Розподіли випадкових ланцюгових дробів та їх фрактальні властивості

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

Розподіли випадкових ланцюгових дробів та їх фрактальні властивості

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат

Дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Кюрчев Дмитро Володимирович

Київ - 2010

Анотація

Кюрчев Д.В. Розподіли випадкових ланцюгових дробів та їх фрактальні властивості. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертація присвячена дослідженню розподілів ймовірностей зі складною локальною будовою, заданих в термінах ланцюгових дробів (елементарних і неелементарних). Досліджено тополого-метричні та фрактальні властивості випадкової величини, зображеної ланцюговим дробом, елементи якого дискретно розподілені і можуть приймати лише два значення. Доведено, що у випадку незалежності елементів і виконанні певних умов для їх значень такий розподіл є або чисто дискретним, або чисто сингулярно неперервним. В останньому випадку знайдено критерії сингулярності канторівського і салемівського типів. Також розглянуто випадок, коли елементи утворюють однорідний ланцюг Маркова. Встановлено умови дискретності та сингулярності канторівського типу. Для випадку, коли елементи незалежні однаково розподілені і набувають лише натуральних значень, знайдено оцінки розмірності Хаусдорфа--Безиковича спектра (топологічного носія) розподілу. В дисертації також побудовано сингулярно неперервні функції розподілу канторівського типу, задані перетворювачами елементів елементарного ланцюгового зображення аргумента. Вивчено окремі фрактальні властивості цих функцій та деяких пов'язаних з ними множин.

Ключові слова: випадковий ланцюговий дріб, сингулярна міра канторівського типу, сингулярна міра салемівсього типу, ланцюг Маркова, розмірність Хаусдорфа-Безиковича.

Аннотация

Кюрчев Д.В. Распределения случайных цепных дробей и их фрактальные свойства. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теорія вероятностей и математическая статистика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертация посвящена исследованию вероятностных распределений со сложным локальным строением, заданных при помощи цепных дрожей (элементарных и неэлементарных).

Полностью исследована лебеговская структура распределения (содержание дискретной, абсолютно непрерывной и сингулярно непрерывной компонент) случайной величины

,

где являются независимыми случайными величинами с распределениями: , , , , . Обоснованы основные результаты метрической теории цепного А₂-представления действительных чисел, связанного с распределением о (свойства цилиндров, основное метрическое отношение). Доказано, что распределение о может быть только либо чисто дискретным, либо чисто сингулярно непрерывным. В случае дискретности описано множество всех атомов. Для сингулярно распределенной случайной величины о при найдено выражение для функции распределения и ее производной, описан спектр (топологический носитель) распределения и изучены его свойства. Доказаны критерии принадлежности распределения о к сингулярному распределению канторовского и салемовского типов.

Для случая, когда являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами и , (), исследованы фрактальные свойства распределения о: найдена оценка размерности Хаусдорфа вероятностной меры, порожденной случайной величиной о.

В диссертации изучен также случай, когда случайные величины принимают значения из множества и образуют однородную цепь Маркова с начальными вероятностями , () и матрицей переходных вероятностей , где , , . Найдены условия дискретности и сингулярности канторовского типа. Для случая дискретности указаны все атомы распределения, для непрерывно распределенной случайной величины о описаны тополого-метрические свойства спектра.

Для случая, когда элементы цепной дроби являются независимыми одинаково расспределенными случайными величинами и принимают только натуральные значения, найдены оценки размерности Хаусдорфа--Безиковича спектра.

В диссертации также построены сингулярно непрерывные функции распределения канторовского типа, заданные при помощи преобразователей элементов элементарного цепного представления аргумента в элементы цепного представления значения функции. Для одной из таких функций найдены оценки размерности Хаусдорфа-Безиковича ее спектра и размерности Хаусдорфа задаваемой ею вероятностной меры. С использованием другой функции найдено точное значение размерности Хаусдорфа--Безиковича одного множества канторовского типа, связанного с распределением и заданного при помощи цепных дробей.

Ключевые слова: случайная цепная дробь, сингулярная мера канторовского типа, сингулярная мера салемовского типа, цепь Маркова, размерность Хаусдорфа-Безиковича.

Annotation

Kyurchev D.V. Probability distributions of random continued fractions and their fractal properties. - Manuscript.

Candidate's thesis on Physics and Mathematics, speciality 01.01.05 - probability theory and mathematical statistics. - Institute for Mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to the investigation of probability distributions with a complicated local structure defined in terms of continued fractions (elementary and non-elementary). We investigated the topological, metric and fractal properties of a random variable represented by the continued fraction whose elements are discretely distributed and take only two values. In the case where the elements are independent and certain conditions for their values take place we proved that the distribution is either pure discrete or pure singularly continuous. For the latter case the criteria for the Cantor-type and the Salem-type singularities are established. We also studied the case where the elements form a homogeneous Markov chain. The conditions for discreteness and Cantor-type singularity of the distribution are found. For the case where the elements are independent identically distributed and take values from the set of positive integers we found estimates for the Hausdorff--Besicovitch dimension of the spectrum (topological support) of the distribution. In the thesis we also constructed singularly continuous distribution functions of the Cantor type defined by converters of elements of the elementary continued fraction expansion of the argument. Some fractal properties of these functions and relative sets are studied.

Key words: random continued fraction, Cantor-type singular measure, Salem-type singular measure, Markov chain, Hausdorff--Besicovitch dimension.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертаційне дослідження присвячене вивченню тополого-метричних і фрактальних властивостей розподілів ймовірностей (ймовірнісних мір), пов'язаних з ланцюговими дробами (елементарними та неелементарними), а саме: опису лебегівської структури (вмісту дискретної, абсолютно неперервної та сингулярно неперервної компонент), а також властивостей множин, істотних для розподілу (носіїв, наділених певною умовою мінімальності). Центральним в роботі є вивчення розподілу випадкової величини, зображеної ланцюговим дробом, елементи якого набувають лише два значення.

