Размещено на http://www.allbest.ru/

Курс лекций

План

1. Основные понятия надежности. Классификация отказов. Составляющие надежности

2. Количественные показатели безотказности: общие понятия. Основные сведения из теории вероятностей

3. Показатели безотказности: вероятность безотказной работы, плотность распределения отказов, интенсивность отказов

4. Уравнение связи показателей надежности числовые характеристики безотказности

5. Математические модели теории надежности. Статистическая обработка результатов испытаний

1. Основные понятия надежности. Классификация отказов. Составляющие надежности

Термины и определения, используемые в теории надежности, регламентированы ГОСТ 27.002-89 "Надежность в технике. Термины и определения".

Основные понятия

Надежность - свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени и в заданных пределах значения установленных эксплуатационных показателей.

Объект - техническое изделие определенного целевого назначения, рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и эксплуатации. математический надежность безотказность

Объектами могут быть различные системы и их элементы.

Элемент - простейшая составная часть изделия, в задачах надежности может состоять из многих деталей.

Система - совокупность совместно действующих элементов, предназначенная для самостоятельного выполнения заданных функций.

Понятия элемента и системы трансформируются в зависимости от поставленной задачи. Например, станок, при установлении его собственной надежности рассматривается как система, состоящая из отдельных элементов - механизмов, деталей и т.п., а при изучении надежности технологической линии - как элемент.

Надежность объекта характеризуется следующими основными состояниями и событиями.

Исправность - состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической документацией (НТД).

Работоспособность - состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров, установленных НТД.

Основные параметры характеризуют функционирование объекта при выполнении поставленных задач.

Понятие исправность шире, чем понятие работоспособность. Работоспособный объект обязан удовлетворять лишь тем требования НТД, выполнение которых обеспечивает нормальное применение объекта по назначению. Таким образом, если объект неработоспособен, то это свидетельствует о его неисправности. С другой стороны, если объект неисправен, то это не означает, что он неработоспособен.

Предельное состояние - состояние объекта, при котором его применение по назначению недопустимо или нецелесообразно.

Применение (использование) объекта по назначению прекращается в следующих случаях:

при неустранимом нарушении безопасности;

при неустранимом отклонении величин заданных параметров;

при недопустимом увеличении эксплуатационных расходов.

Для некоторых объектов предельное состояние является последним в его функционировании, т.е. объект снимается с эксплуатации, для других - определенной фазой в эксплуатационном графике, требующей проведения ремонтно-восстановительных работ.

В связи с этим, объекты могут быть:

невосстанавливаемые, для которых работоспособность в случае возникновения отказа, не подлежит восстановлению;

восстанавливаемые, работоспособность которых может быть восстановлена, в том числе и путем замены.

К числу невосстанавливаемых объектов можно отнести, например: подшипники качения, полупроводниковые изделия, зубчатые колеса и т.п. Объекты, состоящие из многих элементов, например, станок, автомобиль, электронная аппаратура, являются восстанавливаемыми, поскольку их отказы связаны с повреждениями одного или немногих элементов, которые могут быть заменены.

В ряде случаев один и тот же объект в зависимости от особенностей, этапов эксплуатации или назначения может считаться восстанавливаемым или невосстанавливаемым.

Отказ - событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния объекта.

Критерий отказа - отличительный признак или совокупность признаков, согласно которым устанавливается факт возникновения отказа.

Классификация и характеристики отказов

По типу отказы подразделяются на:

отказы функционирования (выполнение основных функций объектом прекращается, например, поломка зубьев шестерни);

отказы параметрические (некоторые параметры объекта изменяются в недопустимых пределах, например, потеря точности станка).

По своей природе отказы могут быть:

случайные, обусловленные непредусмотренными перегрузками, дефектами материала, ошибками персонала или сбоями системы управления и т.п.;

систематические, обусловленные закономерными и неизбежными явлениями, вызывающими постепенное накопление повреждений: усталость, износ, старение, коррозия и т.п.

Основные признаки классификации отказов:

характер возникновения;

причина возникновения;

характер устранения;

последствия отказов;

дальнейшее использование объекта;

легкость обнаружения;

время возникновения.

