Факторизація матриць над поліноміальними та близькими до них кільцями

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Систематичне та інтенсивне вивчення поліноміальних матриць з точки зору їх розкладності на множники почалося з 50-х рр. XX ст. і пов'язане із різноманітними їх застосуваннями. Зокрема, у теорії матричних рівнянь (М.Н. Інґрахам, Дж. Г. Белл), при розв'язуванні систем диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами (Я.Б. Лопатинский), у теорії операторних пучків (М.Г. Крейн, Г. Лангер, А.С. Маркус) та в інших прикладних задачах (П. Ланкастер).

Один із відомих методів факторизації поліноміальних матриць ґрунтується на класичних поняттях власних та приєднаних векторів, що відповідають характеристичним кореням матричних поліномів, та жорданових ланцюгів.

П.С. Казімірський на основі введених ним понять значення поліноміальної матриці на системі коренів полінома та визначальної матриці розробив новий метод факторизації поліноміальних матриць. Він встановив критерій існування регулярних дільників із заданими канонічними діагональними формами поліноміальних матриць над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль та вказав спосіб їх побудови.

Як перший, так і другий методи можна застосовувати для факторизації поліноміальних матриць над полем комплексних чисел, або більш загально, над алгебраїчно замкненим полем характеристики нуль. Згадані методи пов'язані із певними труднощами, зокрема, із визначенням характеристичних коренів поліноміальних матриць. Крім того, за допомогою цих методів не описуються усі дільники поліноміальних матриць.

Задача факторизації поліноміальних матриць над іншими полями розв'язана в певних випадках. Зокрема, якщо дільники своїми характеристичними поліномами визначаються однозначно, факторизації поліноміальних матриць є паралельними до факторизацій їх канонічних діагональних форм та в деяких інших випадках. Зауважимо, що за допомогою запропонованого в методу не описуються всі паралельні факторизації поліноміальних матриць. Тому побудова ефективних методів факторизації поліноміальних матриць над різними полями та описання всіх їх дільників є важливими та актуальними.

Відомі методи факторизації поліноміальних матриць у зв'язку із їх застосуваннями передбачають опис лівих дільників, які правоеквівалентні (правоасоційовані) до регулярних, зокрема унітальних, поліноміальних матриць. Природно постає загальна задача опису лівих дільників матриць з точністю до правої асоційовності і не тільки над поліноміальними кільцями, але й над іншими кільцями. Подібно можна ставити задачу про опис правих дільників з точністю до лівої асоційовності.

З.І. Боревич сформулював задачу опису дільників та факторизацій матриць з точністю до асоційовності над кільцями головних ідеалів. Зокрема, він вказав (без доведення) умови однозначності з точністю до асоційовності дільників та факторизацій неособливих матриць над цими кільцями. На сучасному етапі описані з точністю до асоційовності ліві дільники із певними канонічними діагональними формами, паралельні факторизації матриць і ін. над кільцями головних ідеалів, адекватними та іншими кільцями.

Важливі застосування мають матриці блочної структури, зокрема, у теорії стійкості та в теорії матричних рівнянь, серед яких рівняння Сильвестра і Ляпунова. Добре відома теорема Рота про зв'язок між існуванням розв'язків матричних рівнянь і та еквівалентністю і подібністю клітково-трикутних та клітково-діагональних матриць над різними областями (В. Рот, В. Ґустафсон та ін.). Побудова клітково-трикутних факторизацій кліткових матриць зводиться до опису факторизацій їх діагональних кліток та розв'язків матричних лінійних рівнянь типу Сильвестра. Тому важливою є задача встановлення класів таких матриць над кільцями, усі з точністю до асоційовності факторизації яких є клітково-трикутних виглядів.

Дисертаційна робота присвячена вивченню задач опису всіх дільників та факторизацій поліноміальних матриць над різними полями та побудові методів факторизації матриць кліткових виглядів над кільцями головних ідеалів та деякими кільцями скінченнопороджених головних ідеалів.

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження є факторизації матриць над поліноміальними кільцями, кільцями головних ідеалів та іншими кільцями.

Предмет дослідження становлять умови існування факторизацій матриць над кільцями та методи їх побудови.

Метою дисертаційної роботи є побудова методів факторизації поліноміальних матриць над різними полями, за якими б знаходились усі їхні унітальні дільники та спільні дільники; опис факторизацій кліткових матриць над кільцями головних ідеалів та кільцями скінченнопороджених головних ідеалів; розробка методів розв'язування матричних поліноміальних та лінійних рівнянь.

