відомим спектром крайової задачі (1), (4) та загальною довжиною струни .

У підрозділі 2.2 розглянуто стільтьєсівську струну (1) з демпфованим правим кінцем без маси, тобто розглянута задача

(5)

Доведено теорему, яка дає необхідні і достатні умови для того, щоб множина комплексних чисел була спектром задачі (1), (5).

Tеорема 2.4. Для того, щоб множина комплексних чисел була спектром задачі (1), (5) з заданою загальною довжиною , необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови:

* для ;

* для не суто уявних , а кратності симетрично розташованих чисел співпадають.

Якщо ці умови виконуються, то існує єдиний набір додатних чисел , єдиний набір додатних чисел такий, що , і єдине , які породжують задачу (0.1), (0.5) на інтервалі довжини , спектром якої є набір .

У підрозділі 2.3 розглядається крайова задача для стільтьєсівської струни з закріпленими кінцями (1), (2) та одновимірним тертям, прикладеним до останньої маси:

(6)

Доведено теорему.

Tеорема 2.5. Нехай задані додатні числа та і множина комплексних чисел , які задовольняють умови

* для ;

* для не суто уявних , а кратності симетрично розташованих чисел співпадають.

Тоді існує єдина стільтьєсівська струна, тобто єдиний набір інтервалів , , довжини , єдиний набір мас , , та єдине додатне число , що породжують задачу (1), (2), (6) на інтервалі , спектр якої співпадає з

В цьому ж підрозділі запропоновано спосіб відновлення величин зосереджених мас та довжин інтервалів між ними.

Розділ 3 присвячено прямій та оберненій задачам для стільтьєсівської струни, демпфованої в проміжній точці, та тісно пов'язаним з ними прямій та оберненій задачам за трьома спектрами.

У підрозділі 3.1 розглянуто пряму задачу для стільтьєсівської струни за трьома спектрами, тобто опис зв'язку спектру задачі:

(7)

(8)

(9)

(10)

зі спектрами допоміжних задач Діріхле

 (11)

(12)

та

(13)

(14)

Через , , , для , і , , , для , позначимо власні значення задач (11), (12) та (13), (14) відповідно, а через , , , для , позначимо власні значення задачі (7)---(10).

Паралельно крім того, розглядаються відповідні задачі Діріхле-Неймана. Позначимо через , , , для , власні значення задачі (11) з умовами

(15)

а через , , , для , позначимо власні значення задачі (13) з умовами

(16)

Опис спектру наведених вище задач отримано в наступній теоремі

Tеорема 3.2. Справедливі твердження:

* всі власні значення однократні;

* для кожного виконується альтернатива: кожен інтервал містить елемент (з урахуванням кратності) об'єднання і тоді ; або ж інтервал містить елементи (з урахуван-ням кратності) множини і тоді належить перетину множин ;

* для кожного виконується альтернатива: кожен інтервал містить елементів (з урахуванням кратності) множини і тоді ; або ж інтервал містить елемент (з урахуван-ням кратності) множини і тоді належить перетину множин .

У підрозділі 3.2 розглядається обернена задача, тобто задача відновлення множин , , та за відомими спектрами , , задач (7)--(10); (11),(12); (13),(14) відповідно, та деякими іншими параметрами. Доведено теорему

Tеорема 3.4. Нехай задані числа , та три множини дійсних чисел , і , які задовольняють умови:

* для всіх ; , якщо , для всіх та , і , якщо ;

* , та ;

* Елементи множини занумеровані таким чином, що для всіх та якщо та чергуються з елементами наступним чином:

Тоді існує єдиний набір множин додатних чисел , , , такий, що і , які породжують задачі (7)--(10); (11),(12) та (13),(14) зі спектрами , та відповідно.

Показано, що якщо умова 2) Теореми 3.4 не виконується, а замість неї виконуються твердження 1), 2) Теореми 3.2, то існує множина наборів додатних чисел , , , , така що , , та така що породжує задачі (7)--(10), (11),(12); (13),(14) зі спектрами , , відповідно, але проте не є єдиною.

У підрозділі 3.3 розглядається пряма задача для стільтьєсівської струни, демпфованої у проміжній точці. Тобто розглянуто рівняння (7), (8) з умовами

(17)

(18)

Показано, що ця задача тісно пов'язана з задачею за трьома спектрами, яка розглянута у розділі 3.1. Доведено теорему.

