Симетрійні властивості та точні розв’язки нелінійних рівнянь параболічного типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.95

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

СИМЕТРІЙНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ТОЧНІ РОЗВ'ЯЗКИ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУ

Омелян Олександр Миколайович

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Полтавському національному технічному університеті імені Юрія Кондратюка МОН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор СЄРОВ Микола Іванович, Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка, завідувач кафедри вищої математики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Тичинін Валентин Анатолійович, Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, завідувач кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, Спічак Станіслав Вікторович, Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник відділу прикладних досліджень

Захист відбудеться “21” вересня 2010 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “21” липня 2010 p.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Г.П. ПЕЛЮХ



Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У сучасних наукових дослідженнях вивчення багатьох фізичних, біохімічних, екологічних процесів проводиться на основі аналізу відповідних математичних моделей. Це пов'язано із надзвичайною складністю або взагалі неможливістю відтворення певних процесів у лабораторних умовах. Значну кількість фундаментальних законів природи можна описати диференціальними рівняннями. Тому природно, що в якості математичних моделей як у фундаментальних фізико-хімічних дослідженнях, так і при вивченні біологічних процесів та суспільних явищ часто використовуються диференціальні рівняння або їх системи.

Яскраве підтвердження цієї думки можна знайти в роботах І.О. Луковського, А.Я. Савченка, М.І. Портенка. Зокрема, І.О. Луковський створив нелінійні математичні моделі динаміки твердих і деформованих тіл із порожнинами, частково заповненими рідиною, що дало змогу для вивчення проблем динаміки ракет побудувати ефективні скінченновимірні математичні моделі у вигляді систем диференціальних рівнянь. А.Я. Савченко працює над математичним моделюванням реальних механічних процесів з використанням моделі систем зв'язаних твердих тіл з рухливими наповнювачами. Розробкою методів побудови та дослідження математичних моделей дифузії в середовищах із напівпрозорими мембранами займається М.І. Портенко.

Зрозуміло, що явища, яким притаманна інваріантність відносно певних перетворень простору, або які задовольняють певні закони збереження чи принципи відносності, повинні описуватися математичними моделями із аналогічними характеристиками. Ці особливості математичних моделей часто означають, що відповідні диференціальні рівняння володіють широким класом ліївських симетрій. Так, класичні рівняння математичної фізики, наприклад, рівняння Ньютона, Лапласа, Д'Аламбера, Шредінгера, Ліувілля, Дірака, Максвела і т.д., інваріантні відносно достатньо широких груп перетворень.

Вже до середини ХІХ століття було розроблено цілу низку методів розв'язання диференціальних рівнянь: метод відокремлення змінних, метод спеціальних підстановок, метод інтегрувального множника, метод варіації довільною сталою, метод Ейлера, метод Д'Aламбера, метод характеристик (Монжа), метод диференціювання, метод каскадів (Лапласа). До сьогоднішнього дня розроблено ще багато методів розв'язання диференціальних рівнянь, серед яких найвідоміші: метод інтегралів енергії, метод Пуассона, метод розкладу в ряди Фур'є, метод спуску Адамара, метод оберненої задачі теорії розсіювання, над сучасним розвитком якого плідно працюють Ю.М. Березанський, Л.П. Нижник. Серед нещодавно створених методів слід відзначити числово-аналітичний метод послідовних наближень А.М. Самойленка; варіаційні методи розв'язування лінійних та нелінійних крайових задач гідродинаміки, розроблені І.О. Луковським, алгоритми наближеного розв'язку широкого класу диференціальних рівнянь з імпульсною дією, розроблені М.О. Перестюком; асимптотичні методи аналізу стохастичних диференціальних рівнянь, розвинуті М.І. Портенком; чисельно-аналітичний метод для знаходження розв'язку задачі Коші для абстрактних диференціальних рівнянь першого та другого порядків з необмеженими операторними коефіцієнтами, розроблений В.Л. Макаровим.

Особливе місце серед методів розв'язування диференціальних рівнянь належить методу Лі, оскільки значна кількість названих методів явно чи неявно спирається на симетрійні властивості відповідних диференціальних рівнянь.