Завдання дослідження:

- запропонувати метод знаходження всіх унітальних дільників поліноміальних матриць над довільним полем за умови паралельності факторизацій матриць до факторизацій їх канонічних діагональних форм;

- побудувати спільні унітальні дільники поліноміальних матриць із заданими їх канонічними діагональними формами;

- вказати спосіб факторизації кліткових матриць над кільцями головних ідеалів на основі факторизацій їх діагональних кліток і розв'язування лінійних матричних рівнянь.

1. Огляд літератури за темою дисертації

у якому коротко висвітлено відомі методи факторизації матриць над поліноміальними кільцями, кільцями головних ідеалів та іншими кільцями, наведено методи регуляризації матричних поліномів над різними полями, вказано зв'язки між задачами факторизації матриць та розв'язуванням матричних лінійних та поліноміальних рівнянь.

2. Вивчення дільників поліноміальних матриць за умови паралельності їх розкладів

Запропоновано метод опису всіх таких унітальних дільників поліноміальних матриць над довільним полем із заданими їх канонічними діагональними формами.

Нехай - поле і де та - її канонічна діагональна форма, тобто де Нехай канонічна діагональна форма матриці зображена у вигляді добутку:

де матриці і є відповідно розмірів та і

Факторизацію матриці таку, що матриці і еквівалентні відповідно до матриць і називають паралельною до факторизації (1) її канонічної діагональної форми .

Нехай - нижня трикутна матриця з інваріантними множниками на головній діагоналі, де - верхня унітрикутна матриця над полем , - оборотна поліноміальна матриця. Матрицю можемо зобрази ти так: де - нижня унітрикутна матриця.

Запишемо нижню унітрикутну матрицю:

де і - незалежні змінні, тобто - матриця над кільцем , - розширення поля , одержане шляхом приєднання до поля змінних .

Побудуємо далі матрицю де:

і де - незалежні змінні, тобто - матриця над кільцем , - розширення поля , отримане шляхом приєднання змінних до поля .

Теорема 2.1. Нехай канонічну діагональну форму матриці зображено у вигляді (1). Матриця має факторизацію:

з унітальною матрицею степеня , причому паралельну до факторизації (1) її канонічної діагональної форми тоді і тільки тоді, коли існують такі значення параметрів та з поля у матрицях та відповідно, що матриця регуляризується справа, тобто унітальна поліноміальна матриця степеня , .

Унітальна поліноміальна матриця визначена в теоремі, залежить від параметрів із матриць та відповідно. Надаючи цим параметрам усіх допустимих значень з поля (при яких матриця регуляризується справа), ми отримаємо множину лівих унітальних дільників трикутної форми матриці Тоді множина матриць є множиною унітальних дільників матриці

Теорема 2.2. Множина матриць - це множина всіх унітальних дільників степеня матриці з канонічною діагональною формою таких, що відповідні їм факторизації (4) матриці є паралельними до факторизації (1) її канонічної діагональної форми .

Для регуляризації поліноміальних матриць зазначених у теоремі 2.1. можна скористатися відомими методами ( та ін.).

Відомі класи поліноміальних матриць, які мають лише паралельні факторизації, зокрема, такими є матриці простої структури, матриці, для яких де , Для таких матриць запропонованим методом описуються всі унітальні дільники та факторизації.

У цьому ж розділі розглядається задача побудови за відомим дільником поліноміальної матриці інших її дільників. Зокрема, якщо дільники поліноміальної матриці лінійні, то вони є подібними. Тому постає задача: за відомим лінійним дільником поліноміальної матриці знайти всі її дільники подібні до тобто де

Для матричних поліноміальних рівнянь ця задача формулюється так: за даним розв'язком матричного поліноміального рівняння:

описати всі подібні до нього розв'язки цього рівняння. Дж. Белл указав умови, за яких кожна матриця подібна до розв'язку матричного поліноміального рівняння є також його розв'язком. У дисертації ця задача розв'язана в певному випадку, зокрема, коли розв'язки матричного поліноміального рівняння мають трикутний вигляд. Це дало можливість описати всі трикутні розв'язки з одним елементарним дільником та всі трикутні розв'язки простої структури матричних поліноміальних рівнянь над алгебраїчно замкненим полем. Нехай алгебраїчно замкнене поле та -матриця, тобто така, що і нехай є лівим дільником канонічної діагональної форми матриці Через позначаємо жорданову матрицю, побудовану за елементарними дільниками матриці Позначимо через множину всіх трикутних неособливих розв'язків лінійного матричного рівняння:

де - матричні коефіцієнти поліноміальної матриці записаної у вигляді матричного полінома Під трикутними тут розуміємо нижні трикутні матриці.