Цілий ряд особливих властивостей, які притаманні ланцюговим дробам, породжують їх широке застосування в теоретичній та прикладній математиці. Вони використовуються в різних галузях, зокрема в алгебрі та теорії чисел, в теорії диференціальних рівнянь, в теорії функцій (див. роботи Д.І. Боднара (1986), П.І. Боднарчука і В.Я. Скоробогатька (1974), У. Джоунс і В. Трон (1985) тощо). Протее досліджень в області теорії ймовірностей, пов'язаних з ланцюговими дробами, нам відомо порівняно небагато: це роботи О.Л. Лещинського (1995, 1998, 1999), М.В. Працьовитого (1996), Р. Лайонса (R. Lyons) (2000), Я.Ф. Виннишина (2001) та інших. Певну кількість цих робіт присвячено дослідженню лебегівської структури і тополого-метричних властивостей спектра розподілу випадкової величини

, (1)

де є незалежними дискретно розподіленими випадковими величинами. Структура розподілу о найбільш повно вивчена для випадку, коли можуть набувати лише натуральні значення. Зокрема, доведено, що в такому випадку розподіл о не може мати абсолютно неперервної компоненти (а отже, у випадку неперервності, є сингулярним). Сингулярно неперервні розподіли ймовірностей (такі, що зосереджені на континуальній множині нульової міри Лебега) все ще залишаються найменш дослідженим типом чистих розподілів, хоч інтерес до них в останній час значно збільшився. Вони виявилися домінуючими не лише для випадкової величини, зображеної елементарним ланцюговим дробом, а практично у всіх класах розподілів випадкових величин, «цифри» зображення яких у певній системі числення є незалежними випадковими величинами.

Вихід за межі елементарних ланцюгових дробів мав би забезпечити нам збагачення класу отримуваних розподілів. В роботі Я.Ф. Виннишина (2001) наведено факт чистоти розподілу випадкової величини, представленої ланцюговим дробом з незалежними (не обов'язково натуральними) елементами, а також критерій дискретності. Проте залишилось відкритим питання про тип неперервного розподілу в цьому випадку та критерії належності до абсолютно неперервного і сингулярно неперервного типів.

Вивчення структури та властивостей таких розподілів вимагало розв'язання ряду задач метричної теорії, пов'язаних з неелементарними ланцюговими дробами. Ще кілька років тому була актуальною задача: чи можлива система зображення дійсного числа ланцюговим дробом зі скінченним алфавітом (в першу чергу, двосимвольним) з нульовою надлишковістю? Сьогодні ми маємо відповідь на це запитання завдяки проведеному дослідженню. В дисертації запропоновано спосіб представлення дійсних чисел ланцюговим дробом з двоелементним алфавітом ().

Нехай - множина всіх нескінченних ланцюгових дробів вигляду , елементи яких належать множині А₂ (такі ланцюгові дроби називатимемо ланцюговими А₂-дробами). Якщо i - натуральні, то добре відомо (див., напр., роботи А.Я. Хінчина), що є ніде не щільною множиною нульової міри Лебега. Дещо несподіваним виявився факт, що достатньо виконання умови для того, щоб множина була відрізком, будь-яку точку якого (крім зчисленної множини) можна було представити ланцюговим -дробом єдиним способом. Таке зображення чисел за своєю сутністю є ланцюговим, а за формою має властивості двійкового кодування дійсних чисел, оскільки алфавіт містить два символи. Спираючись на результати з метричної теорії побудованої системи числення, можна вивчити лебегівську структуру та тополого-метричні властивості розподілу випадкової величини, зображеної ланцюговим А₂-дробом з незалежними елементами, а також властивості випадкового ланцюгового А₂-дробу, елементи якого утворюють однорідний ланцюг Маркова.

У випадку сингулярності розподілу його носії, визначені певним чином, є фрактальними множинами (фракталами). Проте дослідження фрактальних властивостей розподілів випадкових величин, зображених ланцюговими дробами, є достатньо нетривіальною задачею. Адже для ланцюгового зображення дійсних чисел відсутня «самоподібна геометрія», є непростим основне метричне відношення (вимагає «нескінченної пам'яті»), клас циліндричних відрізків недостатній для означення фрактальної розмірності Хаусдорфа-Безиковича множин числової прямої. У зв'язку з цим, в дисертаційній роботі значна увага приділена знаходженню фрактальних характеристик розподілів випадкових величин, зображених елементарним ланцюговим дробом та ланцюговим А₂-дробом з незалежними елементами. Як задати інші, відмінні від (1), сингулярні розподіли ймовірностей за допомогою ланцюгових дробів? З цією метою в роботі запропоновано використовувати перетворювачі елементів елементарного ланцюгового зображення аргумента в елементи ланцюгового розкладу значення фунції. Як виявилось, в такий спосіб можна також побудувати ряд цікавих функцій розподілу зі складною локальною поведінкою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано відповідно до плану наукових досліджень, які здійснюються на кафедрі вищої математики Національного педагогічного університету імені М.П. Драгоманова та у відділі фрактального аналізу ІМ НАН України. Дослідження проводилось в рамках науково-дослідницьких тем:

· «Дослідження фрактальних об'єктів алгебри, геометрії, функціонального аналізу і теорії ймовірностей» (номер державної реєстрації 0104U004017);

· «Фрактальний аналіз математичних об'єктів зі складною локальною будовою» (номер державної реєстрації 0107U000583).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження структури (вмісту дискретної, абсолютно неперервної та сингулярно неперервної компонент), метричних, топологічних і фрактальних властивостей розподілів випадкових величин, заданих за допомогою ланцюгових дробів (елементарних і неелементарних).

Об'єкт дослідження - випадкові величини, задані в термінах ланцюгових дробів (елементарних і неелементарних).