Tеорема 3.5. Власні значення задачі (7), (8), (17), (18) задовольняють умови:

* для ;

* для не суто уявних , а кратності симетрично розташованих власних значень співпадають;

* всі дійсні власні значення (якщо вони є) однократні і не дорівнюють нулю;

* для кожного дійсного власного значення : та ;

* число дійсних власних значень не перевищує .

У підрозділі 3.4 розглянута обернена задача для стільтьєсівської струни, демпфованої у проміжній точці, тобто задача відновлення параметрів , , , та за спектром задачі (7), (8),(17), (18) та довжинами частин струни , , на які її розділяє точка прикладання в'язкого тертя. Доведено теорему.

Tеорема 3.6. Нехай задані числа , , два натуральних числа , разом з множиною комплексних чисел , які задовольняють умови:

* для ;

* для не суто уявних , а кратності розташованих симетрично відносно уявної осі чисел співпадають;

* всі дійсні (якщо вони є) однократні і не дорівнюють нулю;

* для кожного дійсного числа виконуються умови: та , де

Тоді існує задача (0.7), (0.8), (0.17), (0.18) тобто існують додатна константа , множини додатних чисел , та , , для яких виконуються рівності та , і спектр якої співпадає з .

Доведення теореми містить в собі спосіб знаходження всіх величин зосереджених мас, довжин інтервалів між ними та коефіцієнта в'язкого тертя .

Розділ 4 присвячено прямій та оберненій задачам, породженим рівняннями стільтьєсівських струн на зірковому графі.

У підрозділі 4.1 розглянуто пряму спектральну задачу на зірковому графі, а саме: для

(19)

(20)

(21)

Разом з цією задачею будуються допоміжні задачі Діріхле на ребрах графу, тобто при фіксованому розглядаються рівняння (19) та умови

(22)

Нехай і позначимо через , , , та для , власні значення задачі (19)--(21); а через , , , де , для , позначимо спектри задач (19),(22). Далі, через позначимо об'єднання спектрів цих задач: . Має місце

Tеорема 4.2. Послідовності і чергуються наступним чином:

* ;

* для тоді і тільки тоді, коли ;

* кратність не перевищує .

У підрозділі 4.2. розглядається обернена задача на зірковому графі, тобто задача відновлення множин , , , , за спектрами , , , задач (19)--(21) та (19),(22) відповідно та довжинами струн, з яких складається граф. Тут Доведено наступну теорему.

Tеорема 4.3. Нехай задані числа , , послідовності дійсних чисел , , , , які задовольняють умови:

* для кожного ; якщо , для кожного та кожного ; для кожного : якщо ;

* для , та для та ;

* елементи множини занумеровані так, що для кожного ; якщо чергуються з елементами :

Тоді існує єдиний набір множин , , такий, що , який породжує задачі (0.19)--(0.21) та (0.19),(0.22) зі спектрами та , , відповідно.

З'ясовано, що якщо умови 1), 2) Теореми 4.3 замінити на твердження 1), 2) Теореми 4.2, то існують набори додатних чисел , , де , які породжують задачі (19)--(21), (19),(22) зі спектрами , відповідно, але набір множин , не є єдиним.

ВИСНОВКИ

В дисертаціїї вивчаються прямі та обернені задачі для стільтьєсівських струн зі скінченною кількістю зосереджених мас на скінченному інтервалі та на зірковому графі. В цьому актуальному напрямку сучасної математичної фізики одержано наступні результати:

1. Знайдено умови на множину комплексних чисел, необхідні та достатні для того, щоб ця множина була спектром задачі, породженої рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни з умовою Діріхле на лівому кінці та умовою на правому кінці, яка відповідає випадку руху правого кінця струни із в'язким тертям. Отримано також розв'язок такої задачі для випадку, коли правий кінець закріплений, а перша від правого кінця маса рухається з в'язким тертям. Доведено єдиність розв'язків наведених вище задач.

2. Розглянуто три крайові задачі, з яких перша породжена рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни, а дві інші --- рекурентними співвідношеннями двох її частин. Всі три задачі розглядаються з умовами Діріхле на обох кінцях. Знайдено закономірності у чергуванні власних значень задачі, породженої всією струною та об'єднанням множин власних значень задач, породжених її частинами.

3. Розв'язано обернену задачу за трьома спектрами.

4. Описано спектр крайової задачі, пов'язаної з малими поперечними коливаннями стільтьєсівської струни з закріпленими кінцями та в'язким тертям, прикладеним до проміжної точки.