Теорема 2.5. Нехай матриця має один із таких виглядів:

а)

б) де - матриця простої структури, тобто де і

Нехай є дільником канонічної діагональної форми характеристичної матриці матричного рівняння (5) та жорданова матриця, побудована за елементарними дільниками матриці Трикутні розв'язки із жордановою нормальною формою матричного рівняння (5) існують тоді й тільки тоді, коли лінійне матричне рівняння (6) має трикутні неособливі розв'язки

Множина матриць є множиною всіх трикутних розв'язків із жордановою нормальною формою матричного поліноміального рівняння (5).

3. Задача про побудову спільних унітальних дільників поліноміальних матриць над довільним полем

Встановлено необхідні і достатні умови існування спільних унітальних дільників поліноміальних матриць із заданими канонічними діагональними формами за умов паралельності відповідних факторизацій матриць до факторизацій їх канонічних діагональних форм та вказано спосіб їх побудови.

Нехай і канонічні діагональні форми матриць зображено у вигляді добутків:

де:

і

Нехай нижня трикутна форма матриці з інваріантними множниками на головній діагоналі, . Зобразимо їх у вигляді добутків де - нижні унітрикутні матриці.

Запишемо нижні унітрикутні матриці де - нижні унітрикутні матриці вигляду (2), тобто якщо , якщо і , якщо де і Тобто - многочлени над полем яке отримане шляхом приєднання до поля незалежних змінних

Поліноми поділимо з остачею на : де або Складемо нижні унітрикутні матриці де і

Теорема 3.1. Нехай канонічні діагональні форми і матриць і зображені у вигляді добутків (7). Тоді існує лівий спільний унітальний дільник степеня матриць і тобто:

причому і факторизації (8) матриць і паралельні до факторизацій (7) їх канонічних діагональних форм і тобто матриці і еквівалентні до і відповідно, у тому і тільки в тому випадку, коли для деяких значень параметрів з поля у матрицях

1) де

2) матриця регуляризується справа, тобто існує матриця така, що унітальна матриця степеня

Вказано вирази, за якими знаходяться всі спільні унітальні дільники поліноміальних матриць над довільним полем із заданою канонічною діагональною формою за умови паралельності відповідних факторизацій матриць.

Побудуємо матриці вигляду (3), тобто де якщо якщо і тобто де

Теорема 3.2. Нехай канонічні діагональні форми і матриць і зображені у вигляді добутків (7). Тоді матриці і мають лівий спільний унітальний дільник степеня тобто справедливі співвідношення (8), причому і факторизації (8) матриць і паралельні до факторизацій (7) їх канонічних діагональних форм і , тоді і тільки тоді, коли існують такі значення параметрів та у матрицях та відповідно, що матриці та правоеквівалентні до однієї і тієї ж унітальної матриці степеня тобто де

Унітальна поліноміальна матриця визначена в теоремі, залежить від параметрів та Надаючи цим параметрам усіх допустимих значень з поля (при яких матриці та регуляризується справа до однієї і тієї ж унітальної матриці), ми отримаємо множину спільних лівих унітальних дільників трикутних форм та матриць та відповідно. Тоді множина матриць є множиною спільних лівих унітальних дільників матриць та

Теорема 3.3. Множина матриць - це множина всіх лівих спільних унітальних дільників степеня матриць і з канонічною діагональною формою таких, що відповідні їм факторизації (8) матриць і паралельні до факторизацій (7) їх канонічних діагональних форм і .

4. Властивості блочних матриць над кільцями головних ідеалів та деякими кільцями скінченнопороджених головних ідеалів

А також досліджуються розв'язки матричних лінійних рівнянь над цими кільцями.

Нехай кільце скінченнопороджених головних ідеалів з умовою адекватності елементів, тобто так зване адекватне кільце, повна множина неасоційовних елементів кільця - повна множина лишків за ідеалом Дослідження питання єдиності розв'язків матричного рівняння типу Сильвестра:

де - відомі матриці та - невідомі матриці над кільцем Для такого матричного рівняння немає загального методу відшукання його розв'язків. У дисертаційній роботі запропоновано спосіб побудови розв'язків лінійного матричного рівняння (9) та встановлено критерій однозначності його розв'язків певного вигляду. Для матриць та існують матриці та відповідно, такі, що - верхні трикутні матриці у формі Ерміта, тобто елементи а елементи якщо якщо якщо якщо Тоді з рівняння (9) можемо записати таке рівняння:



де:

Із матричного рівняння (10) отримуємо систему лінійних рівнянь і знаходимо її розв'язок шляхом послідовного розв'язування лінійних діофантових рівнянь вигляду Таким чином, ми отримуємо спосіб відшукання розв'язків рівняння (9).

