Структурні теореми для наборів операторів із заданими спектрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Структурні теореми для наборів операторів із заданими спектрами

Юсенко Анна Андріївна

Київ 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, Островський Василь Львович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент Муратов Мустафа Абдурешитович, Таврійський національний університет ім. В.І. Вернадського, доцент кафедри математичного аналізу; кандитат фізико-математичних наук, доцент Проскурін Данило Павлович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, доцент кафедри дослідження операцій. Захист відбудеться “07 вересня о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України, 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий ”03” серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

1. Загальна характеристика роботи

гільбертовий простір вектор спектр

Актуальність теми. Спектральна теорема Гільберта-Шмідта-Вейля-фон Неймана (нескінченновимірне узагальнення теореми про зведення ермітової матриці до діагонального вигляду) про розклад самоспряженого оператора у прямий інтеграл, яка дає опис структури самоспряженого оператора з точністю до унітарної еквівалентності, назавжди увійшла в золотий фонд математики. Проте вже у випадку двох самоспряжених операторів подібні теореми одержати складно, а задача унітарної класифікації пар обмежених самоспряжених операторів стала еталоном складності (є -дикою). Разом з тим, у деяких випадках, набори самоспряжених операторів, що задовольняють певні співвідношення, можуть бути описані за допомогою спектральної теореми, подібної до випадку одного оператора (Дж. фон Нейман, М.Г. Крейн, Ю.М. Березанський, І.М. Гельфанд, А.Г. Костюченко, Ю.С. Cамойленко, В.Л. Островський та ін.).

Однією з важливих задач є задача вивчення структури наборів ортопроекторів в гільбертових просторах. Такими наборами в різний час цікавилося багато вчених (П. Ву, С. Голдштейн, Ю. Накамура, А. Пашкевич, П. Філлмор, та багато інших). Коли лінійна комбінація ортопроекторів рівна скалярному оператору відповідне співвідношення виникає при розв'язку узагальненої проблеми Вейля (Ю.С. Самойленко, С.А. Кругляк, В.Л. Островський, В.І. Рабанович та ін.).

При дослідженні операторних співвідношень, зручно використовуючи термінологію теорії зображень: вивчати найпростіші зображення відповідного співвідношення, із точністю до унітарної еквівалентності, тоді опис загальних наборів можна отримати як пряму суму (чи прямий інтеграл) найпростіших.

У дисертаційній роботі досліджуються лінійні комбінації ортопроекторів. Зокрема, у роботі наведено умови, за яких лінійна комбінація проекторів має зображення, а також, для певних конкретних випадків будуються явні формули для незвідних зображень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі функціонального аналізу згідно із загальним планом досліджень в рамках науково-дослідної роботи "Методи функціонального аналізу в задачах математичної фізики".

Номер державної реєстрації 0106U000091.

Мета і завдання дослідження. Об'єкт дослідження: зображення -алгебр, набори самоспряжених операторів. Предмет дослідження: вивчення структури -алгебр, які виникають при дослідженні узагальненої проблеми Вейля та зображеннях яких задаються наборами ортогональних проекторів у гільбертовому просторі з лінійною умовою. Метою роботи є подальше дослiдження наборiв ортопроекторiв, у гiльбертових просторах, лiнiйна комбiнацiя яких кратна скалярному оператору, дослідження множин параметрів, за яких існують такі проектори (що дає в окремих випадках відповідь на узагальнену проблему Хорна) та побудова незвідних наборів, з точністю до унітарної еквівалентності відповідних наборів проекторів.

Основними завданнями дослідження є такі:

1. Описати у явному вигляді усі незвідні, з точністю до унітарної еквівалентності, четвірки ортопроекторів у сепарабельному комплексному гільбертовому просторі, коли їх лінійна комбінація кратна скалярному оператору.

2. Показати, що множина параметрів при яких існують -ки ортопроекторів у гільбертовому просторі, лінійна комбінація яких дорівнює одиничному оператору, містить відкриту підмножину з .