Предмет дослідження - лебегівська структура розподілу, топологічні, метричні і фрактальні властивості розподілів випадкових величин, заданих з використанням ланцюгових дробів.

Основними завданнями дослідження є такі:

- Дослідити фрактальні властивості сингулярних функцій розподілу, визначених за допомогою елементарних ланцюгових дробів, зокрема заданих перетворювачами елементів ланцюгового зображення аргумента в елементи ланцюгового зображення значення функції.

- Дослідити тополого-метричні і фрактальні властивості розподілу випадкового ланцюгового А₂-дробу, елементи якого незалежні або утворюють однорідний ланцюг Маркова.

- Дослідити лебегівську структуру розподілу випадкового ланцюгового А₂-дробу з незалежними елементами, встановити критерії належності розподілу до кожного з чистих типів.

Методи дослідження. В роботі широко використовувалися як методи теорії ймовірностей, так і методи суміжних галузей - математичного аналізу, теорії міри тощо. Зокрема, для доведення сингулярності розподілів застосовувались методи теорії функцій дійсної змінної і метричної теорії чисел. При встановленні фрактальних характеристик застосовано методи фрактального аналізу, комбінаторики тощо.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними науковими результатами, що виносяться на захист, є такі:

- Для випадкової величини, заданої елементарним ланцюговим дробом з незалежними елементами, знайдено оцінки розмірності Хаусдорфа--Безиковича її спектра.

- Побудовано сингулярні розподіли ймовірностей за допомогою перетворювачів елементів ланцюгового зображення аргумента і вивчено їх фрактальні властивості.

- Введено в розгляд зображення дійсних чисел ланцюговими дробами з двоелементним алфавітом (ланцюгове А₂-зображення дійсних чисел). Для випадкової величини, зображеної ланцюговим А₂-дробом з незалежними елементами, описано тополого-метричні властивості спектра розподілу та повністю вивчено його лебегівську структуру (а у випадку сингулярності розподілу знайдено необхідні і достатні умови належності його до канторівського та салемівського типів).

- Для випадкової величини, елементи ланцюгового А₂-зображення якої утворюють однорідний ланцюг Маркова, вивчено тополого-метричні властивості спектра, знайдено достатню умову належності розподілу канторівському типу та критерій дискретності.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Результати, що одержані в роботі, можуть бути використані в дослідженнях з теорії ймовірностей (зокрема, в теорії сингулярних розподілів), з метричної теорії чисел, теорії міри, теорії функцій, фрактальної геометрії і фрактального аналізу. Запропоновані в дисертації методи можуть бути корисними при вивченні математичних об'єктів зі складною локальною будовою (поведінкою), заданих за допомогою інших представлень чисел зі скінченним та нескінченним алфавітом.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження і постановка задач, перевірка результатів належить науковому керівнику та співавтору наукових праць - М.В. Працьовитому. Усі результати, що виносяться на захист, отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дослідження доповідалися на таких наукових конференціях і семінарах:

- Міжнародна конференція «Сучасні проблеми і нові тенденції в теорії ймовірностей» (Чернівці, 19 - 26 червня 2005р.);

- Конференція «Фрактали і сучасна математика» (Київ, 17 вересня 2005 р.);

- Одинадцята Міжнародна Наукова конференція імені академіка М. Кравчука (Київ, 18 - 20 травня 2006 р.);

- Міжнародна конференція «Сучасна стохастика: теорія і застосування» (м. Київ, 2006 р.);

- Дванадцята Міжнародна Наукова конференція імені академіка М. Кравчука (Київ, 15 - 17 травня 2008 р.);

- Спільна конференція V Міжнародного симпозіуму з діаграм Вороного і їх застосувань в науці і техніці (ISVD-2008) і IV Міжнародної конференції з аналітичної теорії чисел і просторових розшарувань (Київ, 22 - 28 вересня 2008 р.);

- Конференція «Фрактали і сучасна математика», присвячена 50-річчю від дня народження доктора фізико-математичних наук, професора Працьовитого Миколи Вікторовича (Київ, 24 грудня 2009 р.);

- семінар відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України «Числення Малявена і його застосування» (керівник: докт. фіз.-мат. наук, проф. А.А. Дороговцев);

- Науковий семінар кафедри теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики Київ. нац. ун-ту імені Т. Шевченка (керівники: докт. фіз.-мат. наук, проф. Ю.С. Мішура, докт. фіз.-мат. наук, проф. Ю.В. Козаченко);

- Науковий семінар «Теорія випадкових процесів» при кафедрі математичного аналізу та теорії ймовірностей Нац. техн. ун-ту України «КПІ» (керівник: докт. фіз.-мат. наук, проф. В.В. Булдигін)

- семінар з фрактального аналізу Інституту математики НАН України та Нац. пед. ун-ту імені М.П. Драгоманова (керівник: докт. фіз.-мат. наук, проф. М.В. Працьовитий).

2. Основний зміст роботи

В розділі 1 вивчено тополого-метричні і фрактальні властивості функцій розподілу зі складною локальною поведінкою, заданих перетворювачами елементів елементарного ланцюгового зображення аргумента в елементи ланцюгового зображення значення функції.

Відомо, що кожне ірраціональне число x єдиним чином може бути представлене у вигляді нескінченного ланцюгового дробу

,

а кожне раціональне число представляється скінченним ланцюговим дробом

,

де - ціле, () - натуральні числа, які називаються його елементами. Будемо вважати, що , та замість запису користуватись скороченим . Оскільки кожне раціональне число має два представлення: і , то будемо використовувати тільки останнє з них. Тоді кожний елемент ланцюгового розкладу однозначно визначається даним числом , тобто є функцією від : .

Для фіксованого натурального числа розглянемо множину . Нехай

.

