Размещено на http://www.allbest.ru/

0

Курсова робота

на тему Наближене обчислення дійсних коренів многочленна

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ 3 ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

1.1 Постановка задачі

1.2 Відокремлення коренів. Теорема про оцінку похибки наближеного значення кореня

1.3 Уточнення кореня методом поділу відрізка пополам

1.4 Метод дотичних

1.5 Метод хорд

1.6 Комбінований метод дотичних і хорд

1.7 Метод простої ітерації

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Центральним в алгебрі многочленів виявляється питання не про практичний пошук коренів многочлена, а питання про їх існування. Відомо, що існують квадратні рівняння з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів. А чи не знайдеться таке рівняння п'ятого чи більш високого степеня, яке не має жодного кореня навіть серед комплексних чисел, і чи не доведеться для пошуку коренів даних рівнянь переходити від комплексних чисел до більш широкого запасу чисел? Відповідь на це питання дає важлива теорема (основна теорема алгебри), яка стверджує, що будь-яке рівняння з будь-якими числовими коефіцієнтами, не лише з дійсними, але і з комплексними, має хоча б один комплексний корінь.

Твердження, близьке до основної теореми алгебри висловили ще в 17 столітті Жерар (1629) і Декарт (1637). Воно полягало в тому, що кожне алгебраїчне рівняння -го степеня має коренів; якщо ж дійсних коренів менше , при цьому решту коренів слід вважати «уявними». При цьому термін «уявний» не збігався з сучасним поняттям комплексного числа, а означав просто, що потрібну кількість коренів можна собі уявити існуючою.

Більш обережно формулював основну теорему алгебри Ньютон (1707), але у 18 столітті Ейлер чітко сформулював основну теорему алгебри.

Прийнято вважати, що перше строге доведення основної теореми дав Гаусс у 1799. Однак з точки сучасного вчення про неперервність це доведення вимагає деяких доповнень і, крім того, воно стосується лише многочленів з дійсними коефіцієнтами. Але основний хід цього доведення цілком правильний.

Метою курсової роботи є розширення уявлення про наближене обчислення дійсних коренів многочлена.

РОЗДІЛ 1. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ 3 ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

1.1 Постановка задачі

Нехай задано рівняння з однією змінною

F(x)=0,

де функція F(x) визначена і неперервна на деякому проміжку [а; b].

Розв'язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень xє[а; b], при яких рівняння (1.1) перетвориться в тотожність. Корінь рівняння (1.1) називають ще нулем функції F(x). Якщо функція - алгебраїчний многочлен, то рівняння (1.1) називається алгебраїчним. Якщо функція F(x) містить тригонометричні, показникові або логарифмічні функції, тоді рівняння (1) називають трансцендентним.

Знайти точні значення коренів заданого рівняння можна лише для найпростіших функцій F(x): алгебраїчних многочленів не вище четвертого степеня, деяких многочленів степеня n ? 5 і деяких трансцендентних функцій.

Універсальних методів для знаходження точних значень коренів алгебраїчних рівнянь степеня п = 5 і трансцендентних рівнянь не існує. Крім того, розв'язуючи практичні задачі, часто дістають рівняння з коефіцієнтами, які є наближеними числами. Тоді постановка задачі знаходження точних коренів не має смислу. Тому важливого значення набувають наближені методи знаходження коренів рівняння з достатньою для практики точністю. Задача знаходження коренів рівняння (1.1) вважається розв'язаною, якщо корені обчислені із наперед заданою точністю.

Нехай х* - точний корінь, а - його наближене значення. Кажуть, що корінь обчислено з наперед заданою точністю є, якщо | х*-| < е. Нехай, наприклад, х*є[а; b] і b-a < е, тоді числа а і b - наближені значення кореня х* відповідно з недостачею і надлишком з точністю є. У цьому випадку за наближене значення з точністю є можна взяти будь-яке число з відрізка [а; b].

Знаходження наближених коренів рівняння (1) складається з двох етапів:

1) відокремлення коренів, тобто знаходження досить малих відрізків, на кожному з яких міститься один і тільки один корінь рівняння;

2) обчислення коренів з наперед заданою точністю. Перший етап називають ще задачею визначення відрізків ізоляції коренів, а другий - уточненням наближених коренів. Перший етап складніший за другий, оскільки для загального випадку немає досить ефективних методів відокремлення коренів. Для знаходження коренів з наперед заданою точністю застосовують методи, які дають можливість уточнювати знайдені наближення коренів.

Корені рівняння (1) можуть бути дійсними і комплексними. Далі розглянуто наближені методи обчислення тільки дійсних коренів рівняння (1.1).

1.2 Відокремлення коренів. Теорема про оцінку похибки наближеного значення кореня

Корінь x* рівняння (1.1) вважається відокремленим на відрізку [а; b], якщо х*є[а;b] і на цьому відрізку дане рівняння не має інших коренів. Щоб відокремити корені рівняння (1.1), треба розбити область визначення даного рівняння на проміжки, на кожному з яких міститься один і тільки один корінь або немає жодного кореня. Відокремлюють корені графічним і аналітичним методами, а також методом послідовного перебору.

Для відокремлення коренів графічним методом будують графік функції у=F(х) і знаходять точки перетину графіка з віссю абсцис та кінці відрізків ізоляції коренів.