3. Отримати умови на суми коефіцієнтів, за яких існують набори проекторів, пов'язані лінійним співвідношенням.

Методи дослідження: в дисертації використовуються методи теорії операторів, теорії -алгебр, теорії зображень, метод функторів Кокстера.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Отримано у явному вигляді усі незвідні, з точністю до унітарної еквівалентності, четвірки ортопроекторів у сепарабельному комплексному гільбертовому просторі, коли їх лінійна комбінація кратна скалярному оператору.

2. Доведено, що множина параметрів, при яких існують -ки ортопроекторів у гільбертовому просторі, лінійна комбінація яких дорівнює одиничному оператору, містить відкриту підмножину з .

3. Отримано умови на суми коефіцієнтів, за яких існують набори проекторів, пов'язані лінійним співвідношенням.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати, зокрема, можуть бути використані при вивченні -алгебр, асоційованих із зірчастими графами (узагальнена проблема Германа Вейля), та при дослідженні транзитивних систем підпросторів у гільбертовому просторі.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження, постановка задач належать науковому керівникові В.Л. Островському. Доведення всіх основних результатів дисертації проведено автором самостійно. Зі спільної роботи [6] (В.І. Рабанович, А.А. Юсенко) у основні результати дисертації ввійшли лише результати, які доведені дисертантом самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації неодноразово доповідалися та обговорювалися на семінарі ”Алгебраїчні проблеми функціонального аналізу” (Інститут математики НАН України, Київ; керівник семінару -- член-кореспондент НАН України доктор ф.-м. наук Ю.С. Самойленко) та на таких конференціях і школах:

VII міжнародна конференція "Симетрія в нелінійній математичній фізиці", (Київ, Інститут математики НАН України, 24-30 червня 2007 р.);

· V літня математична школа "Алгебра, топологія, функціональний та стохастичний аналіз" (Львів, Козьова, 6-18 серпня 2007 р.);

· міжнародна конференція "Аналіз і топологія" (Львів, Україна 26 травня - 7 червня, 2008);

· 22nd Conference in Operator Theory (Timisoara, Romania, July 3-7, 2008);

· 18th Jyvaskyla Summer School, (Jyvaskyla, Finland, August 11-22 2008р.);

· міжнародна конференція "Нескінченновимірний аналіз та топологія" (Івано-Франківськ, Україна 27 травня - 1 червня, 2009);

· VIII міжнародна конференція ”Симетрія в нелінійній математичній фізиці” (Київ, Інститут математики НАН України, 21-27 червня 2009 р.);

· Український математичний конгрес (до 100-річчя від дня народження М.Боголюбова), Київ, 27-29 серпня 2009 р..

Публікації. Основні результати дисертації роботи опубліковано в роботах [1-6]. Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 62 найменування. Загальний обсяг роботи -- 112 сторінок друкованого тексту.

2. Основний зміст дисертації

Основною метою дисертації є дослідження наборів ортопроекторів, що пов'язані лінійним співвідношенням

(1)

де , . А саме, дослідженню таких задач:

1. Для фіксованого описати множину векторів , для яких існує набір ортопроекторів у деякому гільбертовому просторі , що задовольняє співвідношення (2):

(2)

2. Для фіксованого набору описати множину , тих , для яких існує набір проекторів у сепарабельному гільбертовому просторі , що задовольняє співвідношення (1);

3. Для усіх допустимих пар описати всі незвідні набори ортопроекторів з точністю до унітарної еквівалентності, що задовольняють (1).

Зауважимо, що незважаючи на схожість у формулюванні, задачі 1) та 2), взагалі кажучи, не еквівалентні, оскільки отримати опис множини знаючи опис множини (для всіх векторів ) може виявитися комбінаторно складною задачею при великих .

У першому розділі зроблено огляд відомих результатів про структурні теореми для наборів самоспряжених операторів, сума яких кратна скалярному оператору. Наведено взаємозв'язок між спектральним розкладом для таких наборів операторів та лінійної комбінації ортопроекторів. Наведено конструкцію функторів Кокстера, яка застосовується для розв'язку задач 1-3.