Починаючи із середини ХХ століття, коли епіцентр наукових відкриттів змістився із площини експериментальної в площину теоретичних досліджень, груповий аналіз все глибше проникає в різні галузі науки і охоплює все більше напрямків передових наукових досліджень. Зараз загальновизнаним є факт, що групи, алгебри Лі та їх зображення відіграють важливу роль у математиці, фізиці, механіці. Сфера можливих застосувань групового аналізу надзвичайно різноманітна і включає в себе механіку рідини та газів, нелінійну теорію пружності та пластичності твердих тіл, нелінійну акустику, теорію фазових переходів, магнітну гідродинаміку, теорію гравітації та інші нелінійні польові теорії (калібровочні та кіральні поля, струнні теорії тощо), хімію (хроматографія та електрофорез), біологію. Перспективними вважаються також застосування групового аналізу до таких лінійних теорій, як квантова механіка: генерація нових точних розв'язків, теорія відокремлення змінних тощо.

До цього часу наріжним каменем групового аналізу залишається метод Лі. Серед численних переваг методу С. Лі слід виділити кілька найістотніших. Зокрема, це можливість побудови класів точних розв'язків диференціальних рівнянь, які відіграють роль математичних моделей, в аналітичній формі. Крім того, поняття симетрії застосовується як основний принцип побудови математичних моделей у сучасних фізико-хімічних дослідженнях. Адже, з одного боку, груповий аналіз вже відомих моделей дозволяє відбирати серед них такі, що, задовольнивши певні принципи відносності чи закони збереження, краще підходять для опису конкретного явища. З іншого боку, методи групового аналізу дозволяють будувати математичні моделі з наперед заданими властивостями.

У 80-х роках ХХ століття цілком очевидною стала обмеженість класичного підходу Лі, оскільки існували приклади редукцій диференціальних рівнянь, які не можна було одержати в рамках цього підходу. Крім того, при всіх безперечних перевагах класичного підходу Лі знаходження розв'язків диференціальних рівнянь та їх систем, клас розв'язків рівнянь, які можливо побудувати в рамках цього методу, обмежується кількістю операторів симетрії, яка притаманна конкретному рівнянню або системі. Якщо ж рівняння має бідну ліївську симетрію, або не має її взагалі, то застосування цього методу до побудови розв'язків не дає бажаного результату.

Ці та ряд інших проблем стимулювали пошук додаткових підходів до побудови точних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь.

Основою ряду з числа таких підходів постає ідея пошуку додаткових (неліївських) операторів симетрії. В рамках цієї ідеї В.І. Фущичем та А.Г. Нікітіним розроблено новий метод дослідження алгебр інваріантності диференціальних рівнянь. Цей метод істотно відрізняється від класичного методу С. Лі. Основна відмінність полягає в тому, що базисні елементи алгебри інваріантності відповідних диференціальних рівнянь є, як правило, інтегродиференціальними (псевдодиференціальними) операторами. За допомогою даного методу виявлено нові, раніше невідомі, симетрії багатьох диференціальних рівнянь з частинними похідними: Дірака, Максвелла, Ламе та інших. Цей метод згодом одержав назву неліївського методу дослідження симетрійних властивостей диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Інший напрям реалізації ідеї пошуку додаткових (неліївських) операторів симетрії започаткували у 1969 р. Дж. Блумен та І.Д. Коул, які ввели поняття некласичної симетрїї. Це дозволило знаходити оператори інваріантності диференціальних рівнянь, відмінні від операторів С. Лі. Цей напрям розвивали в своїх роботах П. Олвер та Розено. У 80-х роках ХХ століття Н.Х Ібрагімов та Р.Л. Андерсон відкрили узагальнені симетрії диференціальних рівнянь, які отримали назву груп Лі-Беклунда. На відміну від теорії Лі простір "нелінійних представлень" групи стає нескінченновимірним і містить в якості локальних координат похідні від незалежних змінних будь-якого порядку. Завдяки такому узагальненню простору зображень стає можливим алгоритмічно встановлювати "приховані" симетрії у квантовій механіці. Як приклад, можна навести O(4)-симетрію атому водню, раніше відкриту В.А. Фоком лише випадково.