Тоді множину $C_{\alpha}$ можна представити як

\begin{equation*}

C_{\alpha}=(0; 1]\setminus\left(\bigcup_{n=0}^{\infty}

\bigcup_{\substack{a_1,\ldots,a_n\in N_{\alpha},\\j\in N }} I_{a_1

\ldots a_n j} \right),

\end{equation*}

де $I_{a_1 \ldots a_n j}$ --- інтервал, суміжний з множиною $C_{\alpha}$, що задається рівностями:

\begin{equation*}

I_{a_1 \ldots a_n j}

=\begin{cases} \left( [a_1,\ldots,a_n, (j+1)^{\alpha}],\;

[a_1,\ldots,a_n, j^{\alpha}+1]\right),\;&

\mbox{якщо}\; n \mbox{---}\\ &\mbox{парне};\\

\left([a_1,\ldots,a_n,j^{\alpha}+1],\;[a_1,\ldots,a_n,(j+1)^{\alpha}]\right),\;&\mbox{якщо}\;

n \mbox{---}\\ &\mbox{непарне};\\

\left( \dfrac{1}{(j+1)^{\alpha}},\;

\dfrac{1}{j^{\alpha}+1}\right),\;&\mbox{якщо}\; n=0,

\end{cases}

\end{equation*}

причому елементи $a_1,\ldots,a_n\in N_{\alpha}$, $j\in N$. Множина

$C_{\alpha}$ є ніде не щільною множиною нульової міри Лебега.

Нехай $(0; 1]\ni x=[a_1,a_2,\ldots]$ --- скінченний чи нескінченний дріб. Покладемо

\[

F(x)=\begin{cases}

[a_1^{\frac{1}{\alpha}},\ldots,a_k^{\frac{1}{\alpha}},\ldots],&\mbox{якщо}

\; a_k\in N_{\alpha}\; \forall k\in N, x\in I;\\

[a_1^{\frac{1}{\alpha}},\ldots,a_n^{\frac{1}{\alpha}}],&\mbox{якщо}

\; x=[a_1,\ldots,a_n], a_k\in N_{\alpha}\;

\forall k=\overline{1,n};\\

[a_1^{\frac{1}{\alpha}},\ldots,a_n^{\frac{1}{\alpha}},

s^{\frac{1}{\alpha}}],&\mbox{якщо}

\; a_k\in N_{\alpha}\; \forall k=\overline{1,n},\; a_{n+1}\notin N_{\alpha};\\

[s^{\frac{1}{\alpha}}],&\mbox{якщо} \; a_k\notin N_{\alpha} \quad

\forall k\in N;\\

0,&\mbox{якщо}\; x=0,

\end{cases}

\]

де $I$ - множина ірраціональних точок відрізка $[0,1]$, $s$ визначається з умови: $s=\min\{s_i:\;a_{n+1}\leq s_i, \;s_i\in N_{\alpha}\}$.

Теорема 1.3. Функція F(x) є сингулярною функцією розподілу канторівського типу, спектром якої є множина C_б.

Розглянемо ймовірнісну міру м, що задається функцією розподілу F(x). Очевидно, що м зосереджена на множині C_б, тобто м(C_б)=1.

Теорема 1.4. Для розмірності Хаусдорфа міри м мають місце оцінки:

$$

\dfrac{1}{2\alpha}\leq\alpha_0(\mu)\leq \dfrac{1}{\alpha}

\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{k(k+2)}\right)^{\frac{\ln

(\frac{k+1}{k})}{\ln 2}}.

$$

Наслідок 1.1. Розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини C_б задовольняє нерівність:

$$

\alpha_0({C}_{\alpha})\geq \frac{1}{2\alpha}.

$$

Нехай M - додатне ціле число, M>1. Означимо множини в такий спосіб:

\begin{align*}

&E_M=\{x:\; x=[a_1,\ldots, a_k,\ldots];\; 0<a_k-a_{k-1}\leq M \;

\forall k=1,2,\ldots\},\\

&E=\bigcup\limits_{M=1}^{\infty}E_M.

\end{align*}

Множини E_M і E є континуальними. Нехай $a_{-1}=0$, $a_0=0$. Означимо функцію F(x) рівностями:

\[

F(x)=\begin{cases}

[a_1,a_2-a_1,\ldots,a_i-a_{i-1},\ldots],&\text{якщо $x\in I$,}\\

&\text{$a_{i}-a_{i-1}>0$ $\forall i\in N$;}\\

[a_1,a_2-a_1,\ldots, a_{m}-a_{m-1}+1],&\text{якщо

$a_i-a_{i-1}>0$ }\\

&\text{$\forall i=\overline{1,m}$}\\

&\text{і $a_{m+1}-a_m\leq 0$;}\\

[a_1,a_2-a_1,\ldots, a_m-a_{m-1}],&\text{якщо

$x=[a_1,\ldots,a_m]$,}\\ &\text{де $a_i-a_{i-1}>0$}\\

&\text{$\forall i=\overline{1,m}$}\\

&\text{і $a_m-a_{m-1}>1$;}\\

[a_1,a_2-a_1,\ldots,a_{m-1}-a_{m-2}+1], &\text{якщо

$x=[a_1,\ldots,a_m]$,}\\&\text{де $a_i-a_{i-1}>0$}\\

&\text{$\forall i=\overline{1,m}$\quad}\\

&\text{і $a_m-a_{m-1}=1$;}\\

0,&\text{якщо $x=0$.}

\end{cases}

\]

Нехай $E_N=\{x:\; x=[a_1,\ldots,a_k,\ldots]; \; a_{k-1}<a_k \; \forall k=2,3,\ldots\}$. Функція F(x) встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами $[0;1]\cap I$ і E_N . При цьому множина E_N є ніде не щільною множиною міри Лебега нуль.

Теорема 1.5. Функція F(x) є сингулярною функцією розподілу на відрізку [0, 1], множиною точок росту якої є множина E_N.