5. Розглянуто крайову задачу, яка описує малі поперечні коливання зіркового графу з ребрами, які є стільтьєсівськими струнами. На висячі вершини накладено умови Діріхле, а у внутрішній вершині умови неперервності та Кірхгофа. Описано спектр такої задачі.

6. Розв'язано обернену спектральну задачу, породжену рекурентними співвідношеннями стільтьєсівської струни на зірковому графі. Запропоновано алгоритм знаходження величин зосереджених мас та довжин інтервалів між ними, виходячи з -го спектру крайових задач та загальних довжин ребер.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Boyko O. P. Inverse problem for Stieltjes string damped at one end / O. P. Boyko,V. N. Pivovarchik // Methods of Funct. Anal. Topol. -- 2008. -- Vol. 14, № 1. -- P. 10--19.

[2] Boyko O. P. Inverse three spectral problem for a Stieltjes string and inverse problem with onedimensional damping / O. P. Boyko, V. N. Pivovarchik // Inverse Problems. -- 2008. -- Vol. 24,--P. 15--19.

[3] Boyko O. P. Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings / O. P. Boyko,V. N. Pivovarchik // Methods of Funct. Anal. Topol. -- 2008. -- Vol. 14, № 2. -- P. 159--167.

[4] Бойко O. П. О спектрах колебаний стильтьесовских струн с одномерным демпфированием / О. П. Бойко // Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского. -- 2008. -- T. 21(60), №1. -- С. 3-10.

[5] Бойко О. П. Прямi та оберненi задачi для демпфованих стiльтьєсiвських струн /О. П. Бойко // XII Мiжнар. наук. конф. iм. акад. М.П.Кравчука: матерiали конф., 15--17 травня 2008р. -- С. 46.

[6] Бойко О. П. Аналог теоремы Хохштадта-Либермана для стильтьесовской струны /О. П. Бойко // Геометрiя в Одесi: мiжнар. конф., 19-24 травня 2008 р.: тези доп. -- 2008. -- С. 69--70.

[7] Бойко О. П. Обернена спектральна задача для зiркового графу зі стiльтьєсiвських струн /О. П. Бойко // Сучаснi проблеми математики та механiки: II мiжнар. наук. конф., 26-29 травня 2008 р.: матерiали конф. -- Львiв, 2008. -- Т.3. -- С. 91--92.

АНОТАЦІЇ

Бойко O. П. Прямі та обернені задачі для стільтьєсівських струн. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2011.

Дисертація присвячена дослідженню прямих та обернених спектральних задач, породжених рівнянням амплітудного вектора стільтьєсівської струни, тобто пружної невагомої нитки, що несе скінченну кількість зосереджених мас. Розглянуто випадки відсутності в'язкого тертя, яким відповідають самоспряжені крайові умови Діріхле та Неймана, а також випадки присутності точкового в'язкого тертя на одному кінці струни або в проміжній точці. Досліджено також випадок, коли стільтьєсівські струни утворюють зірковий граф. Знайдені умови на послідовність комплексних чисел необхідні та достатні для того, щоб вона була спектром крайової задачі для стільтьєсівської струни з точковим в'язким тертям на одному з кінців, а також в проміжній точці. Запропоновані методи знаходження величин зосереджених мас, а також інтервалів між ними та коефіцієнту в'язкого тертя за спектром та загальною довжиною струни. Досліджена єдиність розв'язку таких обернених задач. Також розв'язана обернена задача для зіркового графу, який складається з стільтьєсівських струн.

Ключові слова: стільтьєсівська струна, спектр, власні значення, в'язке тертя, демпфування, зірковий граф, зосереджені маси, неванлінівська функція, S-функція, многочлени Ерміта-Білера, характеристичний многочлен, ланцюговий дріб.

Бойко O. П. Прямые и обратные задачи для стильтьесовских струн. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2011.

Диссертация посвящена исследованию прямых и обратных спектральных задач, порожденных уравнением амплитудного вектора стильтьесовской струны. В частности получены следующие результаты:

1. Найдены условия на множество комплексных чисел, необходимые и достаточные для того, чтобы это множество было спектром задачи, порожденной рекуррентными соотношениями стильтьесовской струны с условием Дирихле на левом конце и условием на правому конце, которое отвечает случаю движения правого конца струны с вязким трением. Получено также решение такой задачи для случая, когда правый конец закреплен, а первая от правого конца масса движется с вязким трением. Доказана единственность решений отмеченных выше задач. Для рассмотренных струн предложены алгоритмы нахождения параметров, то есть величин сосредоточенных масс, коэффициента трения и длин интервалов, на которые массы делят струну, по спектру колебаний, общей длине струны и некоторым другим параметрам.