В Україні над дослідженням некласичних симетрій працювали В.І. Фущич, А.Г. Нікітін, І.М. Цифра, В.М. Штелень. Дослідження в цьому напрямку плідно провадили В.І. Чопик, М.І. Сєров. Їх результатом став метод умовної симетрії, за допомогою якого вдалося одержати додаткові оператори симетрії, що значно розширило можливості пошуку класів розв'язків диференціальних рівнянь.

Інший напрям розв'язання проблеми пошуку додаткових розв'язків рівнянь, які неможливо одержати класичним ліївським методом, запропонували В.І. Фущич, М.І. Сєров, Т.К. Амеров. Вони використали одержане Дж. Кінгом перетворення годографа, яке разом з деякими нелокальними замінами є перетворенням еквівалентності нелінійного рівняння теплопровідності, для лінеаризації, побудови нелокальних анзаців, та знаходження нелокальних формул розмноження розв'язків даного рівняння.

Із наведеного вище стає очевидним, що однією із центральних проблем сучасного теоретико-групового аналізу диференціальних рівнянь є розробка ефективних алгоритмів побудови широких класів точних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь.

Дослідженню симетрійних властивостей систем нелінійних рівнянь параболічного типу та пошуку додаткових можливостей для побудови їх розв'язків і присвячена дана робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно із загальним планом досліджень кафедри вищої математики Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є застосування ліївського методу до групової класифікації системи нелінійних рівнянь хемотаксису, а також застосування нелокальних перетворень еквівалентності системи нелінійних рівнянь дифузії для лінеаризації, побудови нелокальних анзаців та нелокальних формул розмноження розв'язків даної системи. ліївський хемотаксис дифузія анзац

Об'єктом дослідження є системи нелінійних рівнянь дифузії та реакції дифузії, зокрема, система нелінійних рінянь хемотаксису.

Предметом дослідження є класифікація ліївських симетрій систем нелінійних рівнянь реакції дифузії, знаходження їх точних розв'язків а також знаходження нелокальних анзаців та нелокальних формул розмноження розв'язків даних систем.

Методи дослідження. Для виконання групової класифікації використовується класичний метод Лі. Точні розв'язки побудовано методами ліївської та нелокальної редукції, нелокальні формули розмноження розв'язків одержано на основі методу нелокальних перетворень еквівалентності.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну дисертації, виносяться на захист, та отримані вперше, є такі:

Досліджено галілеївську інваріантність системи нелінійних рівнянь дифузії та системи нелінійних рівнянь реакції дифузії.

Знайдено нелокальні перетворення еквівалентності системи нелінійних рівнянь дифузії.

Встановлено вигляд системи нелінійних рівнянь дифузії, яка лінеаризується дією нелокальних перетворень еквівалентності.

Знайдено нелокальні формули розмноження розв'язків для системи нелінійних рівнянь дифузії.

Проведено симетрійну редукцію та знайдено точні розв'язки галілеївськи інваріантної системи нелінійних рівнянь дифузії.

Знайдено нелокальні анзаци, які редукують систему нелінійних рівнянь дифузії до системи звичайних диференціальних рівнянь.

Проведено повну групову класифікацію системи нелінійних рівнянь хемотаксису.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використані при розв'язуванні ряду конкретних задач теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, теорії дифузії, теорії теплопровідності та деяких інших, а також для моделювання біохімічних та біофізичних процесів та явищ.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику доктору фіз.-мат. наук, професору М.І. Сєрову. Безпосереднє розв'язання поставлених задач, доведення всіх результатів дисертації проведене особисто автором.