Побудована вище функція розподілу F(x) застосована далі як засіб для обчислення розмірності Хаусдорфа--Безиковича. Функція F(x) задає неперервну ймовірнісну міру м, зосереджену на множині E_N, і відображає множину E_M у множину $$E'_M=\{x: a_k(x)\leq M\quad \forall k\in N\}.$$

Теорема 1.6. Розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини E дорівнює нулю.

У першому розділі також досліджуються фрактальні властивості спектра (топологічного носія) розподілу випадкової величини, представленої ланцюговим дробом о=[з₁, з₂, …], де з_k є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами, що набувають значень 1,2, … з ймовірностями p₁, p₂, … відповідно, причому $p_i\geq 0$ і $\sum\limits_{i=1}^{\infty}p_i=1$.

Відомо, що необхідною і достатньою умовою канторовості розподілу о є існування нуля у рядку p₁, p₂, …. Тоді спектр розподілу о є замиканням множини

$$

E(A)=\{x:\quad x=[a_1,\ldots,a_i,\ldots],\quad p_{a_i}>0 \quad

\forall i=1,2,\ldots \}.

$$

Теорема 1.7. Нехай $p_i>0$ при $i\in A=\{m_1,m_1+1,\ldots,m_k\}$ і $p_i=0$ при $i\notin A$. Тоді для розмірності Хаусдорфа--Безиковича спектра випадкової величини $\xi$ мають місце оцінки:

\begin{equation*}

\cfrac{\ln k}{2\ln\cfrac{m_k+\sqrt{m_{k}^{2}+4}}{2}}\leq

\alpha_0(S_{\xi}) \leq \cfrac{\ln k

}{2\ln\cfrac{m_1+\sqrt{m_{1}^{2}+4}}{2}}\quad.

\end{equation*}

\end{theorem}

У розділі 2 вводиться в розгляд випадкова величина, представлена ланцюговим А₂-дробом, елементи якого є незалежні дискретно розподілені випадкові величини. Нехай $A_2= \{ \alpha_1, \alpha_2\}$ - задана множина дійсних чисел, $0< \alpha_1<\alpha_2$. Розглядається випадкова величина $\xi=[\eta_1,\eta_2,\ldots]$, де $\eta_k$ - незалежні випадкові величини з розподілами $P\{\eta_k=\alpha_1\}=p_{\alpha_1k}\geq 0$, $P\{\eta_k=\alpha_2\}=p_{\alpha_2k}\geq 0$, $p_{\alpha_1k}+p_{\alpha_2k}=1$.

Кожне значення випадкової величини о представляється нескінченним ланцюговим дробом вигляду $[a_1,\ldots,a_n,\ldots]$, де для $n=1,2,...$ $a_n\in A_2$, який будемо називати ланцюговим

$A_2$-дробом. Нехай

\begin{align*}

&L_{A_2}=\{ x: ~ x= [a_1,\ldots,a_n,\ldots]; ~~ a_n \in A_2, \forall

n= 1,2,...\},\\

&\beta_1=\min L_{A_2},\\

&\beta_2=\max L_{A_2}.

\end{align*}

Обґрунтовано необхідні результати з метричної теорії ланцюгового $A_2$-зображення дійсних чисел (представлення чисел ланцюговими А₂-дробами): властивості циліндричних множин та циліндричних відрізків, основне метричне відношення тощо.

Теорема 2.3. Якщо $\alpha_1 \alpha_2= \frac{1}{2}$, то зчисленна множина точок $x \in [\beta_1, \beta_2]$ має два ланцюгових $A_2$-зображення, решта ж точок мають єдине зображення.

При $\alpha_1\alpha_2>\frac{1}{2}$ кожна точка $x\in[\beta_1,\beta_2]$ або не має ланцюгового $A_2$-зображення ($x\notin L_{A_2}$), або ж має єдине таке зображення.

Лема 2.2. Якщо $\alpha_1\alpha_2\geq \frac{1}{2}$ і число $x\in[\beta_1,\beta_2]$ має єдине ланцюгове $A_2$-зображення $[a_1,\ldots,a_k, \ldots]$, то

$$

P\{\xi=x\}=\prod_{k=1}^{\infty}p_{a_k k}.

$$

Лема 2.3. Якщо $\alpha_1\alpha_2= \frac{1}{2}$, а вирази $[a_1,\ldots,a_k,\ldots]$ і $[b_1,\ldots,b_k,\ldots]$ є двома різними ланцюговими $A_2$-зображеннями числа $x$, то

\begin{equation*}

P\{\xi=x \}= \prod_{k=1}^{\infty}p_{a_k k}+

\prod_{k=1}^{\infty}p_{b_k k},

\end{equation*}

причому принаймні один із нескінченних добутків дорівнює нулю.

Лема 2.4. Якщо $\alpha_1\alpha_2\geq\frac{1}{2}$, то ймовірність множини

$\nabla_{c_1\ldots c_n}$ визначається за формулою:

\begin{equation*}

P\{\xi\in \nabla_{c_1\ldots c_n}\}=p_{c_11}\cdot\ldots\cdot

p_{c_nn}.

\end{equation*}

\end{lemma}

Теорема 2.4. Для того, щоб при $\alpha_1\alpha_2\geq\frac{1}{2}$ розподіл випадкової величини $\xi$ був дискретним, необхідно і достатньо, щоб

\begin{equation*}

M\equiv\prod_{k=1}^{\infty}\max\{p_{\alpha_1k}, p_{\alpha_2k}\}>0.

\end{equation*}

У випадку дискретності точковий спектр розподілу випадкової величини $\xi$ складається з тих чисел $x\in[\beta_1,\beta_2]$, що мають ланцюгове $A_2$-зображення, яке відрізняється від зображення числа

\begin{equation*}

x_0=~[b_1,\ldots,b_k,\ldots],

\end{equation*}

де $P\{\eta_k=b_k\}=~\max\{p_{\alpha_1k},p_{\alpha_2k}\}$ для всіх $k\in\mathbb{N}$, не більше ніж на скінченну кількість елементів $a_k$ таких, що $p_{a_k k}>0$.