Рассмотрим подробнее каждый из классификационных признаков:

характер возникновения:	внезапный отказ - отказ, проявляющийся в резком (мгновенном) изменении характеристик объекта;
	постепенный отказ - отказ, происходящий в результате медленного, постепенного ухудшения качества объекта.

Внезапные отказы обычно проявляются в виде механических повреждений элементов (трещины - хрупкое разрушение, пробои изоляции, обрывы и т.п.) и не сопровождаются предварительными видимыми признаками их приближения. Внезапный отказ характеризуется независимостью момента наступления от времени предыдущей работы.

Постепенные отказы - связаны с износом деталей и старением материалов.

причина возникновения: конструкционный отказ, вызванный недостатками и неудачной конструкцией объекта;

эксплуатационный отказ, вызванный нарушением правил эксплуатации.

производственный отказ, связанный с ошибками при изготовлении объекта по причине несовершенства или нарушения технологии;

характер устранения: устойчивый отказ;

перемежающийся отказ (возникающий/исчезающий).

последствия отказа: легкий отказ (легкоустранимый);

средний отказ (не вызывающий отказы смежных узлов - вторичные отказы);

тяжелый отказ (вызывающий вторичные отказы или приводящий к угрозе жизни и здоровью человека).

легкость обнаружения: очевидные (явные) отказы;

скрытые (неявные) отказы.

время возникновения: приработочные отказы, возникающие в начальный период эксплуатации;

отказы при нормальной эксплуатации;

износовые отказы, вызванные необратимыми процессами износа деталей, старения материалов и пр.

Составляющие надежности

Надежность является комплексным свойством, включающим в себя в зависимости от назначения объекта или условий его эксплуатации ряд простых свойств:

безотказность;

долговечность;

ремонтопригодность;

сохраняемость.

Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторой наработки или в течение некоторого времени.

Наработка - продолжительность или объем работы объекта, измеряемая в любых неубывающих величинах (единица времени, число циклов нагружения, километры пробега и т. п.).

Долговечность - свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов.

Ремонтопригодность - свойство объекта, заключающееся в его приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, поддержанию и восстановлению работоспособности путем проведения ремонтов и технического обслуживания.

Сохраняемость - свойство объекта непрерывно сохранять требуемые эксплуатационные показатели в течение (и после) срока хранения и транспортирования.

В зависимости от объекта надежность может определяться всеми перечисленными свойствами или частью их. Например, надежность колеса зубчатой передачи, подшипников определяется их долговечностью, а станка - долговечностью, безотказностью и ремонтопригодностью.

Основные показатели надежности

Показатель надежности количественно характеризует, в какой степени данному объекту присущи определенные свойства, обусловливающие надежность. Одни показатели надежности (например, технический ресурс, срок службы) могут иметь размерность, ряд других (например, вероятность безотказной работы, коэффициент готовности) являются безразмерными.

Рассмотрим показатели составляющей надежности - долговечность.

Технический ресурс - наработка объекта от начала его эксплуатации или возобновления эксплуатации после ремонта до наступления предельного состояния. Строго говоря, технический ресурс может быть регламентирован следующим образом: до среднего, капитального, от капитального до ближайшего среднего ремонта и т. п. Если регламентация отсутствует, то имеется в виду ресурс от начала эксплуатации до достижения предельного состояния после всех видов ремонтов.

Для невосстанавливаемых объектов понятия технического ресурса и наработки до отказа совпадают.

Назначенный ресурс - суммарная наработка объекта, при достижении которой эксплуатация должна быть прекращена независимо от его состояния.

Срок службы - календарная продолжительность эксплуатации (в том числе, хранение, ремонт и т.п.) от ее начала до наступления предельного состояния.

На рис. приведена графическая интерпретация перечисленных показателей, при этом:

t0 = 0 - начало эксплуатации;

t1, t5 - моменты отключения по технологическим причинам;

t2, t4, t6, t8 - моменты включения объекта;

t3, t7 - моменты вывода объекта в ремонт, соответственно, средний и капитальный;

t9 - момент прекращения эксплуатации;

t10 - момент отказа объекта.