В роботах, які публіковувались разом з іншими авторами і включено до автореферату, особистий внесок дисертанта такий. У роботі [6] М.І. Сєрову належить загальна постановка задачі і аналіз отриманих результатів, Р.М. Чернізі належить проведений в роботі аналіз зв'язку з іншими дослідженнями, дисертанту доведення теорем про лінеаризацію дослідженої системи; в роботі [7] М.І. Сєрову належить загальна постановка задачі й уточнення деяких формулювань теорем і тверджень, дисертанту -- доведення всіх теорем та розв'язання поставлених задач.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах кафедри вищої математики Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка, на семінарах відділу Прикладних досліджень і відділу Диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України, на ІХ та Х Міжнародних конференціях ім. М. Кравчука, (м. Київ, 2002 та 2004), на Всеукраїнському науковому семінарі пам'яті В.І. Фущича, на ІІ Міжнародній конференції молодих вчених з диференціальних рівняннянь та їх застосувань імені Я.Б. Лопатинського (м. Донецьк, 11-14 листопада 2008), на Українському математичному конгресі (до 100-річчя від дня народження М.М. Боголюбова, 27-29 серпня 2009, м. Київ, Інститут математики НАН України, URL: http:// www.imath.kiev.ua./~congress2009/)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-10]. Серед них 6 статей в провідних наукових фахових виданнях, які відповідають вимогам ВАК України, 4 -- тези доповідей на міжнародних конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Робота викладена на 138 сторінках друкованого тексту, складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку літератури, що містить 204 найменування та додатків.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність і важливість теми дисертації, сформульовано основні означення, що використовуються в роботі, розкриваються напрямки досліджень, зроблено короткий опис змісту та результатів дисертації.

У першому розділі обгрунтовано вибір напрямку досліджень і здійснено постановку задач, які розв'язано в дисертації. Також окреслено основні етапи розвитку наукової думки щодо групового аналізу диференціальних рівнянь та подано огляд праць, які стосуються цієї проблеми.

У другому розділі поставлено та розв'язано задачу знаходження та застосування нелокальних перетворень еквівалентності для лінеаризації, знаходження нелокальних анзаців, проведення нелокальної редукції і побудови нелокальних формул розмноження розв'язків системи нелінійних рівнянь дифузії:

, (1)

де , , , -- довільні гладкі функції, , причому матриця задовольняє умову:

, (2)

де , .

Система (1) при конкретних нелінійностях знаходить широке застосування в теорії процесів теплопровідності, дифузії, описує еволюцію температури та густини у термоядерній плазмі.

В другому підрозділі другого розділу серед одержаних результатів, зокрема, доведено такі теореми.

Теорема 1. Перетворення:

(3)

де - нові невідомі функції;

(4)

де - нові незалежні змінні, - нові залежні змінні;

(5)

де - нові залежні змінні; є перетвореннями еквівалентності системи (1).

Теорема 2. Система вигляду (1) лінеаризується за допомогою перетворень (3)-(5) тоді і тільки тоді, коли вона локально еквівалентна системі:

(6)

Теореми 1, 2 було узагальнено на випадок довільної кількості залежних змінних, тобто для .

В першому підрозділі другого розділу досліджено інваріантність системи рівнянь дифузії вигляду (1) відносно алгебри Галілея:

, (7)

оператори якої визначаються комутаційними співвідношеннями

(8)

де

та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень.

В результаті проведених досліджень доведено наступні теореми.

Теорема 3. Нелінійна система (1) при умові (2) інваріантна відносно алгебри Галілея (7), (8) тоді і тільки тоді, коли вона локально еквівалентна системі:

, (9)

де - довільна гладка функція, а алгебра Галілея має таку реалізацію:

, (10)

причому .

Теорема 4. Система нелінійних рівнянь (9) при const, () інваріантна відносно узагальненої алгебри Галілея:

.

В першому підрозділі другого розділу аналогічні результати по дослідженню галілеївської інваріантності одержано також для системи рівнянь реакції дифузії:

, (11)

де , -- довільні гладкі функції.

Одержані результати подано у вигляді теорем.