Наслідок 2.6. Для того щоб при $\alpha_1\alpha_2\geq\frac{1}{2}$ розподіл випадкової величини $\xi$ був неперервним, необхідно і достатньо, щоб

\begin{equation*}

M\equiv\prod_{k=1}^{\infty}\max\{p_{\alpha_1k}, p_{\alpha_2k}\}=0.

\end{equation*}

\end{corollary}

Під спектром (топологічним носієм) розподілу випадкової величини о ми розуміємо множину

\begin{equation*}

S_{\xi}=\{x:\; P\{\xi\in (x-\varepsilon,\;x+\varepsilon)\}>0\quad

\forall \varepsilon>0 \}.

\end{equation*}

Лема 2.5. Якщо $\alpha_1\alpha_2\geq\frac{1}{2}$, то спектр розподілу неперервно розподіленої випадкової величини $\xi$ співпадає з множиною

$$

A=\{x: \quad x=[a_1,\ldots,a_k,\ldots],\quad p_{a_k k}>0, \quad

\forall k\in N \}.

$$

Теорема 2.5. Якщо і випадкова величина о розподілена неперервно, то розподіл о є сингулярним канторівського типу.

Далі розглядається випадкова величина о=[з₁, з₂, …], де $\eta_k$ набувають значення з множини $\{\frac{1}{2},1\}$ та утворюють однорідний ланцюг Маркова з початковими ймовірностями $p_{\frac{1}{2}}>0$ і $p_1>0$ та матрицею перехідних ймовірностей $\|p_{ij}\|$, причому $p_{ij}\geq 0$ і $p_{i\frac{1}{2}}+p_{i1}=1$, $i,j \in \{\frac{1}{2},1\}$. Очевидно, що всі можливі значення $\xi$ містяться у відрізку $[\frac{1}{2},1]$.

Теорема 2.7. Якщо матриця перехідних ймовірностей містить:

1) більше ніж один нулль, то о має дискретний розподіл з двома атомами;

2) тільки один нуль, то о має :

2.1) дискретний розподіл зі зчисленною множиною атомів, якщо ;

2.2) сингулярний розподіл канторівського типу в протилежному випадку, тобто коли .

У розділі 3 повністю розв'язана задача про лебегівську структуру розподілу (тобто вміст дискретної, абсолютно неперервної і сингулярно неперервної компонент) випадкової величини

$$\xi=[\eta_1,\eta_2,\ldots],$$

де елементи $\eta_k$ --- незалежні випадкові величини, що мають розподіли:

$P\{\eta_k=\alpha_1\}=p_{\alpha_1k}\geq 0$,

$P\{\eta_k=\alpha_2\}=p_{\alpha_2k}\geq 0$, $0<\alpha_1<\alpha_2$,

$\alpha_1\alpha_2=\frac{1}{2}$ і $p_{\alpha_1k}+p_{\alpha_2k}=1$.

Лема 3.1. Якщо $\alpha_1\alpha_2=\frac{1}{2}$ і випадкова величина $\xi$ розподілена неперервно, то її функція розподілу може бути представлена у вигляді:

\begin{equation*}

F_{\xi}(x)=\begin{cases} 0,\quad\mbox{якщо}\quad x\leq \beta_1;\\

\beta_{a_1(x)}+\sum\limits_{m=2}^{\infty}\left(\beta_{a_m(x)}\prod\limits_{i=1}^{m-1}p_{a_i(x)i}

\right)\quad\mbox{при}\quad x\in L_{A_2};\\

1,\quad\mbox{якщо}\quad x>\beta_2,

\end{cases}

\end{equation*}

де $a_m(x)$ - елементи ланцюгового $A_2$-зображення числа $x$, що визначаються од\-но\-знач\-но, якщо $x$ має єдине зображення, і від\-по\-ві\-да\-ють одному із зображень $x$, якщо $x$ має два зображення; $\beta_{a_m(x)}$ визначаються рівностями:

$$

\beta_{a_m(x)}=\begin{cases} \sum\limits_{\substack{j\in A_2\\

j<a_m(x)}}

p_{jm}\quad\mbox{при}\quad m=2k;\\

\sum\limits_{\substack{j\in A_2\\ j>a_m(x)}}

p_{jm}\quad\mbox{при}\quad m=2k+1.

\end{cases}

$$

Будемо далі знаменник підхідного дробу порядку $k$ ланцюгового дробу $[a_1,\ldots,a_k,\ldots]$ коротко позначати $q_k(x)$.

Лема 3.2. Якщо в $A_2$-ірраціональній точці $x=[a_1,\ldots,a_k,\ldots]$ функція розподілу $F_{\xi}(x)$ має скінченну похідну, причому $\alpha_1\alpha_2=\frac{1}{2}$, то її значення можна обчислити за формулою:

\begin{equation*}

F'_{\xi}(x)=\frac{1}{\beta_2-\beta_1}\lim\limits_{k\to\infty}

(q_k(x)+\beta_1 q_{k-1}(x))(q_k(x)+\beta_2

q_{k-1}(x))\prod\limits_{i=1}^{k}p_{a_i(x)i}.

\end{equation*}

Теорема 3.2. Для майже всіх $x\in[\beta_1,\beta_2]$ (в сенсі міри Лебега) має місце нерівність:

$$ \varlimsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{q_{k}(x)}\leq \sqrt{2}. $$

Наслідок 3.1. Для майже всіх $x~\in~[\beta_1,~\beta_2]$ (в сенсі міри Лебега) має місце рівність:

\begin{equation*}

\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{q_k(x)}{(\sqrt{2})^k}=0.

\end{equation*}

Задача про структуру неперервного розподілу о повністю розв'язана в таких теоремах.