Технический ресурс (наработка до отказа)

ТР = t1+ (t3 - t2) + (t5 - t4) + (t7 - t6) + (t10 - t8).

Назначенный ресурс

ТН = t1+ (t3 - t2) + (t5 - t4) + (t7 - t6) + (t9 - t8).

Срок службы объекта ТС = t10 .

Для большинства объектов электромеханики в качестве критерия долговечности чаще всего используется технический ресурс.

2. Количественные показатели безотказности: общие понятия. Основные сведения из теории вероятностей

Общие понятия

Наиболее важные показатели надежности невосстанавливаемых объектов - показатели безотказности, к которым относятся:

вероятность безотказной работы;

плотность распределения отказов;

интенсивность отказов;

средняя наработка до отказа.

Показатели надежности представляются в двух формах (определениях):

статистическая (выборочные оценки);

вероятностная.

Статистические определения (выборочные оценки) показателей получаются по результатам испытаний на надежность.

Допустим, что в ходе испытаний какого-то числа однотипных объектов получено конечное число интересующего нас параметра - наработки до отказа. Полученные числа представляют собой выборку некоего объема из общей "генеральной совокупности", имеющей неограниченный объем данных о наработке до отказа объекта.

Количественные показатели, определенные для "генеральной совокупности", являются истинными (вероятностными) показателями, поскольку объективно характеризуют случайную величину - наработку до отказа.

Показатели, определенные для выборки, и, позволяющие сделать какие-то выводы о случайной величине, являются выборочными (статистическими) оценками. Очевидно, что при достаточно большом числе испытаний (большой выборке) оценки приближаются к вероятностным показателям.

Вероятностная форма представления показателей удобна при аналитических расчетах, а статистическая - при экспериментальном исследовании надежности.

Для обозначения статистических оценок будем использовать знак сверху.

Примем следующую схему испытаний для оценки надежности.

Пусть на испытания поставлено N одинаковых серийных объектов. Условия испытаний идентичны, а испытания каждого из объектов проводятся до его отказа.

Введем следующие обозначения:

T = {0, t1, … tN} = {t} - случайная величина наработки объекта до отказа;

N(t) - число объектов, работоспособных к моменту наработки t;

n(t) - число объектов, отказавших к моменту наработки t;

n(t, t + t) - число объектов, отказавших в интервале наработки [t, t ? t];

t - длительность интервала наработки.

Поскольку в дальнейшем определение выборочных оценок базируется на математических моделях теории вероятностей и математической статистики, то ниже приводятся основные (минимально необходимые) сведения из теории вероятностей.

Основные сведения о математических моделях расчета в теории вероятностей

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Основные понятия теории множеств

Одним из основных понятий является - случайное событие.

Событием называется всякий факт (исход), который в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Каждому из таких событий можно поставить в соответствие определенное число, называемое его вероятностью и являющееся мерой возможного совершения этого события.

Теория вероятностей основывается на аксиоматическом подходе и опирается на понятия теории множеств.

Множество - это любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества.

Предположим, что производится некоторый опыт (испытание), результат которого заранее неизвестен. Тогда множество Щ всех возможных исходов опыта представляет пространство элементарных событий, а каждый его элемент (отдельный исход опыта) является элементарным событием. Любой набор элементарных событий (любое их сочетание) считается подмножеством (частью) множества Щ и является случайным событием, т.е. любое событие А - это подмножество множества Щ: А Щ.

В общем случае, если множество Щ содержит n элементов, то в нем можно выделить 2n подмножеств (событий).

Введем ряд определений.

Совместные (несовместные) события - такие события, появление одного из которых не исключает (исключает) возможности появления другого.

Зависимые (независимые) события - такие события, появление одного из которых влияет (не влияет) на появление другого события.

Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А - событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).

Полная группа событий - такая совокупность событий, при которой в результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой совокупности.

Аксиомы теории вероятностей

Вероятность события А обозначается P(A) или P{A}. Вероятность выбирают так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям или аксиомам:

(1)

(2)

Если Ai и Aj несовместные события, т.е. Ai Aj = , то

(3)

где - знак логического сложения событий, - пустое множество (отсутствие событий).