Теорема 5. Нелінійна система (11) при умові (2) інваріантна відносно алгебри Галілея (7), (8) тоді і тільки тоді, коли дана алгебра має реалізацію (10) а система (11) локально еквівалентна системам:

1) ,

де , - довільні гладкі функції, причому оператор має вигляд:;

2) ,



де , - довільні гладкі функції, причому оператор має вигляд:;

3) , (12)

де - довільні гладкі функції, причому оператор має вигляд: .

Теорема 6. Система (12) при умові (2) інваріантна відносно узагальненої алгебри Галілея

,,

якщо вона локально еквівалентна системі:

,

де - довільні сталі.

В третьому підрозділі другого розділу результати теорем 1, 2 та симетрійні властивості лінійної системи

, (13)

де, , - довільні сталі, , використані для побудови нелокальних формул розмноження розв'язків системи вигляду (6).

Зокрема, для системи

(14)

яка перетвореннями (3), (4), (5) зводиться до системи вигляду (13) з одиничною матрицею дифузії, одержано наступні формули розмноження розв'язків

,

,

, ,

де -- відомий, а -- новий розв'язки системи (14).

В підрозділі 2.4 перетворення (3)-(5) використані для побудови нелокальних анзаців, які редукують образ системи (9), що одержується з (9) дією перетворень (3)-(5), до системи звичайних диференціальних рівнянь.

Так, наприклад, нелокальний анзац

редукує систему

(15)

до системи звичайних диференціальних рівнянь, розв'язавши яку, отримуємо розв'язок системи (15)

де -- розв'язки наступних рівнянь Ріккаті:

причому .

У третьому розділі розглянуто клас систем реакції дифузії вигляду (11) з особливим виглядом матриці нелінійностей :

. (16)

Системи такого типу широко знаходять численні застосування в якості математичних моделей для опису процесів живої природи, зокрема процесів, пов'язаних з хемотаксисом мікроорганізмів.

В.І. Фущич в своїй науковій творчості розвивав гіпотезу про те, що математичні моделі фізичних, хімічних та ін. природних явищ, які задовольняють певні принципи відносності та закони збереження, повинні бути інваріантними відносно відповідних груп симетрій. Виходячи з цього, для опису процесів хемотаксису мікроорганізмів з класу систем (11), (16) найбільше підходять ті, що мають найширшу групу симетрій, зокрема ті, які інваріантні відносно алгебри Галілея.

В цьому розділі поставлена та розв'язана задача повної групової класифікації системи рівнянь хемотаксису:

. (17)

Доведення основних тверджень розділу виконано в рамках класичного алгоритму С. Лі із застосуванням перетворень еквівалентності системи (17). В ході розв'язання поставленої задачі одержано наступні результати.

В першому підрозділі третього розділу одержана система визначальних рівнянь системи (17), яка необхідна для встановлення операторів симетрії та проведення аналізу залежності алгебр інваріантності від вигляду нелінійностей системи. Проаналізувавши визначальну систему рівнянь, в першому підрозділі встановлено, що при довільних функціях і максимальною алгеброю інваріантності системи (17) є алгебра:

. (18)

Одержано необхідні умови розширення алгебри (18).

Теорема 7. Якщо система (17) допускає розширення алгебри інваріантності (18), то функція набуває одного із наступних виглядів:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. ,

де -- довільна гладка функція, -- довільна стала.

Для оптимізації доведення тверджень наступних підрозділів в першому підрозділі 3-го розділу досліджено групу неперервних перетворень еквівалентності системи (17), в результаті чого доведено лему.

Лема 1. Система (17) має групу неперервних перетворень еквівалентності, що породжуються наступним інфінітезимальним оператором еквівалентності:

,



де -- довільні сталі, на які в залежності від вигляду функції накладаються обмеження:

1) при , ; 4) при , ;

2) при , ; 5) при , .

3) при , ;

Для кожної з п'яти функцій, наведених в теоремі 7, встановлено необхідні умови вигляду функцій , при яких можливе розширення алгебри інваріантності (18) системи (17). Проаналізувавши систему визначальних рівнянь, для кожного з виглядів функції , одержано максимальні алгебри інваріантності системи (17).