Також здійснено огляд результатів стосовно розв'язків для задач 1)-3) у випадку, коли ; задач 1)-2) -- для та задачі 2) -- для довільного за умови, що всі коефіцієнти () рівні між собою.

У другому розділі розглядаються четвірки ортопроекторів, які пов'язані лінійним співвідношенням (1). А.А. Кириченком досліджувалася задача 1, в його роботі вивчались можливі пари , при яких існують набори ортопроекторів , що задовольняють співвідношення (1). Такі пари утворюють деяку підмножину з , яка була описана за допомогою нерівностей на коефіцієнти вектора , тобто як область, обмежена гіперплощинами. К.А. Юсенко описав множину задачі 2, для четвірок ортопроекторів, що задовольняють співвідношення (1). Виявилося що множина в суттєвих випадках нескінченна, та містить 11 різних підмножин у найбільш загальному випадку.

Якщо

,

то відповідна алгебра, породжена чотирма проекторами з лінійним співвідношенням, є алгеброю зі стандартною поліноміальною тотожністю , а тому відповідні незвідні набори ортопроекторів завжди не більш ніж двовимірні. Неважко переконатися (використовуючи рівність сліду, наприклад), що у цьому випадку індекс дефекту завжди дорівнює нулю. Формули для відповідних четвірок було отримано в роботі С.А. Кругляка.

Залишилось відкритим питання про побудову всіх незвідних наборів четвірок ортопроекторів, з точністю до унітарної еквівалентності, що задовольняють рівність (1) у випадку, коли . Островський В.Л. в своїй роботі показав, що відповідні незвідні набори завжди скінченновимірні. Оскільки в кожній можливій розмірності існує єдине незвідне зображення з точністю до унітарної еквівалентності (бо дефект відмінний від нуля), то природно було шукати явні формули для таких наборів, користуючись векторами узагальненої розмірності. Справедливим є наступне твердження.

Твердження 2.2.1 Для незвідних наборів ортопроекторів , які задовольняють (1) вектори узагальненої розмірності можуть набувати наступних значень:

якщо розмірність простору (), то

(3)

якщо розмірність простору , то

(4)

Усі зображення скінченновимірні, тому формули в явному вигляді будувалися окремо для парної та непарної розмірності простору . У випадку, коли розмірність простору зображення не парна (, ), ортопроектори будувалися у вигляді:

(5)

У випадку парної розмірності () ортопроектори будувалися у вигляді:

 (6)

де -- це одновимірні ортопроектори ( або ), а та -- двовимірні проектори, які у матричному записі мають наступний вигляд:

Ключовою теоремою другого розділу є наступна теорема.

Теорема 2.2.1 Для будь-якого вектора незвідне зображення набору ортопроекторів , що задовольняє (1), задається з точністю до унітарної еквівалентності рівностями (5)-(6) з деякими параметрами , єдиними для кожного вектора .

Також наведено явні формули для коефіцієнтів , що задають четвірки лінійно пов'язаних ортопроекторів. Так, наприклад, для усіх натуральних таких, що

маємо зображення у вигляді (5), вектор узагальненої розмірності якого

а також

де ,

Відповідно, параметр

Третій розділ присвячено розв'язку задачі 1 у випадку, коли . Зауважимо, що коли , множина містить неперервний проміжок (було показано в роботі Кругляка С.А, Рабановича В.І., Самойленка Ю.С.). Природно виникло питання: чи містить множина відкриту підмножину в ?

В роботі Кругляка С.А. було показано, що множина векторів пов'язана з множиною можливих сум коеффіцієнтів . Зокрема, автором було показано, що для дослідження неперервного проміжку для сум коеффіцієнтів , достатньо дослідити проміжок . Таким чином, природно було вивчати множину тих векторів , сума коеффіцієнтів яких належить проміжку . Справедливими є наступні леми.

Лема 3.1.1 Функтори Кокстера , встановлюють взаємно однозначну відповідність між множинами і .