Аксиома (3) обобщается на любое число несовместных событий :

(4)

Частотное определение вероятности любого события А:

(5)

представляет отношение числа случаев (mA), благоприятных появлению события А, к общему числу случаев (возможному числу исходов опыта) n.

При неограниченном возрастании числа n наблюдается статистическое упорядочение, когда частота события А (выборочная оценка) все меньше изменяется и приближается к постоянному значению - вероятности события А.

Основные правила теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей.

Если А 1, А 2, …, Аn - несовместные события и А - сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А 1, А 2, …, Аn:

(6)

Поскольку противоположные события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей

(7)

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий А 1 и А 2 равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:

(8)

где условная вероятность события А 1 при наступлении события А 2 - вероятность события А 1, вычисленная в предположении, что событие А 2 произошло:

(9)

Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид

(10)

Если события А 1 и А 2 независимы, то соответствующие условные вероятности

поэтому теорема умножения вероятностей (8) принимает вид

 (11)

а для конечного числа n независимых событий

(12)

Следствия основных теорем

Следствия основных теорем - формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса находят широкое применение при решении большого числа задач.

Формула полной вероятности.

Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1, H2, … Hn, представляющих полную группу несовместных событий (для которой P(i)=1), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

(13)

где P(Hi) - вероятность гипотезы Hi; P(А|Hi) - условная вероятность события А при гипотезе Hi.

Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H1, H2, … Hn, то А =--АH1 АH2 … АHn, но H1, H2, … Hn несовместны, поэтому

При зависимости события А от появления гипотезы Hi P(AHi) = P(Hi) · P(А| Hi), откуда и следует выражение (13).

Формула Байеса (формула вероятностей гипотез).

Если до опыта вероятности гипотез H1, H2, … Hn были равны P(H1), P(H2), …, P(Hn), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

(14)

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H1), P(H2), …, P(Hn) называются априорными, а послеопытные - P(H1|А), … P(Hn|А) - апостериорными.

Формула Байеса позволяет "пересмотреть" возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.

Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А)--= P(Hi) · P(А|Hi) P(Hi) P(Hi|А):

(15)

откуда, с учетом (13), получается выражение (15).

Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А 1, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (13), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi|А):

(16)

Выражение (16) называют формулой для вероятностей будущих событий.

3. Показатели безотказности: вероятность безотказной работы, плотность распределения отказов, интенсивность отказов

Общие понятия о показателях безотказности, формах их представления и схеме испытаний объектов приведены в лекции 2.

Вероятность безотказной работы (ВБР)

Статистическая оценка ВБР (эмпирическая функция надежности) определяется:

(1)

отношением числа N(t) объектов, безотказно проработавших до момента наработки t, к числу объектов, исправных к началу испытаний (t ? 0) - к общему числу объектов N. Оценку ВБР можно рассматривать как показатель доли работоспособных объектов к моменту наработки t.

Поскольку N(t)--= N --= n(t), то ВБР по (1)

(2)

где

- оценка вероятности отказа (ВО).

В статистическом определении оценка ВО представляет эмпирическую функцию распределения отказов.

Так как события, заключающиеся в наступлении или не наступлении отказа к моменту наработки t, являются противоположными, то

(3)

Нетрудно убедиться, что ВБР является убывающей, а ВО - возрастающей функцией наработки. Действительно

- в момент начала испытаний t = 0 число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N, а число отказавших - n(t) = n(0) = 0, поэтому

(t) = (0) = 1, а = = 0;

- при наработке все объекты, поставленные на испытания, откажут, т.е. N() = 0, а n() = N, поэтому , а .

Вероятностное определение ВБР

P(t) = P{T t}. (4)

Таким образом, ВБР есть вероятность того, что случайная величина наработки до отказа T окажется не меньше некоторой заданной наработки t.

Очевидно, что ВО будет являться функцией распределения случайной величины T и представляет из себя вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

Q(t) = P{T < t} (5)

Графики ВБР и ВО приведены на рис. 1.

В пределе, с ростом числа N (увеличение выборки) испытываемых объектов, и сходятся по вероятности (приближаются по значениям) к P(t) и Q(t).