Так, наприклад, в підрозділі 3.6 описано симетрійні властивості класу систем вигляду (17) при . Зокрема, в цьому підрозділі встановлено, що необхідною умовою інваріантності системи (17) із відносно алгебри Галілея є таке твердження.

Теорема 8. Якщо система (17) при допускає розширення алгебри інваріантності (18) операторами алгебри Галілея, то функції задаються однією з наступних формул:

де , -- довільні гладкі функції, -- довільні сталі.

Результатом дослідження симетрійних властивостей систем вигляду (17) при в підрозділі 3.6 стала така теорема.

Теорема 9. Максимальні алгебри інваріантності системи (17) при залежно від значень функцій , наведені у наступній таблиці.

Таблиця - Класифікація симетрійних властивостей системи (17) при .

№ з/п	Зображення функцій	Оператори максимальної алгебри інваріантності
1
2		,
3
4
5
6
7		G
8		G,
9		G,

В таблиці , , ,

, -- довільні гладкі функції, .



Висновки

Дослідження симетрійних властивостей та групова класифікація систем диференціальних рівнянь, у випадку проведення аналізу визначальних рівнянь з числом довільних нелінійностей, більшим ніж дві, є дуже актуальною проблемою теорії диференціальних рівнянь. Адже, знання симетрійних властивостей систем диференціальних рівнянь дозволяє будувати їх точні розв'язки. Крім того, дуже актуальна задача пошуку додаткових можливостей знаходження точних розв'язків тих систем, які мають бідну ліївську симетрію. Реалізації таких задач і присвячена дисертаційна робота.

Основними результатами, одержаними в дисертації, є такі:

В класі систем нелінійних рівнянь дифузії та реакції дифузії відібрані системи, інваріантні відносно алгебри Галілея. Для одержаних систем досліджено, при яких нелінійностях можливі розширення алгебри Галілея операторами масштабних та проективних перетворень.

Знайдено нелокальні перетворення еквівалентності системи нелінійних рівнянь дифузії та на їх основі встановлено формули зв'язку між матрицями нелінійностей еквівалентних відносно нелокальних перетворень систем. Одержано умови інваріантності систем нелінійних рівнянь дифузії відносно нелокальних перетворень еквівалентності.

Встановлено вигляд системи нелінійних рівнянь дифузії, яка лінеаризується дією нелокальних перетворень еквівалентності.

За допомогою нелокальних перетворень еквівалентності знайдено нелокальні формули розмноження розв'язків для системи нелінійних рівнянь дифузії, що лінеаризується цими нелокальними перетвореннями еквівалентності.

Симетрійні властивості галілеївськи інваріантної системи нелінійних рівнянь дифузії використано для побудови ліївських анзаців. Проведено симетрійну редукцію та знайдено точні розв'язки галілеївськи інваріантної системи нелінійних рівнянь дифузії.

Знайдено нелокальні анзаци, які редукують систему нелінійних рівнянь дифузії, неінваріантну відносно алгебри Галілея, до системи звичайних диференціальних рівнянь.

Проведено повну групову класифікацію системи нелінійних рівнянь хемотаксису, при цьому встановлено клас систем такого типу, які є інваріантними відносно алгебри Галілея.



Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Омелян O.M. Редукція та розв'язки систем нелінійних рівнянь дифузії, інваріантних відносно алгебри Галілея / O.M. Омелян // Вісн. Київ. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Сер.: ,,Математика. Механіка“. - 2004. - № 11-12. - С. 95-100.

2. Сєров М.І. Лінеаризація систем нелінійних рівнянь дифузії за допомогою нелокальних перетворень / М.І. Сєров, O.M. Омелян, Р.М. Черніга // Доп. НАН України. - 2004. - № 10. - С. 39-45.

3. Омелян O.M. Інваріантність системи рівнянь хемотаксису відносно алгебри Галілея / O.M. Омелян // Вісн. Київ. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Сер.: ,,Математика. Механіка“. - 2008. - № 19. - С. 29-35.