Теорема 4.1. Матричне рівняння (10) має єдиний розв'язок:

такий, що тоді і тільки тоді, коли

Наслідок 4.1. Нехай - евклідове кільце і - норма елемента Тоді матричне рівняння (10) має єдиний розв'язок

такий, що тоді і тільки тоді, коли

Зауважимо, що до цього часу питання єдиності розв'язків розглянуто для рівнянь (9) у випадку, коли їх матричні коефіцієнти є поліноміальними, тобто матрицями над кільцем поліномів де -- поле.

5. Повний опис клітково-трикутних та клітково-діагональних паралельних факторизації матриць такого ж відповідного кліткового вигляду над кільцями головних ідеалів

Зокрема, встановлено умови існування клітково-трикутних паралельних факторизацій клітково-трикутних матриць та виділено класи клітково-трикутних матриць, які мають з точністю до асоційовності лише клітково-трикутні паралельні розклади.

Нагадаємо, що факторизації матриці називають асоційованими, якщо

Нехай - неособлива верхня клітково-трикутна матриця:

)

де і нехай матриця розкладена у добуток клітково-трикутних множників:

де Тоді де та:

де:

Означення 5.1. Нехай визначники діагональних кліток клітково-трикутної матриці розкладені на множники вигляду (13). Факторизацію (12) матриці таку, що називаємо клітково-трикутною паралельною до факторизації (13) визначників її діагональних кліток або коротко клітково-трикутною паралельною факторизацією матриці

Зауважимо, що якщо існує факторизація (13) визначників діагональних кліток клітково-трикутної матриці то клітково-трикутна факторизація матриці паралельна до факторизації (13) може не існувати.

Теорема 5.1. Нехай - неособлива клітково-трикутна матриця вигляду (11) і:

Якщо:

то для матриці існує факторизація і кожна така факторизація асоційована до клітково-трикутної факторизації матриці вигляду:



тобто де , , паралельної до факторизації (14) визначників її діагональних кліток тобто, .

Теорема 5.2. Нехай - неособлива клітково-трикутна матриця вигляду (11) і визначники її діагональних кліток розкладені на множники (14). Якщо то для матриці існує факторизація і кожна така факторизація асоційована до клітково-трикутної факторизації вигляду (15) матриці паралельної до факторизації (14) визначників її діагональних кліток .

Зауважимо, що коли визначники діагональних кліток клітково-трикутної матриці попарно взаємно прості, то кожна факторизація цієї матриці асоційована до клітково-трикутної факторизації матриці вигляду (15) паралельної до факторизації (14) визначників її діагональних кліток.

Із теорем 5.1 та 5.2 випливають також результати отримані В.М.Петричковичем для матриць над кільцем поліномів .

Клітково-трикутна матриця може мати клітково-трикутні факторизації, що відповідають одній і тій же факторизації її діагональних кліток або ж факторизації визначників її діагональних кліток, які не є асоційованими. У другому підрозділі цього розділу встановлено критерій однозначності з точністю до асоційовності клітково-трикутних факторизацій клітково-трикутних матриць над адекватним кільцем відповідних до факторизацій їх діагональних кліток.

Нехай діагональні клітки клітково-трикутної матриці вигляду (11) розкладені на множники:

та існує клітково-трикутна факторизація вигляду (12) матриці Тоді факторизацію (12) матриці називаємо відповідною до факторизації (16) її діагональних кліток

Теорема 5.3. Нехай - неособлива верхня клітково-трикутна матриця вигляду (11) і її діагональні клітки розкладені на множники вигляду (16). Тоді існує єдина з точністю до асоційовності клітково-трикутна факторизація матриці відповідна до факторизації (16) її діагональних кліток у тому і тільки в тому випадку, коли:

У цьому ж розділі вказано спосіб побудови клітково-трикутних факторизацій клітково-трикутних матриць за факторизаціями їх діагональних кліток та розв'язками матричних лінійних рівнянь типу Сильвестра.

Виділено також класи клітково-діагональних матриць над кільцем головних ідеалів, опис факторизацій яких зводиться до опису факторизацій їх діагональних кліток. Це стало можливим завдяки встановленнню умов, за яких клітково-діагональні матриці над кільцем головних ідеалів мають з точністю до асоційовності лише клітково-діагональні паралельні факторизації.