Лема 3.1.2 Функтор встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами та .

Отже, для дослідження всього неперервного проміжку значень достатньо дослідити один з таких трьох проміжків: , чи .

Для дослідження такої множини використовувалася конструкція нескінченновимірних незвідних пятірок ортопроекторів (що задовольняють лінійне співвідношення). Головними результатам третьго розділу є наступні теореми.

Теорема 3.2.1 Нехай , , , тоді для всіх існує набір проекторів такий, що задовольняє співвідношення:

Теорема 3.2.2 Нехай , , , , , , тоді для всіх існує набір проекторів такий, що задовольняє співвідношення:

Теорема 3.2.3 Нехай , , , та , , тоді для всіх існує набір проекторів такий, що задовольняє співвідношення:

Далі з цих теорем можна отримати наслідки.

Наслідок 3.2.1 Множина параметрів , при яких існують п'ять ортопроекторів у деякому гільбертовому просторі, що задовольняють співвідношення , містить відкриту підмножину з .

Гіперкуб -- це приклад відкритої множини, що міститься в .

Наслідок 3.2.2 Множина параметрів , при яких існують -ки ортопроекторів у деякому гільбертовому просторі, що задовольняють співвідношення містить відкриту підмножину з .

Четвертий розділ. Один з головних інструментів для дослідження задач 1)-3) -- це техніка функторів Кокстера. У цьому розділі досліджувалися дії функторів (як лінійних відображень) на множині коефіцієнтів (). Зокрема, досліджувалися умови, за яких одне із значень під дією функторів стає більшим одиниці або меншим нуля (в цих випадках задачі 1)-3) зводяться до задач з меншим числом ортопроекторів).

Дія функторів Кокстера на множині та на сумах коефіцієнтів може бути записана наступним чином:

для , ;

тут .

Дію функторів , зручно було вивчати окремо для суми і координат коефіцієнтів. Вводилися допоміжні відображення для перетворень координат вектора під дією відображень , відповідно:



Лема 4.1.1 Послідовності і прямують до значень , відповідно, де .

Отже, коефіцієнти вектора під дією відображень , утворюють збіжні послідовності. Для дослідження умов, при яких коефіцієнти вектора під дією відображень , стають більшими 1 (або меншими ніж 0), природно було дослідити: чи є ці послідовності монотонними?

Нехай

Справедливими є наступні леми.

Лема 4.1.2 Нехай і , тоді якщо , то послідовність -- монотонна.

Лема 4.1.3 Нехай , і , якщо , то послідовність -- монотонна.

Зауважимо, що монотонність цих послідовностей на проміжках та доведено Рабановичем В.І.

Використовуючи рівність

неважко переконатися, що послідовність матиме такі ж властивості монотонності, як і послідовність .

З доведених лем слідує, що динаміка зміни коефіцієнтів під дією відображень та залежить лише від початкового значення та суми всіх коефіцієнтів A. Можна записати загальні формули для значення

Теорема 4.1.1 Нехай , і для деякого виконується нерівність . Тоді якщо , то для деякого , функтор перетворить рівність (2) в лінійну комбінацію ортопроекторів, що кратна одиничному оператору з і-м коефіцієнтом, який або більший або дорівнює 1.

Теорема 4.1.2 Нехай , і для деякого виконується нерівність . Тоді якщо , то для деякого , функтор перетворить рівність (2) в лінійну комбінацію ортопроекторів, що кратна одиничному оператору з і-м коефіцієнтом, який або більший або дорівнює 1.

Наслідок. Для дослідження неперервної частини множини , , достатньо вивчити її для значень на проміжку .

Цікавими виявилися випадки, коли сума коефіцієнтів , має або ціле або близьке до цілого значення. Зокрема, справедливі наступні теореми.

Теорема 4.3.2 Для довільного вектора такого, що , , існує розклад (1) для деякого набору ортопроекторів .