Теорема 3.3. Нехай випадкова величина о має неперервний розподіл, тобто M=0, і . Якщо кількість нулів в матриці скінченна, то о має сингулярний розподіл салемівського типу (S-типу).

Теорема 3.4. Нехай випадкова величина о має неперервний розподіл, тобто M=0, і . Якщо кількість нулів в матриці нескінченна, то о має сингулярний розподіл канторівського типу (С-типу).

У розділі 3 також доведено, що за допомогою покриттів циліндричними відрізками ланцюгового А₂-зображення можна дати еквівалентне означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича, і запропоновано аналог теореми Біллінгслі для ланцюгового А₂-зображення дійсних чисел. Це дозволило дослідити фрактальні властивості ймовірнісної міри, що породжується випадковою величиною о.

Нехай $E\subseteq [\beta_1, \beta_2]$, $\Phi_{A_2}$ - клас всіх циліндричних відрізків ланцюгового $A_2$-зображення, $$H_{\alpha}^{A_2}(E)=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\Bigg(\inf\limits_{d(E_j)\ leq\varepsilon}\bigg(\sum_{j}d^{\alpha}(E_j)\bigg)\Bigg),$$ де інфімум береться по всіх не більше ніж зчисленних $\varepsilon$-покриттях $\{E_j\}$ множини $E$, $E_j\in \Phi_{A_2}$.

Означимо число $\alpha_{A_2}(E)$:

$$

\alpha_{A_2}(E)=\sup\{\alpha: H_{\alpha}^C(E)=\infty\}=\inf\{\alpha:

H_{\alpha}^C(E)=0\}.

$$

Теорема 3.5. Число $\alpha_{A_2}(E)$ дорівнює розмірності Хаусдорфа-Безиковича множини E.

Нехай $\alpha_{\mu}$ - розмірність Біллінгслі (розмірність Хаусдорфа--Безиковича відносно міри $\mu$), $\mu_1$ і $\mu_1$ --- неперервні міри на борелівських множинах відрізка [\beta_1, \beta_2]$. Будемо вважати, що $\mu_1(\Delta_k(x))>0$ і $\mu_2(\Delta_k(x))>0$ для всіх $k=1,2,\ldots$, де $\Delta_k(x)$ - цилідричний відрізок ланцюгового $A_2$-зображення рангу $k$, що містить x.

Теорема 3.6. Якщо

\begin{equation*}

E=\left\{x:\quad

\varliminf_{k\to\infty}\dfrac{\ln\mu_1(\Delta_k(x))}{\ln\mu_2(\Delta_k(x))}\geq

\delta\right\},

\end{equation*}

то $\alpha_{\mu_{2}}(E)\geq \delta \alpha_{\mu_{1}}(E)$; якщо ж

\begin{equation*}

E=\left\{x:\quad

\varlimsup_{k\to\infty}\dfrac{\ln\mu_1(\Delta_k(x))}{\ln\mu_2(\Delta_k(x))}\leq

\delta\right\},

\end{equation*}

то $\alpha_{\mu_{2}}(E)\leq \delta \alpha_{\mu_{1}}(E)$.

Розглянемо випадкову величину $$\xi=[\eta_1,\eta_2,\ldots],$$ де елементи $\eta_k$ --- незалежні випадкові величини, що мають розподіли: $P\{\eta_k=\alpha_1\}=p_{\alpha_1}> 0$, $P\{\eta_k=\alpha_2\}=p_{\alpha_2}> 0$, $k=1,2,\ldots$, причому $0<\alpha_1<\alpha_2$, $\alpha_1\alpha_2=\frac{1}{2}$, $p_{\alpha_1}+p_{\alpha_2}=1$.

Теорема 3.7. Розмірність Хаусдорфа ймовірнісної міри м, породженої випадковою величиною о, задовольняє нерівність:

$$

\alpha_0(\mu)\leq - \frac{\ln

p_{\alpha_1}^{p_{\alpha_1}}p_{\alpha_2}^{p_{\alpha_2}}}

{2\ln\frac{\sum\limits_{i=1}^2\alpha_i

p_{\alpha_i}+\sqrt{(\sum\limits_{i=1}^2\alpha_i

p_{\alpha_i})^2+4}}{2}}.

$$

фрактальний дріб ланцюговий

Висновки

Ланцюгове зображення дійсних чисел дозволяє формально просто задавати і аналітично досліджувати математичні об'єкти зі складною локальною будовою (поведінкою) - таких як сингулярні розподіли ймовірностей, фрактальні множини тощо. В роботі вивчено нові тополого-метричні та фрактальні властивості як уже досліджуваних раніше розподілів, так і побудованих вперше, в тому числі за допомогою перетворювачів елементів ланцюгового зображення числа.

В дисертаційній роботі отримано такі результати:

- Досліджено лебегівську структуру та вивчено фрактальні властивості функцій розподілу, заданих перетворювачами елементів елементарного ланцюгового зображення їх аргумента в елементи значення функції.

- Знайдено оцінки розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектра (топологічного носія) розподілу випадкової величини, представленої елементарним ланцюговим дробом з незалежними однаково розподіленими елементами.

- Введено в розгляд випадкову величину о, зображену ланцюговим А₂-дробом, елементи якого можуть приймати тільки два значення і при цьому є незалежними або утворюють однорідний ланцюг Маркова. Побудована система числення, пов'язана з даними розподілами (ланцюгове А₂-зображення дійсних чисел), вивчено геометрію такого представлення, що визначає властивості розподілу о.

- Повністю досліджено структуру і тополого-метричні властивості випадкової величини, заданої ланцюговим А₂-дробом з незалежними елементами. Доведено відсутність абсолютно неперервної компоненти, описано властивості спектра, вивчено деякі фрактальні властивості розподілу.

- Описано властивості випадкової величини, елементи ланцюгового А₂-зображення якої утворюють однорідний ланцюг Маркова. Знайдено критерії дискретності та неперервності, достатні умови сингулярності канторівського типу.