Сходимость по вероятности представляется следующим образом:

(6)

Рис. 1

Практический интерес представляет определение ВБР в интервале наработки [t, t + t], при условии, что объект безотказно проработал до начала t интервала. Определим эту вероятность, используя теорему умножения вероятностей, и выделив следующие события:

A = {безотказная работа объекта до момента t};

B = {безотказная работа объекта в интервале t};

C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + t}.

Очевидно P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B|A), поскольку события A и B будут зависимыми.

Условная вероятность P(B|A) представляет ВБР P(t, t + t) в интервале [t, t + t], поэтому

P(B|A) = P(t, t + t) = P(C)/P(A) = P(t + t)/P(t). (7)

ВО в интервале наработки [t, t + t], с учетом (7), равна:

(8)

Плотность распределения отказов (ПРО)

Статистическая оценка ПРО определяется отношением числа объектов n(t, t + t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению общего числа объектов N на длительность интервала наработки t.

(9)

Поскольку n(t, t + t) = n(t ? t) ?? n(t), где n(t ? t) - число объектов, отказавших к моменту наработки t ? t, то оценку ПРО можно представить:

(10)

Где (t, t + t) - оценка ВО в интервале наработки, т. е. приращение ВО за t.

Оценка ПРО представляет "частоту" отказов, т. е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов.

Вероятностное определение ПРО следует из (10) при стремлении интервала наработки t t0 и увеличения объема выборки N

 (11)

ПРО по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины T наработки объекта до отказа.

Поскольку Q(t) является неубывающей функцией своего аргумента, то f(t) 0.

Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 2.

Как видно из рис. 2, ПРО f(t) характеризует частоту отказов (или приведенную ВО), с которой распределяются конкретные значения наработок всех N объектов (t1, …, tN), составляющие случайную величину наработки T до отказа объекта данного типа. Допустим, в результате испытаний установлено, что значение наработки ti присуще наибольшему числу объектов. О чем свидетельствует максимальная величина f(ti). Напротив, большая наработка tj была зафиксирована только у нескольких объектов, поэтому и частота f(tj) появления такой наработки на общем фоне будет малой.

Рис. 2

Отложим на оси абсцисс некоторую наработку t и бесконечно малый интервал наработки шириной dt, примыкающий к t.

Тогда вероятность попадания случайной величины наработки T на элементарный участок шириной dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна:

(12)

где f(t)dt - элемент ВО объекта в интервале [t, t + dt] (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок dt).

Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [tk, tm] равна:

(13)

что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), опирающейся на участок [tk, tm].

ВО и ВБР можно выразить в функции ПРО.

Поскольку Q(t) = P{T < t}, то используя выражение (13), получим

(14)

расширение интервала слева до нуля вызвано тем, что T не может быть отрицательной.

Т.к. P(t) = P{T t}, то

(15)

Очевидно, что Q(t) представляет собой площадь под кривой f(t) слева от t, а P(t) - площадь под f(t) справа от t. Поскольку все, полученные при испытаниях значения наработок лежат под кривой f(t), то

(16)

Интенсивность отказов (ИО)

Статистическая оценка ИО определяется

(17)

отношением числа объектов n(t, t + t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению числа N(t) работоспособных объектов в момент t на длительность интервала наработки t.

Сравнивая (9) и (17) можно отметить, что ИО несколько полнее характеризует надежность объекта на момент наработки t, т.к. показывает частоту отказов, отнесенную к фактически работоспособному числу объектов на момент наработки t.

Вероятностное определение ИО получим, умножив и поделив правую часть выражения (17) на N

С учетом (10),оценку ИО (t) можно представить

откуда при стремлении t 0 и N получаем

(18)

Возможные виды изменения ИО (t) приведены на рис. 3.

Рис. 3

4. Уравнение связи показателей надежности числовые характеристики безотказности

Уравнение связи показателей надежности

В лекции 3 приведены выражения, определяющие вероятность безотказной работы (ВБР) и вероятность отказов (ВО) в функции ПРО f(t). Поскольку интенсивность отказов (ИО) (t) является более полной характеристикой надежности, представляет интерес выразить ВБР P(t) через ИО.