4. Омелян О.М. Галілеївська інваріантність системи нелінійних рівнянь реакції дифузії / О.М. Омелян // Труды ИПММ НАН Украины. - 2009. - Т. 18. - С. 138-147.

5. Сєров М.І. Класифікація симетрійних властивостей системи рівнянь хемотаксису / М.І. Сєров, O.M. Омелян // Укр. мат. вісник. - 2008. - Т. 5, № 4. - С. 536-562.

6. Serov M.I. Classifycation of symmetry properties of the system of chemotaxis equations / M.I. Serov, O.M. Omelyan // Ucrainian mathematical bulletin. - 2008. - V. 5, № 4. - С. 529-557.

7. Омелян O.M. Інваріантність нелінійної системи дифузії відносно алгебри Галілея / O.M. Омелян // Матеріали IX міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 2002. - С. 149.

8. Омелян O.M. Нелокальні формули розмноження розв'язків системи нелінійних рівнянь дифузії / O.M. Омелян // Матеріали X міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 2004. - С. 197.

9. Омелян O.M. Нелокальні перетворення системи нелінійних рівнянь дифузії / O.M. Омелян // Матеріали II міжнародної наукової конференції молодих вчених по диференціальних рівняннях імені Я.Б. Лопатинського. - Донецьк. - 2008. - С. 90.

10. Сєров М.І. Галілеївська інваріантність системи нелінійних рівнянь реакції-конвекції-дифузії / М.І. Сєров, М.М. Сєрова, О.М. Омелян, Т.О. Карпалюк // Український математичний конгрес (до 100-річчя від дня народження М.М. Боголюбова), 27-29 серпня 2009. - Київ. - Інститут математики НАН України. _ URL: http:// www.imath.kiev.ua./~congress2009/



Анотації

Омелян О.М. „Симетрійні властивості та точні розв'язки нелінійних рівнянь параболічного типу”. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. _ Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертацію присвячено дослідженню симетрійних властивостей систем нелінійних рівнянь параболічного типу та побудові їх точних розв'язків.

Встановлено системи нелінійних рівнянь дифузії та реакції дифузії, інваріантні відносно алгебри Галілея. Для знайдених систем досліджено можливості розширення алгебри Галілея операторами масштабних та проективних перетворень. Для галілеївськи інваріантної системи нелінійних рівнянь дифузії побудовано ліївські анзаци та знайдено точні розв'язки. Нелокальні перетворення еквівалентності використано для знаходження систем рівнянь дифузії, що лінеаризуються, та для побудови нелокальних анзаців системи рівнянь дифузії, яка зводиться до галілеївськи інваріантної системи нелокальними перетвореннями еквівалентності. За допомогою нелокальних перетворень еквівалентності побудовано нелокальні формули розмноження розв'язків системи рівнянь дифузії, яка лінеаризується нелокальними перетвореннями еквівалентності. Проведена повна групова класифікація симетрійних властивостей системи нелінійних рівнянь хемотаксису.

Ключові слова: симетрія, інваріантність, алгебра Лі, розмноження розв'язків, групова класифікація, нелокальні перетворення, система рівнянь дифузії, хемотаксис.



Омелян А.Н. „Симметрийные свойства и точные решения нелинейных уравнений параболического типа”. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертация посвящена исследованию симметрийных свойств и построению точных решений систем нелинейных уравнений параболического типа.

Среди современных методов решения дифференциальных уравнений метод С. Ли занимает особое место. Преимуществом данного метода является тот факт, что он позволяет аналитически строить точные решения дифференциальных уравнений с частными производными. Кроме того, данный метод позволяет из некоторого класса дифференциальных уравнений выделить те уравнения, которые удовлетворяют тому или иному принципу относительности.

Во втором разделе диссертации определены системы нелинейных уравнений диффузии и реакции диффузии, инвариантные относительно алгебры Галилея. Для установленных систем исследованы возможности расширения алгебры Галилея операторами масштабных и проективных преобразований. В результате этого в классе систем нелинейных уравнений диффузии и реакции диффузии выделены подклассы систем, инвариантные относительно расширенной алгебры Галилея и обобщённой алгебры Галилея. Эти системы в силу широких симметрийных свойств могут быть использованы для описания реальных физических процессов.