Теорема 4.4.1 Нехай , , , , і . Існує , яке залежить від вектора таке, що для довільного набору з різницями вектор .

Висновки

У дисертаційній роботі досліджуються набори ортопроекторів, лінійна комбінація яких кратна скалярному оператору. Отримано такі результати:

1. Отримано у явному вигляді всі незвідні, з точністю до унітарної еквівалентності, четвірки ортопроекторів у деякому гільбертовому просторі, лінійна комбінація яких дорівнює скалярному оператору.

2. Отримано достатні умови на набір , за яких для всіх .

3. Доведено, що множина параметрів при яких існують -ки ортопроекторів у деякому гільбертовому просторі, лінійна комбінація яких кратна одиничному оператору, містить відкриту неперервну підмножину з .

4. Показано, що якщо сума коефіцієнтів має ціле або досить близьке до цілого значення для довільного , завжди існує набір ортопроекторів , який задовольняє лінійне співвідношення.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

1. Юсенко А.А. П'ятірки ортопроекторів пов'язані лінійним співвідношенням / А.А. Юсенко // Укр. мат. журн.- 2009.- 61, № 5.- C. 701-710.

2. Юсенко А.А. Четвірки ортопроекторів, що пов'язані лінійним співвідношенням / А.А. Юсенко // Укр. мат. журн.- 2010.- 62, № 2.- C. 255-264.

3. Rabanovich V.I. On decompositions of the identity operator into a linear combination of orthoprojections / V.I. Rabanovich, A. A. Yusenko // Methods Funct. Anal. Topology.- 2010.- 16, № 1.- P. 57-68.

4. Yusenko A.А. Five ortoprojections connected with linear relation / A.A. Yusenko // Abstracts. International Scientific Conference "Infinite Dimentional Analysis and Topology" (Lviv, May 26- June 7, 2008). - Lviv: Ivan Franko National University of Lviv, 2008.- P. 51-52.

5. Yusenko A. On decomposition of identity operator into the linear combination of five orthoprojectoins / Yusenko Anna // Abstracts. The 22-th International Conference On Operator Theory (Timisoara, july 03 - july 08, 2008). - Instityte of mathematics "Simion Stoilow" of the Romanian Academy, 2008.- P. 38.

6. Yusenko A. The Representations of four projections connected with linear relation / Yusenko Anna // Abstracts. International Scientific Conference "Infinite Dimentional Analysis and Topology" (Ivano-Frankivsk: Ivano-Frankivsk, May 27- June 1, 2009). - Vasyl' Stefanyk Precarpathian National University, 2009.- P. 152-153.

Автор висловлює щиру та глибоку подяку своєму науковому керівнику В. Л. Островському за постійну увагу і підтримку.

Анотація

Юсенко А. А. Структурні теореми для наборів операторів із заданими спектрами -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

У дисертаційній роботі проведено подальше дослідження наборів ортопроекторів в деякому гільбертовому просторі, що пов'язані лінійним співвідношенням , де , , для випадків коли . Досліджувалася множина тих параметрів, при яких лінійне співвідношення має зображення у категорії гільбертових просторів та будувалися незвідні зображення цього співвідношення. Так, у випадку, коли , отримано у явному вигляді усі незвідні, з точністю до унітарної еквівалентності, набори четвірок ортопроекторів у певному гільбертовому просторі, лінійна комбінація яких дорівнює скалярному оператору. У випадку, коли , було показано, що множина векторів , для яких існує зображення лінійного співвідношення, містить непорожню відкриту підмножину в . Також встановлено достатні умови на суму коеффіцієнтів вектора , за яких завжди існує зображення лінійного співвідношення.

Ключові слова: ортопроектори, гільбертів простір, *-алгебри, теорія зображень, оператори, системи підпросторів, функтори Кокстера.

Аннотация

Юсенко А. А. Структурные теоремы для наборов операторов с задаными спектрами. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. --Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему исследованию наборов ортопроекторов в некотором гильбертовом пространстве, которые связаны линейным соотношением , где , , для случаев когда . Исследовалось множество тех параметров, при которых линейное соотношение имеет представление в категории гильбертовых пространств, а также строились неприводимые представления этого соотношения.

Работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка использованных литературных источников. Во введении освещается исторический аспект научных проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, формулируется цель работы и дается краткая характеристика ее результатов.

В первой главе изложен обзор ряда результатов про структурные теоремы для наборов самосопряженных операторов, сумма которых кратна скалярному оператору. Приведена взаимосвязь между спектральным разложением для таких наборов операторов и линейной комбинации ортопроекторов. Также проводится построение функторов Кокстера, которые стали весомым инструментом для решения поставленных задач.

Вторая глава посвящена четверкам ортопроекторов, которые связаны линейным соотношением. К. А. Юсенком было описано множество возможных значений параметра , при которых существуют наборы ортопроекторов , которые удовлетворяют линейному соотношению . Оказалось, что это множество во многих случаях бесконечно и содержит 11 различных подмножеств в наиболее общем случае. Когда , то соответствующая алгебра порождена четырьмя ортопроекторами с линейным соотношением -- это алгебра, поэтому соответствующие неприводимые наборы ортопроекторов всегда не более чем двумерны. Формулы для соответствующих четвёрок были получены С.А. Кругляком. Задаче построения всех неприводимых наборов четвёрок ортопроекторов, с точностью до унитарной эквивалентности, которые удовлетворяют заданному линейному соотношению, для случая, когда , посвящена вторая глава. В диссертационной работе построены все такие представления в явном виде.

В третей главе диссертации рассматривается случай, когда . Заметим, что при множество возможных значений (в случае, когда ), содержит непрерывный отрезок (робота Кругляка С.А, Рабановича В.І., Самойленка Ю.С. "о суммах проекторов"). Естественно возник вопрос: содержит ли множество возможных векторов, , открытое подмножество в ? Показано, что множество векторов , для которых существуют представления линейного соотношения, содержат непустое открытое множество в . В этой главе приведены достаточные условия на коэффициенты вектора , при которых существуют представления линейного соотношения, а также -- достаточные условия на коэффициенты вектора , при которых существуют представления линейного соотношения.

В четвертой главе изучается действие функторов Кокстера (как линейных отображений) на множестве коэффициентов (). А именно, условия, при которых одно из значений под действием функторов будет либо больше единицы либо меньше нуля (тогда задачи сведутся к более простым случаям). Показано, что коэффициенты вектора под действием отображений Кокстера образуют сходящиеся последовательности. Кроме того, показано что для исследования непрерывной части множества возможных векторов, при которых существуют наборы ортопроекторов, которые удовлетворяют линейному соотношению, достаточно изучать только для значений на промежутке . Установлено, что когда сумма коэффициентов является либо целым числом, либо близким к целому, то для любых значений существуют наборы ортопроекторов , которые удовлетворяют линейному соотношению.

Ключевые слова: ортопроекторы, гильбертово пространство, *-алгебры, теория представлений, операторы, системы подпространств, функторы Кокстера.

Summary

Yusenko A. A. Structural theorems for the sets of operators with given spectrums -- Manuscript.

Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.01 -- mathematical analysis.-- Institute of Mathematics of the National Academy of Ukraine, Kyiv, 2007.

The thesis is devoted to the subsequent investigation of the collections of those orthoprojections in some Hilbert space, that , where , , for the cases when . We investigate the set of those parameters for which there exist representation of linear relation in the category of Hilbert spaces and we build irreducible representations of this relation. Namely in the case when we described all irreducible up to the unitary equivalence collections of four orthoprojections in certain Hilbert space, such that their linear combination is equal to scalar operator. In the case when we showed that the set of vectors , for which there exist representation of the linear relation, contains nonempty open set in . Also we found sufficient condition on the sum of coefficients of those vector for which there always exist representations of0.2cm linear relation.

Key words: projections, Hilbert space, *-algebras, representation theory, , operators, systems of subspaces, Coxeter functors.

Размещено на Allbest.ru