Означення 5.2. Нехай визначники діагональних кліток неособливої клітково-діагональної матриці розкладені на множники:



Факторизацію матриці вигляду таку, що називаємо клітково-діагональною паралельною до факторизації (17) визначників її діагональних кліток або коротко клітково-діагональною паралельною факторизацією матриці

Теорема 5.5. Нехай - неособлива клітково-діагональна матриця, тобто і визна чники її діагональних кліток розкладені на множники:

Якщо то для матриці існує факторизація і кожна така факторизація асоційована до клітково-діагональної факторизації матриці вигляду:

де , , , , паралельної до факторизації (18) визначників її діагональних кліток, тобто , , .

У цьому розділі також в термінах визначників діагональних кліток встановлено умови існування спільних дільників клітково-трикутних матриць над кільцем головних ідеалів такого ж клітково-трикутного вигляду.

Висновки

поліноміальний факторизація матричний

Дисертаційна робота присвячена вивченню факторизацій матриць над поліноміальними кільцями, кільцями головних ідеалів та деякими кільцями скінченнопороджених головних ідеалів. У дисертації отримано такі основні результати:

- Запропоновано метод опису всіх унітальних дільників поліноміальних матриць над довільним полем із заданими канонічними діагональними формами, якщо відповідні факторизації поліноміальних матриць паралельні до факторизацій їх канонічних діагональних форм.

- Вказано умови, за яких матриця подібна до розв'язку матричного поліноміального рівняння є розв'язком цього ж рівняння, якщо розв'язки мають трикутний вигляд. Описано всі розв'язки трикутного вигляду з одним елементарним дільником та всі трикутні розв'язки простої структури матричних поліноміальних рівнянь над алгебраїчно замкненим полем.

- Встановлено необхідні і достатні умови існування спільних унітальних дільників поліноміальних матриць над довільним полем із заданими канонічними діагональними формами за умов паралельності відповідних факторизацій матриць, а також запропоновано метод їх побудови. Наведено вирази, за якими знаходяться всі такі спільні дільники поліноміальних матриць.

- Для матричного рівняння типу Сильвестра над кільцем головних ідеалів та кільцем скінченнопородженних головних ідеалів з умовою адекватності елементів встановлено критерій єдиності розв'язку певного вигляду, а також запропоновано спосіб побудови розв'язків цього рівняння.

- Встановлено умови, за яких усі факторизації клітково-трикутних матриць над кільцем головних ідеалів з точністю до асоційовності є клітково-трикутними паралельними факторизаціями. Запропоновано метод побудови факторизацій клітково-трикутних матриць на основі розкладів їх діагональних кліток та розв'язків лінійних матричних рівнянь типу Сильвестра.

- Встановлено необхідні і достатні умови єдиності з точністю до асоційовності факторизацій клітково-трикутних матриць відповідних до факторизацій їх діагональних кліток.

- Виділено класи клітково-діагональних матриць, опис факторизацій яких зводиться до опису факторизацій їх діагональних кліток.

Література

1. Джалюк Н.С. Однозначність клітково-трикутних факторизацій матриць над кільцями головних ідеалів / Н.С. Джалюк // Доповіді НАН України. - № 1. - 2010. - С. 7-12.

2. Джалюк Н.С. Спільні дільники клітково-трикутних матриць над кільцями головних ідеалів / Н.С. Джалюк // Прикладні проблеми механіки і математики. - 2009. - Вип. 7. - С. 86-90.

3. Джалюк Н.С. Опис паралельних факторизації многочленних матриць / Н.С. Джалюк // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем і інформ. - Ужгород: УжНУ, 2009. - Вип. 19. - С. 31-37.

4. Джалюк Н.С. Факторизація клітково-діагональних та клітково-трикутних матриць над кільцями головних ідеалів / Наталія Джалюк, Василь Петричкович // Мат. вісник НТШ. - 2007. - т. 4. - С. 79-89.

5. Джалюк Н.С. Про розв'язки матричних многочленних рівнянь і подібність матриць / Н.С. Джалюк, В.М. Петричкович // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Вип. 48, №4. - С. 14-19.

6. Джалюк Н.С. Про спільні унітальні дільники многочленних матриць із заданою канонічною діагональною формою / Н.С. Джалюк, В.М. Петричкович // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - Вип. 45, №3. - C. 7-13.

Размещено на Allbest.ru