Аналітичний метод відокремлення коренів ґрунтується на теоремах з курсу математичного аналізу. Сформулюємо їх.

Теорема 1 (теорема існування кореня). Якщо функція неперервна на [а;b] і набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, тобто F(a)F(b)<0, то всередині відрізка [а;b] існує хоча б один корінь рівняння F(х)=0.

Зазначимо, що теорема не дає відповіді на питання про кількість коренів рівняння (1.1), які належать [a; b]. При виконанні умов теореми рівняння може мати й кілька коренів. На рис. 1.1 зображено графік функції у = F(х), яка задовольняє усі вимоги теореми 1 і має на [a;b] чотири нулі. У досить малому околі точки xз теорему існування кореня застосувати не можна, бо при переході зліва направо через точку x3 знак функції F(х) не змінюється. Точка хз - кратний корінь рівняння (1.1) і його не можна відокремити, користуючись теоремою 1. Тому далі вважатимемо, що F'(х)? 0 для всіх х є [а; b].

Размещено на http://www.allbest.ru/

0

Теорема 2 (теорема існування і єдиності кореня). Якщо функція F(x), неперервна і диференційована на [а; b], набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, а похідна F'(x) зберігає сталий знак всередині відрізка [а; b], то рівняння F(х) = 0 на цьому відрізку має корінь, причому єдиний.

У відповідності з теоремами 1 і 2 алгоритм відокремлення коренів рівняння (1) можна сформулювати так:

1. Знайти область визначення рівняння.

2. Знайти критичні точки функції F(х).

3. Записати інтервали монотонності функції F(х).

4. Визначити знак функції F(х) на кінцях інтервалів монотонності.

5. Визначити відрізки, на кінцях яких функція F(х) набуває значень протилежних знаків.

6. Знайдені відрізки ізоляції коренів при необхідності звузити.

1.3 Уточнення кореня методом поділу відрізка пополам

Метод поділу відрізка пополам (або метод дихотомії) застосовний для уточнення кореня рівняння F(х)=0 з наперед заданою точністю, допустимою для даної ЕОМ, якщо функція F(х) задовольняє умови теореми 2.

Позначимо через х - точне значення кореня рівняння (1.1) на відрізку [a;b], а е - його граничну абсолютну похибку. Суть методу в тому, що відрізок [а;b] ділять пополам точкою с0=(a+b)/2 і обчислюють F(c0). Якщо F(с0) = 0, то х=с0 є точним значенням кореня. Якщо F(с0) ? 0, але b - а < 2е, то | x*- с0| <е і значення х=с0 буде шуканим наближеним коренем. Якщо F(с0) ? 0 і b-а >2е , тоді розглядають той з двох відрізків [а;с0] і [с0;b]. На кінцях [с0;b] функція F(х) набуває значень протилежних знаків, позначимо цей відрізок [a;b] (рис. 1.2). На відрізку [a;b] функція F(х) задовольняє умови теореми 2. Далі відрізок [a;b] точкою c1=(a+b)/2 ділять пополам і міркують так само, як і раніше.

Таким чином, після кожної ітерація відрізок, на якому розташований корінь, зменшується вдвічі, тобто після n ітерацій він скорочується в 2n раз. Ітераційний процес продовжується доти, поки значення функції після n ітерації не стане меншим по модулі деякого заданого числа е. При цьому абсолютна похибка знайденого кореня не перевищує е. . Методи дихотомії легко реалізується на ЕОМ, але потребує значного обсягу обчислень, щоб досягти високої точності наближеного кореня.

Програма методу має циклічний характер. У програмі при кожному проходженні циклу виконується серія команд

с=(а+b)/2

якщоF(a)F(b)<0 то b:=c інакше a:=с.

Повторення команд циклу продовжують доти, поки не виконається одна з умов F(с) = 0 або b- а < 2є.

1.4 Метод дотичних

Ідея методу полягає в тому, що проводиться дотична до кривої у = F (х) при х=с і шукається точка перетину дотичної з віссю абсцис. При цьому не обов'язково задавати відрізок [а,b], що містить корінь рівняння (1.1), а досить лише знайти деяке початкове наближення кореня х = с0, в якій F(c0)F"(c0)>0

Рівняння дотичної, проведеної до кривої у = F(x) у точці М0 з координатами с0 і F(co), має вид :

у-F(co)=F' (с0) .

Звідси знайдемо наступне наближення кореня c1 як абсцису точку перетину дотичної з віссю 0х (у =0):

с1=с0-F(c0)/F?(c0).

Аналогічно можуть бути знайдені і наступні наближення як точки перетину дотичних з віссю абсцис , проведених у точках M1, M2, і т.д. (рис. 1.3). Формула для n+1-го наближення має вид

cn+1=cn-F(cn)/F'(cn).

Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.

Теорема . Нехай на відрізку [а;b ]функція F(x) має неперервні із сталими знаками похідні F'(x) ? 0,F''(x)? 0 і F(a)F(b) < 0. Тоді існує такий окіл Rа;b] кореня х* рівняння F(x) = 0, що для будь-якого хоє R послідовність ck}, обчислена за формулою (1.3), збігається до кореня х*.

Оцінимо швидкість збіжності методу Ньютона.

Можна довести, що для методу Ньютона справедлива оцінка

/ck - x*/ ,