Як виявилось, структура розподілу випадкового ланцюгового А₂-дробу з незалежними (дискретно розподіленими) елементами - центрального об'єкту дослідження - є схожою на структуру розподілу випадкового ланцюгового дробу з незалежними елементами, які можуть приймати лише натуральні значення. Але для обґрунтування результатів було застосовано інші способи, оскільки «геометрія» ланцюгового А₂-зображення, що базується на двоелементному алфавіті, має принципові відмінності як від звичайного двійкового зображення, так і від зображення чисел елементарними ланцюговими дробами.

Для вивчення фрактальних характеристик розподілів, заданих в термінах ланцюгових А₂-дробів, обґрунтовано еквівалентне означення фрактальної розмірності (розмірності Хаусдорфа-Безиковича) та аналог теореми Біллінгслі для ланцюгового А₂-зображення. Це дозволило знайти оцінки розмірності Хаусдорфа ймовірнісної міри, що породжується випадковою величиною о. Застосовуючи прийоми та методи комбінаторики, було також отримано оцінки розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектра розподілу випадкової величини, зображеної елементарним ланцюговим дробом з незалежними елементами.

Дослідження проведено в рамках сучасних тенденцій вивчення математичних об'єктів зі складною локальною будовою (поведінкою), пов'язаних з ланцюговими дробами, рядами Люрота, в-розкладами, інтерес до яких у світі достатньо високий. Отримані результати та запропоновані методи можуть бути корисними при розв'язанні інших задач теорії ймовірностей, метричної теорії чисел, теорії динамічних систем тощо.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Кюрчев, Д.В. Про розмірність Хаусдорфа-Безиковича деяких множин ланцюгових дробів / Д.В. Кюрчев // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. - 2004. - № 5. - С. 285-291.

2. Кюрчев Д.В. Фрактальні властивості сингулярної функції, заданої в термінах ланцюгових дробів / Д.В. Кюрчев // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. - 2005. - № 6. - С. 123-128.

3. Кюрчев Д.В. Про аномальну фрактальність одного класу множин ланцюгових дробів із зростаючими елементами / Д.В. Кюрчев // Науковий часопис НПУ імені М. П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. - 2006. - № 7. - С. 169-178.

4. Pratsiovytyi M. Properties of the distribution of the random variable defined by A₂-continued fraction with independent elements / M. Pratsiovytyi, D. Kyurchev // Random Operators and Stochastic Equations. - 2009. - Vol. 17, no. 1. - Pp. 91 - 101.

5. Дмитренко С.О. Ланцюгове A₂-зображення дійсних чисел та його геометрія / С.О. Дмитренко, Д.В. Кюрчев, М.В. Працьовитий // Укр.мат.журнал. - 2009. - Т. 61, № 4. - С. 452 - 463.

6. Працьовитий М.В. Сингулярність розподілу випадкової величини, зображеної ланцюговим A₂-дробом з незалежними елементами / М.В. Працьовитий, Д.В. Кюрчев // Теорія ймовір. Та матем. Статист. - 2009. - № 81. - С. 139 - 154.

7. Kyurchev D. Properties of the distribution of a random variable presented by a nonelementary continued fraction with independent elements / D. Kyurchev // International Conf. «Modern Problems and New Trends in Probability Theory», Chernivtsi, June 19 - 26, 2005: Abstracts. - Vol. I. - Kyiv: Institute of Mathematics NAS of Ukraine, 2005. - P. 139.

8. Кюрчев Д.В. Фрактальні властивості множин ланцюгових дробів / Д.В. Кюрчев // Матеріали конференції «Фрактали і сучасна математика», Київ, 17 вересня 2005 р. - Київ: НПУ ім. М.П. Драгоманова, 2005. - С. 42.

9. Кюрчев Д.В. Випадкові ланцюгові дроби та їх фрактальні властивості / Д.В. Кюрчев // International Conf. «Modern Stochastics: Theory and Applications», Kyiv, June 19 - 23, 2006: Abstracts. - Kyiv: Kyiv National Taras Shevchenko University, 2006. - C. 46 - 47.

10. Кюрчев Д.В. Про еквівалентне означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича для ланцюгового представлення дійсних чисел / Д.В. Кюрчев // Матеріали 11-ї Міжнар. наук. конф. ім акад. М. Кравчука, Київ, 18 - 20 травня 2006 р. - Київ: Задруга, 2006. - С. 720.

11. Кюрчев Д.В. Розподіли випадкових величин, заданих ланцюговим A₂-дробом з незалежними елементами / Д.В. Кюрчев, М.В. Працьовитий // Матеріали 12-ї Міжнар. наук. конф. ім акад. М. Кравчука, Київ, 15 - 17 травня 2008 р. - Київ: Задруга, 2008. - С. 720.

12. Працьовитий, М.В. Ланцюгові A₂-дроби та їх метричні властивості / М.В. Працьовитий, Д.В. Кюрчев // Матеріали 12-ї Міжнар. наук. конф. ім акад. М. Кравчука, Київ, 15 - 17 травня 2008 р. - Київ: Задруга, 2008. - С. 687.

13. Pratsiovytyi M. On A₂-continued fraction expansion / M. Pratsiovytyi, D. Kyurchev // Voronoi's Impact on Modern Science, Book 4, Vol. 1: Proceedings of the Fourth International Conference on Analytic Number Theory and Spatial Tessellations. - Kyiv: Drahomanov National Pedagogical University, Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, 2008. - Pp. 181 - 190.

14. Кюрчев, Д.В. Розподіли випадкових ланцюгових A₂-дробів та їх фрактальні властивості / Д.В. Кюрчев // Матеріали конференції «Фрактали і сучасна математика», Київ, 24 грудня 2009 р. - Київ: Нац. пед. ун-т імені М.П. Драгоманова, 2009. - С. 69 - 70.

Размещено на Allbest.ru