2. Рассмотрены три краевые задачи, из которых первая порождена рекуррентными соотношениями стильтьесовской струны, а две другие - рекуррентными соотношениями двух её частей. Все три задачи рассматриваются с условиями Дирихле на обоих концах. Найдены закономерности в чередовании собственных значений задачи, порожденной всей струной и объединением множеств собственных значений задач, порожденных её частями.

3. Решена так называемая обратная задача по трём спектрам. А именно, найдены условия на три множества действительных чисел, необходимые и достаточные для того, чтобы они были спектрами краевых задач, которые порождены стильтьесовской струной и её двумя частями с условиями Дирихле на концах. Доказано, что если спектры вышеупомянутых трёх задач не пересекаются, то три спектра вместе с длинами частей струны однозначно определяют величины сосредоточенных масс и длин интервалов, на которые эти массы разбивают стильтьесовскую струну.

4. Описан спектр краевой задачи, связанной с малыми поперечными колебаниями стильтьесовской струны с закрепленными концами и вязким трением, приложенным к промежуточной точке. Оказалось, что, кроме естественных условий симметрии и размещения в верхней полуплоскости, спектр удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, одно из которых - это однократность действительных собственных значений. Доказано, что эти условия являются не только необходимыми, но и достаточными. Предложен алгоритм определения всех множеств параметров, то есть коэффициента трения, величин сосредоточенных масс и длин интервалов между ними, которые порождают задачи с трением в промежуточной точке, спектры которых совпадают с заданным множеством комплексных чисел.

5. Рассмотрена краевая задача, которая описывает малые поперечные колебания звездного графа с ребрами, которые являются стильтьєсовскими струнами. На висячих вершинах наложены условия Дирихле, а во внутренней вершине - условия непрерывности и Кирхгофа. Описан спектр такой задачи. Доказано, что собственные значения такой задачи чередуются с элементами объединения спектров задач Дирихле на ребрах.

6. Решена обратная спектральная задача, порожденная рекуррентными соотношениями стильтьесовськой струны на звездном графе, а именно, найдены условия на множество действительных чисел, необходимые и достаточные для того, чтобы одно из них было спектром краевой задачи для звездного графа, а другие - спектрами задач Дирихле на его ребрах. Предложен алгоритм нахождения величин сосредоточенных масс и длин интервалов между ними, исходя из спектра краевых задач и общих длин ребер. Доказано, что если спектры вышеупомянутых краевых задач не пересекаются, то обратная задача имеет единственное решение.

Ключевые слова: стильтьесовская струна, спектр, собственные значения, вязкое трение, демпфирование, звездообразный граф, сосредоточенные массы, неванлинновская функция, S--функция, многочлены Эрмита--Билера, характеристический многочлен, цепная дробь.

Boiko O. P. Direct and inverse problems for Stieltjes strings. - Manuscript.

The thesis is presented for the scientific degree of the candidate of physics and mathematics by speciality 01.01.03 - mathematical physics. - Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2011.

The thesis is devoted to investigation of direct and inverse spectral problems generated by the equation for amplitude vector of a Stieltjes string, i.e. of an elastic weightless thread bearing finite number of point masses. The case of absence of viscous friction is considered to which the Dirichlet and Neumann conditions correspond as well as the cases of point friction at one of the ends of the string or at an interior point. The case of a star graph composed by Stieltjes strings is also considered. Conditions are found for a set of complex numbers necessary and sufficient to be the spectrum of a boundary value problem generated by a Stieltjes string subject to point viscous friction at one of the ends and at an interior point. Methods are proposed of finding values of the point masses and of lengths of the intervals between them using the spectrum of vibrations of the string and its total length.Uniqueness of solution is investigated for such inverse problems. Also the inverse problem is solved for a star graph composed by Stieltjes strings.

Key words: Stieltjes string, spectrum, eigenvalues, viscous friction, damping, star graph, point masses, Nevanlinna function, S-function, Hermite-Biehler polynomials, characteristic polynomial, continued fraction.

Размещено на Allbest.ru