Используя выражение для интенсивности отказов

запишем

dP(t)/dt = - (t)·P(t).

Разделяя переменные (умножив обе части на dt/P(t)), получим

dP(t)/P(t) = - (t) dt.

Интегрируя от 0 до t и принимая во внимание, что при t = 0 ВБР объекта P(0) = 1, получаем

откуда уравнение связи основных показателей надежности имеет вид:

(25)

Величина (t)dt - есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt].

Уравнение связи показывает, что все показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и (t) равноправны в том смысле, что зная один из них, можно определить другие.

Числовые характеристики безотказности невосстанавливаемых объектов

Средняя наработка до отказа

Рассмотренные выше функциональные показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и (t) полностью описывают случайную величину наработки T = {t}. В то же время для решения ряда практических задач надежности бывает достаточно знать некоторые числовые характеристики этой случайной величины и, в первую очередь, среднюю наработку до отказа.

Статистическая оценка средней наработки до отказа

(1)

где ti - наработка до отказа i-го объекта.

При вероятностном определении средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание (МО) случайной величины T и определяется:

(2)

Используя выражение для плотности распределения отказов

и интегрирование по частям, можно преобразовать (2) к виду

 (3)

с учетом того, что P(0) = 1, P() = 0.

Из (3) следует, что средняя наработка до отказа геометрически интерпретируется как площадь под кривой P(t) - рис. 1.

Рис. 1

Очевидно, что с увеличением выборки испытаний N средняя арифметическая наработка (оценка 0) сходится по вероятности с МО наработки до отказа.

МО наработки T0 означает математически ожидаемую наработку до отказа однотипных элементов, т. е. усредненную наработку до первого отказа.

На практике также представляют интерес условные средние наработки:

1) средняя полезная наработка определенная при условии, что при достижении наработки t1 все оставшиеся работоспособными объекты снимаются с эксплуатации;

2) средняя продолжительность предстоящей работы при условии, что объект безотказно работал на интервале (0, t1).

Причины использования этих показателей:

1. Высоконадежные объекты (элементы электронных схем), как правило, эксплуатируются меньший срок чем T0 (tэкс < T0), т.е. заменяются по причине морального старения раньше, чем успевают наработать T0.

2. Часто для указанных объектов сокращают период испытаний (проводят до наработок соответствующих их моральному старению), поэтому T0 в таком случае понимают как среднюю наработку, которая имела бы место в действительности, если бы ИО оставалась такой, какой она была в начальный период испытаний.

Средняя полезная наработка (по аналогии с T0):

Средняя продолжительность предстоящей работы

Соотношение между , и T0:

+ · P(t1).

Графические понятия и иллюстрируются рис. 2.



Рис. 2

В то же время средняя наработка не может полностью характеризовать безотказность объекта.

Так при равных средних наработках до отказа T0 надежность объектов 1 и 2 может весьма существенно различаться (рис. 3). Очевидно, что в виду большего рассеивания наработки до отказа (кривая ПРО f2(t) ниже и шире), объект 2 менее надежен, чем объект 1.

Поэтому для оценки надежности объекта по величине 0 необходимо еще знать и показатель рассеивания случайной величины T = {t}, около средней наработки T0.

К числу показателей рассеивания относятся дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО) наработки до отказа.

Рис. 3

Дисперсия случайной величины наработки:

- статистическая оценка

(4)

- вероятностное определение

(5)

СКО случайной величины наработки:

(6)

Средняя наработка до отказа T0 и СКО наработки S имеют размерность [ед. наработки], а дисперсия D - [ед. наработки 2].

5. Математические модели теории надежности. Статистическая обработка результатов испытаний

Общие понятия о моделях надежности

Для решения задач по оценке надежности и прогнозированию работоспособности объекта необходимо иметь математическую модель, которая представлена аналитическими выражениями одного из показателей P(t) или f(t) или (t). Основной путь для получения модели состоит в проведении испытаний, вычислении статистических оценок и их аппроксимации аналитическими функциями.

В последующих лекциях будут рассмотрены модели, используемые в теории надежности.