Для системы нелинейных уравнений диффузии найдены нелокальные преобразования еквивалентности, которые преобразуют системы уравнений диффузии к системам уравнений того же вида. Нелокальные преобразования эквивалентности использованы для нахождения линеаризующихся систем уравнений диффузии. Используя хорошо известные широкие симметрийные свойства линейной системы уравнений диффузии, при помощи нелокальных преобразований эквивалентности построены нелокальные формулы размножения решений системы уравнений диффузии, линеаризующейся нелокальными преобразованиями эквивалентности. Для галилеевски инвариантной системы нелинейных уравнений диффузии построены лиевские анзацы, получены редуцированные системы обычных дифференциальных уравнений и найдены точные решения. Во втором разделе диссертации также показано, что системы-образы галилеевски инвариантной системы нелинейных уравнений диффузии, получающиеся действием нелокальных преобразований эквивалентности, неинвариантны относительно алгебры Галилея. Учитывая этот факт, с помощью нелокальных преобразований эквивалентности, используя построенные лиевские анзацы галилеевски инвариантной системы нелинейных уравнений диффузии, для систем-образов найдены нелокальные анзацы, которые редуцируют системы-образы к системам обычных дифференциальных уравнений.

Третий раздел диссертации посвящен исследованию симметрийных свойств системы уравнений хемотаксиса, которая принадлежит к классу систем нелинейных уравнений реакции диффузии. Для системы уравнений хемотаксиса установлена основная группа инвариантности системы. А также в виде совокупности значений матрицы диффузии установлены необходимые условия расширения основной алгебры инвариантности системы. Для системы уравнений хемотаксиса исследована группа непрерывных преобразований эквивалентности системы. Для каждого из полученных значений матрицы диффузии установлены необходимые условия расширения основной алгебры инвариантности системы в зависимости от значений матрицы реакции. Проклассифицированы симметрийные свойства системы уравнений хемотаксиса при всевозможных значениях матриц реакции и диффузии. Теоремы о максимальных алгебрах инвариантности системы уравнений хемотаксиса сформулированы с точностью до преобразований еквивалентности, отдельно указанных для каждого случая матрицы диффузии. Установлен единственный вид матрицы диффузии, при котором система уравнений хемотаксиса инвариантна относительно алгебры Галилея. Данный результат полностью согласуется с результатом, полученным во втором разделе диссертации. Таким образом, в третьем разделе диссертации проведена полная групповая классификация симметрийных свойств системы нелинейных уравнений хемотаксиса.

Ключевые слова: симметрия, инвариантность, алгебра Ли, размножение решений, групповая классификация, нелокальные преобразования, система уравнений диффузии, хемотаксис.



Omelyan O.M. „Symmetry properties and exact solutions of nonlinear equations of parabolical type”. - Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences, Kiev, 2010.

This thesis is devoted to investigation of symmetry properties of systems of nonlinear equations of parabolical type.

The systems of nonlinear equations of diffusion and reaction of diffusion which are invariant concerning Galilei Algebras are discovered. For these systems the expansions of Galilei Algebras by operators of scale and projection transformations are investigated. For Galilei invariant system of nonlinear equations of diffusion the Lie's anzatz were constructed and exact solutions were generated. Nonlocal transformations of equivavalence were applied for finding system of nonlinear equations of diffusion which may be linearized and for constructing nonlocal anzatz of nonlinear system of equations of diffusion which may be reduced to Galilei invariant system by nonlocal transformations of equivalence. With nonlocal transformations of equivalence there were constructed the reproduction solution nonlocal formulas of diffusion nonlinear equation system which may be linearized by nonlocal transformations of equivalence. The full group classification of symmetries properties of system of nonlinear chemotaxis equations was performed.

Key words: symmetry, invariance, Lie algebras, reproduction of solutions, group classification, nonlocal transformations, system of diffusion equations, chemotaxis.

Размещено на Allbest.ru