Выясним, как изменяется безотказность объектов при их эксплуатации, что позволит классифицировать модели и определить возможности их применения.

Опыт эксплуатации показывает, что изменение ИО (t) подавляющего большинства объектов описывается U - образной кривой (рис. 1).

Рис. 1

Кривую можно условно разделить на три характерных участка:

первый - период приработки,

второй - период нормальной эксплуатации,

третий - период старения объекта.

Период приработки объекта имеет повышенную ИО, вызванную приработочными отказами, обусловленными дефектами производства, монтажа, наладки. Иногда с окончанием этого периода связывают гарантийное обслуживание объекта, когда устранение отказов производится изготовителем.

В период нормальной эксплуатации ИО уменьшается и практически остается постоянной, при этом отказы носят случайный характер и появляются внезапно, прежде всего, из-за несоблюдения условий эксплуатации, случайных изменений нагрузки, неблагоприятных внешних факторов и т.п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации объекта.

Возрастание ИО относится к периоду старения объекта и вызвано увеличением числа отказов от износа, старения и других причин, связанных с длительной эксплуатацией.

Вид аналитической функции, описывающей изменение показателей надежности P(t), f(t) или (t), определяет закон распределения случайной величины, который выбирается в зависимости от свойств объекта, его условий работы и характера отказов.

Статистическая обработка результатов испытаний и определение показателей надежности

Постановка задачи

По результатам испытаний N невосстанавливаемых одинаковых объектов получена статистическая выборка - массив наработки (в любых единицах измерения) до отказа каждого из N испытывавшихся объектов. Выборка характеризует случайную величину наработки до отказа объекта T = {t}.

Необходимо выбрать закон распределения случайной величины T и проверить правильность выбора по соответствующему критерию.

Подбор закона распределения осуществляется на основе аппроксимации (сглаживания) экспериментальных данных о наработке до отказа, которые должны быть представлены в наиболее компактном графическом виде. Выбор той или иной аппроксимирующей функции носит характер гипотезы, которую выдвигает исследователь. Экспериментальные данные могут с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. Поэтому исследователь должен получить ответ на вопрос: согласуются ли результаты эксперимента с гипотезой о том, что случайная величина наработки подчинена выбранному им закону распределения? Ответ на этот вопрос дается в результате расчета специальных критериев.

Алгоритм обработки результатов и расчета показателей надежности

Формирование статистического ряда

При большом числе испытываемых объектов полученный массив наработок {…, ti, …} является громоздкой и мало наглядной формой записи случайной величины T. Поэтому для компактности и наглядности выборка представляется в графическом изображении статистического ряда - гистограмме наработки до отказа. Для этого необходимо:

установить интервал наработки [tmin, tmax] и его длину где

разбить интервал наработки [tmin, tmax] на k интервалов равной ширины t - шаг гистограммы

подсчитать частоты появления отказов во всех k интервалах

где n(ti, ti + t) - число объектов, отказавших в интервале [ti, ti + t].

Очевидно, что

полученный статистический ряд представляется в виде гистограммы, которая строится следующим образом. По оси абсцисс (t) откладываются интервалы t, на каждом из которых, как на основании, строится прямоугольник, высота которого пропорциональна (в выбранном масштабе) соответствующей частоте . Возможный вид гистограммы приведен на рис. 2.

Рис. 2

Расчет эмпирических функций

Используя данные сформированного статистического ряда, определяются статистические оценки показателей надежности, т.е. эмпирические функции:

функция распределения отказов (оценка ВО)

функция надежности (оценка ВБР)

Рис. 3

плотность распределения отказов (оценка ПРО)

интенсивность отказов (оценка ИО)



Рис. 4

Рис. 5

На рис. 3, 4, 5 приведены соответственно графики статистических оценок (t),

Правила построения графиков ясны из приведенных выше расчетных формул. Каждый из графиков имеет свой масштаб.

Расчет статистических оценок числовых характеристик

Для расчета статистических оценок числовых характеристик можно воспользоваться данными сформированного статистического ряда.

Оценки характеристик определяются:

оценка средней наработки до отказа (статистическое среднее наработки):

оценка дисперсии наработки до отказа (эмпирическая дисперсия наработки):

где - середина i-го интервала наработки, т.е. среднее значение наработки в интервале.

Оценка СКО .

Целесообразно рассчитать оценки и некоторых вспомогательных характеристик рассеивания случайной величины T:

выборочный коэффициент асимметрии наработки до отказа

выборочный эксцесс наработки до отказа

Эти характеристики используются для выбора аппроксимирующей функции.

Так коэффициент асимметрии является характеристикой "скошенности" распределения, например, если распределение симметрично относительно МО, то A = 0.

На рис. 6, а распределение f2(t) имеет положительную асимметрию A > 0, а f3(t) - отрицательную A < 0.

Эксцесс характеризует "крутость" (остро- или плосковершинность) распределения.

Для нормального распределения E = 0.

Кривые f(t), более островершинные по сравнению с нормальной, имеют E > 0, а наоборот - более плосковершинные, E < 0 (рис.6, б).

Рис. 6

Выбор закона распределения

Выбор закона распределения состоит в подборе аналитической функции наилучшим образом аппроксимирующей эмпирические функции надежности.

Выбор, в значительной мере, процедура неопределенная и во многом субъективная, при этом многое зависит от априорных знаний об объекте и его свойствах, условиях работы, а также анализа вида графиков (t), (t),(t).

Очевидно, что выбор распределения будет зависеть, прежде всего, от вида эмпирической функции ПРО (t), а также от вида - (t). Итак, выбор закона распределения носит характер принятия той или иной гипотезы.

Предположим, что по тем или иным соображениям, выбран гипотетический закон распределения, заданный теоретической ПРО

где a, b, c, … - неизвестные параметры распределения.

Требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция f(t) наилучшим образом сглаживала ступенчатый график (t). При этом используется следующий прием: параметры a, b, c, … выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик теоретического распределения были равны соответствующим статистическим оценкам.

На графике вместе с (t) строится теоретическая ПРО f(t), что позволяет визуально оценить результаты аппроксимации (расхождения между (t) и f(t). Поскольку эти расхождения неизбежны, то возникает вопрос: объясняются ли они случайными обстоятельствами, связанными с тем, что теоретическое распределение выбрано ошибочным? Ответ на этот вопрос дает расчет критерия согласия.

Расчет критерия согласия

Критерий согласия - это критерий проверки гипотезы о том, что случайная величина T, представленная своей выборкой, имеет распределение предполагаемого типа.

Проверка состоит в следующем. Рассчитывается критерий, как некоторая мера расхождения теоретического и эмпирического распределений, причем эта мера является случайной величиной.

Чем больше мера расхождения, тем хуже согласованность эмпирического распределения с теоретическим, т.е. меньше мала, то гипотезу о выборе закона распределения следует отвергнуть, как мало правдоподобную.

В противном случае - экспериментальные данные не противоречат принятому распределению.

Из известных критериев наиболее применяемый критерий согласия (хи-квадрат) Пирсона.

Проверка согласованности распределений по критерию производится следующим образом:

рассчитывается критерий (мера расхождения)

где - теоретическая частота (вероятность) попадания случайной величины в интервал [ti, ti + t];

определяется число степеней свободы R = k - L,

где L - число независимых условий, наложенных на частоты , например:

а) условие ;

б) условие совпадения

в) условие совпадения и т.д.

Чаще всего L = 3. Чем больше число степеней свободы, тем больше случайная величина подчиняется распределению Пирсона;

по рассчитанным и R определяется вероятность P того, что величина, имеющая распределение Пирсона с R степенями свободы, превзойдет рассчитанное значение .

Ответ на вопрос: насколько мала должна быть вероятность P, чтобы отбросить гипотезу о выборе того или иного закона распределения - во многом неопределенный.

На практике, если P < 0,1, то рекомендуется подыскать другой закон распределения.

В целом, с помощью критерия согласия, можно опровергнуть выбранную гипотезу, если же P достаточно велика, то это не может служить доказательством правильности гипотезы, а указывает лишь на то, что гипотеза не противоречит данным эксперимента.

Размещено на Allbest.ru